Phương trình đường tròn 1,0 điểm Gọi abcd là số có 4 chữ số khác nhau đôi một lấy từ các chữ số trên và chia hết cho 5.[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) y x3 x C Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số C hàm số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị 3 Tìm tất các giá trị m để phương trình x x 3m 4m 0 có nghiệm thực phân biệt Câu II (2,0 điểm) sin x.sin x 2 cos x cos x.sin x.cos x 6 Giải phương trình: x3 x y xy y 0 x y x y 2 Giải hệ phương trình: e3 x cos x lim x Câu III (1,0 điểm) Tính giới hạn: x SA ABC Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy là tam giác cạnh a , ; SA 2a Gọi M , N là hình chiếu vuông góc A lên SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a 0; 2 và x y z 3 Tìm giá trị lớn Câu V (1,0 điểm) Cho ba số x, y, z thuộc đoạn A x y z xy yz zx II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) C 4; 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có , đường cao và đường trung tuyến hạ từ đỉnh có phương trình d1 : x y 12 0; d : x y 0 Viết phương trình các cạnh tam giác ABC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x y 0; d : x y 0 Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng : x y 10 0 và tiếp xúc với d1 , d n 2 3 x , biết n là số tự nhiên thỏa x Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số khai triển biểu thức x n mãn hệ thức Cn nAn 454 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) A 2; 1 Cho ABC biết và hai đường phân giác góc B, C có phương trình là d B : x y 0; dC : x y 0 Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC M 1; , N 3; Cho hai điểm và đường thẳng d có phương trình x y – 0 Viết phương trình đường tròn qua M, N và tiếp xúc với đường thẳng d (2) X 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8 Câu VII.b (1,0 điểm) Cho tập hợp Ký hiệu G là tập hợp tất các số có chữ số đôi khác lấy từ tập X, chia hết cho Tính số phần tử G Lấy ngẫu nhiên số tập G, tính xác suất để lấy số không lớn 4000 -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN; KHỐI B ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác đúng và đủ ý thì cho điểm tối đa - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn - Với bài hình học thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó II ĐÁP ÁN: Câu I Ý Nội dung trình bày 1,0 điểm TXĐ: D lim y ; lim y ; x Giới hạn: x y ' 0 x 2 SBT y ' 12 x ; BBT: x y’ y Điểm 0.25 0.25 1 1 1 1 ; ; ; và Hàm số đồng biến trên 2 , nghịch biến trên các khoảng 1 x x y , CD , yCT Hàm số đạt cực đại , Hàm số đạt cực tiểu 0.25 (3) 0.25 Đồ thị: y’’ 24 x, y’’ 0 x 0 Đồ thị hàm số có điểm uốn O(0; 0) Đồ thị hàm số nhận điểm O(0;0) làm tâm đối xứng 1,0 điểm Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y 4m3 3m 0.5 II Từ đồ thị suy phương trình có nghiệm phân biệt 3m 4m m 4m 3m m 1 2m 1 m 2 4m 3m m 1 2m 1 m 1,0 điểm Ta có: sin x.sin x 2 cos x cos x.sin x 6 sin x sin x cos x 2 cos x 6 sin x sin sin x cos cos x cos x sin x cos x 0 6 6 6 cos x 0 sin x 0 0.25 0.5 2 cos x 0 x k ; k 6 2 x k ; k Z Vậy phương trình có nghiệm 1,0 điểm x y 0 Đk x y 0 0.25 0.5 0.25 (4) x y x x y xy y 0 x y x y 0 x 4 y x y x y 2 x y x y 2 x y x y 2 ta được: x y 2 Với x y , thay vào phương trình x 32 15 y 8 15 x y Với , thay vào phương trình ta được: 2 III 2; và 32 15;8 15 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: 1,0 điểm e3 x e3 x cos x cos x lim lim x x x x 3x x sin e3 x x lim 2 1.3 1.0 3 x x 2 x IV 0.25 0.25 0.5 0.5 1,0 điểm Xét SAB và SAC có AB AC ; SA chung A 90 SAB SAC SB SC SBC là tam giác cân Áp dụng định lý đường cao các tam giác SAB và SAC ta có: AB AS 2a AC AS 2a AM = ; AN 2 2 5 AB AS AC AS 4a 4a SM SA2 AM SN SA2 AN 5; Áp dụng định lý Pytago: V 0.25 SM SN VS AMN 16 VS ABC 25 Ta có các tỷ số: SB SC 16 8a 3 a 3 8a 3 3a 3 VS AMN VS ABC VABCNM VS ABC VS AMN 25 75 75 50 (đvtt) 1,0 điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 (5) x2 y z x y z x y z xy yz zx xy yz zx Ta có A x y2 z2 2 Vậy nên x y z x y z 3 x x 1 x 1; 2 Không tính tổng quát, giả sử: 2 y z ( y z ) x x y z x x 2 x x Lại có: f ( x) 2 x x 9, x 1; 2 f '( x) 4 x 6, f '( x) 0 x Xét 3 f (1) 5; f (2) 5; f 2 x 1 x 2 x 2 y 1 yz 0 x y z 3 z 0 2 Suy x y z 5 , đẳng thức xảy x y z Vậy Amax 3 x 2, y 1, z 0 các hoán vị chúng VI.a 0.25 0.25 0.25 1,0 điểm Vì C không thuộc d1 ; d nên giả sử A thuộc d1 ; d Phương trình BC: BC d1 BC : 3x y c 0 ; C BC c 10 BC : 3x y 10 0 Phương trình cạnh AC: Điểm A d1 d tọa độ điểm A là nghiệm hệ: 0.25 x y 12 0 x 3 y A 3; x y 0 x y 0 Phương trình cạnh AC: Phương trình cạnh AB: Gọi M là trung điểm BC đó M d BC , suy tọa độ điểm 0.25 3x y 10 0 M 6; M là nghiệm hệ: 2 x y 0 xB xC 2 xM x 8 B y yC 2 yM yB Tọa độ điểm B xác định bởi: B x y 7 x 11 y 0 Phương trình cạnh AB: Vậy phương trình cạnh ABC là: AB : x 11y 0; BC : 3x y 10 0; CA : x y 0 1,0 điểm I a; b I a 6b 10 Xét là tâm và R là bán kính đường tròn (C) Do 3a 4b R d1 ; d 4a 3b R Đường tròn (C) tiếp xúc với 0.25 0.25 0.25 1 0.25 (6) Từ (1); (2); (3) suy 6b 10 4b 6b 10 3b b 0 22b 35 21b 35 b 70 22 b 35 21 b 35 43 a 10 R 7 a 10 R 43 và 43 Từ (1) suy 0.25 0.25 Vậy có hai đường tròn thỏa mãn: VII.a 10 70 49 C2 : x y C1 : x 10 y 49 ; 43 43 1849 1,0 điểm Từ hệ thức đã cho suy n 6 n ! n n ! 454 Cnn 46 nAn2 454 2! n ! n 2 ! 0.25 2n3 n 9n 888 0 n 8 0.25 8 8 k 24 k 3 k 1 k 8 k k k x C8 x x C8 1 x k 0 k 0 Với n 8 , x Hệ số x4 tương ứng với 24 4k 4 k 5 8 C85 25 1 1792 Vậy hệ số x là 1,0 điểm Lấy A1 ; A2 theo thứ tự là điểm đối xứng A VI.b 0.25 0.25 0.25 qua d B ; d C A1 ; A2 BC Vậy phương trình đường thẳng A1 A2 chính là phương trình cạnh BC 0.25 Xác định A1 : Gọi d1 là đường thẳng qua A và d1 d B d1 : x y 0 E d1 d B E 1;1 A1 0;3 Gọi Vì E là trung điểm A1 A Xác định A2 : Gọi d là đường thẳng qua A và d d C d : x y 0 Gọi F d dC F 0; 3 A2 A A2 2; 5 Vì F là trung điểm Vậy phương trình cạnh BC : x y 0 1,0 điểm Gọi E là trung điểm MN ta có E(2;-1) Gọi là đường trung trực MN x y 1 0 x y 0 Suy có phương trình Gọi I là tâm đường tròn qua M, N thì I nằm trên I 3t 5; t Giả sử 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (7) Ta có IM d I , d 3t t 4t 2 2t 12t 18 0 t Từ đó suy I 4; 3 , bán kính R = IM= VII.b x y 3 50 Phương trình đường tròn 1,0 điểm Gọi abcd là số có chữ số khác đôi lấy từ các chữ số trên và chia hết cho Nếu d = thì abc có A6 120 cách chọn Nếu d = thì a có cách chọn b có cách chọn và c có cách chọn suy có 100 số Vậy G có tất 220 số Giả sử abcd G và abcd 4000 Khi đó a = 1, 2, nên a có cách chọn d có cách chọn bc có A5 20 cách chọn Vậy nên có 120 số lấy từ G nhỏ 4000 120 Xác suất là P = 220 11 -Hết - 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (8)