Đang tải... (xem toàn văn)
1,25 điểm b Tính góc giữa đường thẳng SN và mpMNPQ; tính theo a khoảng cách từ điểm O tới mpSPQ.. Chứng tỏ rằng tất cả các đường chéo của hình hộp đều bằng nhau và tính độ dài của các đư[r]
(1)ĐỀ ÔN THI HK II KHỐI 11 ĐỀ I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) x (1,0 điểm) sin3x b) Viết phương trình tiếp tuyến D đồ thị (C) hàm số y = f(x) = 2x - 3x +1 a) Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm y' hàm số y = giao điểm (C) với trục tung (1,0 điểm) 2x - 3x + 10 Câu 2: (1,0 điểm) Tính: lim x®2 x-2 ì x + 8x neˆ ¢u x > -2 ï Câu 3: (1,5 điểm) Cho hàm số f(x) = í x + (m Î R) ï mx 1 neˆ ¢u x £ -2 î Xác định giá trị m để hàm số đã cho liên tục trên tập xác định nó ? Câu 4: (2,5 điểm) Cho hình chóp S.MNPQ, có đáy MNPQ là hình vuông cạnh a và O là tâm nó Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (MNPQ) và SO = a Gọi A là trung điểm PQ a) Chứng minh PQ ^ mp(SAO) (1,25 điểm) b) Tính góc đường thẳng SN và mp(MNPQ); tính theo a khoảng cách từ điểm O tới mp(SPQ) (1,25 điểm) II PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm) Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn: Câu 5.a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y = xcosx Chứng minh rằng: 2(cosx - y') + x(y'' + y) = (1,0 điểm) b) Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với giá trị tham số thực m: (1,0 điểm) (1 - m )x 2011 - 3x - = Câu 6.a: (1,0 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = m, BC = n, CC' = p Chứng tỏ tất các đường chéo hình hộp và tính độ dài các đường chéo đó Từ đó suy độ dài đường chéo hình lập phương cạnh m Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao: Câu 5.b: (2,0 điểm) n +1 a) Cho dãy số (u n) với u n = n Chứng tỏ (u n) là cấp số nhân Hãy tính (-5) lim(u1 + u + ××× + u n ) (1,0 điểm) ì1 - - x neˆ ¢u x ¹ b) Cho hàm số f(x) = ïí (a Î R) x ï a neˆ ¢u x = î Xác định a để hàm số f có đạo hàm điểm x = Khi đó tính đạo hàm hàm số điểm x = (1,0 điểm) Câu 6.b: (1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Tính góc hai mặt phẳng (AB1C1) và (AC1D1) Hết (2) ĐỀ ÔN THI HK II KHỐI 11 Câu ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM ĐỀ Nội dung Ý a Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm y' hàm số y = Điểm 2,0 đ x cos x 0,25 Hàm số xác định Û cos x ¹ p p p Û x ¹ + kp Û x ¹ + k , k Î ¢ 0,25 ( x) 'cos x - x(cos x) ' y' = cos 2 x cos x + x sin x y' = cos 2 x b 0,25 0,25 Viết phương trình tiếp tuyến D đồ thị (C) hàm số y = f ( x ) = -2 x + x - , giao điểm (C) với trục tung (C) cắt Oy M(0; -1) y ' = f '( x ) = -6 x + Hệ số góc tiếp tuyến: f '(0) = Vậy phương trình tiếp tuyến D (C) M là: y = x - 2x - x + x -1 2x - x + 4x2 - x - lim = lim x ®1 x ®1 x -1 ( x - 1) x + x + Tìm giới hạn: lim ( x ®1 lim x ®1 ( x - 1)(4 x + 3) ( ( x - 1) x + x + ) = lim x ®1 ) 4x + 2x + x + 2x - x + = x -1 liên tục trên tập xác định nó ? TXĐ: D = ¡ x4 - x Với x < , hàm số f ( x ) = liên tục trên khoảng (-¥; 2) x-2 Với x > , hàm số f ( x) = ax + liên tục trên khoảng (2; +¥) f(2) = 2a + 1; lim f ( x) = lim (ax + 1) = 2a + x ® 2+ x ® 2+ x ( x - 8) = lim- x ( x + x + 4) = 24 x®2 x®2 x®2 x-2 Để hàm số liên tục trên ¡ , đk cần và đủ là nó liên tục điểm x = 2; 23 tức là: lim f ( x ) = f (2) Û 2a + = 24 Û a = x® 2 23 Vậy a = là giá trị cần tìm lim- f ( x ) = lim- a 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 ì x4 - 8x ¢ Xác định giá trị a để hàm số f ( x ) = ïí x - , neˆ u x < ( a Î ¡ ) ï ax + 1, neˆ¢u x ³ î 1,0 đ 1,0 đ x ®1 = lim 1,0 đ Chứng minh CD ^ mp(SMO) 1,5 đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 2,5 đ 1,25 đ (3) ĐỀ ÔN THI HK II KHỐI 11 S H A 0,50 j D O B b M C Vì S.ABCD là hình chóp nên SO ^ (ABCD), suy CD ^ SO (1) CD ^ BC (gt), BC // OM Þ CD ^ OM (2) Từ (1) và (2), suy CD ^ mp(SMO) Tính góc đường thẳng SA và mp(ABCD); tính khoảng cách (theo a) từ điểm O tới mp(SCD) Gọi j là góc đường thẳng SA và mp(ABCD) Vì SO ^ (ABCD) nên OA là hình chiếu SA lên mp(ABCD) · Do đó j = ( SA; OA) = SAO Trong tam giác SAO vuông O, ta có: tan j = SO a = = Þ j = 600 AO a 0,25 0,25 1 14 a 42 = + = + = Þ OH = 2 OH OS OM 3a a 3a 14 a 42 Vậy d (O; (SCD)) = 14 0,25 Cho hàm số y = x sin x Chứng minh rằng: 2( y '- sin x) - x( y ''+ y) = 2,0 đ 1,0 đ 0,25 5.a TXĐ: ¡ Ta có y ' = ( x sin x )¢ = sin x + x cos x ; y '' = ( sin x + x cos x )¢ = 2cos x - x sin x ; b 1,25 đ 0,50 Vậy góc đường thẳng SA và mp(ABCD) 60 Từ O ta kẻ OH vuông góc với SM (H thuộc SM) Vì CD ^ mp(SMO) nên mp(SCD) ^ mp(SOM), suy OH ^ (SCD) Do đó d(O; (SCD)) = OH a 0,25 0,25 0,25 Do đó: 2( y '- sin x) - x( y ''+ y) = 2(sin x + x cos x - sin x) - x(2cos x - x sin x + x sin x) = x cos x - 2x cos x = (đpcm) Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với giá trị tham số thực m: (1 - m ) x 2011 - x - = Đặt f ( x) = (1 - m ) x 2011 - x - Ta có: f (0) = -1 < f ( -1) = -(1 - m ) + - = m + > 0, "m suy ra: f (-1) f (0) = -(m + 1) < 0, "m 0,25 0,50 1,0 đ 0,25 0,25 (4) ĐỀ ÔN THI HK II KHỐI 11 Mặt khác hàm số f ( x) = (1 - m ) x 2011 - 3x - liên tục trên đoạn [-1; 0] Do đó theo tính chất hàm số liên tục, tồn số x0 Î (-1; 0) cho f ( x0 ) = Vậy phương trình f ( x) = có ít nghiệm trên khoảng 0,25 0,25 (-1; 0) với m 6.a 1,0 đ C D A B D1 C1 A1 B1 Ta có các mặt chéo ACC1 A1 và BDD1B1 là hai hình chữ nhật nên các đường chéo AC1, A1C, BD1 và B1D Áp dụng định lý Pithagore, ta được: AC12 = AC2 + CC12 = AB2 + BC2 + CC12 = a + b + c Vậy AC1 = A1C = BD1 = B1D = a + b + c Suy độ dài đường chéo hình lập phương có cạnh a là a 5.b 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 đ n +1 a (-2) Chứng tỏ (u n) là cấp số nhân Hãy 3n tìm giới hạn lim(u1 + u + × × × + u n ) Cho dãy số (un) với u n = n+2 Ta có: u n ¹ 0, "n Î ¥* ; u n +1 = ( -2) × n+1 3n = - , "n Î ¥ * n +1 un ( -2) Vậy (u n) là cấp số nhân, với u1 = và công bội q = - 3 n n æ ö Ta có: u1 + u + ××× + u n = u1 - q = ç1 - æç - ö÷ ÷ ; - q çè è ø ÷ø æ Do đó: lim(u1 + u + ××× + u n ) = lim ç1 - æç - ö÷ çè è ø n 1,0 đ 0,25 0,25 0,25 n æ 2ö ö ÷÷ = (vì lim ç - ÷ = ) è 3ø ø 0,25 Chú ý: Học sinh có thể giải sau: Do |q| = 2/3 < nên (un) là cấp số nhân lùi vô hạn, đó: lim(u + u + × ×× + u n ) = u1 + u + ××× + u n + ××× = b u1 = 1- q ì 1- x -1 , neˆ¢u x ¹ (m Î ¡ ) Xác định m để hàm x ï m, neˆ¢u x = î Cho hàm số f ( x) = ïí số có đạo hàm điểm x = Khi đó tính đạo hàm hàm số f điểm x = 1,0 đ (5) ĐỀ ÔN THI HK II KHỐI 11 Để hàm số có đạo hàm điểm x = thì điều kiện cần là nó phải liên tục điểm đó, tức là lim f ( x ) = f (0) 0,25 x®0 f(0) = m; lim f ( x) = lim x ®0 Vậy m = - x® - x -1 -1 = lim =x ® x 1- x +1 thì hàm số liên tục điểm x = ì 1- x -1 , ï x Lúc đó , ta có: f ( x ) = ïí ï- , ïî - x -1 + f ( x) - f (0) x lim = lim x®0 x®0 x-0 x 4(1 - x ) - ( x - 2) = lim = lim x ® x (2 - x - x + 2) x ® 2(2 6.b neˆ¢u x ¹ 0,25 neˆ¢u x = 0,25 1- x + x - x® 2x2 -1 =- - x - x + 2) = lim 1 Vậy m = - thì hàm số có đạo hàm điểm x = và f '(0) = - Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính góc hai mặt phẳng (AB'C') và (AC'D') B 0,25 1,0 đ C A D M B' C' A' D' Gọi M là hình chiếu vuông góc B' lên đường thẳng AC' Do DAB'C' = DAC'D' (c.c.c) nên D'M = B'M và D'M ^ AC' Suy AC' ^ mp(B'MD') Do đó góc a hai mp(AB'C') và mp(AC'D') góc hai đường thẳng B'M và D'M · Tính B ' MD ' ? Ta có: 2a 1 1 2 = + = + = Þ B ' M = D ' M = B ' M AB '2 B ' C '2 a a 2 a 4a - 2a 2B ' M - B ' D ' · · cos B ' MD ' = = - ÞB ' MD ' = 1200 2 4a B'M 0 · Vậy a = 180 - B ' MD ' = 60 0,25 0,25 Lưu ý: 0,25 0,25 (6)