Phương pháp: Để tính tỉ số thể tích hai phần của 1 khối đa diện H được phân chia thành H1 , H2 bởi mặt phẳng ta lựa chọn một trong hai cách sau đây: Cách 1: Thực hiện theo các bước s[r]
(1)KIẾN THỨC CƠ BẢN GIẢI TÍCH CHƯƠNG I Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Bài tập A/ Bài tập mẫu : 1/ Xét đồng biến, nghịch biến các hàm số: a) y= –2x3 +9x2 +24x –7 Giải: a) Miền xác định: D= b/ y x y x 4 y x 18 x 24 , cho Bảng biến thiên: x – –1 y – x2 x 1 1 x + + – y Hàm số nghịch biến các khoảng: ( ; 1),(4; ) Hàm số đồng biến khoảng: (–1;4) \ 1 b) Miền xác định: D= x2 2x x 0 y y 0 x , cho x 2 Bảng biến thiên: x y – + + + – y Hàm số đồng biến các khoảng: (0;1) và (1;2) Hàm số số nghịch biến các khoảng: ( ;0) va (2; ) Ví dụ : Định m để hàm số: y= x3– 3mx2+ (m+2)x– m đồng biến trên Giải: Miền xác định: D= y = 3x2– 6mx+ m+ Điều kiện đủ để hàm số đồng biến trên là y’0 x 3x2– 6mx+ m+ 0 x a 2 m 1 m 1 0 9m2 – 3m– 6 Vậy hàm số đồng biến trên B/ BÀI TẬP TỰ GIẢI 1) Xét tính đơn điệu hàm số (2) a) y = x3+3x2+1 b) y = 2x2 - x4 c) y = x −3 x +2 d) y= x −4 x+ 1− x e) y = x +2sinx trên (- ; ) g) y = √ x (x −5) h) y = x33x2 x 3x y x i) 2 j) y= x42x2 k) y = x + x 3x l) y x x m) y x x 2) Cho hàm số y = f(x) = x33(m+1)x2+3(m+1)x+1 Định m để hàm số :Luôn đồng biến trên khoảng xác định nó.Kq:1 m mx −1 3) Định mZ để hàm số y = f(x) = đồng biến trên các khoảng xác định nó Kq: m = x−m 4) Chứng minh : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên khoảng xác định) nó : x−1 x − x −1 a) y = x33x2+3x+2 b) y= c) y= x +1 x −1 x 5) Tìm m để hàm số y= − ( m −1 ) x − ( m− ) x Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định nó x −2 mx +m+2 6) Tìm m để hàm số : y= luôn đồng biến trên khoảng xác định nó x−m Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I/Tóm tắt lý thuyết: Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị x0 và có đạo hàm x0 thì f / (x0)=0 Daáu hieäu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (x0 – h; x0 + h) với h > +Nếu y/ đổi dấu từ dương sang âm qua x0 hàm số đạt cực đại x0, +Nếu y/ đổi dấu từ âm sang dương qua x0 hàm số đạt cực tiểu x0 Qui tắc tìm cực trị = dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Tính : y/ = , tìm nghiệm ptr y/ = Tính giá trị hàm số các nghiệm vừa tìm (nếu có) + BBT : (sắp các nghiệm PT y/ = và giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Kết luận cực trị ? Chú ý: 1) Nếu hàm số luôn tăng ( giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b) 2) Số cực trị hàm số số nghiệm đơn phương trình y/ = y / (x ) 0 / y (x) đổi dấu qua x 3) Nếu f(x) có đạo hàm x0 và đạt cực trị x0 Daáu hieäu II: Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II (a;b), x0 (a;b) y / (x ) 0 // y (x ) thì hàm số đạt cực tiểu x0 +Nếu +Nếu Qui tắc tim cực trị = dấu hiệu II: + MXÐ + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = => các nghiệm x1 , x2 … ( có ) y / (x ) 0 // y (x0 ) thì hàm số đạt cực đại x (3) + Tính y// = ? y//(xi), i 1, n Nếu y//(xi) > thì hàm số đạt CT xi Nếu y//(xi) < thì hàm số đạt CĐ xi Chú ý : *Dấu hiệu II dùng cho trường hợp mà y/ khó xét dấu Một số dạng bài tập cực trị thường gặp a 0 0 Để hàm số bậc có cực trị (có cực đại, cực tiểu) y’= có hai nghiệm phân biệt y ' Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại, cực tiểu): y’= có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm u ( x) y v( x) đạt cực trị x0 thì y/(x0)= và giá trị cực trị y(x0) mẫu Tìm cực trị hàm hữu tỉ : Nếu h/s u(x ) v '(x ) = Điều kiện để hàm bậc có cực trị : y/ = có nghiệm phân biệt Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục tung yCĐ yCT xCĐ xCT Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành yCĐ yCT yCĐ yCT Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành yCĐ yCT yCĐ yCT Để đồ thị hàm số y f x tiếp xúc với trục hoành yCĐ yCT 0 Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Dạng 1: hàm số y ax bx cx d Lấy y chia cho y’, thương là q(x) và dư là r(x) Khi đó y = r(x) là đường thẳng qua điểm cực trị Dạng 2: Hàm số y ax bx c dx e ax y Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Áp dụng quy tắc 1/ Tìm cực trị hàm số sau: y= –x4+ 2x2– Giải: bx c ' dx e ' 2a b x d d x 0 x 1 x Miền xác định: D= y = – 4x3+ 4x= 4x(–x2+ 1) Cho y = Bảng biến thiên: x –1 + y + – + – (4) y –2 –2 –3 Hàm số đạt cực đại x = –1 và x = 1; yCĐ= –2 , đạt cực tiểu x = 0; yCT = –3 Áp dụng quy tắc 2/ Tìm các điểm cực trị hàm số: y= x– 2sin2x Miền xác định: D= y = 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x x 12 k k x 5 k y =0 sin2x= 12 y = – 4cos2x y k cos k 2 x k 12 6 = –2 <0 Vậy: 12 , k là điểm cực đại 5 5 5 y k cos k 2 x k 12 = >0 Vậy: 12 , k là điểm cực tiểu Một số bài toán có tham số Với giá trị nào tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu x 2m x m y y m x x mx m x 1 1) 2) Giải y m x 3x mx m 1) Tập xác định: D y ' 3 m x x m Đạo hàm: g x 3 m x x m 0 Hàm số có cực đại và cực tiểu y ' 0 hay có hai nghiệm phân biệt m m 0 m ' 9 3m m 3 m 2m 3 m Vậy giá trị cần tìm là: m và m x 2m x m y x 1 2) Tập xác định: D \ 1 y' Đạo hàm: x x m2 x 1 g x x x m 0 y ' Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác –1 ' 1 m m g 1 m 0 m 1 1 m 1 m Vậy giá trị cần tìm là: Với giá trị nào tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị (5) mx x m y xm 2) y m 3 x3 2mx 1) Giải y m 3 x3 2mx 1) Tập xác định: D y ' 3 m 3 x 4mx Đạo hàm: y ' 0 m 3 x 4mx 0 (1) m Xét : y ' 0 12 x 0 x 0 y ' đổi dấu x qua x0 0 Hàm số có cực trị m 3 không thỏa Xét m 3 : Hàm số không có cực trị y ' không đổi dấu m 0 m 3 phương trình (1) vô nghiệm có nghiệm kép ' 4m 0 m 0 m 0 Vậy giá trị cần tìm là m 0 3/Xác định m để hàm số: Giải: D R \ m *TXĐ: x 2mx m / y x m * y x mx x m đạt cực đại x=2 m2 4m m 0 m m *Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại x=2 là: y/(2)=0 x 0 x2 2x y/ ; y/ x 2 x 1 *Với m=-1 xét dấu y/ (lập bảng biến thiên) m= -1 không là giá trị cần tìm x 4 x2 6x / y/ ; y x 2 x 3 *Với m=-3 xét dấu y/ (lập bảng biến thiên) m=-3 là giá trị cần tìm B/ Bài tập đề nghị: Tìm cực trị các hàm só 3 x −4x 1) y = 2x -3x + 2) y = 5) y = -2x3 + 3x2 + 12x – 6) y = x5 – 3x4 - 3x3 9) y = x4 + 2x2 + 2 13) y x x 17) y = x +2sinx x −2 x+ x −2 x+2 14) y = x −1 sin x 18) y=2sinx 10) y = 3) y = x (1-x) 7) y = -x3 -3x + 11) y = x + 4) y 8) y = − x 9x x +x x x 12) y x x x 15) y = x −1 19) y x 2cosx 16) y = x - x 20)y = sin2x - cosx (6) 2: Định m để y= x −3 mx 2+ ( m2 −1 ) x − ( m2 −1 ) đạt cực đại x=1 x4 3: Cho hàm số y= −ax +b Định a,b để hàm số đạt cực trị –2 x=1 Tìm m để hàm số: 1) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + đạt cực trị x = ĐS : m = 1 2) y= mx +(m −2)x +(2 − m) x +2 đạt cực trị x = -1 ĐS : m = 3 3) y = x3 – mx2 – mx – đạt cực tiểu x = ĐS : m = 4) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + đạt cực đại x = -2 ĐS : m = 7/2 x +2 x +m 5) y= đạt cực tiểu x = ĐS : m = x+ Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu m 2 1) y= x +mx +(12− m) x+2 2) y= x − x +(3 m+1) x − 3 x − mx+2 x 2+2 x +m mx 2+ x +m 3) y= 4) y= 5) y= x −1 x+ x +m Tìm m để hàm số: 1) y = x4 – mx2 + có cực trị ĐS: m > 2) y = x4 – (m + 1)x2 – có cực trị ĐS : m < - 3) y = mx + (m – 1)x + – 2m có cực trị ĐS : < m < x a (1 a ) x a3 y xa Chứng minh với giá trị a, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN h/s trên [a;b]: + Đạo hàm : y/ = ? Tìm nghiệm y/ = thuộc (a;b) ( có ) giả sử phương trình có các nghiệm là x1 , x2 … + Tính y(a), y(b), y(x1), y(x2) ……… + So sánh các giá trị vừa tính Chú ý: max y [a;b] số lớn nhất, y [a;b] số nhỏ max y f (b); y f (a) [a;b] * Nếu hàm số luôn tăng trên (a;b) và liên tục trên [a;b] thì [a;b] max y f (a); y f (b) [a;b] * Nếu hàm số luôn giảm trên (a;b) và liên tục trên [a;b] thì [a;b] 3.2 P/pháp tìm GTLN GTNN h/s trên (a;b) MXÐ : + Tìm TXÐ trường hợp chưa biết TXĐ + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = tìm nghiệm phương trình ( có ) + BBT: bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ Chú ý: * Nếu trên toàn miền xét h/s có CT thì GTNN giá trị CT ( y Y CT D max y y * Nếu trên toàn miền xét h/s có CĐ thì GTLN giá trị CĐ ( D * Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có giá trị LN, NN trên (a;b) II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Bài : ) CD ) (7) Tìm giá trị lớn và nhỏ (nếu có) hàm số Ta có : TXĐ D (0; ) y ln x x 1 1 1 1 y ( ), y 0 ( ) 0 x 4 x x x x x x Bảng biến thiên : x y + y 2ln2 - Maxy y(4) 2 ln Vậy : (0;) và hàm số không có giá trị nhỏ Bài 0; Tìm GTLN và GTNN hàm số f(x) = cos x 4sin x trên đoạn y cos x 4sin x sin x 4sin x 2 sin x 4sin x π nên t ∈ [ ; ] +Hàm số trở thành y=− √ t + t + √2 , t ∈ [ ; ] ' ' √2 + y =− √ 2t +4 ; y =0 ⇔t= ∈ [ ; ] + y √ =2 √ ; y ( )=√ 2; y ( 1)=4 − √ + Đặt t=sin x ; t ∈ [ − 1; ] Do [ ] x∈ 0; (2) So sánh các giá trị này ta GTLN là √ t = Bài Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y' y √2 và GTNN là s inx ; x 0; 2+cosx 2cosx+1 2+cosx y ' 0 cosx=- 2 y y 0; y Max y x 2 3 3 2 x= 3 y 0 Bài Tìm giá trị lớn ,nhỏ hàm số: y = √ − x2 x=0; x= √ t =0 (8) TXĐ : D = 2; 2 −x √ − x2 / / y = ⇔ x = ,y kxđ ⇔ x=± y(0) = ,y(2) = 0, y(-2) = KL đúng GTLN,GTNN Tính y/ = Bài Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y Ta có : ex , x [ln ; ln 4] x (e e) y y(ln2) 2e [ln ; ln 4] ex y ex e trên đoạn [ln ; ln 4] Maxy y(ln 4) 4e [ln ; ln 4] Bài : Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số: f(x) = x x + Tập xác định: D = [ – √ ; √ ] x2 x x + √2 − x f’(x) = – = x2 x x 2 x x x 0 x x = + f’(x) = + f(1) = 2, f(– √ ) = – √ , f( √ ) = √ GTLN 2, GTNN √ Bài 7: Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số y = 2x 3x 12x trên [ 1; ] TX§: D 1;2 x 1 y ' 6 x x 12; y ' 0 x x 12 0 x 1;2 f ( 1) 15; f (1) 5; f (2) 6; Max y 15 t¹i x 1; Min y t¹i x 1 1;2 1;2 Bài 8: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y=√ 24 x +1 trên đoạn ❑ 12 >0 ; ∀ x ∈ [ ; ] ⇒ Hàm số đồng biến trên đoạn [0; 1] Tính y = √24 x+1 y (0)=1 ; y (1)=5 max y=5 x = 1; y=1 x = x ∈ [ ;1 ] x ∈ [ ;1 ] Bài 9: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau y x y / 1- x trên 4; 1 x2 [ ; 1] (9) Maxy 1; Miny 4; 1 Vậy -4;-1 Bài 10Tìm giá trị lớn và bé hàm số f(x) = x ❑4 -36x ❑2 +2 trên đoạn [ −1 ; ] f(x) = x ❑4 - 18x ❑2 +2 trên đoạn [ −1 ; ] ⇔ x=0 ∈ [ −1 ; ] ¿ x=3 ∈ [ −1 ; ] ¿ ‘ x=−3 ∉ [ − 1; ] (loai) f (x) = x −36 x = ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ f(0) = 2; f(3) = -79; f(-1) = -15; f(4) = -30 Vậy max f (x)= ; f ( x)=− 79 [ −1 ;4 ] [ − ;4 ] Bài 11 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = cos 2x - trên đoạn [0; π] Giải : Trên đoạn [0; π], hàm số y = cos2x -1 liên tục và: y’ = -2 sin 2x ¿ ' y=0 x ∈(0; π )ư * π ⇔ x= ¿{ ¿ π * y(0) = 0, y(π) = 0, y( ) = -2 max y 0 x 0 x ; [0; ] y x [0; ] x 0; 2 Bài 12: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số f ( x) xe trên đoạn f '( x) e x xe x e x (1 x ) f '( x) 0 x 1 0; f (0) 0, f (2) 2e , f (1) e maxf(x)=e-1 x 0;2 f(x)=0 x 0;2 Suy x = 1; x = Bài 13:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: (10) 3 1 2; 0; 2 a) y= 2x3– 3x2– 12x+ trên b/ y= x2 + x Giải: 3 2; y = 6x2 –6x –12 cho y = x= –1 ( nhận) a) Xét x max f ( x ) 8 f ( x ) 17 3 3 x 2; x 2; Ta có: f(–2) = –3, f(–1) = , f( )= –17 Vậy: , 2 x3 0; y = x– x = x cho y = x= b) Xét x Bảng biến thiên: x y – + y 3 f ( x ) f (1) Hàm số không có giá trị lớn 0; Vậy: x(0;) B/ Bài tập tự giải: 1) Tìm GTLN và GTNN hàm số a) y = x3 – 3x2 + trên đọan [-1 ; 1] c) y = x4 – 2x2 + trên đọan [-3 ; 2] x+ e) y = trên đọan [2 ; 5] x −1 g) y = x trên (0 ; 2] x x +2 x 2+ x − trên đọan [-4 ; 0] d) y = -x4 + 2x2 + trên đọan [0 ; 3] f) y = trên đoạn [1;2] x x −3 x+1 h) y = trên đọan [1 ; 4] x +1 b) y = i) y = k) x +5 x + x+ trên đọan [-3 ; 3] f x x 2cosx m) 0; trên đoạn j) r) y = x + x2 x x sin x l) y=2sinx 2 sin x −1 y= √ cos x +2 p) y 3 x 10 x f x x trên đoạn 2; 4 trên đoạn [0;] n) y = sinx – cosx q) s) y x x y x x 2 trên đọan [-8 ; 6] u) f (x) x ln(1 2x) trên đoạn [-2; 0] x2 x −4 x+ v) y = f(x) = với x<1 x) y = x −1 x + x +1 2) Định m để hàm số y = f(x) = x33(m+1)x2+3(m+1)x+1 đđồng biến trên tập xác định t) y = √ 100− x Bài 4: TIỆM CẬN (11) I/ Tóm tắt lý thuyết: *Tiệm cận đứng : x = x0 là tiệm cận đứng có các giới hạn sau lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) x x 0 x x0 x x0 x x0 Chú ý : Tìm x0 là điểm hàm số không xác định *Tiệm cận ngang : lim f (x) y ; lim f (x) y x y = y0 là tiệm cận ngang có các giới hạn sau: x Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( có thể đưa dạng phân thức ) và bậc tử bậc mẫu thì có tiệm cận ngang * Tiệm cận xiên (ban không có phần này): Cách 1: + viết hàm số dạng : f(x) = ax + b + (x) lim (x) lim x [f(x) –(ax + b)] = x = y = ax + b là tiệm cận xiên Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ; a lim x f (x) x ; b lim f (x) ax x y = ax + b là tiệm cận xiên II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Ví dụ Tìm các tiệm cận đứng và ngang đồ thị (C) hàm số y x x 2 x x lim x 2 x 2 Giải Vì x ; x đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng (C) x x lim lim 1 Vì x x x x nên đường thẳng y = là tiệm cận ngang (C) lim Ví dụ Tìm các tiệm cận đồ thị hàm số x2 x 2x 3 x lim 2 Giải Vì đứng đồ thị hàm số đã cho y x2 x 2x x2 x 2x 3 x lim (hoặc 2 ) nên đường thẳng x là tiệm cận x2 x x2 x , lim 2x 2x x x đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang Ví dụ 3: Tìm các tiệm cận đồ thị các hàm số x2 1 x −1 x a y = x +2 b y = lim Giải: 2x 2x 2x 2x 2, lim 2, lim , lim x x x x x x a/ Ta có x x đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang, đường thẳng x= -2 là tiệm cận đứng lim (12) b/ Ta có lim x x2 1 lim x x lim x x2 1 lim x x x lim 1 x x x2 đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang x 1 x lim x x x2 đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang x 1 x2 1 x2 1 , lim x x x x đường thẳng x= là tiệm cận đứng B/ Bài tập tự giải: Tìm các đường tiệm cận đồ thị các hàm số : 2 x −1 x − x+ a) y = Kết quả: x = 1; x = và y = b) y = x +2 x −3 x+ 2) Tìm các đường tiệm cận ngang đồ thị các hàm số : x + x+1 a) y = 1+ e❑ Kết quả: y = b) y = √ x lim −x Kết quả: x=-2 Kết quả: y = 1 Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ 5.1 Sơ đồ khảo sát Hàm đa thức: TXĐ Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: Tìm y’, giải phương trình y’= và các bất phương trình y’>0, y’<0 Khoảng đồng biến, nghịch biến b) Cực trị hàm số c) Giới hạn vô cực d) BBT x Ghi taäp xaùc ñònh vaø nghieäm cuûa phöông trình y/=0 f’(x) Xeùt daáu y/ f(x) Ghi khoảng tăng, giảm , cực trị hàm số, giới hạn vơ cực Chú ý : Hàm số bậc có y/ = vô nghiệm có nghiệm kép thì y/ luôn cùng dấu với a trừ nghiệm kép 3.Đồ thị: Bảng giá trị Ghi dòng x gồm hoành độ cực trị và lấy thêm điểm có hoành độ lớn cực trị bên phải và nhỏ cực trị bên phải) Hàm bậc lấy thêm điểm nằm cực trị Vẽ đồ thị II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= 2x3– 9x2+ 12x– Giải: Miền xác định: D= y = 6x2– 18x+ 12 x 1 y = 6x2– 18x+ 12=0 x 2 x 1 y > x ; y < x Hàm số đồng biến khoảng:( ;1) và (2; + ), nghịch biến khoảng: (1;2) Hàm số đạt cực đại x=1; yCĐ=1, cực tiểu x=2; yCT=0 (13) lim y = , x Bảng biến thiên: lim y x x y + y – + + + 3 y = 12x– 18 y = x= y= đồ thị có điểm uốn I( ; ) Điểm đặc biệt x y -4 1 3 1 ; Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I 2 làm tâm đối xứng Ví dụ 2: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= x4– 2x2– Giải: Miền xác định: D= x 0 x 1 y = 4x3– 4x cho y = 4x3– 4x=0 x x 1 1 x y > x ; y < x Hàm số đồng biến khoảng: (–1;0) và (1; ), nghịch biến khoảng: ( ;–1) và (0;1) Hàm số đạt cực đại x=0; yCĐ= -1, cực tiểu x= ±2; yCT= -2 lim y lim y x = x Bảng biến thiên: x –1 y – + – + y –1 –2 –2 Điểm đặc biệt x -2 -1 y -2 -1 -2 Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng B/ Bài tập tự giải: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị các hàm số sau: 1/ Dạng y = a3 + bx2 + cx +d a/ y = 2x3 - 3x2 + b/ y = x3 – x2 + x -1 c/ y = - x3 – x2 – x -1 d/y = - x3 + 3x + e/y = x3-3x+1 (14) f/ y = x3+3x4 k/ y= x3 - x2 - x + 1 g/ y = (1-x)3 h/ y = 3x2-x3 x l/ y = - x m/y= - x3 + 3x2 2/ Dạng : y = ax4 + bx2 + c (a 0) x4 3x d/ y= - 2x2 – x4 e/y= a/ y= x4 – 3x2 +2 i/y = - x3 –2 x2 -4 x +1 j/ y = x3 + x + n/ y = x3 – 3x2 +2 b/ y= x4 + x2 – c/ y= p/ y = x3 – 3x + x4 x2 2 f/ y = x4 + 2x2 g/ y = - x4 + 2x2+2 x4 x4 x x2 x2 − x 2+ 2 2 h/ y = i/ y = j/ y = k/ y = x4+x2-2 l/ y=2x2x4-1 ax+ b 4.2.Hàm phân thức : y = ( c 0; ad bc ) cx+ d d * TXĐ : D = R\ − c * Sự biến thiên: cx+ d ¿ ¿ a) Chiều biến thiên: y/ = Khoảng đồng biến, nghịch biến ad − bc ¿ b) Cực trị hàm số Hàm số không có cực trị c) Giới hạn, tiệm cận: ax b ax b d lim ( ); lim () − x ( d / c ) cx d x= c là tiệm cận đứng vì x ( d / c ) cx d { } y= d) BBT a c x f’(x) f(x) là tiệm cận ngang vì lim x ax b ax b a lim x cx d cx d c Ghi taäp xaùc ñònh vaø nghieäm cuûa phöông trình y/=0 Xeùt daáu y/ Ghi khoảng tăng, giảm , cực trị hàm số, giới hạn vơ cực và x = -d/c + Vẽ đồ thị : Vẽ tiệm cận, trục toạ độ, điểm đặc biệt Cho điểm phía tiệm cận đứng vẽ nhánh II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Ví dụ 1:khảo sát hàm số \ 1 TXĐ : D Sự biến thiên : y' + Chiều biến thiên: + Giới hạn và tiệm cận : y x x 1 x 1 > , x D Hàm số tăng khoảng ; 1 ; 1; (15) +Bbt x lim y lim y 1 y 1 là tiệm cận ngang lim y lim y x 1 x là tiệm cận đứng ; x 1 x x - y’ -1 + y + + + - Đồ thị : Điểm đặc biệt x -3 -2 y -1 -1 Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I 1;1 làm tâm đối xứng x 3 y 2x 1 Ví dụ : Khảo sát hàm số 1 \ 2 TXĐ : D Sự biến thiên : 7 1 y' ; , ; x <0 , x D Hàm số giảm khoảng 2 + Chiều biến thiên: + Giới hạn và tiệm cận : 1 lim y lim y y x 2 là tiệm cận ngang x lim y lim y 1 1 x x x 2 là tiệm cận đứng ; 2 +Bảng biến thiên: x - + y’ -5 -2 -5 -2 y 3.Đồ thị : Điểm đặc biệt x -2 -1 y -4 + - 3 (16) 1 ; Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I 2 làm tâm đối xứng B/ Bài tập tự giải: x 2x 3x 2 y 2x a/ b/ y= x c/ y= x d/y= x 2x x+ 2x x −1 x +2 x f/y = g/ y = h/ y = x 1 e/y = x MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ: BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Ví duï 1: Cho đường cong (C): y= x3 -3x +1 và đường thẳng d qua điểm A(0;1) có hệ số góc k biện luận số giao ñieåm cuûa (C) vaø d Giaûi Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d là : x -3x +1 = kx + (1) x3-(3+k)x = x 0 x(x2-3-k) = g( x ) x k 0 (2) / ta coù (2)= 3+k Neáu 3+k < k<-3 Phöông trình (2) voâ nghieäm (1) coù nghieäm (C) vaø d coù giao ñieåm Neáu 3+k = k= -3 Phöông trình (2) coù nghieäm keùp x=0 (1) coù nghieäm boäi (C) vaø d coù giao ñieåm Neáu 3+k > k> -3 Maët khaùc g(0) = -3-k = k = -3 Vaäy k> -3 phöông trình (2) coù nghieäm phaân bieät khaùc (1) coù nghieäm phaân bieät (C) vaø d coù giao ñieåm 2x y x Ví dụ 2: Cho hàm số Tìm tất các giá trị tham số m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số đã cho hai điểm phân biệt Giài: 2x = mx + Đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hai điểm phân biệt Phương trình x có hai nghiệm phân biệt Phương trình mx2 – (m – 4)x – = có hai nghiệm phân biệt, khác m 0 (m 4) 20m m.12 (m 4).1 0 m 0 m 12m 16 m 6 62 m 0 m 0 Ví du 3: Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x (C) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = Giải: Phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = x3 – 6x2 + 9x = m Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m (17) dựa vào đồ thị ta có: Nếu m > thì d và (C) có giao điểm phương trình có nghiệm Nếu m = thì d và (C) có giao điểm phương trình có nghiệm Nếu 0< m <4 thì d và (C) có giao điểm phương trình có nghiệm Nếu m=0 thì d và (C) có giao điểm phương trình có nghiệm Nếu m < thì d và (C) có giao điểm phương trình có nghiệm Ví dụ : Cho đường cong (C) y = x3.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong : a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ –2 c.Tại điểm có tung độä –8 d Biết hệ số góc tiếp tuyến e.Biết tiếp tuyến qua điểm B(2;8) ( chương trình nâng cao) Giải: Ta có y’= 3.x2 x f(x ) ( C ) a/ Tiếp tuyến A(-1;-1) có f’(x0)= 3.(-1)2 = phương trình tiếp tuyến là: y=f’(x 0) (x-x0)+f(x0) = 3.(x+1) + (-1) f(x ) f '(x ) 12 b/ Ta có x0= -2 Ph.trình tiếp tuyến là y = 12(x+2) – =12x + 16 x3 c/ Ta có tung độ y0= –8 f(x0)= -8 =-8 x0= -2 f’(x0)=12 Phương trình tiếp tuyến là: y= 12(x+2) – = 12x + 16 x d/ Hệ số góc tiếp tuyến f ’(x0)=3 =3 x0= 1 với x0=1 f(x0)=1 Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 với x0=-1 f(x0)= -1 Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2 e/Phương trình đường thẳng d qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + d là tiếp tuyến (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm : x k(x-2) + 8(1) x 2 (2) 3 x k x = 3x2(x-2) + 2x3- 6x2 + = x Với x=2 k=12 phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16 Với x=-1 k=3 phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - B/ Bài tập tự giải: 1) Biện luận theo m số giao điểm đồ thị: x 1 y x −6 x+ x và d: y= 2x+m a) (C): y = và d: y = xm b) (H): x +2 2) a.Vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3+3x22 b.Biện luận đồ thị (C) số nghiệm pt: x3+3x2(m2) = 3) Dùng đồ thị (C): y = x33x2+1 biện luận theo m số nghiệm phương trình x33x2 9x+1m = 4) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y= x+3 và tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y= x3+3x24x+2 5) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): y=x3+3x2+1 biết tiếp tuyến qua gốc toạ độ O 6) Cho hàm số y 2 x x , có đồ thị (C) Lập PTTT với (C) điểm có hoành độ KIẾN THỨC CƠ BẢN GIẢI TÍCH CHƯƠNG II (18) Bài 1: LŨY THỪA BÀI TẬP: Vấn đề 1: Tính Giá trị biểu thức Baøi 1: Tính 1 32 53 47 : : 16 : (5 a) A = (0, 25) ( ) 25 ( ) : ( )3 : ( ) 4 b) 1 Baøi 2: a) Cho a = (2 3) vaø b = (2 Tính A= (a +1)-1 + (b + 1)-1 10 vaø b = b) cho a = Baøi 3: Tính a) A = Baøi 4: Tính a/ a ❑2√ ( 2 a− √ −1 b) B = 3) 10 Tính A= a + b 23 3 c) C = (KQ: a3 ) ) ❑√2 +1 3 27 b/( a √3 ) ❑√3 +1 b√ −1 a2) π xy ¿ π c/ x π + y π ¿2 −¿ (KQ: |x ❑π -y ❑π |) ¿ √¿ Vấn đề 2: Đơn giản biểu thức Bài 1: Giản ước biểu thức sau a) A = −0 ,75 + d) A=81 (a 5) 81a 4b với b 25 c) C = (a ) (a > 0) b) B = 1 12 2 x y ( x y) 1 ( x y) x y d) E = 2 x y xy (x > 0, y > 0) 1 a b 2a x 2 b a e ) F = x x với x = (a > ,b> 0) ax a x 2ab f) G = a x a x Với x = b và a > , b > 4a 9a a 3a 1 a a với < a 1, 3/2 g) J = 2a 3a a b a b 3 a3b h) a b 125 −1 32 ( ) ( ) − −3 a−1 − √3 b− ( KQ: (19) a a a 14 a a 1 i) a a a j) 4 a b a b a ab x y x k) 2 xy : a a 3 x x y x x y y BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỪA BÀI TẬP: Bài 1.Tìm tập xát định hàm số x a/ y = x 2 b/ y=( − x ) x2 x x 2 x f/ y = x g/ y = Bài Tính đạo hàm các hàm số d/ y = (2 x 1) c/ y =(x2 – 1) – x 2 h/ y = x 2 b/ y = x c/ y = ( x x 2) b y=( x − x+1 ) Bài 3.khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: a) h/ y= (x3+x + 1) y=x e/ y = ( x x 3) 3 x a d/ y = b x với a, b > 3 x2 x x f/ y = g) x2 x x i/ y = a a/ y = x x 2 e/ y = x 1 3 y (3x 1) 2 i) 3 2 b/ y x c / y x Bài so sánh các số a/ (3,1)7,2 < (4,3)7, 13 b/ 11 2,3 13 11 3,2 c/ (0,3)0,3 > (0,2 )0,3 Baøi 3: LOGARIT BÀI TẬP: Vấn đề 1: các phép tính logarit Bài Tính logarit số log 25 A = log24 B= log1/44 C= D = log279 E= 3 3 log log log 0,5 (4) log16 (2 2) 27 G= H= I= J= Bài : Tính luỹ thừa logarit số log A= B = 27 log C= log 3 D = 2 2log log F= log log ( a a3 ) L= a 2 (20) E= log 10 I = (2a) 161 log log 3log 3 4log8 G= H= log3 log log3 3log3 27 J= K= 4log log 3log 1log 70 F= 2 a log8 42 M= a 2 L= a Vấn đề 2: Rút gọn biểu thức Bài 12: Rút gọn biểu thức A= log 8log 81 D = log log8 log log G = log 625 B= log 25 C= log 30 F = log 30 log 25log log E = log 2.log 3.log 4.log 5.log log 24 log 192 log log12 96 H= I= log log 49 log 27 Vấn đề 3: Tính logarit số theo số loga rit cho trước: Bài 1: a/ Biết log153 = a Tính log2515 theo a? b/ Biểu diễn log41250 theo a=log25 24 log 50 c/ Biểu diễn theo a=log315 và b=log310 d/Biết lg2 = a, lg3 = b Tính lg 25 theo a và b log 14 a log 49 32 e/ Tính theo a f/ Tính log 24 72 theo a log a g/ Tính log theo a và b log100 a và log100 b Baøi 4: HAØM SOÁ MUÕ HAØM SOÁ LOGARIT II/ BÀI TẬP: Vấn đề 1: tìm tập xác định hàm số Bài 1: tìm tập xác định các hàm số sau 2x 3 1 x log log 10 x 1 x a) y = b) y = log3(2 – x)2 c) y = d) y = log3|x – 2| e)y = log ( x 2) x log log x x x f) y = g) y = h) y = log x i) y= lg( x2 +3x +2) Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số Bài 1: tính đạo hàm các hàm số mũ a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)ex d) y = ex.sin3x x x1 e) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex) g) y = cos( e ) h) y = 44x – 1 x2 x x i) y = 32x + e-x + j) y = Bài : Tính đạo hàm các hàm số sau a/ y = ( x + 1)ex x x e e d/ y = b/ y = x2 4x e 1 e/ y = 3x3 + 2x sinx Bài Tìm đạo hàm các hàm số logarit x x e e c/ y = g/ y = x 1 (21) x2 b) y = x2lnx - 2 c) ln( x x ) a) y = x.lnx e) y = ln2(2x – 1) Bài Tính đạo hàm các hàm số sau x ln d) y = log3(x2- 1) x 1 a/ y = ( x + 1)lnx b/ y = x2 lnx2 c/ y = ln( x 1) x d/ y = e/ y = 3x3 + sinx log x g/ y = log ( x 1) Vấn đề 3: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số mũ và loga: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: b/ y= e-xcosx trên a/ y= lnx– x 0; c/ f(x) = x – e2x trên đoạn [1 ; 0] Bài 2: Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn hàm số f (x) x ln(1 2x) trên đoạn [-2; 0] (Đề thi TN THPT năm 2009) Baøi 5: PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT 1/ Một số phương pháp giải phương trình mũ và loga: a) Dạng bản: a u a f (x) v(x) f (x) = a g(x) f(x) = g(x) = ( u 1 ).v(x) = ( đó u có chứa biến ) = b ( với b > ) f(x) = log ❑a b ❑a log f(x) = log log a f (x) b 0 a 1 f(x) = log v(x) Dạng 2: a a b v(x) ; u(x) ; u(x) 1 b v(x) u(x) u(x) =b b) Đặt ẩn phụ : Dạng 1: a f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) ❑a 2f (x) + a b f (x) f (x) + a + =0 b f (x) ; + =0; a Đặt : t = Đặt : t = a f (x) f (x) Đk t > Đk t > Dạng 3: a f (x) + b 2f (x) f (x) + = và a.b = 1; Đặt: t = f (x) 2f (x) Dạng 4: a + + b Logarit hoá , mũ hoá : II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Bài 1: Giải các phương trình sau: a.b a f (x) a = ; Đặt t = b ; t =b f (x) f (x) (22) 1 a./ x 3x 1 3 x 1 x b./ 36 Giải: a./ 1 b./ x 3x 1 (x 3x 1) 3 x 1 3 (x 3x 1) 1 x 3x 0 x 2 2 2x 8.2 x 2x 36 36 4 9.2x 36.4 2x 16 24 x 4 x 1 2x 36 2.2x Bài 2: Giải các phương trình sau x5 5 a./ Giải: a./ x x 50 b./ 32 x 5 5 x log x log3 4x 50 20 x 100 x log20 100 b./ Bài 3: Giải các phương trình sau x x 4x x 27 0 a./ 25 2.5 15 0 b./ - 4.3 x.22 x 50 x x 2 32 x 24 c./ Giải: 25 x 2.5 x 15 0 x 2.5 x 15 0 a./ Đặt t = 5x, t >0 ta có phương trình: t2 – 2t – 15= t 5 x 5 x 1 t (loai) b./ 34x -4.32x+1+27=0 32x 12.32 x 27 0 Nêu t=32x ; t>0 ta có : t 12t 27 0 t 3 t 3x 32 x 24 9.3x c./ 32 x 3 x 1 2x 2 x x 24 0 3x x 2 x 1 24.3x 0 t 3 9t 24t 0 3x 3 x 1 t ( loai) x t Đặt , ta có (23) Bài 4: Giải các phương trình sau: b./ log x log2 x log x a./ log2 x log ( x 3) 2 Giải: a./ log2 x log ( x 3) 2 x x ĐK: (1) x x 0 x (1) log x ( x 3) 2 x ( x 3) 22 4 x 1 x x 0 x 1 x (loai) ï b./ log x log2 x log x (1) ĐK: x>0 (1) log2 x log2 x log2 log x log x log2 log2 x log2 log2 x log x 3 x=3>0 thỏa điều kiện Vậy phương trình có nghiệm là x=3 Bài 5: Giải các phương trình sau: a./ log22 x log2 x 0 b./ log2 ( x 1) log x c./ lg x lg x lg x Giải: a / log 22 x log x 0 d./ log x log 16 x 0 (1) ÑK : x>0 (1) log 22 x log2 x 0 t 1 Ñaët t= log2 x , ta có : t t 0 t 2 log2 x 1 log2 x x 2 x 2 Thỏa điều kiện x>0 Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 và x=1/4 b./ log2 ( x 1) log x ĐK: x x x 1 x 2 (1) log ( x 1) (1) (*) log2 log ( x 1) log2 ( x 1) log ( x 1) log2 ( x 1) log ( x 1) 0 t 1 t t 0 t Đặt: t log2 ( x 1) , ta có : (24) log ( x 1) 1 log2 ( x 1) x 2 x 1 x 3 x 5 thỏa (*) Vậy phương trình có nghiệm là : x = và x = 5/4 c./ lg x lg x lg x ĐK: x>0 (*) (1) (1) lg2 x lg x 3 lg x lg x lg x 0 t 1 t 8t 0 t Đặt: t= lgx , ta có: lg x 1 lg x 7 x 10 x 10 thỏa (*) Vậy phương trình có nghiệm là: x = 10 và x = 107 log2 x log 16 x 0 (1) d./ log2 x 16 x x 1 x 1 x 0 ĐK: (*) (1) log2 x log2 16 log x 0 log2 x log x 0 t 1 t 2t 0 log2 x 1 x 2 t log2 x 0 t (loạ i ) Đặt: , ta có: Thỏa (*) Vậy phương trình có nghiệm là x=2 B/ Bài tập tự giải: Vấn đề 1: Phương trình mũ Daïng Ñöa veà cuøng cô soá Baøi : Giaûi aùc phöông trình sau x a) x d) 2 x 8 b) 41 x x2 x 2 x 9 x c) 16 x e) 52x + – 52x -1 g) x1 0 x 52 5 e) x 3 x x 5 x 17 32 x 128 x = 110 f) 2(1 x ) g) (1,25)1 – x = (0, 64) f) 2x + 2x -1 + 2x – = 3x – 3x – + 3x - Daïng ñaët aån phuï Baøi : Giaûi caùc phöông trình a) 22x + + 22x + = 12 b) 92x +4 - 4.32x + + 27 = 5 2 2 5 d) 3 5 x c) 52x + – 110.5x + – 75 = 4 f) 20 15 x 15 x 10 h)32 x 1 9.3x 0 x 1 x i) 2.7 0 x 2 9.2 x 0 k/ 6.9 x 13.6 x 6.4 x 0 j) Daïng Logarit hoùaï Baøi Giaûi caùc phöông trình 1 x x x l/ 9.4 5.6 4.9 x 2 (25) a) 2x - = x x c) 3x – = b) 3x + = 5x – x x 6 x x 12 x x d) 5 e) 500 f) 52x + 1- 7x + = 52x + 7x Vấn đề 2: Phương trình logarit Daïng Ñöa veà cuøng cô soá Baøi 5: giaûi caùc phöông trình a) log4(x + 2) – log4(x -2) = log46 b) lg(x + 1) – lg( – x) = lg(2x + 3) c) log4x + log2x + 2log16x = d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – log x log x log g) log2(9x – 2+7) – = log2( 3x – + 1) h) Daïng ñaët aån phuï Baøi 6: giaûi phöông trình 1 a) ln x ln x b) logx2 + log2x = 5/2 c) logx + 17 + log9x7 = e) log1/3x + 5/2 = logx3 log 2 x 3log x log x 2 g) 10 log x 9 d) log2x + f) 3logx16 – log16x = 2log2x h) lg x2 16 l o g x 64 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 KÌ I VÀ BÀI TẬP BÀI TẬP 1/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy a) CMR: các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông b) Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ CMR: B’D’ // BD và AB’ SB, AD’ SD 2/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 600 Gọi O là giao điểm AC và 3a BD, đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE a) CMR: (SOF) (SBC) b) Tính khoảng cách từ O và A đến mp (SBC) 3/ Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (ADC) nằm hai mặt phẳng vuông góc Tam giác ABC vuông A có AB = a, AC = b Tam giác ADC vuông D có CD = a a) CMR: tam giác BAD và BDC là các tam giác vuông b) Gọi I, K là trung điểm AD và BC CM: IK là đường vuông góc chung AD và BC a √3 4/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 600 và SA = SB = SD = a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD) và độ dài cạnh SC b) CMR: (SAC) (ABCD) c) CMR: SB BC d) Gọi là góc hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) Tính tan THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN II) Bài tập: A Bài toán 1: Thể tích khối lăng trụ (26) Ví dụ: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ Giải Gọi H là chân đường cao kẻ từ A lăng trụ Khi đó, A’H là hình chiếu AA’ trên mp(A’B’C’) Xét tam giác AA’H vuông H có: AH Sin A’ = AA ' b √3 ⇒ AH = AA’ Sin A’ = AA’ Sin 600 = Do tam giác A’B’C’ là tam giác nên chiều cao tam giác là: a √3 h= √3 a2 Diện tích tam giác A’B’C’: SA’B’C’ = a h= A’ a b Thể tích ABC.A’B’C’: V = AH SA’B’C’ = BÀI TẬP A C B 600 H C’ B’ Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1, đáy ABC là tam giác vuông A, AC= a, góc C 600, đường chéo BC1 mặt bên (CC1B1) hợp với mặt bên (ACC1A1) góc 300 a Tính độ dài đoạc AC1 b Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: a AC1 = 3a, b V = √ a3 Bài Cho hình hộp đứng ABCD.A1B1C1D1 , đáy là hình thoi Biết diện tích mặt chéo ACC1A1 và BĐ1B1 là s1 và s2 Biết góc BA1D là góc vuông Tính thể tích khối hộp s1 s ĐS: V = √ 4(s 22 − s21 ) Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu A1 lên mp(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cạnh bên AA1 tạo với mặt đáy góc 600 a Tính thể tích lăng trụ b Chứng minh: BCC1B1 là hình chữ nhật c Tính diện tích xung quanh lăng trụ a √3( √ 13+2) a √3 ĐS: a V = , c Sxq= Bài Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 , đáy là hình thoi cạnh a, góc A 600 Chân đường vuông góc hạ từ B1 xuống mặt đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo đáy Cho BB1= a a Tính góc cạnh bên và đáy b Tính thể tích khối hộp a3 ĐS: a 600, b V= Bài Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 cạnh đáy a Góc đường chéo AC1 và đáy là 600 Tính thể tích khối lăng trụ Bài Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có đường cao h Mp (A1BD) hợp với mặt bên (ABB1A1) góc Tính thể tích khối lăng trụ Bài (đề thi ĐH khối D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a √ Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C √ a3 , d(AM, B’C) = a √7 ĐS: V = Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, AB hợp với mặt phẳng (A’B’CB) góc và góc BAC’ = Tính thể tích hình hộp (27) Bai Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 , cạnh đáy a Mặt phẳng (ABC 1) hợp với mặt phẳng (BCC1B1) góc Gọi I, J là hình chiếu A lên BC và BC1 a CM: góc AJI b Tính thể tích khối lăng trụ Bài 10 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 , cạnh đáy a, đường chéo BC1 mặt bên (BCC1B1) hợp với mặt bên (ABB1A1) góc a Xác định góc b Tính thể tích khối lăng trụ Bài 11 Cho lăng tru đứng ABC.A1B1C1 , đáy ABC là tam giác cân A Góc AA1 và BC1 là 300 và khoảng cách chúng là a Góc hai mặt bên qua AA1 là 600 Tính thể tích khối lăng trụ a √3 Bài 12 Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 Mặt phẳng (A1BC) cách A khoảng và hợp với BC’ √15 Tính thể tích khối lăng trụ góc biết sin = 10 Bài 13 Cho lăng tru đứng ABC.A1B1C1 , đáy ABC là tam giác vuông A, AC= b, góc C Đường chéo BC1 tạo với mặt bên (ACC1A1) góc a Tính thể tích khối lăng trụ b Tìm điểm cách các đỉnh lăng trụ và tính khoảng cách Bài 14 Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu A1 lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC) Góc BAA1 450 Tính thể tích khối lăng trụ Bài 15 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 đáy là tam giác vuông cân A Mặt bên (ABB1A1) là hình thoi cạnh a, nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt bên (ACC1A1) hợp với đáy góc Tính thể tích khối lăng trụ Bài 16 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 đáy ABC là tam giác vuông A AB = a, BC = 2a Mặt bên ABB1A1 là hình thoi, mặt bên (BCC1B1) nằm mặt phẳng vuông với đáy, hai mặt này hợp với góc a Tính khoảng cách từ A đến mp (BCC1B1) Xác định góc b Tính thể tích khối lăng trụ Bài 17 Tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao h, đáy là ngũ giác nội tiếp đường tròn bán kính r B Bài toán 2: Tính thể tích khối chóp Ví dụ: Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, các cạnh bên hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp đó Giải Kẻ SH (ABC) Gọi I là giao điểm AH và BC Do S.ABC là hình chóp nên H là trọng tâm 2 a √3 a √3 √ = a tam giác ABC. AI = AH = AI = 3 2 Do AH là hình chiếu SA trên mp(ABC) nên SAH = 600 S Xét tam giác SAH vuông H ta có: SH ⇒ SH=AH tan 600 = a tan 600 = AH AI BC = a √3 a= √ a Diện tích tam giác ABC: SABC = 2 1 3 C a ⋅ √ a2 = √ a3 A Thể tích khối chóp: V = SH SABC = 3 12 H I BÀI TẬP B Bài Cho khối chóp tam giác SABC có đáy là tam giác cạnh a, các cạnh bên hợp (28) với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp đó Bài Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp đó Bài Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác vuông B Cạnh bên SA vuông góc với đáy Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC Biết AB= a, BC= b, SA= c a) Tính thể tích khối chóp đó b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB) Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a, BC= 2a, AA’ = a Lấy điểm M trên cạnh AD cho AM = 3MD a) Tính thể tích khối chóp M.AB’C b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C) Bai Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuông góc chúng Biết AC = h, AB = a, CD = b và góc hai đường thẳng AB và CD 600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD Bai Cho tứ diện ABCD có cạnh a Dựng đường cao SH a CMR: SA BC b Tính thể tích khối chóp ABCD c Gọi O là trung điểm SH CMR: OA, OB, OC đôi vuông góc a3 √2 ĐS: b V = 12 Bài Tính thể tích khối chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a và góc ASB = a3 α ĐS: V = cot − Bài Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc 600 và hợp với mặt bên (SAB) góc 300 a Tính SC b Tính thể tích khối chóp Bài Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông có cạnh a Mặt bên (SAB) là tam giác và vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm AB và M là điểm di động trên đường thẳng BC a CMR: SH (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD b Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và CM = x với ≤ x ≤ a √ a −4 a3 x+ a x a3 √3 , b 2 (a + x ) Bài 10 Một hình chóp tứ giác có cạnh bên và cạnh đáy a Hãy tính thể tích và diện tích mặt chéo hình chóp Bài 11 Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 600 và cạnh đáy a a Tính thể tích khối chóp SABCD b Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (P) và hình chóp Bài 12 Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao SH = h và góc mặt đáy và mặt bên là Tính thể tích khối chóp SABCD theo h và Bài 13 Cho hình chóp SABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy Đáy ABC là tam giác cân đỉnh A Trung tuyến AD a Cạnh SB tạo với đáy góc và tạo với mp(SAD) góc a Xác định góc và b CMR: SB2 =SA 2+ AD2 +BD c Tính thể tích khối chóp Bài 14 Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác cân AB=AC = a Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA= SB = a a CMR: tam giác SBC là tam giác vuông b Cho SC = x Tính thể tích khối chóp theo a và x Bài 15 Trên cạnh AD hình vuông ABCD cạnh a người ta lấy điểm M với AM = x ( ≤ x ≤ a ) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mp(ABCD) A lấy điểm S cho SA = y với y >0 a CMR: (SAB) (SBC) b Tính khoảng cách từ M đến mp(SAC) c Tính thể tích khối chóp SABCM Bài 16 (đề thi TNTHPT hệ BT – 2009) ĐS: a V= √ (29) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a và AC = a √ , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a √ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a ĐS: 3 √ 15 a Bài 17 (đề thi TNTHPT – 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết góc BAC = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài 18 (đề thi TNTHPT – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt (SBD) tạo với đáy góc 60 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 19 (đề thi TNTHPT – 2011 ) Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông A và D với AD=CD= a, AB=3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp SABCD theo a Bài 20 (đề thi TNTHPT hệ BT – 2011) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Biết SA vuông góc với mặt phẳng ABC và SA=a Tính thể tích khối chóp SABC theo a Bài toán 3: Tính tỉ số thể tích Phương pháp: Để tính tỉ số thể tích hai phần khối đa diện (H) phân chia thành (H1) , (H2) mặt phẳng () ta lựa chọn hai cách sau đây: Cách 1: Thực theo các bước sau: Bước 1: Dựng thiết diện tạo mặt phẳng () Bước 2: Tính thể tích V1 và V2 (H1) , (H2) V1 Bước 3: Tính k = V2 Cách 2: Sử dụng kết : “Cho hình chóp SABC , trên ba đường thẳng SA, B, SC lấy ba điểm A’, B’, C’ khác S Gọi V và V’ là thể tích SABC và SA’B’C’ V SA SB SC SA SB SC = = Khi đó: S V ' SA ' SB ' SC' SA' SB ' SC ' A’ C’ A B’ C B Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SB' S = SD B’, C’, D’ Biết AB = a, SB a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ C’ Giải D’ E a) Gọi SH là đường cao hình chóp S.ABCD H’ D Gọi H’ là giao điểm SH và mp (P) C B’ Do S.ABCD là hình chóp nên H là giao điểm H AC và BD B BD ⊥SH ⇒ BD ⊥(SAC) A BD SC BD ⊥ AC Do mp (P) SC BD // mp (P) BD //(P) SD ' SH ' SB' ⇒BD // B ' D' = = = , H’D’ = H’B’ va B’D’ AC’ Do BD ⊂(SBD) SD SH SB ( P) ∩(SBD)=B ' D ' { { (30) Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC E SC' SE−SC' EC ' = = = Khi đó: EC’ = EC, SC’ = 2EC’ = CC’ SE SE SE V S AB' D ' 2 V S B 'C ' D ' 2 V S ABCD = ⋅ = , = ⋅ ⋅ = Ta có: VS.ABD = VS.BCD = Ta có: V S ABD 3 V S BCD 3 V S ABCD + = V S ABCD VS.AB’C’D’ = VS.AB’D’ + VS.B’C’D’ = 9 b) Theo cm trên : AC’ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến tam giác SAC nên SA = AC √ AC= √3 a √2= √ a VS.ABCD = √ a3 = √ a3 tam giác SAC đều SH = 2 2 √ a3 VS.AB’C’D’ = 18 ( ) BÀI TẬP Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD Gọi M, N, P là trung điểm AB, AD và SC a Dựng thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) và hình chóp b Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp phân chia hai mặt phẳng ĐS: b Bài Cho tứ diện ABCD Gọi (H) là hình bát diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh V (H ) tứ diện đó Tính tỉ số V ABCD Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC= b, AA’ = c Gọi M, N là trung điểm A’B’ và B’C’ Tính thể tỉ số tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp nhật ABCD.A’B’C’D’ Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC= b, AA’ = c Gọi E và F là 1 điểm thuộc các cạnh BB’ và DD’ cho BE= B’E, DF = D’F Mặt phẳng (AEF) chia 2 khối hộp chữ nhật thành khối đa diện (H) và (H’) Gọi (H’) là khối đa diện chứa đỉnh A’ Tính thể tích (H) và tỉ số thể tích (H) và (H’) Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ O là giao điểm AC và BD, M là trung điểm C’D’ Tính thể tỉ số tích hai phần hình lập phương mặt mặt (A’MO) cắt Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M, N là trung điểm các cạnh AD, CD và gọi P là điểm trên cạnh BB’ cho BP = PB’ a) Tính diện tích thiết diện mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương b) Tính thể tỉ số tích hai phần hình lập phương thiết diện cắt (31)