Trước hết ta chứng minh bổ đề: Với 5 điểm bất kỳ trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng ta luôn tìm được 4 điểm là 4 đỉnh của một tứ giác lồi... Ta gọi đa giác trong các đa giác đó chứa[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2013 – VÒNG Môn thi: TOÁN Ngày thi: 12/11/2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang ) Câu Câu Điểm Nội dung Tìm phương trình bậc có các hệ số nguyên có nghiệm là (5 điểm) 7 Đặt: x1 , x2 7 thì 72 x1 x x x 1 0,5 đó x1 và x2 là nghiệm PT: x x 0 0,5 x12 x1 0 x x 0 Như vậy: 0,5 x1n 2 x1n 1 x1n 0 n 2 n 1 n x x x 0 0,5 n n Đặt: Sn x x , thì So 2, S1 S S S 0 n 1 n n 2 0,5 0,5 S2 x12 x 22 x1 x 2x1.x 2, S3 x1 x 3x1.x x1 x 3 2 S4 x12 x 22 x1.x 4 0,5 S7 x17 x 27 x 13 x 32 x14 x 42 x 16 x 62 x1 x 0,5 S3 S4 S1 3 4 7 14 7 6 42 84 42 13 0 Hay: 0,5 Vậy PT cần tìm là: x 42 x 84 x 42 x 13 0 0,5 Trang 1/ (2) Câu U n n 0 xác định công thức truy hồi: Cho dãy số: U o 10 U U 2012 , n 1 n Un (5 điểm) n N Hãy chứng minh dãy U n n 0 có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó 2n U n 2012 U o 2012 U n 2012 U o 2012 Ta chứng minh: với n N U o 2012 U o 2012 U o 2012 U o 2012 n = 0: 0,5 2o 0,5 Công thức đúng với n = U k 2012 U o 2012 U k 2012 U o 2012 Giả sử công thức đúng với n = k: công thức đúng với n = k + 2k ta chứng minh 1 20122 U k 2012 Uk U k 1 2012 U 2k 2.2012 U k 2012 U k 1 2012 U k 2.2012 U k 2012 20122 Uk 2012 2 Uk U 2012 k U k 2012 Thật vậy, U 2012 U o 2012 k U 2012 k U o 2012 0,5 Vậy công thức đúng với n N Đặt 0,5 U o 2012 10 2012 2002 U n 2012 0;1 U n 2012 Do U o 2012 10 2012 2022 nên lim Vn lim U 2012 U n 2012 lim o U n 2012 Uo 2012 Vn lim U n lim Vn Vì vậy: 0,5 2k 1 Công thức đúng với n = k + Vn 0,5 1,0 2n 0 2012 2012 0,5 Trang 2/ (3) Vậy lim U n 2012 Câu (4 điểm) 0,5 Cho tứ diện và sáu mặt phẳng cho mặt phẳng qua trung điểm cạnh và vuông góc với cạnh đối diện Chứng minh sáu mặt phẳng đó đồng quy điểm Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD Khi đó G là trung điểm đoạn MN nối 0,5 trung điểm M AB và trung điểm N CD Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Do đó O thuộc mặt phẳng trung trực đoạn thẳng CD 0,5 0,5 Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với CD, song song với mặt phẳng trung trực CD 0,5 Hai mặt phẳng này cắt mp (OMN) theo giao tuyến song song ON và MH 0,5 ( H GO) Ta thấy hai tam giác MGH và NGO ( g.c.g) nên OG = HG 0,5 Hay H là điểm đối xứng với O qua G Lập luận tương tự, năm mặt phẳng còn lại qua H Vậy mặt phẳng đồng quy H 1,0 Trang 3/ (4) Trang 4/ (5) Câu (3 điểm) Chứng minh có vô hạn các cặp số nguyên dương (x; y) là nghiệm hai phương trình sau: x y2 x y2 2.12 32 2.22 12 Ta thấy: 0,5 2.32 52 2.42 52 Giả sử ta đã có: 2a k bk 2a k b k 2a h bh 2a h b h 7 0,5 Trong đó a k 3; a h 4; b k , b h 5 2 2 a k b k 2a k b k 2a 2k b 2k 7 Khi đó: 0,5 a h b h 2a h b h 2a 2h b 2h Đặt: a k 1 a k b k ; b k 1 2a k b k ;a h 1 a h b h ;b h 1 2a h b h Ta được: 0,5 2a k 12 b k 12 2a h 12 b h 12 0,5 Quá trình trên tiếp tục thực ta nhận vô hạn cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn bài toán (đpcm) Câu (3 điểm) 0,5 Cho 2013 điểm trên mặt phẳng cho không có điểm nào thẳng hàng Có thể lập nhiều bao nhiêu tứ giác lồi có đỉnh là điểm các điểm nêu trên cho điểm là đỉnh nhiều tứ giác Trước hết ta chứng minh bổ đề: Với điểm đó không có điểm nào thẳng hàng ta luôn tìm điểm là đỉnh tứ giác lồi 0,5 Thật vậy, xét các tất các đa giác lồi có 3, 4, đỉnh từ điểm này Ta gọi đa giác các đa giác đó chứa điểm là đa giác bao Nếu đa giác bao là tứ giác thì bổ đề chứng minh 0,5 Nếu đa giác bao là ngũ giác thì điểm thỏa mãn Nếu đa giác bao là tam giác ABC thì điểm còn lại D và E nằm 0,5 Trang 5/ (6) tam giác Đường thẳng DE cắt cạnh tam giác, giả sử là AB và AC Khi đó điểm B, C, D, E là đỉnh tứ giác lồi Bổ đề chứng minh Trở lại bài toán: Lấy điểm 2013 điểm đã cho Theo bổ đề, có điểm điểm này là đỉnh tứ giác lồi Lấy điểm 2009 điểm còn lại (kể điểm chưa sử dụng điểm đã chọn) ta lại có tứ giác lồi lập từ điểm điểm này… Quá trình tiếp tục còn điểm 0,5 0,5 Vậy thảy có 503 tứ giác lồi mà điểm là đỉnh nhiều tứ giác lồi 0,5 Lưu ý: Nếu thí sinh giải các cách khác, lời giải chính xác thì cho điểm tối đa Trang 6/ (7)