Bài tập Nhị thức Newton

Trong một số dạng toán tính tổng hoặc chứng minh đẳng thức, đôi khi ta phải lấy đạo hàm hoặc tích n.. Khi đó ta thường phải tính đạo hàm p’x và b..[r]

May 2011 NHỊ THỨC NEWTON TÓM TẮT LÝ THUYẾT Trong bài viết này, ta quy ước n,k là các số tự nhiên và  k  n, n  Cho tập hợp A gồm n phần tử  Mỗi cách xếp thứ tự n phần tử đó tạo thành hoán vị Số các hoán vị n phần tử là Pn  n !  k phần tử thứ tự A tạo thành chỉnh hợp chập k n phần tử đó Số các chỉnh hợp là n! Ank  (A: Arrangements)  n  k !  k phần tử không phân biệt thứ tự A tạo thành tổ hợp chập k n phần tử đó Số các tổ hợp là Cnk   Ank n! (C: Combinations)  k ! k ! n  k  ! n n Công thức nhị thức Newton:  a  b   a n  Cn1 a n 1b  Cn2 a n 2 b   Cnn 1ab n 1  bn   Cnk a n k b k (1) k 0 k n Trong đó: Vế phải (1) là tổng n + số hạng, số hạng C a  n k k b là số hạng thứ k + Các công thức thường dùng: 0!  1; An0  Cn0   Cnn ; Cnk  Cnn  k ; Cnk  Cnk 1  Cnk11  1  x  n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n ; cho x = ta được: 2n  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn 1  x  n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x    1 Cnn x n ; cho x = ta  Cn0  Cn1  Cn2    1 Cnn n n Trong số dạng toán tính tổng chứng minh đẳng thức, đôi ta phải lấy đạo hàm tích n n phân các đa thức p  x   1  x  p  x   x 1  x  Khi đó ta thường phải tính đạo hàm p’(x) và b tính p '  1  p  x  dx với hai cận có thể là 1 a BÀI TẬP 1) Tìm các số hạng không chứa x khai triển   a)  2x   x     b)  2x   x  7   c)  x   (D04) x  n   2) Tìm hệ số số hạng chứa x kt   x  biết Cnn41  Cnn3   n  3 x  n n 3) Tìm hệ số số hạng chứa x10 kt   x  biết rằng: 3n Cn0  3n 1 Cn1  3n  Cn2    1 Cnn  2048 Nếu bạn hỏi người giỏi trượt băng làm để thành công, nói: ngã, đứng dậy là thành công (Isaac Newton 1642 – 1727) Lop12.net Page May 4) Tìm số hạng chứa x4 kt  x –  2011 n 2 n 1 2 n2  , biết rằng: C n C n  2C n C n  Cn C n  225 x 12 1  5) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển Newton:   x   x   6) Áp dụng kt x  x 99 1 100C100   2 100  ĐS: 27159 chứng minh rằng: 100 1  101C100    2 198 99      199C100   2 199 100    200C100    2 0  log 3x 1 1  x 1  7) Cho kt  log     Hãy tìm các giá trị x biết số hạng thứ kt này là 224   8) Tìm các số hạng nguyên kt  3  ĐS: 4536 9) Xét kt  x    a0  a1 x  a2 x   a9 x Tìm hệ số lớn các hệ số , i  0,1, ,9 n 10) Xét P  x   1  x   a0  a1 x  a2 x   an x n Biết a0  lớn các hệ số , i  0,1, , n (A08) a1 a2 a3 a     nn  212 Hãy tìm hệ số 2 2 ĐS: 126720 n 11) Tìm số nguyên dương n nhỏ cho kt 1  x  có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 1 12) Tính tổng S  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn n 1 n 13) Tính tổng S  Cn0  2Cn1  3Cn2    1  n  1 Cnn 1 1 14) Tính tổng S  C21 n  C23n  C25n   C22nn 1 (A07) 2n n 15) Khai triển 1  x  x  x  thành đa thức a0  a1 x  a2 x   an x n Tìm n biết n a k  1024 k 0 16) Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành cấp số cộng dãy số sau: C230 ; C23 ; C23 ; ; C2323 17) Giải pt C x6  3C x7  3C x8  C x9  2C x8 ĐS: x = 15 A2 x  Ax2  C x3  10 x 19) Cho A là tập hợp có 20 phần tử a) Có bao nhiêu tập hợp A? b) Có bao nhiêu tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử là số chẵn (ĐH Sư phạm TP Hồ Chí Minh – 2001) 18) Giải bpt Nếu bạn hỏi người giỏi trượt băng làm để thành công, nói: ngã, đứng dậy là thành công (Isaac Newton 1642 – 1727) Lop12.net ĐS: 524287 Page