Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu S tại tiếp điểm A... Gv: Võ Hữu Quốc.[r]
(1)Gv: Võ Hữu Quốc Hình chương III – lớp 12 PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN I CÔNG THỨC VECTƠ: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho a a1 ; a ; a3 b b1 ; b ; b3 4) G là trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD xA xB xC X D xG y G y A y B y C y D z z zC z D A B zG 5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k Ta có: và k R Ta có: 1) a b a1 b1 ; a b2 ; a b3 2) ka ka1 ; ka ; ka 3) a.b a1 b1 a b2 a b3 4) a a12 a 22 a 32 x A kx B xM k y A ky B yM k z A kz B zM k 5) Tích có hướng hai vectơ a và b là a, b ab ba a a1 a1 a ; b b b1 b2 3 a , b a b Sin a , b 6) 7) 8) 9) 10) ; 6) I là trung điểm đoạn AB thì: xA xB xI yA yB yI z z2 A zI III MẶT PHẲNG: 1) Giả sử mp có cặp VTCP là : a1 b1 a b a b a b a cùng phương b a, b a a, b hay b a , b a , b , c đồng phẳng a, b c ab a1 b1 a b2 a b 11) Ứng dụng vectơ: S ABC AB, AC V HoäpABCD A B C D AB , AD AA VTứdiệnABCD / / / / a a1 ; a ; a b b1 ; b ; b3 Nên có VTPT là: a a a a1 a1 a ; ; n a, b b b b b b b 3 1 2) Phương trình tổng quát mp có / AB , AC AD dạng: Ax + By + Cz + D = Với A B C ; đó n A; B; C là VTPT mp 3) Phương trình các mặt phẳng toạ độ: II TOẠ ĐỘ ĐIỂM: Trog không gian Oxyz cho Ax A ; y A ; z A Bx B ; y B ; z B 1) AB x B x A ; y B y A ; zB z A 2) AB x B 2 x A y B y A z B z A 3) G là trọng tâm ABC , ta có: xA xB xC xG y A yB yC yG z A z B zC zG , k 1 (Oxy) : z = ; (Ozy) : x = (Oxz) : y = 4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau: : A1 x B1 y C1 z D1 : A2 x B2 y C z D P.tr chùm mp xác định và là: (2) Gv: Võ Hữu Quốc A1x B1y C1z D1 A2 x B2y C2z D2 với 2 5) Các vấn đề viết phương trình mặt phẳng: Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng P.Pháp: Tìm VTPT n A; B; C và điểm qua M x0 ; y ; z dạng: A x x B y y C z z Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C P.Pháp: Tính AB, AC Mp (ABC) có VTPT là n AB, AC và qua A Kết luận Vấn Đề 3: Viết phương trình mp qua điểm A và vuông góc BC P.Pháp: Mp BC Nên có VTPT là BC qua A Chú ý: Trục Ox chứa i 1;0;0 Trục Oy chứa j 0;1;0 Trục Oz chứa k 0;0;1 Vấn Đề 4: Viết phương tình mp là mặt phẳng trung trực AB P.Pháp: Mp AB Nên có VTPT là AB qua I là trung điểm AB Kết luận Hình chương III – lớp 12 Vấn Đề 5: Viết phương tình mp qua điểm M x ; y ; z và song song với mặt phẳng : Ax By Cz D P.pháp: // Nên phương trình có dạng: Ax + By + Cz + D / = M D / Kết luận Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) qua hai điểm A, B và vuông góc với mp (Q) P.Pháp: Mp (P) có cặp VTCP là: AB và VTPT (Q) là n Q Mp (P) có VTPT là n AB , n Q và qua A Kết luận Vấn Đề 7: Viết phương trình mp qua các điểm là hình chiếu điểm M x ; y ; z trên các trục toạ độ P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 là hình chiếu điểm M trên Ox, Oy, Oz Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0 ;0) , M3(0;0;x0) x y z 1 x0 y z0 Vấn Đề 8: Viết phương trình mp qua * Phương trình mp là: điểm M0 và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) P.Pháp: (P) có VTPT là n P (Q) có VTPT là n Q Mp có VTPT là n P , n Q và qua Mo Kết luận Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) tiếp điểm A P.Pháp: Xác định tâm I mặt cầu (S) Mặt phẳng : Mp tiếp diện có VTPT : IA Viết phương trình tổng quát (3) Gv: Võ Hữu Quốc Hình chương III – lớp 12 IV ĐƯỜNG THẲNG: Phương trình đường thẳng: 1) Phương trình tổng quát đường thẳng: A1 x B1 y C z D1 A2 x B2 y C z D với A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 2) Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M x ; y ; z có VTCP a a1 ; a ; a là: - Cho ẩn Hoặc giá trị nào đó Giải hệ tìm x, y => z - Có điểm thuộc đường thẳng - Kết luận Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng qua điểm M x ; y ; z và vuông góc với mặt phẳng : Ax By Cz D P.Pháp: Mp có VTPT là n A; B; C Đường thẳng qua điểm M0 và có VTCP là n x x a1 t y y a t z z a t t R 3) Phương trình chính tắc đường thẳng qua điểm M0 có VTCP: a a1 ; a ; a là x x y y z z0 a1 a2 a3 Với a12 a 22 a 32 Qui ước: Nếu = thì x – x0 = Vấn Đề 1: Tìm VTCP đường thẳng tổng quát Viết phương trình chính tắc => Ptr tổng quát Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu d trên mp P.Pháp: Gọi d/ là hình chiếu d trê mp Gọi là mặt phẳng chứa d và Nên có cặp VTCP là VTCP d là u d và n là VTPT mặt phẳng Mp có VTPT n u d , n A1 x B1 y C z D1 : A2 x B2 y C z D P.Pháp: có VTCP là : a 1 ; 1 ; 1 B2 C C A2 A1 B2 BC CA Mp qua điểm M0 d Viết phương trình tổng quát Mp AB Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng : P.Pháp: Cần biết VTCP a a1 ; a ; a và điểm M x ; y ; z Viết phương trình tham số theo công thức (2) Viết phương trình chính tắc theo công thức (3) Viết phương trình tổng quát thì từ phương trình chính tắc , ta có phương trình tổng quát: x x0 y y0 a a2 x x z z0 a1 a3 Rút gọn dạng (1) Chú ý: Viết phương trình tổng quát phương trình tham số Hoặc chính tắc Ta tìm: - VTCP u a1 ; a ; a vấn đề 11 : : Phương trình đường thẳng d/: Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M x ; y ; z và vuông góc với hai đường và P.Pháp: có VTCP u1 có VTCP u d vuông góc với và Nên d có VTCP là u d u1 , u Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và cắt hai đường và P.Pháp: Thay toạ độ A vào phương trình và A 1, A 2 Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm A và chứa 1 Gọi (Q) là mặt phẳng qua điểm A và chứa 2 (4) Gv: Võ Hữu Quốc Hình chương III – lớp 12 P : Q : P.tr đường thẳng d: Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d P cắt hai đường và P.Pháp: Gọi A P Gọi B P Đường thẳng chính là đường thẳng AB Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng d // d1 và cắt hai đường và P.Pháp Gọi (P) là mặt phẳng chứa và (P) // d1 Gọi (Q) là mặt phẳng chứa và (Q) // d1 d P Q P : Q : Phương trình đường thẳng d Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo và P.Pháp: Gọi u1 và u là VTCP và Gọi v u1 , u Gọi (P) là mặt phẳng chứa và có VTCP là v Nên có VTPT là n P u1 , v phương trình mặt phẳng (P) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa và có VTCP là v Nên có VTPT là n Q u , v phương trình mặt phẳng (Q) Phương trình đường vuông góc chung Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0 vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng P.Pháp: Gọi là mặt phẳng qua M0 và vuông góc Gọi là mặt phẳng qua điểm M0 và chứa Đường thẳng d Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm đường thẳng và mặt phẳng và d , d P.Pháp: Gọi A Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với Nên có VTPT là VTCP Đường thẳng d V MẶT CẦU: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = với đk a2 + b2 + c2 –d > thì (S) có : Tâm I(a ; b ; c) Bán kính R a b c d Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu P.Pháp: Cần: Xác định tâm I(a ; b ; c) mặt cầu Bán kính R Viết phương trình mặt cầu (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 P : Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu đường và : kính AB Q : Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d P.Pháp: Gọi I là trung điểm AB Tính toạ vuông góc (P) và cắt hai đường thẳng và độ I => I là tâm mặt cầu 2 P.Pháp: Gọi là mặt phẳng chứa và có VTCP là n P ( VTPT (P) ) Gọi là mặt phẳng chứa và có VTCP là n P ( VTPT (P) ) Đường thẳng d Bán kính R AB Viết phương trình mặt cầu Vấn Đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với : Ax + By + Cz + D = P.Pháp: Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với Nên có bán kính (5) Gv: Võ Hữu Quốc Hình chương III – lớp 12 R d I , Ax I By I Cz I D 2 A B C Viết phương trình mặt cầu Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD P.Pháp: Phương trình mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = A, B, C, D thuộc (S) Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D Kết luận Vấn Đề 5: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy P.Pháp: Gọi I(xI ; yI ; 0) là tâm mặt cầu, I Oxy Ta có AI2 = BI2 = CI2 AI BI Ta có Hpt 2 AI CI Giải Hpt I IA = R Kết luận VI KHOẢNG CÁCH: 0) Khoảng cách hai điểm AB AB x B 2 x A y B y A z B z A Ax By Cz D A2 B C 0) Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d Lấy M0 d Tìm VTCP đường thẳng d là u d M , d M M , u u 0) Khoảng cách hai đường thẳng chéo và / Gọi u và u / là VTCP và / qua điểm M0 , M 0/ / d , u, u / u , u / M M 0/ / a.b Cos a.b b a và b a1 b1 a b2 a b3 a12 a 22 a 32 b12 b22 b32 Góc hai đường thẳng (a) và (b) Gọi là góc hai đường thẳng (a) và (b) 0 90 Đường thẳng (a) và (b) có VTCP là : a a1 , a , a b b1 , b2 , b3 a.b Cos a.b a1 b1 a b2 a b3 a12 a 22 a 32 b12 b22 b32 Đặc biệt: ab a.b Góc hai mặt phẳng và / : Ax + By + Cz + D = / : A/x + B/y + C/z + D/ = Gọi là góc hai mặt phẳng và / Cos 0) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = d M , VII.GÓC: Góc hai vectơ a và Gọi là góc hai vectơ AA / BB / CC / A2 B C A/ B/ C / Góc đường thẳng (d) và mặt phẳng (d): có VTCP là u = (a, b, c) : Ax + By + Cz + D = Gọi là góc nhọn (d) và Aa Bb Cc Sin A2 B2 C a2 b2 c2 Vị trí tương đối mp và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R P.Pháp: Tính d(I, ) Nếu d(I, ) > R => không cắt (S) Nếu d(I, ) = R => tiếp xúc (S) Nếu d(I, ) < R => cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có bán kính r R d I , Gọi d/ là đường thẳng qua tâm I và d / Gọi H d / H là tâm đường tròn giao tuyến (6) Gv: Võ Hữu Quốc Hình chương III – lớp 12 Tọa độ giao điểm đường thẳng và mặt cầu (S) P.Pháp: * Viết phương trình đường dạng phương trình tham số * Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta phương trình () theo t Nếu ptr () vô nghiệm => không cắt mặt cầu (S) Nếu ptr () có nghiệm kép => cắt (S) điểm Nếu ptr () có hai nghiệm => cắt (S) hai điểm Thế t = vào phương trình tham số => Tọa độ giao điểm Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M/ đối xứng M qua mặt phẳng P.Pháp: Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) là điểm đối xứng M qua Gọi d là đường thẳng qua M và d Nên d có VTCP là n Viết phương trình tham số d Gọi H d d : => Tọa độ điểm H : Tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình Vì H là trung điểm MM/ => Tọa độ điểm M/ Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng M0 qua đường thẳng d P.Pháp: Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm M0 và P d Nên (P) nhận VTCP d làm VTPT Gọi H d P M/ là điểm đối xứng M0 qua đường thẳng d Nên H là trung điểm đoạn M0M/ x0 x / x H y y/ Ta có: y H z0 z / z H => M/ (7)