Tam thức bậc α β và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ DANH TUYÊN TAM THỨC BẬC (α, β) VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ DANH TUYÊN TAM THỨC BẬC (α, β) VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 Tam thức bậc (α, β) 1.1 1.2 Tam thức bậc hai 1.1.1 Các tính chất 1.1.2 Phương pháp xét dấu tam thức bậc hai Tam thức bậc (α, β) 10 1.2.1 Định nghĩa tính chất 10 1.2.2 Một số ví dụ tam thức bậc (α, β) thường gặp 13 1.2.3 Điều kiện để tam thức bậc (α, β) dương (0, +∞) 14 Các toán liên quan đến tam thức bậc (α, β) 2.1 17 Mối liên hệ tam thức bậc hai, bậc (α, 1) bất đẳng thức Bernoulli, bất đẳng thức AM - GM 17 2.2 Tam thức bậc (α, β) phân thức quy 23 2.3 Một số dạng tam thức bậc (α, β) có tính đơn điệu liên tiếp bậc (1, 2) 26 Một số áp dụng 31 3.1 Bài toán cực trị bất đẳng thức 31 3.2 Khảo sát phương trình bất phương trình 38 3.2.1 Tam thức bậc (3,1) 38 3.2.2 Khảo sát phương trình bậc ba 40 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 56 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Tam thức bậc hai chuyên đề đóng vai trị nịng cốt kiến thức tốn bậc trung học phổ thơng Hầu hết tốn ví dụ khảo sát chương trình đại số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức tốn cực trị, chương trình giải tích lớp cuối bậc phổ thông khảo sát biến thiên vẽ đồ thị, có gắn với hàm số bậc bậc hai Tuy nhiên, có nhiều dạng tốn liên quan đến biểu thức vô tỷ (ứng với lũy thừa không ngun) ta ngồi dạng tốn quy dạng bậc hai ta cần kỹ thuật khác Chẳng hạn, bất đẳng thức Bernoulli xα ≥ αx + − α, α > 1, x > α = có nguồn gốc xuất xứ từ tam thức bậc hai x2 ≥ 2x − 1, x ∈ R (ứng với α = 2) khảo sát phương pháp tam thức bậc hai α số vô tỷ Các tốn cực trị, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, khơng quy dạng bậc hai thường nội dung đề thi học sinh giỏi cấp đề thi olympic toán khu vực quốc tế Nội dung luận văn nhằm thực nhiệm vụ thầy hướng dẫn đặt khảo sát tam thức bậc (α, β) dạng f(α,β) (x) = axα + bxβ + c, α > β > 0, x > 0, trình bày tính chất bản, xét dạng tốn liên quan ứng dụng chúng Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày kiến thức tam thức bậc hai phương pháp tam thức bậc hai, định nghĩa, tính chất ví dụ tam thức bậc (α, β) dạng f(α,β) (x) = axα + bxβ + c, α > β > 0, x > Tiếp theo, khảo sát điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương R Chương khảo sát toán liên quan đến tam thức bậc (α, β) bất đẳng thức Bernoulii, bất đẳng thức AM-GM, phân thức quy dạng đơn điệu liên tiếp bậc (1, 2) để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Chương xét ví dụ áp dụng phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức tốn cực trị Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc hướng dẫn nhiệt tình, nghiêm khắc lời động viên Thầy suốt trình học tập thực Luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thị Thu Thuỷ nhiệt tình giúp đỡ góp ý q báu thời gian tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô ban giám hiệu, Phòng đào tạo Đại học sau Đại học, Khoa Toán - Tin, Trung tâm Học Liệu Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên, quý Thầy Cơ tham gia giảng dạy khố học tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu để tác giả hồn thành khố học Luận văn Trong khn khổ Luận văn, tác giả khai thác hết vấn đề ứng dụng tam thức bậc (α, β) Mặc dù cố gắng nhiều kết đạt Luận văn khiêm tốn khơng tránh khỏi sai sót Vì tác giả mong nhận nhiều ý kiến, góp ý q báu q Thầy Cơ, anh chị đồng nghiệp để Luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, 18 tháng 09 năm 2010 Người thực Trần Thị Danh Tuyên Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tam thức bậc (α, β) Nội dung chương nhằm hệ thống số tình chất tam thức bậc hai Tiếp theo tác giả giới thiệu tam thức bậc (α, β) nhằm phục vụ cho việc khảo sát toán liên quan đến tam thức bậc (α, β) xét chương 1.1 Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai chuyên đề trọng tâm chương trình đại số phổ thơng Phần lớn phương trình, bất phương trình xét chương trình tốn bậc phổ thơng đưa dạng phương trình, bất phương trình bậc hai Tam thức bậc hai mơ hình quan trọng nhằm giới thiệu cho học sinh kiến thức tốn học tính liên tục, đồng biến, nghịch biến, lồi, lõm hàm số Những kiến thức tam thức bậc hai kiến thức mà học sinh phổ thơng phải nắm vững chúng sử dụng kì thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh Đại học kì thi học sinh giỏi quốc gia Olympic quốc tế (xem [1], [2], [5]-[7]) 1.1.1 Các tính chất Trong phần hệ thống số tính chất tam thức bậc hai để sử dụng so sánh với tính chất tam thức bậc (α, β) xét sau Biểu thức f (x) = ax2 + bx + c với a, b, c ∈ R, a = 0, gọi tam thức bậc hai (của biến số x) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.1) Hàm số tương ứng f (x) = ax2 + bx + c gọi hàm số bậc hai phương trình f (x) := ax2 + bx + c = (1.2) gọi phương trình bậc hai Các bất phương trình dạng f (x) > (tương ứng f (x) < 0, f (x) ≥ 0, f (x) ≤ 0) gọi chung bất phương trình bậc hai Biến đổi tam thức bậc hai dạng f (x) = a x2 + · b b2 b2 c x+ + − 2a 4a a 4a =a x+ b 2a − ∆ , 4a2 ∆ := b2 − 4ac gọi biệt thức f (x) Nếu b = 2b1 f (x) = a x2 + · b1 b2 c b2 x + 12 + − 12 a a a a =a x+ b1 a − ∆ , a2 ∆ := b21 − ac gọi biệt thức thu gọn f (x) Định lí 1.1 (Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử) Xét tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c Khi đó: i) Nếu ∆ < f (x) khơng phân tích thành tích nhân tử bậc b ii) Nếu ∆ = f (x) = a x + 2a √ −b ± ∆ iii) Nếu ∆ > f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) với x1,2 = 2a Đặc biệt, điều kiện cần đủ để f (x) biểu thức phương (là bình phương nhị thức) đồng thời xảy a > 0, ∆ = Khi f (x) = √ a x+ b 2a Định lí 1.2 (Về nghiệm phương trình bậc hai) i) Nếu ∆ < phương trình bậc hai (1.2) vơ nghiệm ii) Nếu ∆ = phương trình bậc hai (1.2) có nghiệm x = − b 2a iii) Nếu ∆ > phương trình bậc hai (1.2) có hai nghiệm phân biệt √ √ −b − ∆ −b + ∆ x1 = , x2 = , x1 < x2 2|a| 2|a| Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chú ý 1.1 Trong trường hợp tổng quát, tức a tuỳ ý f (x) = ax2 + bx + c gọi hàm đa thức bậc khơng q Phương trình f (x) := ax2 + bx + c = gọi phương trình đại số bậc khơng q Khi a = 0, b = ta thu đa thức bậc quen thuộc Định lí 1.3 (Định lí thuận dấu tam thức bậc hai) Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c (a = 0) Khi đó: i) Nếu ∆ < af (x) > 0, ∀x ∈ R ii) Nếu ∆ = af (x) ≥ 0, ∀x ∈ R Dấu đẳng thức xảy x = − b 2a iii) Nếu ∆ ≥ • af (x) > với x thoả mãn điều kiện x < x1 x2 < x • af (x) < với x thoả mãn điều kiện x1 < x < x2 • f (x) = x = x1 x = x2 Định lí 1.4 (Định lí đảo) Điều kiện cần đủ để phương trình bậc hai f (x) = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (tức ∆ ≥ 0) tồn số α cho af (α) < Khi x1 < α < x2 Hệ 1.1 Điều kiện cần đủ để phương trình bậc hai f (x) = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , nghiệm nằm (α, β), nghiệm nằm đoạn [α, β] (với α < β) f (α) · f (β) < Định lí 1.5 (i) Khi a > tam thức bậc hai f (x) đồng biến b − ∞; − 2a − b ; +∞ nghịch biến 2a b (ii) Khi a < tam thức bậc hai f (x) đồng biến − ∞; − nghịch biến 2a b − ; +∞ 2a b ∆ Từ đẳng thức af (x) = ax + − , ta thiết lập hệ thức cho tam b b thức bậc hai f − +x =f − − x , ∀x ∈ R 2a 2a b Như đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c, (a = 0) nhận đường thẳng x = − làm 2a trục đối xứng Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Dựa vào tính chất hàm số bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, (a = 0), xét (α, β), (α < β f (α) = 0, f (β) = 0) ta có kết sau: Giả sử phương trình f (x) = có hai nghiệm x1 , x2 với x1 < x2 Khi Tính chất 1.1 Phương trình f (x) = có nghiệm x1 ∈ (α, β) af (α) > af (β) < Tính chất 1.2 Phương trình f (x) = có nghiệm x2 ∈ (α, β) af (α) < af (β) > Tính  chất 1.3 Phương trình f (x) = có hai nghiệm khoảng (α, β) ∆ >    af (α) > af (β) >     α < − b < β 2a Những tính chất giúp ta giải tốn “giải biện luận phương trình” tương ứng cách dễ dàng 1.1.2 Phương pháp xét dấu tam thức bậc hai Tuỳ theo giá trị biến số x mà tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, (a = 0) có giá trị âm, dương hay Tuy nhiên ta xét điều kiện để tam thức bậc hai dương (tức f (x) > 0) miền D (cụ thể xét D = (α, β) Các toán khác rút theo cách tương tự Ta có tốn sau: Bài tốn 1.1 Cho f (x) = ax2 + bx + c, (a = 0) miền D = (α, β) ⊂ R Tìm điều kiện để f (x) > 0, ∀x ∈ (α, β) Giải Ta có f (x) > 0, ∀x ∈ (α, β) trường hợp sau xảy ra: • Trường hợp 1: Khi ∆ < suy a > 0, tức a>0 ∆ − ∈ / (α, β), tức 2a   a>0   ∆=0  b  − ∈ / (α, β) 2a Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn • Trường hợp 3: Xét ∆ > Ta có trường hợp cần khảo sát :   a>0    ∆ > af (β) ≥     β < − b 2a   a>0    ∆ > ; af (α) ≥     − b < α 2a  ∆ > ; a 0, ∀x > Bài toán 1.3 Chứng minh phương trình hệ phương trình vơ nghiệm ln có nghiệm khoảng  ax + bx + c = y Ví dụ 1.2 Xét hệ phương trình ay + by + c = z  az + bz + c = x a = 0, (b − 1) − 4ac < Chứng minh hệ phương trình vơ nghiệm Giải Khơng tính tổng qt giả sử a > 0, (a < xét cách tương tự) Giả sử hệ có nghiệm (x0 , y0 , z0 ) Khi đó, cộng phương trình hệ vế theo vế ta nhận được: f (x0 ) + f (y0 ) + f (z0 ) = 0, f (t) = at2 + (b − 1)t + c Ta có ∆ = (b − 1)2 − 4ac < Do f (t) > 0, ∀t ∈ R, (do a > 0), nên ta thu điều vơ lý Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 1.3 Chứng minh phương trình m2 (x2 − 9) − x(x − 5) = 0, ln có nghiệm [−3, 5] với m Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... thức tam thức bậc hai phương pháp tam thức bậc hai, định nghĩa, tính chất ví dụ tam thức bậc (α, β) dạng f (α, β) (x) = axα + bxβ + c, α > β > 0, x > Tiếp theo, khảo sát điều kiện để tam thức bậc. .. lõm tam thức bậc (α, β) với bất đẳng thức cổ điển quen biết bất đẳng thức Bernoulli, Karamata, Jensen , Xét tam thức bậc (α, β) dạng f (α, β) (x) := axα + bxβ + c, α > β > Khi f (x) = αaxα−1 + βbxβ−1... quan hệ tam thức bậc (α, β) với phương trình bậc ba phân thức quy 3.2.1 Tam thức bậc (3,1) Nhận xét đa thức bậc ba khuyết bậc bậc hai trường hợp riêng tam thức bậc (α, β) Đặc biệt, đa thức bậc ba