1.TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BAÛNG NGUYÊN HÀM 1.OÂN TAÄP: Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.. Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm [r]
(1)TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN NGUYEÂN HAØM 1.TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BAÛNG NGUYÊN HÀM 1.OÂN TAÄP: Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng các nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân 2.BAØI TAÄP: BÀI Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: f ( x ) x –3x x a d f ( x) b f ( x) ( x 1)2 x x f ( x) c e f ( x ) x x x f ( x ) 2sin 2x4 f (x) f x x2 x x x 2 h f ( x ) tan x i f ( x ) cos x cos x f ( x) f (x) sin x.cos2 x sin x.cos2 x k l m f ( x ) 2sin x cos x e x x f ( x ) e x x x 1 f ( x ) e e – cos x n o p f ( x ) e BÀI Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: g a f ( x ) x x 5; c e g f ( x) f (x )= x3 x b f ( x ) 3 5cos x; F (e) 1 ; d F ( 2) 0 f ( x ) sin x.cos x; f ( x) i 5x ; x F (1) 3 F ' 0 3 x 3x3 3x ( x 1) f ; h F (0) 8 f (x) x2 1 ; x f ( x) x x f ( x) F (1) x ; 3x x f ( x ) sin F ( ) 2 x2 x ; F (1) ; F (1) 2 F 2 k BÀI Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: g( x ) x cos x x ; f ( x ) x sin x; F 3 2 a b g( x ) x sin x x ; f ( x ) x cos x; F ( ) 0 F (2) c g( x ) x ln x x ; f ( x ) ln x; BÀI Chứng minh F(x) là nguyên hàm hàm số f(x): GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (2) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN F ( x ) (4 x 5)e x f ( x ) (4 x 1)e x a F ( x ) tan x 3x f ( x ) 4 tan5 x tan3 x b x2 F ( x ) ln x x f (x) ( x 4)( x 3) c x2 x 1 F ( x ) ln x x 1 f ( x ) 2( x 1) x4 1 d Tìm điều kiện để F(x) là nguyên hàm hàm số f(x): F ( x ) ln x mx F ( x ) mx (3m 2) x x Tìm m 2x Tìm m f (x) f ( x ) 3 x 10 x x 3x a b F ( x ) (ax bx c) x x F ( x ) (ax bx c)e x Tìm a, b, c Tìm a, b, c f ( x ) ( x 2) x x f ( x ) ( x 3)e x c d x F ( x ) (ax bx c)e F ( x ) (ax bx c)e x Tìm a , b , c Tìm a, b, c 2x x f ( x ) (2 x x 7) e f ( x ) ( x x 2) e e f b c F ( x ) (a 1)sin x sin x sin x Tìm a, b, c f ( x ) cos x g F ( x ) (ax bx c) x Tìm a, b, c 20 x 30 x f ( x ) 2x h 2.TÌM NGUYÊN HAØM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN 1.OÂN TAÄP: BÀI Daïng 1: Neáu f(x) coù daïng: f(x) = g u( x ) u '( x ) thì ta ñaët t u( x ) dt u '( x )dx f ( x )dx = g(t)dt , đó g(t)dt dễ dàng tìm Khi đó: g(t)dt Chuù yù: Sau tính theo t, ta phaûi thay laïi t = u(x) Dạng 2: Thường gặp các trường hợp sau: f(x) có chứa a2 x a2 x Cách đổi biến x a sin t, t 2 t x a cos t, x a tan t, t 2 t x a cot t, 2.BAØI TAÄP: GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (3) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BÀI Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): dx (5 x 1)dx a b (3 x ) d (2 x 1) xdx g k e x 1.xdx h sin x cos xdx ( x 5) x dx 3x x3 sin x l cos x e x dx ex x.e x o ln3 x x dx q dx n a d 4 x x e 2 x dx 1 x 2 u dv x dx P(x) x e dx i dx dx x (1 x )2 m cos x 1 dx x dx dx x e p x dx etan x s cos x c g h x x 3.TÌM NGUYÊN HAØM BẰNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: 1.OÂN TAÄP: Với P(x) là đa thức x, ta thường gặp các dạng sau: P( x ).e f x b (1 x ) dx x tan xdx dx (1 x )3 2 dx x r e BÀI Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): dx dx 2xdx c dx x dx dx f 1 x x i x 1.dx P( x ).cos xdx P( x ).sin xdx P( x ).ln xdx P(x) cos xdx P(x) sin xdx lnx P(x) 2.BAØI TAÄP: BÀI Tính caùc nguyeân haøm sau: x.sin xdx a x cos xdx b ( x 5)sin xdx c x sin xdx e x cos xdx f (x d g x 3) cos xdx x x.e dx h x x e dx ln xdx i x ln xdx k ln2 xdx l ln( x 1)dx m x tan2 xdx n x cos2 xdx o x cos xdx p GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (4) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN x ln(1 x )dx q BÀI Tính caùc nguyeân haøm sau: e a x b ln(ln x ) dx x g BÀI Tính caùc nguyeân haøm sau: e x cos xdx a ln(cos x ) dx d cos x dx sin x dx c x x.sin e x dx x ln x x x lg xdx s ln xdx dx cos d x.2 x dx r sin f x dx xdx sin(ln x )dx h cos(ln x )dx i e x (1 tan x tan2 x )dx b ln(1 x ) dx x e e x sin xdx c x dx f cos x x3 ln x x dx i dx x2 1 g h x 4.TÌM NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP NGUYEÂN HAØM PHUÏ: 1.OÂN TAÄP: Để xác định nguyên hàm hàm số f(x), ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm các hàm số f(x) g(x) dễ xác định so với f(x) Từ đó suy nguyên hàm f(x) Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác định nguyên hàm các hàm số f(x) g(x), tức là: F ( x ) G( x ) A( x ) C1 (*) F ( x ) G( x ) B( x ) C2 F( x) A( x ) B( x ) C laø nguyeân haøm cuûa f(x) Bước 3: Từ hệ (*), ta suy 2.BAØI TAÄP: BÀI Tính caùc nguyeân haøm sau: sin x cos x sin x cos x dx sin x cos x dx a b cos x sin x cos x dx d sin x 4 e sin x cos x sin x c dx sin x cos x dx cos4 x 4 f sin x cos x ex x x dx i e e dx sin2 x.sin xdx cos2 x.sin xdx g h e x ex e x x x dx x x dx x x dx k e e l e e m e e 5.TÌM NGUYEÂN HAØM CUÛA MOÄT SOÁ NGUYEÂN HAØM THÖÔNG GAËP: 1.OÂN TAÄP: P( x ) f ( x) Q( x ) f(x) là hàm hữu tỉ: GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (5) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN – Nếu bậc P(x) bậc Q(x) thì ta thực phép chia đa thức – Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định) A B ( x a)( x b) x a x b Chaúng haïn: ( x m)(ax bx c) 2 ( x a) ( x b) A Bx C , với b2 4ac x m ax bx c A B C D x a ( x a) x b ( x b)2 f(x) laø haøm voâ tæ ax b ax b R x, m t m cx d cx d + f(x) = ñaët R ( x a)( x b) t x a x b + f(x) = ñaët f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa các nguyên hàm Chẳng hạn: sin(a b) sin ( x a) ( x b) 1 sử dụng sin(a b) + sin( x a).sin( x b) sin(a b) sin( x a).sin( x b) , sin ( x a) ( x b) 1 + cos( x a).cos( x b) sin(a b) cos( x a).cos( x b) , sin(a b) sử dụng sin(a b) cos(a b) cos ( x a) ( x b) 1 sử dụng cos(a b) + sin( x a).cos( x b) cos(a b) sin( x a).cos( x b) , + Neáu R( sin x ,cos x ) R(sin x ,cos x ) thì ñaët t = cosx + Neáu R(sin x , cos x ) R(sin x ,cos x ) thì ñaët t = sinx + Nếu R( sin x, cos x ) R(sin x,cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) 2.BAØI TAÄP : BÀI Tính caùc nguyeân haøm sau: dx x( x 1) a dx ( x 1)(2 x 3) b dx d x x 10 x ( x 1)(2 x 1)dx g dx k x ( x 1) BÀI Tính caùc nguyeân haøm sau: GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG x2 1 dx c x dx e dx x x x h x x dx l x f dx x x3 i x x dx x dx m x 3 TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (6) TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN a x d g x x dx b x x dx e dx x x 2 x 3 sin x sin xdx a cos x 1 sin x cos x dx d sin x g h dx k (2 x 1) x BÀI Tính caùc nguyeân haøm sau: cos x x 1 dx cos x cos x cos3 xdx k GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG l dx x x x dx x dx 1 x x cos x sin xdx b dx 2sin x e sin x h cos x dx cos3 xdx l c x dx x f x( x 1)dx i 3 x x dx x dx x2 5x m dx x2 6x (tan2 x tan x )dx c dx cos x f dx cos x cos x 4 i sin xdx m TỔ: TOÁN – LÍ – TIN (7)