PHẦN RIÊNG 3,0 điểm: Thí sinh chỉ làm một trong hai phần phần A hoặc phần B A.Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a 1,0 điểm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua [r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI A, A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x 2(2m 1) x (5m 10m 3) x 10m 4m (1) , ( với m là tham số) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m 1 b) Tìm tất các giá trị m để hàm số (1) có hai cực trị và các giá trị cực trị hàm số (1) trái dấu Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: (2sin x 1)(cos x sin x ) 2sin 3x 6sin x 2cos x 0 ( x ) 2cos x x x y y 0 ( x, y ) 2 x y x y 22 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: Câu (1,0 điểm) Tìm tất các giá trị m để bất phương trình: x 2; x x m x x 0 có nghiệm Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a, AB BC a, SB 2a , hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm O AD Trên các cạnh SC, SD lấy các điểm M, N cho SM 2 MC , SN DN Mặt phẳng qua MN, song song với BC cắt SA, SB P, Q Tính thể tích khối chóp S.MNPQ theo a Câu (1,0 điểm) Cho các số dương x, y, z thoả mãn: x( x 1) y ( y 1) z ( z 1) 6 Tìm giá trị 1 A x y y z z x nhỏ biểu thức: II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d qua M(3;1) và cắt trục Ox, Oy A và B cho tam giác IAB cân I(2;-2) log x 20log 81 x3 40log9 x 0 Câu 8.a (1,0 điểm) Giải phương trình: Câu 9.a (1,0 điểm) Có tất bao nhiêu số tự nhiên có chữ số mà các số đó, chữ số đứng trước nhỏ chữ số đứng sau nó (kể từ trái qua phải) B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn C : ( x 1)2 ( y 1) 20 Biết AC=2BD, điểm B có hoành độ dương và thuộc đường thẳng d : x y 0 Viết phương trình cạnh AB hình thoi Câu 8.b (1,0 điểm) Tìm giới hạn: 3x x x I lim n Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm hệ số x10 khai triển ( x x ) , (x >0, n nguyên dương) biết tổng tất các hệ số khai triển 2048 - Hết - (2) Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN - KHỐI A, A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đáp án gồm: 07 trang I Hướng dẫn chung Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án đúng thì cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải thống thực toàn Hội đồng chấm thi II Đáp án – thang điểm Câu Thang điểm 7,0 điểm 1,0 điểm Nội dung trình bày I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1 Với m=1, hàm số (1) có dạng y x x 12 x TXĐ: D Sự biến thiên: 2 + Chiều biến thiên: y ' 3x 12 x 12 3( x 2) 0 x, y ' 0 x 2 Câu Hàm số đồng biến trên + Cực trị: Hàm số không có cực trị lim y ,lim y x + Giới hạn: x +Bảng biến thiên: x y’ + 0,25 0,25 + y Đồ thị: y '' 6( x 2), y '' 0 x 2, y (2) 0 Một số điểm thuộc đồ thị: (1;-1), (3;1), (2;0), Đồ thị nhận I(2;0) là tâm đối xứng Đồ thị: 0,25 (3) y 1 -1 x -1 -2 b) Tìm tất các giá trị m để các giá trị cực trị hàm số (1) trái dấu Hàm số (1) có hai cực trị mà giá trị cực trị trái dấu đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox điểm phân biệt Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2(2m 1) x (5m 10m 3) x 10m 4m 0 (2) 0,25 1,0 điểm 0,25 ( x 2)( x 4mx 5m2 2m 3) 0 x 2 2 (3) x 4mx 5m 2m 0 Phương trình (2) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm phân ' 4m (5m 2m 3) biệt khác 4 8m 5m 2m 0 m m 1 m 3;1 \ thì các giá trị cực trị hàm số trái dấu Vậy với Giải phương trình: (2sin x 1)(cos2 x sin x) 2sin x 6sin x 2cos x 0 ( x ) 2cos x 3 cos x x k 2 , k Điều kiện: Câu 2 Khi đó, PT (2sin x 1)(cos2 x sin x) 2sin x 6sin x 4cos x 0 (2sin x 1)(1 2sin x sin x) 2(3sin x 4sin x) 6sin x 4sin x 0 4sin x 4sin x 3sin x 0 (2sin x 1)(2sin x 3sin x 3) 0 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm 0,25 0,25 (4) 0,25 x k 2 1 sin x k x 7 k 2 x k 2 Kết hợp điều kiện có không thỏa mãn 7 x k 2 , k Vậy phương trình có họ nghiệm là Câu 2 x x y y 0 2 Giải hệ phương trình: x y x y 22 0 ( x 2)2 ( y 3)2 4 2 Hpt ( x 4)( y 3) x 20 0 0,25 ( x , y ) 1,0 điểm 0,25 x u Đặt y v 0,25 u v 4 u 2 u 0 v 0 v 2 Khi đó ta u.v 4(u v) 8 x 2 x x x y 3 y 3 y 5 y 5 ; ; ; KL: nghiệm hpt đã cho là: Câu 0,25 2;3 , 2;3 , 2;5 , 2;5 Tìm tất các giá trị m để bất phương trình: x 2; x x m x x 0 có nghiệm ĐK: x Đặt x x t t x 2 1 2x t ( x ) 0, x [2;2 3] x 2; 2 x x Vì và nên t 1;2 t2 m t Bpt đã cho có nghiệm Bất phương trình trở thành x 2; t2 m Bpt t có nghiệm t 1;2 t 1;2 t2 f (t ) t Xét với t 7 f (t ) 0, t 1;2 f (t ) f (1) [1;2] t Vậy m là các giá trị cần tìm 0,25 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 (5) Câu Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a, AB BC a, SB 2a , hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm O AD Trên các cạnh SC, SD lấy điểm M, N cho 1,0 điểm SM 2MC , SN DN Mặt phẳng qua MN và song song với BC cắt SA, SB P, Q Tính thể tích khối chóp S.MNPQ theo a Hình vẽ: Học sinh không vẽ hình vẽ hình sai không chấm điểm S N P O A Q B M D C Do SO ( ABCD), OA OB OC OD a SO 2a a Do AD 2 BC S ABD 2S BCD S BCD S ABCD VS BCD VS ABCD ,VS ABD VS ABCD 3 3a 1 3a 3a S ABCD 3S AOB VS ABCD SO.S ABCD a 3 4 (đvtt) SP SN SQ SM , Có MQ // BC, NP // BC nên SA SD SB SC VS MNQ SM SN SQ 2 2 VS MNQ VS BCD VS ABCD VS BCD SC SD SB 3 9 27 VS PNQ VS ABD Suy Câu SP SN SQ 1 1 VS PNQ VS ABD VS ABCD SA SD SB 2 6 VS MNPQ VS MNQ VS PNQ 5 3a3 5a3 VS ABCD 27 27 36 (đvtt) Cho các số dương x, y, z thoả mãn: x( x 1) y ( y 1) z ( z 1) 6 Tìm giá trị 1 A x y y z z x nhỏ biểu thức: x( x 1) y ( y 1) z ( z 1) 6 x y z ( x y z ) 6 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm (6) 18 ( x y z ) 3( x y z ) x y z 6 x y x 6 y z 1 z x 1 y z 25 25 5; Ta có: ; z x 1 x y 1 x y 1 25 2( x y z ) 6 2( x y z ) 3 A A 25 5 25 Amin x y z 2 Dấu “=” xảy và x y z 2 Vậy 0,25 0,25 0,25 0,25 Cách khác: Đặt t x y z , t ( x y z)2 t2 x y z t 6 t (0;6] 3 Sử dụng BĐT 1 , a, b, c a b c a b c Chứng minh và áp dụng kết này ta A 2 9 f (t ) 2t Xét 2t trên (0;6], suy kết bài toán II PHẦN RIÊNG: Thí sinh làm hai phần (phần A B) PHẦN A: Theo chương trình Chuẩn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d qua M(3;1) và cắt trục Ox, Oy A và B cho tam giác IAB cân I(2;-2) Câu 7.a Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A(a;0), B(0;b), (a, b 0) x y 1 Phương trình đường thẳng d có dạng: a b 1 (1) Do d qua M(3;1) nên a b Đồng thời, IAB cân I nên IA IB 3,0 điểm 1,0 điểm 0,25 0,25 (a 2) (0 2)2 (0 2) (b 2) a b a b a b Với a b , thay vào (1) ta a 2; b nên phương trình đường thẳng d là x y 0 a; b (6; 2) Với a b 4, thay vào (1) ta (a; b) (2; 2) Từ đó, phương trình đường thằng d là x y 0 x y 0 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là d : x y 0 d : x y 0 0,25 0,25 (7) Câu 8.a 1,0 điểm 0,25 log x 20log81 x 40log x 0 Giải phương trình: Điều kiện: x (0; ) PT 2log x 60log81 x 20log x 0 Khi đó, 2log x 15log x 10log x 0 log x 7 x 3 Vậy x =3 là nghiệm phương trình Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số mà chữ số đứng trước nhỏ chữ số đằng sau nó a b c d e f Giả sử số cần tìm có dạng abcdef Câu 9.a Câu 7.b Số chọn không có chữ số 0, vì giả sử có chữ số thì số đó phải có dạng 0bcdef , b, c, d , e, f 1; 2; ;9 (không thỏa mãn) Với cách chọn chữ số, có cách tạo thành số có chữ số cho chữ số đứng trước nhỏ chữ số đằng sau nó Số các số có chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là số cách chọn chữ A 1; 2;3;4;5;6;7;8;9 số thuộc tập Vậy có C9 84 số thỏa mãn yêu cầu bài toán PHẦN B: Theo chương trình Nâng cao Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn C : ( x 1)2 ( y 1) 20 Biết AC=2BD, điểm B có hoành độ dương và thuộc đường thẳng d : x y 0 Viết phương trình cạnh AB Đường tròn (C) có tâm I (1; 1), bán kính R 2 Đặt BI x,( x 0) Do AC 2 BD AI 2 BI 2 x 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm B H d 0,25 A I C Kẻ IH AB IH R 2 D 1 1 1 x 5 ( Do x 0) 2 IB IH 4x x 20 Trong AIB có: IA Suy IB 5 Gọi B(t ;2t 5), (t 0) t 4 (tm) Do IB 5 (t 1) (2t 4) 25 t (ktm) Với t 4 B(4;3) Phương trình cạnh AB có dạng: 2 a( x 4) b( y 3) 0 ( a b 0) 0,25 (8) Có : d ( I ; AB ) IH R 3a 4b 0,25 2 a b2 a 2b 2 11a 24ab 4b 0 a b 11 Với a 2b, chọn a 2, b 1 , phương trình AB là: x y 11 0 Câu 8.b Câu 9.b a b, 11 chọn a 2, b 11 , phương trình AB là: x 11y 41 0 Với Vậy phương trình cạnh AB là x y 11 0 x 11y 41 0 3x I lim x x Tìm giới hạn: 0,25 1,0 điểm 0,25 x eln I lim x x Ta có x ln e 1 I lim x x x ln e 1 I lim ln x x.ln I 1.ln ln 0,25 0,25 n Tìm hệ số x10 khai triển ( x 3x ) , (x >0, n nguyên dương) biết tổng các hệ số khai triển 2048 Do tổng các hệ số khai triển là –2048 nên ta có: Cn0 3Cn1 32 Cn2 ( 1) n 3n Cnn 2048 (1 3) n 2048 n 11 11 Ta có khai triển: 11 k 11 k 2 11 k ( x 3x ) C x ( 3x ) k 0 Hệ số x10 khai triển tương ứng với 3 Vậy hệ số cần tìm là ( 1) C11 4455 22 11 k 11 11 k C ( 1) 11 k .3 .x 22 k 0,25 1,0 điểm 0,25 0,25 k 0 k 10 k 8 Hết - 0,25 0,25 (9)