Đang tải... (xem toàn văn)
Tính thể tích khối tròn xoay, khi cho hình phẳng tạo bởi các đường sau quay quanh trục Ox :.. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC..[r]
(1)GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN § 1.NGUYÊN HÀM 1) Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định F’(x) = f(x) thì ta gọi F(x) là nguyên hàm f(x) Tập hợp các nguyên hàm f(x) gọi là tích phân bất định f(x) và ký hiệu là: ò f (x)dx =F (x) +C 2) Bảng các nguyên hàm bản: Nguyên hàm hàm ò kdx = kx +C ò dx = x + C a ò x dx = dx òx dx òx ò xa +1 +C a +1 (a ¹ - 1) dx ò (ax + b)2 =- dx = x +C x x x ax x ò +C ò a dx = ln a +C (ax + b)a +1 + C (a ¹ - 1) a(a +1) dx +C x ò e dx = e a ò(ax + b) dx = ò ax + b = a ln ax + b + C = ln x + C =- Nguyên hàm các hàm hợp = ax + b + C a ax+b e +C a a px+q px +q a dx = + C (0 < a ¹ 1) ò p ln a òe (0 < a ¹ 1) dx ax + b +C a(ax + b) ax +b dx = òcos xdx = sin x + C ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C òsin xdx =- òsin(ax + b)dx =- dx ò cos dx x cos x + C = tan x + C ò sin x =- cot x + C TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC ò cos ò sin 2 cos(ax + b) + C a dx = tan(ax + b) + C (ax + b) a dx =- cot( ax + b) + C a (ax + b) Page (2) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ 3) Các tính chất bản: + ( ò f ( x)dx) ' = f ( x) +ò af ( x )dx = a ò f ( x )dx +ò [ f ( x) ± g ( x)]dx = ò f ( x) dx ± ò g ( x) dx ò +ò 4) Các phương pháp tìm nguyên hàm: f (t )dt = F (t ) + C Þ f (u ) du = F (u ) + C f ( x)dx = ò g [ u ( x )] u '( x )dx 1- Phương pháp đổi biến: ò Đặt u = u ( x) Þ du = u '( x) dx ò f ( x)dx = ò g (u)du = G(u) + C f ( x)dx = òu ( x).v '( x)dx 2- Phương pháp nguyên hàm phần: ò Þ Đặt ïìï u = u ( x ) Þ í ïîï dv = v '( x)dx Þ Lưu ý: + ïìï du = u '( x)dx í ïîï v = v( x ) ò f ( x)dx = u ( x).v( x) - òv( x).u '( x)dx òv( x).u '( x)dx + Nếu đơn giản òv( x).u '( x)dx òu ( x).v '( x)dx còn dạng nguyên hàm phần thì tiếp tục thao tác trên sau: ìïï u1 = u '( x ) í ïïî dv1 = v( x )dx BÀI TẬP Dạng 1: Dạng Tìm các nguyên hàm các hàm số sau: (x a/ ò d/ g/ ò - 3x2 + x +1)dx b/ dx x +1 ò(2 x + x )dx ò( x e/ h/ - x + )dx x dx 5x ò 2- ò TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC f/ x + x +1 c/ ò x dx ò (3 - i/ ò Page (2 x +1) 2011 dx dx x )2 (2sin x + 3cos x )dx (3) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ p òsin(2 x + )dx k/ cos3 xdx j/ ò m/ x ò e (2 + e- x sin x )dx ò ; n/ dx p cos ( - x) l/ ; p/ ò e ò (3sin x - 3- x dx cos x )dx 2x - ò e x dx q/ ; Dạng 2: Biến đổi dạng Bài 1: Tính : 2x - dx ò a/ x +1 x3 dx ò c/ x + 2x2 - 4x + ò x - dx b/ ( x +1)2 ò x dx d/ dx ò x2 - 3x + g/ dx dx e/ ò (1 + x)(1- h/ x dx -a ò f/ x - x) dx i/ a( x - )( x ) x a Bài 2: Tính : sin x cos xdx a/ ò ; tan e/ ò xdx òsin c/ sin x sin xdx b/ ò ; + sin x ; f/ ò1 + cos xdx x dx ; d/ ò dx ; g/ ò sin x cos2 x sin xdx cos xdx ; h/ ò sin x cos2 x Dạng 3: Phương pháp đổi biến Loại 1: f(x) là đa thức Bài 3: Tính : x (3 I1 = ò x)5 dx x I2 = ò ; (3 - x ) 2011 dx I3 = ò x (5 - x) dx I4 = ò x(1 + x ) dx Loại 2: f(x) là phân thức Bài 4: Tính : 3dx 3x ò I1 = - 2x - - x +3 I2 = TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC ò x2 - dx 3x - I3 = Page ò x2 - 5x + dx (4) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ x +1 I4 = ò x2 - I7 = ò ( x +1)3 4x + x dx I5 = x3 dx ; I8 = ò ò (1 + x ) x3 ( x - 2)dx ( x +1) x3 dx I6 = ò (6 x + 5)5 dx x2 - ; I9 = ò ( x +1)2 dx ; I10= ò ( x +1) x x2 - dx Loại 3: f(x) là hàm vô tỉ Bài 5: Tính : I1 = ò I4 = ò I7 = ò x x +1 dx I2 = x x + 5dx I5 = ò xdx 1+ x ò 1- ; I8 = ò x ( x - 2) 1+ x dx x I3 = I6 = ò x - xdx dx ; I9 = ò ò (1- dx x) x x + x3 dx dx x + 2009 ; I10 = Loại 4: f(x) là biểu thức chứa hàm dx ò x2 ± a (a > 0) eu ( x ) Bài 6: Tính : I1 = 3cos x ò e sin xdx e tan x ; I2 ò dx = cos x ; dx I5 = ò e x +1 ex ; I6 = ò e x + dx - x2 xe I3 = ò dx ; I4 = ò dx ; I7 = ò e x + e- x + Loại 5: f(x) là biểu thức chứa hàm (e2 x + 5)3 e x dx dx ; I8 = ò ex - e- ln(u ( x)) Bài 7: Tính : ln x ò x dx I1 = dx ò x ln x I2 = (ln x ) ò x dx I3 = I4 = ln x dx 2x Loại 6: f(x) là hàm số lượng giác Bài 8: Tính : TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page x (5) GIẢI TÍCH 12 I1 = ò I2 = ò cot xdx I4 = HỌC KÌ sin x ò x sin xdx I5 = ò cos2 x dx sin x ò dx = cos x I8 ò dx = cos x dx I10 = I13 = ò I16 = ò ò3 I9 = ò dx ò sin x I6 = cos3 x sin xdx sin x cos x dx sin x I7 I3 = ò tan xdx I11 = I14 = ò sin x cos xdx cos x + sin x sin x - cos x dx dx ò sin x I17 = I12 = sin x cos xdx ò ò cos x sin x I15 = ò ; sin x cos x sin xdx 2 a sin x + b cos x sin x cos x - 1dx ( dx a ¹ b ) Dạng 4: Nguyên hàm phần sin( ax b) P( x) cos(ax b) dx e ax b Loại : Bài 9: Tính : I1 = ò xe x dx x cos xdx I4 = ò I7 = ò cos xdx I2 = ò xe- x dx (1I5 = ò I8 = I3 = ò x x) cos xdx I6 = ò x sin(2 x +1)dx ò sin x dx I9 = ò éln u ( x) Loại 2: ( x + x - 1)e x dx x sin xdx ù ò P( x) êêëlog a u( x)úúûdx Bài 10: Tính : ln xdx I1 = ò x ln( x +1)dx I2 = ò TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC I3 = Page 1+ x dx x ò x ln 1- (6) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ x ln xdx I4 = ò + x ) dx ln( x + I5 = ò I6 = ò ln(sin x) cos x dx x sin x e cos x dx Loại 3: Bài 11: Tính : I1 = òe x e I2 = ò sin xdx x sin xdx e I3 = ò x cos xdx Dạng 5: Tìm nguyên hàm biết giá trị hàm số Bài 12: Tìm a/ c/ e/ F ( x ) = ò f ( x )dx f ( x) = x - + 2, F (2) = x f ( x) = biết: b/ f ( x) = x - 3x + 2, F (- 1) = ; x3 + 3x + 3x - 1 , F (1) = 3; x + x +1 f ( x) = ax + p p f ( x) = tan x, F ( ) = 4 d/ b , F (- 1) = 2, F (1) = x2 §2.TÍCH PHÂN b Định nghĩa: b ò f ( x)dx = F ( x) a = F (b) - F (a) a a Tính chất 1: ò f ( x)dx = a b Tính chất 2: a b Tính chất 3: b b ò k f ( x)dx = k ò f ( x)dx a b Tính chất 4: a ò f ( x )dx = -ò f ( x)dx a b b ò[ f ( x) ± g ( x)]dx = ò f ( x)dx ± ò g ( x)dx a TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC a a Page (7) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ b Tính chất 5: c b ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx, c Î ( a; b) a a c b Tính chất 6: Nếu: f ( x) ³ 0, " x Î [a; b] thì: ò f ( x)dx ³ a b b Tính chất 7: Nếu: f ( x) ³ g ( x), " x Î [a; b] thì: a Tính chất 8: Nếu: m £ f ( x) £ M , " x Î [a; b] thì a f ( x)dx g( x)dx b m(b a) f ( x )dx M (b a) a t Tính chất 9: Cho t biến thiên trên đoạn [a;b] thì nguyên hàm f(t) và G(a) = G (t ) = ò f ( x )dx a là BÀI TẬP Loại 1: Tích phân Bài 1: Tính : 16 I1 = ò( x - x - 3)dx I2 = 1 I4 = dx I5 = I7 = ò cos xdx I10 = ò I13 = dx cos x I8 = dx I6 = ò I11 = p æp ö sin ç - x÷ ÷ ç ÷dx ç è6 ø I14 = 2x + 1 I12 = )dx x +1 òe 2x dx ; I15 = Loại 2: Biến đổi TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC ö ÷ ÷ dx ÷ ø 33 x2 ÷ òççççè4 x - cos 3xdx ò (e æ I9 = 2dx x 3ö ò sin p æ1 dx ÷ òçççèx + x ÷ ÷ ø ò (2 x - 1)2 x ò (3x - e )dx I3 = p p xdx ò x +1 p ò e Page e 2x sin x dx (8) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ Bài 2: Tính :: I1 = ò x2 - x x e2 dx I2 = I4 = I7 = dx ò x( x +1) I5 = I8 = òsin 3x.sin xdx I13 = ò0 p I16 = I6 = æ 1ö ÷ ç x + ÷dx òççè x ø÷ I14 = I17 = p/ ; I12 = 3x + p I15 = cos xdx ò sin x cos2 x p ln 2 x +1 dx ò + sin x I18 = ò e e x +1 dx b Loại 3: Tích phân ò f ( x) dx a Bài 3: Tính : I1 = I4 = ò x - dx I2 = - 2 x ò x + x + 4dx I3 = -3 òx ; I5= TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC ò sin x dx + x - dx - p 2p x dx ò tan x dx ; I6 = Page 2p x )dx 3p ; dx ò cos ( - dx ò sin x cos x p p ò x2 - cos x.cos3 xdx I11 = - p / 2 dx ò + cos x I9 = p/ ò sin x dx + cos x 2dx ò ( x - 2)( x + 3) - 3p p ò x ( x +1)dx π/4 I10 = I3 = - 1 2 x +1 ò x + dx - 1 x2 + 2x + ò x + dx - 1 x +5 - 7x dx ò x (9) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ 2p π I7 = p ; I8= + sin xdx ; I9= ò p √ 1+cos x dx ò tan x + cot x - 2dx §3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Dạng 1: Phương pháp đổi biến số loại (lượng giác hóa) Phương pháp: Tính + Đặt x (t ) dx '(t )dt + Đổi cận : ïìï x = a Þ t = a í ïïî x = b Þ t = b b a f ( x) dx g (t ) dt G (t ) G ( ) G ( ) Dấu hiệu a2 - x2 x2 - a2 CÁC DẤU HIỆU Cách chọn x = asint, x = acost, x= a sin t a x= cos t a2 + x2 , , x = atant, x = acott, Bài 4: Tính TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page - p p £ t£ 2 0£ t £ p t [ ; ] \ {0} 2 p t Î [0; p] \ { } t 2 <t <p (10) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ 2 J1 = ò - x dx J2 = a J4 = òx a - x dx,( a > 0) J5 = ò J7 = 3 J10 = ò 1 J13 = - 9x2 x +1 J8 = dx J11 = - x dx J6 = ò x - 4dx x + x +1 ò 0 dx a2 - x J17 = òx+ òx J15 = ; J18= dx + x +1 x3 dx ò ( x8 +1)2 p sin x ò1 + sin x dx J12 = + x +1 - x2 dx ò1 + x xdx dx dx x + a2 p dx ; J9 = òx ò J14 = - 0 x4 +2x2 + x + J3 = 2 a ò ( x +1)3 ò 1- x dx ò òx dx x dx 2 J16= a x sin x ò1 + cos2 x dx Dạng 2: Phương pháp đổi biến số loại b b f ( x)dx g u ( x) u '( x)dx a Phương pháp: Tính a + Đặt u = u ( x) Þ du = u '( x)dx ìïï x = a Þ u1 = u (a ) í ïïî x = b Þ u2 = u (b) + Đổi cận : b u (b ) b f ( x)dx g u ( x) u '( x)dx g (u )du G (u) a a u (b) u (a) u (a ) BÀI TẬP Loại 1: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC Bài 5: Tính : I1 = ò0 (2 x +1) dx ; TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC x x 1 I2 = Page 10 dx ; (11) GIẢI TÍCH 12 I3 = x x -1 2011 HỌC KÌ dx x I4 = ò0 ( x - 1)5 dx ; Loại 2: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ ò dx = ln | ax + b |; ax + b a dx (ax + b)1- a = (ax + b)a a(1- a) ò Bài 6: Tính : I1 = 3dx ò 1- x I2 = (1- 3x)dx ò ( x +1) I5 = 1/ I8 = ; ; I6 = ò (1 + x )1008 I9 = ; ò (10 x dx ; I12= ò ; ( x +1) dx x) ; ; + x 2012 ò x(1- I10 = ( x +1) I4 = x dx ò x3 +1 x 2012 ) dx ; x dx ò0 (1 + x )3 ò I7 = 100 xdx ò (1 + x )3 I3 = x dx ; xdx ò0 (1+ x)3 x 2013dx I11 = ò0 ( x +1) dx ò0 (1 + x )2 ; x - x1 dx = ln a(x - x1)(x - x2) a(x1 - x2) x - x2 Bài 7: Tính : I1 = ò3 x( x 1) dx x I4 = 12 dx ( x - 2) ( x +1) x x ; I5 = I7= I10= ò (x ò1 ; I3 = dx x ( x +1) ; I6 = ; I8 = xdx + 2011)( x + 2012) dx ò ( x - 1)( x + 4) (7 x 15)dx ; I11 = ; I14 = TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC ; I9 = ; dx x( x5 +1) x dx ò x - x +12 x dx x6 I15 = Page 11 ò0 ; ( x 1)dx x x x I12 = ; 2 xdx x x ò1 x 3x x 11 x 5x dx x x 5x I13 = 1 dx I2 = 10 ; dx ò x( x10 +1)2 2x 1 ; + x5 + x + x + x +1 dx (12) GIẢI TÍCH 12 I16 = ò- x3 - HỌC KÌ x - 14 x2 - x + dx ; I17 = ò ò0 x3 + 5x +8x + dx x n +1 x dx ; I18 = ( x +1)2010 ò ( x + 2)2012 dx ; ; p, q Î ¢ + ( x ) (1 + n ) p x n q Bài 8: Tính : I1 = ò x( x +1) 1 I4 = dx I2 = ò x5 + x3 6+ 2 6+ 2 ò ò I5 = x2 x +1 ; ò I8 = x - x dx +1 òx I9 = x +1 dx ; I10 = I3 = x +1 2dx ò x( x +1)2 6+ 2 6+ 2 ; ; xdx ò ( x +1) I7 = ; dx ò dx ; I6 = x2 - x +1 dx ; dx x +1 ; 1- x ò x + x dx ; Loại 3: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 3.1 Dạng ò é ê ë xn-1 êxmn ;(a + đặt: p ù n q bx ) ú dx;m,n,p Î ¢,q Î ¢ + ú û t = (a + bx n p q ) Bài 9: I1 = I4 = ò I2 = ò x + 2dx 25 - 3x dx I5 = TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC ò - ò 3x - 4-x dx I3 = xdx òx ò x +2 I6 = - Page 12 + x dx x +1 x + x +1 dx (13) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ ò x 1- xdx I7 = I8 = ò x 1- xdx ò x x +1dx I10 = Bài 10: I11 = I1 = x xdx x2 ò (1 + x) x - x dx x I5 = xdx 15 x x dx I8 = x I11 = x I14 = I12 = I20 = I9 = I12 = x 1 x x2 1 ; dx x √ 1+ x I3 = ; I15 = ò7 x 10 ; I18 = I7 = 0 dx ; I10 = x dx ò0 x + ò x5 dx x 1 x ; I21= 1+ x ; I13 = dx x2 + ; dx ò( x 3 x- ò0 1 ; x2 ; xdx x +1 ; x 3dx x 1 I19 = ; I22 = 0 ) + x + x (4 - x + x ) dx m1 ms ù é æ ö æ ö n ns ú ax + b ax + b ê ÷ ç , , dx ÷ ÷ ç ò R êêx,ççèçcx + d÷ ÷ ÷ ú çcx + d ø ø è ú ë û 3.2 Dạng Page 13 ; x dx I24 = - TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC 0 x x dx + x2 ; ; I16 = x dx 1+ x dx 1+ √x x ò1 + x + I23 = - ; dx x x- dx x- ; 4x 1 I17 = 2 dx 2 x 1 3 ò = ; I6 x4 ; dx ( x 1)dx 3 3x ; 1+ x2 ò1 3 x I4 = 0 x )2 dx 2 dx x dx I2 = ; I9 = ò (1- 2x 1 dx ; dx x x 1 (14) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ ax + b = t k , k = BSCNN { n1 , n2 , ns } cx + d đặt Bài 11: ò I= 1 I4 = ò0 63 ò I5 = ò2 3.3 Dạng I3 = ; I8 = x +1 - x- x +1 + x - òR ( x, - 13 x (1- x) ; I6 = ò2 dx ; I11 = ò0 + 1+ x ax2 + bx+ c 1+ x , ta có: I9 = x +1 ò0 ( - x) dx 1- I1= dx ; é b b - 4ac ù ú ax + bx + c = a ê( x + ) ê 2a 4a ú ë û é êR(u, a + u ) ® u = tan t ê ê + bx + c dx = ê R x , ax R (u , a - u ) ® u = sin t ò ê ê a êR(u, u - a ) ® u = ê sin t ë ) 2 ; ; dx Phương pháp này nên sử dụng liên tục trên đoạn tương ứng biến t Bài 12: x dx x 1+ x p p p ïü ïì t = í 0; ± ; ± ; ± ; ý ïîï ïþ ï và x ; ; )dx ( b u = x+ 2a ; x2 1- ò- 1 + x +1dx xdx 1+ x dx 1- x Phương pháp 1: (Lượng giác hóa) Đặt ; òx xdx 0 x +1 + x + 6+ 2 x +1 + x +1 ; ò 10 x +1 I10 = ò0 I7 = I2 = dx dx xdx 1+ x - ; I2= TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC 0 x2 x2 dx ; Page 14 I3 = ò0 x + hàm j (t ) dx 1- x2 ; (15) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ √2 dx 2 x √ x −1 I4 = ò ò8 n ò0 ò ; x ( x - 2) a x n- 1dx a - x ; I9= ( x + 7) I11= ò0 ; 2 2n ; - 3x + x +1dx dx x - x dx x I6= ò0 dt 2 I12 = (2 x +1) x +1 I8= ò0 (t +1)2 (t + 2t + 5)3 - dx x - x + 2dx 3- I10= I5 = x I7= ò0 I14= ; √3 ò (1- x )3 1 ò x2 + x - x dx dx ò I13= - x x - x - ; ; ( n ³ 2) ; I15= ò (1- x )3 dx ; - x2 dx x2 I16= Phương pháp 2: (Phép Ơle) + a > 0: đặt ax + bx + c = ± a x + t + c > 0: đặt ax + bx + c = x.t ± c + Nếu x0 là nghiệm: đặt ax + bx + c = t ( x - xo ) Bài 13: I1= I3= ò I5= dx ò- + 1- x - x ; I2= dx - 3x - x + ò- 1 + x +2x + I4= ; I6= ò1 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC x- x + 3x + dx x + x + 3x + ò- x - ; dx ò0 ; dx x - x +1 ; x x - x + 2dx Page 15 ; ; dx ; ; (16) GIẢI TÍCH 12 dx I7= HỌC KÌ ò0 é dx + x(1 + x) ù ê ú ë û ; I8 = ò- 11 + x + 1+ x2 Một số dạng đặc biệt: 1- ò dx 2- ò ax + bx + c Tính: I1= - 2x - x2 ò (mx + n) ax ò ( x +1) ò ; ; + bx + c x2 + I4 = dx = k ò (mx + n) I2= ; I4 = dx ò0 - x +12 x + u + k bò - ò ; I6= - dx ax + bx + c ( x + 4)dx ò x2 + x + ; ( x + 2) dx ò0 x2 + 3x + ®u= b ± a (mx + n) ò ( x +1) ; du dx mx + n dx x2 + 2x + ; dx x2 - 4x + dx =k ò ( x +1) x + x + ; x2 + 2x + dx x ; I7= dx ( x +1)3 (3x +1) ( Ax + B) dx 4- I2= dx ò (2 x + 3) ax + bx + c dx I5= (ax + bx + c) '+ b x2 - 4x + òx dx ò4 dx I3= I2 = (7 x - 4)dx I3 = - Tính: I1= dx = k ò x2 + 2x - ò 3- ; ( x + 4)dx ò - ® t = u + u2 ±a x2 - 2x + ( Ax + B) u2 ±a dx ò- Tính: I1= du =ò + bx + c ax ò (mx + n) ax + bx + c dx = k ò TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC dx ax + bx + c + kl ò Page 16 dx (mx + n) ax + bx + c (17) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ (2 x - 1) dx ò ( x +1) Tính: I= Pn ( x)dx ò x + 3x + dx = Qn- ( x) ax + bx + c + k ò + bx + c + bx + c 5Đặt Qn-1 theo đa thức bậc n – 1, đạo hàm vế theo x và quy đồng mẫu số, sử dụng phương pháp Hệ số bất định tìm Qn-1 và k ax Tính: I1= x dx ò x2 + x +1 ax 6trên + bx + c Tính: I1= ; I2= P( x)dx ò Q ( x) ax ,phân tích P( x) Q( x) 1+ 2x - x2 x2 + x + phân thức và gặp lại các dạng x3 dx ò (1 + x) ( x +1)dx ò ; I2= ò (1 + x) x3 dx 1+ 2x - x2 ; I3= xdx ò ( x - 1)2 + x - x2 - ; xr (a+ bxp )qdx r , p, q Î ¤ ò 3.4 Dạng ; ( Tích phân vi phân nhị thức) s + Nếu q Î ¢ : đặt x = t với s = BSCNN mẫu số các phân số r, p Tính: I1= ò x(1 + 81 ò I4 = 16 16 dx x) ; I2= ò x(1 + x ) dx ; ; 64 x ( x - 1)3 dx ò I5 = 27 I3= ò dx ; I6= ; x ( x - 1) x (1 + x )5 dx ò (1 + x )- dx x r +1 Î ¢ p s p + Nếu : đặt a + bx = t với s là mẫu số phân số q Tính: I1= ò x3 1- x dx ; I2= ò x 2 + x3 dx ; I3= òx I4= ò 1+ x x3 dx ; TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC I5= ò (4 ò x5 dx x2 ) - x2 ; Page 17 I6= dx x2 + 1- x dx x3 ; ; (18) GIẢI TÍCH 12 I7= HỌC KÌ ò (1 + x )3 - 14 /13 I10= ; ò I8= - 9/7 Tính: I1 = ( x +1) ( x - 1)4 ; I3 = 3 ò 1+ x x dx ; dx I11= - ; a +b = t s p x : đặt với s là mẫu số phân số q ; I9= ò ( x - 1)3 ( x + 2)5 x +1dx x2 ò x - x3 dx ò ; - 3 16 + x dx ò dx ò ær +1 ö ç ÷ + q÷ ç ÷Î ¢ ÷ ç è p ø + Nếu x3 dx I1 = ; I1 = dx (1 + x )3 ; ò x11 I3 = ò dx 1+ x4 ; 1+ x 1 x3 ) (x - x4 I4 = dx ò x4 ; dx Loại 4: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM SIÊU VIỆT 1.Tính: x +1 ò e dx I1 = - p I4 = I7 = cos x ò e sin xdx e ò I10 = 2.Tính: x ; I8 = x e +2 dx ; ; I6 = e dx ò1+ e I11 = x ; I9 = ò I2 = ; ò + e x dx ; I8 = TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC x +1 ; I3 = e2 x dx √e x +1 ; Page 18 ò e cos2 x x3 dx x 1 x )dx dx ln xdx ; tan x I12 = 1- e x ln dx ò0 e2x + ò ; ( x e e - 1dx òe p x ln ; x e x dx I3 = ln dx ò e2 x +1 ; ò x e dx ln ; sin x ò(e + cosx)cosxdx I5 = dx x ò0 I7 = I2 = p ln I1 = ; -x ò xe dx x e + +1 ; ; (19) GIẢI TÍCH 12 I4 = ò e2x + ex ; I5 = æ e x + 3e x ÷ ö ç ÷ ç 2x dx ÷ ç x ç ÷ èe + 3e + ÷ ø ò ò x e2xdx ò 1+ e- x ; I10 = 3.Tính: I8 = ; I11 = e I4 = ò ( + ln x ) e I7 = dx ; I5 = dx ò x(1 + ln x) ; I8 = I10 = e I4 = ò ; ( + ln x ) x e I13 = dx ln3 ; I12 = 3x e 2e e dx e2 x e x 1 ; 3x + ln x dx 2x ; ò1 I3 = e dx ; I6 = x ; I9 = e ò ; I12 = ò e2 ; I14 = x dx ò x ln x e e ; I17 = ò ln xdx x e ; I15 = ln x dx x (2 ln x ) e I22= e ; I20 = òx e dx ò x ln x.ln ex ; ; I18= ; x I23= TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC ln xdx + ln x dx ò x(1 + ln x) e cos(ln x ) dx x e3 e ; cos(ln x ) dx x e + ln x dx 2x ; dx ò x ln x e e ln x.3 + ln xdx ò ln xdx ò x ; I21= 1 3ln x ò ; Page 19 ; - 2ln x dx x 1+ 2ln x e log 32 xdx ; dx ò x.3 ln x + e I19= ; 2x dx 3ln x ln x dx x ò1 dx e ln x + ln xdx I16 = I9 = ; e x 2e x ln ò x.3 ln x + e I11= x dx + 2)2 x e e ò e ln xdx ò x ; x e x I2 = (1 + x)e ò( ln 3x ò + xe e ; I6 = e I1 = ; 1+e e x dx x x + e + 2x e dx + 2e x ln xdx ò x 3ln2 dx ln I7 = HỌC KÌ ; ln x ln x dx x I24= ; (20) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ Loại 5: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC F (- sin x;- cosx) = F (sin x;cosx) đặt t = tan x F (sin x;- cosx) = - F (sin x;cosx) đặt t = sin x F (- sin x;cosx) = - F (sin x;cosx) đặt t = cosx F (sin x;cosx) = a1 sin x + b1 cosx + c1 a2 sin x + b2 cosx + c2 đặt x t = tan 1.Tính: p p I1 = p òsin( - x)dx I4 = I7 = I2 = ò cos I5 = p dx ò sin x p I8 = 4 tan x I10 = 2.Tính: p sin xdx ò + 3cos x dx I11 = cos3 x sin x p 12 ò sin xdx I12 = dx x + tgx ; I2 = dx ò sin x.cos2 x p ; I5 = dx ò cos2 3x(1 + tan 3x) ; I10 = ò sin xdx cos xdx x.cos x ò sin cos x dx + 2sin x ; p I3 = 12 ; p sin x - cos x ò sin x + cos x dx ; + cos x ò1 + cos x I6 = p ò cot g xdx p p p p ò p dx cos x p ò cos I7 = I9 = x.sin xdx ò + sin x dx p I4 = p p p ò cos2 x I6 = ò + 4sin x cos3 xdx ò x.sin xdx I3 = ò cos p p/ p p I1 = -p p p ò tan xdx ; TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC I8 = ò (tgx + tg x )dx ; I11 = ò p tan xdx ; Page 20 I9 = ò p I12 = ò p cos xdx dx cos x ; ; (21) GIẢI TÍCH 12 I13 ò = p dx sin x I14 p p dx cos x.sin x ò p ò = ; I17 = ; I20 ; p sin x dx cos x ; ò p I23 = p 12 p ò p p 4sin xdx ò + cos x I25= cos x dx + sin x ; ò = cos xdx + cos x p sin xdx + cos x ò I19 = ; ò I16 = I22 = p HỌC KÌ 4sin xdx + cos4 x I15= ò0 I18= ; cos x + sin x + sin x I21 ò ; I26= p ò = dx ; I24= cos x.dx cos x p I27 = ; sin xdx cos x + ; ò sin x + cos xdx ; + sin x dx sin x dx + cos x ; p p ò sin x + cos x p 2p ò cos x - sin x dx + sin x ; 3.Tính: p p sin xdx ò 2sin x + cos x I1 = ; p ò I2 = + sin x + cos x ò sin x + cos x dx p p cos xdx I4= ( sin x + cos x + 2) ; I5= π √ cos x − cos x dx cos3 x + cos5 x dx x + sin x ò sin p ; p ; I3= ò sin x.cos xdx a cos x + b sin x ; I6= ; I7= sin xdx ò + cos x p p p ; I8= 4sin x ò ( sin x + cos x) ò dx ; I9= p I10 = ; p p sin x ò cos6 x dx p sin x - sin x cot xdx sin x ò sin p ; I11= TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC dx ò sin x +1 ; I12= Page 21 p dx x cos x ; (22) GIẢI TÍCH 12 p sin xdx ò ; I14= ; I17= sin xdx ò (sin x + cos x)3 I22= ; I20= I23= I25= p I28= Tính: p 11 - p I3 = I5 = ò p I7 = ò p x ; I21= ò ; I26= p ( sin x + cos x + 2) sin x ( + sin x) dx p p sin x.sin( x + ) dx sin x.cos5 x ; I27= p cos xdx ò 2cos x + 3sin x ; )dx cos x I30= p ; tan xdx ò cos x ; x + cos x ) dx tan( x ; + cos x p -(1sin)co2xd 0+-x(1sin)2co2 ò I2= ; ; I4 ò = p sin x + cos x + dx 4sin x + 3cos x + ; 4p dx x - 1) cos xdx cot xdx dx x - 8sin x.cos x + 5cos x cos x òcos x(sin p ; I29= òp ; ; TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC ; p dx ; I24= cos xdx 7sin x - cos x ; ò ò 3sin + sin x I18= ò (cos ò sin xdx ò cos x I1= p 3sin x cos x dx (sin x cos x ) ; sin x dx cos x sin x sin x dx 3cos x p sin x sin ; I15 = p cos3 x òp sin2 x dx ; p tan x ò cos x dx p I19= p sin x cos x cos x dx I16= 2sin x sin x dx - cos x p I13= HỌC KÌ I6 = I8 = ò p dx sin x ; dx + tgx Page 22 ; ; (23) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ p I9 sin xdx ò 3sin x - sin x - 3sin x = p I11 = ; I10 = ; I12 = sin x dx 4 sin x sin x cos x I13 = Dạng 3: Ý nghĩa: ; I14 = ; 3sin x + 4cos x ; sin x - cos x +1 ò sin x + cos x + dx ; Phương pháp tích phân phần b b b a a a b ò u '(x).v(x)dx + ò u(x).v '(x)dx = ò [u(x).v(x)] 'dx = [u(x).v(x)] a b Phương pháp: + Phân tích: b f ( x)dx u ( x).v '( x)dx a a b Þ b b òu( x)v '( x)dx = [u ( x).v( x)] a a b hay: b òu '( x).v( x)dx a b òudv = uv a - ò vdu a a sin(ax b ) P( x ) cos(ax b) dx a e ax b ésin(ax + b) ù ê ú ú u = P ( x ); dv = ê êcos(ax + b)údx ê ax+b ú ê ú ëe û b Loại 1: cos xdx x - 5sin x + ò 3sin x + 4cos x dx p p sin xdx ò1 + sin x òsin Đặt: Tính: p I1 = p p ò x cos xdx ; I2 = ò x cos xdx ; I3 = ò( x x ò x sin dx p I4 = ; I5 = TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC ( ) ò x 2cos x - dx ; I6 = Page 23 ) +1 sin xdx p 2p xdx ò sin x p ; ; (24) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ p I10= ò0 p xtg xdx ; I11 = p ( x + sin x ) ò cos x sin x ò( e + x) cos xdx ò I16 = I19= ò0 p p x cos2 xdx x cos xdx p I21 = ò0 Tính: 2x x 1 e ; ; p I20= dx ; x sin x cos xdx ; p I15 = ò x cos x sin sin xdx ; I18 = ex Loại 2: Tính: ò sin ; ; ; ) I3 = òe I8 = x ; ; I7 ò = e 2x e dx I6 = I9 = ò ; x +1 x e x dx éln q( x) ù ú; dv = P ( x) dx u =ê êlog a q( x)ú û Đặt: ë û ù ò P( x) êêlog a q( x)úúdx a ë ò I2 = ln e dx x ( 3x + 2) ln xdx I3 = ò I4 = ò1 ; ò( x +1) dx x dx - ò xe 1 ln ( 1+ x) dx xdx - x - e- x dx I5 = éln q ( x) ; 2 - x ò x e dx ò( x ; xdx ; b ( p 2) ( x sin 2 x) cos xdx I2 = ; I17 = ò x dx ò I1 = ò1 ; p dx I4 = I14 = ò x(cos x + sin x)dx ò x.e I7 = I12 = 1 I1 = ; x cos x ò sin x dx p p I13 = dx x ln xdx ln x dx x3 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC e I5 = 1 I8 (1- x ) ln xdx ò = e ln x dx x5 I6 = I9 = Page 24 ò ò1 ln x dx x +1 ln ( x +1) dx x2 (25) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ I10 = ò1 e I13 = ò1 ln xdx ( x +1)2 + ln x ò ( x +1) dx e e x ln xdx e I16 = I11 = ò(2 x I14 = ò1 ò x ln(1+ x )dx I12 = ln xdx I15 = ò1 x )ln xdx x x ln( x I17= ò + x +1)dx ; I18 = x log xdx ln ( x +1) ò ( x + 2) dx ; Tính: I1= ò1 e ln xdx e e I2 = ò1 ; ò ( x ln x ) I4= e dx ; I5 = x ln2 xdx æln x ÷ ö2 ç dx ÷ ç ÷ ç èx ø ò I7 = I9 = ò 1+ x ln dx - x 1- x p sin x ln I11 = ò b òe x ; I8 = ; ; I6 = ; ò (1- ln x) dx 1 ö ÷ + ln x÷ dx ÷ ÷ + ln x ø ; æ ln x p p cos x ln ò p cos x ln I12 = ò ; x ln2 xdx e òççççèx I10 = ( + cos x ) dx ; e e æ ln x ö ÷ ÷dx òççççèx + ln x + 3x ln xø÷ ÷ e I3 = ò1 ; ( sin x ) dx ; ( + cos x ) dx ; ésin x ù ésin x ù údx ê ú; dv = e x dx u =ê ê ú cos x ê ë û (Tích phân lặp) Đặt: ëcos xú û Loại 3: a Lưu ý: tính đến TP thứ tiếp tục áp dụng thuật TPTP trên lần và dừng lại thấy xuất TP ban đầu; áp dụng chuyển vế tìm I Tính: p I1 = òe p x cos xdx ; I2 = TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC òe x p sin xdx ; I3 = Page 25 òe 3x .sin xdx (26) GIẢI TÍCH 12 p I4 = HỌC KÌ 2 -2 x ò e cos3 xdx ; I5= òe ò cos ( ln x) dx ; I8= x .sin (px) dx ; p ep I7 = p ò I6 = tan x.ln(cos x) dx cos x òe I9= sin xdx ; p ; 2x ò (e cos x + sin x) sin xdx b x ò[ u ( x) + u '( x)] e dx ò (u.v '+ u ' v)dx = ò (uv)' dx = u.v Loại 4: a ; b b b b b x ò[ u ( x) + u '( x)] e dx òu ( x)e x dx + éêëu ( x)e x ùúûa - òu ( x)e x dx = éêëu ( x)e x ùúûa = a a a Tính: e I1 = ò 1 + x ln x x e dx x )e x ò ( x +1I4 = Loại 5: x+ x I2 = ; I5 = x ±a ò + sin x ò (2 cos x ò1 + cos x e dx p dx TC1: ; dx ò Tính: I1= p ; I3 = xe x ò (1+ x)2 dx ; x + x cos x)e sin x dx = ln | x + x2 ± a2 | dx x2 + ; a I2= ò0 x + a dx a ; I3= ò0 x x + a dx §4 TÍCH PHÂN HÀM CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT Nếu hàm số f là hàm số chẵn và liên tục trên [- b;b] , " x Î ¡ và < a ¹ ta có: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 26 (27) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ b b f ( x) ò ax + 1dx = ò f ( x) dx -b Tính: p I1= sin2 x ò 3x + 1dx - p p ; I2= ò dx ò cos x(1+e I4= p x sin x dx p 1+ 2x p - 3x ) ; I5= I7= TC2: ò ; sin6 x + cos6 x dx 6x + p ; I6= ò- 1- x2dx 1+ 2x ; sin4 xdx òp 2x + 1 x4 + x2 ò 3x + dx - p p x4dx x ò I3= - 1+ ; ; I8= - ; éa ê f ( x )dx = 0, neáu f(x) leû êò ê- a êa a ê êò f ( x )dx = 2ò f ( x )dx , neáu f(x) chaún ê ë- a Nếu f(x) liên tục trên [-a;a] thì: ê Tính: p I1= ò- p/ I3= ò - p/ 2011 ( x - x + 2) sin x 1+ x + x dx ò x7 sin8 xdx ; I2= ò( ln( x + I7= - ; ; x2 ò cos x.ln( x + ; I6= ) - p ; x +1) dx TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC x +1)dx é x3 ù ò- êêêln( x + x +1) + (1 + x )3 úúúdx = ë û = ; ; ) sin x + e x x dx p + tan x ò x2 +1 dx - p ò (e I = -1 dx I5= - I8 Page 27 (28) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ TC3: Nếu hàm số f liên tục trên [ ; ] thì p p 0 ò f ( sin x) dx = ò f ( cosx) dx 1.Tính: I1= p I3= I5= ò p cos xdx cos4 x + sin4 x ; sin x dx sin x + cosx ò p p 2011 ; I4= ò ln sin x ò 2011 cosx + 2011 sin xdx ; p Chứng minh: a/ TC4: I2= p p ò cos n I6= ò p sin6 x ò sin6 x + cos6 x dx (1+ sin x)1+cosx dx 1+ cosx ; ; sin2011 x dx sin2011 x + cos2011 x ; p 2 xdx = ò sin n xdx, ( n Î ¢ + ) b/ ò sin sinn xdx p = n x + cos x n Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] và f ( a + b - x) = f (x) thì: b ò xf (x)dx = a p Đặc biệt: b a +b f (x)dx ò a b p ò xf (sin x)dx = ò f (sin x)dx a p Tính: I1= ò0 p x.sin xdx ; I2= ò0 p x sin x cos xdx ; I3 = x sin x ò + cos2 x dx TC5: Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] thì: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC b b a a ò f ( a + b - x) dx = ò f (x)dx Page 28 ; (29) GIẢI TÍCH 12 Đặc biệt: HỌC KÌ b b 0 ò f ( b - x) dx = ò f (x)dx p ò ln(1+ tan x)dx ò ln(1+ x)dx 1+ x2 Tính: I1= ; I2= TC6: Nếu f(x) liên tục trên ¡ và tuần hoàn với chu kì T thì : T a+T a ò f (x)dx = ò nT T 0 a f (x)dx = ò f (x)dx, " a Î 3p 100p ò sin xdx Tính : I1= ; TC7: Nếu f(x) liên tục trên ¡ thì : p 2a ( đặt u = x – T) ¥* ò f (x)dx = nò f (x)dx, n Î ¡ a- T ò I2= 1- cos2xdx a ò f (x)dx = ò[ f (x) + f (2a - x)] dx, " a Î ¡ 0 3p Tính: I1= ò sin x sin2x sin3xdx 3p ; I2= ò sin x sin2x sin3x sin5xdx §5 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN TRUY HỒI Chứng minh: a/ ò - x + e dx £ ; b/ p £ 1£ c/ ò 3p p 1 + x dx £ 1£ ; TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC d/ ò 3- ò dx p £ 2sin x + x2 dx £ 2 Page 29 (30) GIẢI TÍCH 12 p e/ p £ 16 ò p g/ HỌC KÌ dx p £ + 3cos x 10 f/ 3 sin xdx < < ò x p I(t) = ò t xdx ò x2 +1 £ p dx p < < ò - x - x +4 h/ ; I=ò 2.a/ Tính: b/ Đặt ; £ x dx x2 - ; tg xdx p (0 < t < ) cos 2x Tính I(t) và chứng minh: æ pö ö ( tg2t+3tgt) æ p÷ ÷ ç tg ç t + > e , < t < ÷ ÷ ç ç ÷ ç ç è è ø 4ø 4÷ " x,e x > x Þ e- x £ x ; a/ CM: b/ CM: 200 ò100 ò b/ CM: x 4.a/ CM: e > + x, " x ¹ ; 1 dx p £ ò £ 2012 1- x 5.a/.CM: ; p 6.a/ Tính:I1= b/ CM: ò ò0 p b/ CM: I2= ò p x2 dx £ 0,01 e1+x dx sin2xdx 1+ sin4 x ; ò0 > 4+p cos px dx £ ln2 1+ x sin2xdx 1+ cos4 x sin x cosxdx p > 4 (1+ sin x)(1+ cos x) 12 t ln x J (t ) dx , t 1 x b/ Đặt , tính J(t) theo ln xdx x ; 7.a/ Tính:I = t ,suy J(t) < 2, " t > exdx ln10 8.Cho số thực b ln2 Tính J = Cho e- In = ò òb x lim J e - và tìm b®ln xdx 1- x 2n TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC a/ Tính I2 ; b/ Chứng minh: Page 30 In < p 12 (31) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ 10 Cho I n = ò x n e x dx, n ³ 0 I n+1 £ In , lim I n = a/ Tìm hệ thức liên hệ In+1 và In; dx I n =ò ,n Î ¥ n (1 + x ) 11 Cho b/ CM: a/ Tìm hệ thức liên hệ In-1 và In ; b/ Tính I3 n®¥ 12 Tính lim ò xn (1+ e- x )dx e I n = ò (ln x)n dx, n Î ¥ 13 Cho a/ Tính I1 ; c/ CM: I n + I n+1 = I n ³ I n+1 p 15 Tính 16 Cho b/ Tìm hệ thức liên hệ In-1 và In p I n = ò tannxdx, n Î ¥ 14 Cho a/ CM: ò I= n- 1; ; b/ CM: 1 < In < 2( n + 1) 2( n - 1) d/ Tìm hệ thức liên hệ In-2 và In n cos x cos(nx)dx, n Î ¢ + p I n = ò xtgnxdx, n Î ¢ + a/ Tính I2 ; b/ CMR: In n+2 æ pö ÷ ç > ÷ è4ø n + 2ç §6 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Vấn đề 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y =f(x) (liên tục trên đoạn [a;b]), hai đường thẳng x = a, x = b và trục Ox b Công thức: S = ò| f (x) | dx a TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 31 (32) GIẢI TÍCH 12 Đặc biệt: HỌC KÌ 1) Diện tích hình tròn tâm O, bán kính R là : R S= ò R - x dx = pR x2 y + =1 b 2) Diện tích elip a (a > b > 0) là : a S= b ò a - x dx = p.ab a b S = ò| f (x) | dx = a Lưu ý: x1 ò f (x)dx + a x2 ò f (x)dx + + x1 b ò f (x)dx xn Với xi là nghiệm f(x) chứa [a;b] Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn các đường: 1/ y= x +2 trục Ox , Oy và đường thẳng x = -2 2/ y = x - x + x, x = 2, x = 3/ y= y= 4/ x2 + x + x +2 , trục Ox, trục Oy và x = x(1 + x3 ) , x = 1, x = và trục Ox p 3p y = sin x, Ox, x = , x = 2 5/ 6/ y = sin x , trục Ox, Oy và x = p 7/ y = ln x , trục Ox, x = 1, x = e 8/ y=x ln x ; trục Ox; x = 1; 9/ y = sin x + sin x +1 , x = e y = 0, x = 0, x = p Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y =f(x), y = g(x) (liên tục trên đoạn [a;b]), hai đường thẳng x = a, x = b TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 32 (33) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ b S = ò| f (x) - g(x) | dx a Công thức: Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn các đường: 1/ y= x - x +1 , y = x - 1, x =1, x = x 2/ y = x + sin x, y = x, x = 0, x = p 3/ y = x - x , y = x - , x =- 1, x = y= 4/ 1 p p ,y= ,x = ,x = sin x cos x 5/ y = + sin x, y = + cos x với x ∈ [ ; π ] ; Loại 3: Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) Phương pháp: Xét pt: f(x) – g(x) = 0, tìm nghiệm x1 < x2 < …< xk Gọi S là diện tích cần xác định, ta có: xk x2 xk f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx S= 1/ Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn các đường: x1 a) x1 xk ( C ) : y = x - x - với trục hoành; b) ( C ) : ( y - x) = x , x = y2 = 2x;27y2 = 8( x - 1) c) d) ( C ) : y = x ( x - 3)2 với trục Ox ( C ) : y = x (3 - x) với trục hoành C : y = x ( x +1)( x - 2) f) ( ) với trục Ox ( C ) : y = x - x +16 với trục hoành g) e) h) y = x - x + x + và trục Ox; 2/ Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn các đường: a) y x x , y x TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 33 (34) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ 2 b) y = x + x -1 và y = - x c) y=x − x , y=− x2 + x y = x3 - x , y = ( x - 1) d) e) y = x - 3x, y = x f) y = x , x + y = với trục hoành y = x - 12 x, y = x g) 2 h) y = x - x , y = x 3/ Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn các đường: y= a) 2x - x +1 , tiệm cận ngang và đường thẳng x = 3 b) y = x - và tiếp tuyến điểm (-1; -2) P : y = x - 4x + c) ( ) và tiếp tuyến kẻ từ d) y= y= f) x2 - x +5 x - , tiệm cận xiên và £ x £ x + x +1 x +1 , trục Oy, tiệm cận xiên (C) và x = 1- x , y = x g) y = 1y = 4h) x2 x2 ,y= 4 2 2 i) y = x, x + y = j) k) ö 1÷ ÷ ø x2 x - , tiệm cận xiên và đường thẳng x = -1, x = y= e) æ Aç ;ç è2 y = x2 - y=e x và y = x + ; y=e− x , x=1 l) y - 2y + x = và x + y = m) x - y + = 0;x + y - = 0;y = ; TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 34 (35) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ 2 n) y = x ; y = - x 2 o) y = x ;x = - y p) (C 1) ;y = 27 x2 ;( P1) : y = x2;( P2) : y = x 4/ Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn (P): y = x2 và đường thẳng (d) qua I(1;3) biết diện tích đó lớn 5/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) : y=x − x +5 và tiếp tuyến (P) A(1;2) và B(4;5) 6/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường ( P1 ) : y=x − x +2 ; ( P2 ) : y=x 2+ x +5 và y = 7/ Trên mặt phẳng toạ độ tiêu chuẩn cho đường Parabol: y = - 3x - x và y = + x - x a) Xác định a và b cho đường thẳng y=ax +b đồng thời là tiếp tuyến parabol Xác đinh toạ độ các tiếp điểm b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường parabol đã cho và tiếp tuyến vừa xác định trên 8/ Biết (P): y 2=2 x chia hình phẳng giới hạn đường tròn x + y = thành phần tính diện tích phần 9/ Cho (P): y=x và (Δ) qua A(1;4) và có hệ số góc k Xác định k để diện tích phần hình phẳng bị chắn phía (P) và bị chắn phía trên (Δ) đạt giá trị nhỏ 10/ Cho (P): y=x +1 và đường thẳng (Δ): y=mx+ Hãy xác định m cho diện tích hình phẳng giới hạn các đường thẳng (Δ) và (P) là nhỏ Vấn đề 2: TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY Loại 1: Vật thể tròn xoay (T)sinh miền (D) giới hạn y = f(x), x = a, x = b, y = quay quanh trục Ox b b V = pò y2dx = pò[ f (x)] dx a a Công thức: 1/ Tính thể tích khối tròn xoay, cho hình phẳng tạo các đường sau quay quanh trục Ox : TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 35 (36) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ 2 a) y = x , y = 0, x = 0, x = b) y = x - x + 4, y = 0, x = 0, x = 3 c) y = x , y = 0, x = 0, x = d) y = ln x, y = 0, x = e , trục Oy x p y = sin cos x, y = 0, x = 0, x = 2 e) 2/ Tính thể tích khối trịn xoay, cho hình phẳng tạo các đường sau quay quanh trục Ox : x a) y = xe , x = 2, y = b) c) y = x , y = 3x + và y=2+ x y=4 − x d) y = x và y = x e) y = - x và y = f) y = x - x và y = x 3/ Gọi (D) là miền giới hạn y =- x +10, y =1, y = x ( x > 0) và P : y = x2 (D) nằm ngoài ( ) Tính thể tích vật tròn xoay tạo nên (D) quay quanh trục Ox 4/ Tính thể tích vật tròn xoay tạo nên hình phẳng (H) quay quanh Ox a/ (H ) : y = sin x p ,Ox, x = 0, x = sin x + cosx b/ (H ) : y = x , y = 3x + c/ { } (H ) : ( x - 1) + ( y - 2) £ y = tan3 x,y = 0, x = ± 5/ Cho hình phẳng (D) giới hạn các đường a/ Tính diện tích miền (D); b/ Tính thể tích tròn xoay quanh tạo thành cho (D) quay quanh trục Ox TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 36 p (37) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ 6/ Cho hình phẳng (D) giới hạn các đường sau đây: y2 = sin6 x + cos6 x;0 £ x £ p , trục Oy Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên quay hình (D) quanh trục Ox Loại 2: Vật thể tròn xoay (T) sinh miền (D) giới hạn x = g(y), y = a, y = b, x = 0, quay quanh trục Oy Công thức: b b a a V = pò x2dx = pò[ g(y)] dx 1/ Cho miền (D) giới hạn : y = x ; y = - x ; y = a/ Tính diện tích miền (D) b/ Tính thể tích vật thể tròn xoay (D) quay quanh Oy 2/ Cho hình phẳng giới hạn các đường y = x - x , y = Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành hình phẳng quay quanh trục Oy 3/ Cho miền (D) giới hạn : y = x +1, x = 0, y = a/ Tính diện tích miền (D) b/ Tính thể tích vật thể tròn xoay (D) quay quanh Oy 4/ Cho (D) giới hạn đường: ( P ) : y = ( x - 2) ,( D ) : y = Tính thể tích khối tròn xoay (D) a/ quay quanh Ox; b/.quay quanh Oy? 5/ Tính thể tích vật thể tạo (E): Oy y= ( x - 4) y2 + £1 16 quay quanh trục x ; y = - x ;y = 6/.Cho miền (D) giới hạn : a/ Tính diện tích miền (D); b/ Tính thể tích vật thể tròn xoay (D) quay quanh trục Oy 7/ Cho hình tròn tâm I(2; 0) bán kính R = 1quay quanh Oy Tính thể tích hình xuyến tạo nên Tích phân các đề thi tốt nghiệp và đại học TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 37 (38) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ ln x x ò (e +1) e dx TN 2012 òx TN 2010 TN 2009 ò x(1 + cos x ) dx A2010 (1 + x ) dx ò B2009 1 x e x x 2e x 2e x CĐ2009 A2011 I = x sin x ( x 1) cos x dx x sin x cos x D2011 I 4x dx 2x A, A1 2012 x3 I dx x 3x D 2012 ln x 2x x 1 dx CĐ2010 B2011 x sin x I dx cos x CĐ2011 I 2x dx x(x 1) B 2012 I x (1 s in2x)dx CĐ 2012 I = CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC ) + x e x dx B2010 ln( x 1) I dx x dx x ln x dx dx - 2x e 3 x x ln xdx ( x +1) ò( e e D2010 + ln x dx ò ex 1 p cos x cos xdx A2009 +5 ln x dx x ò TN2011: D2009 e Page 38 x dx x 1 (39) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ ĐỊNH NGHĨA PHÉP TOÁN SỐ PHỨC I> Khái niệm số phức: Là biểu thức có dạng a + b i , đó a, b là số thực và số i thoả i = –1 Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + b i / a, b và i = –1} Ta có Ì Số phức có phần ảo là số thực: z = a + i = a Ì Số phức có phần thực là số ảo: z = 0.a + b i = b i Đặc biệt i = + i Số = + i vừa là số thực vừa là số ảo II> Số phức nhau: Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i a a ' Ta có z = z¢ Û b b ' VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1) 2 x 2 y x y 2 x 2 Û Û x y 2 y 0 (1) Û y 3 x III> Biểu diễn hình học số phức: Mỗi số phức z = a + b i xác định cặp số thực (a; b) Trên mặt phẳng Oxy, điểm M(a; b) biểu diễn số phức và ngược lại Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức gọi là mặt phẳng phức Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 39 (40) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là: z A = + i , z B = –3 + i , zC = –2 i , z D = – i IV> Môđun số phức: Số phức z = a + b i biểu diễn điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi là môđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b VD: z = – i có z 4i 32 ( 4)2 =5 z a b 2abi (a b ) 4a 2b a b z Chú ý: V> Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp z là z a bi z = z z = a + bi Û z = a - bi z z , *Chú ý : Z ¿n ; i=−i ; −i=i (Z n )=¿ Z =Z Z là số thực ⇔ ⇔ Z =− Z Z là số ảo * Môđun số phức Z=a + b.i (a; b R) 2 ∀ z | Z | = | Z | Chú ý: C |Z|=|OM|=√ a +b =√ z z Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy VI> Cộng, trừ số phức: Số đối số phức z = a + b i là –z = –a – b i Cho z a bi và z ' a ' b ' i Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i Phép cộng số phức có các tính chất phép cộng số thực VII> Phép nhân số phức: Cho hai số phức z a bi và z ' a ' b ' i Nhân hai số phức nhân hai đa thức thay i = –1 và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 40 (41) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ k.z = k(a + b i ) = ka + kb i Đặc biệt 0.z = "z z.z = a + b = z z z = (a + b i )(a – b i ) hay VD: Phân tích z + thành nhân tử z + = z – (2i ) = (z – i )(z + i ) Phép nhân số phức có các tính chất phép nhân số thực VIII> Phép chia số phức: z -1 = Số nghịch đảo số phức z a bi là a - bi = a + bi a + b Cho hai số phức z a bi và z ' a ' b ' i thì a' + b'i (a' + b'i)(a - bi) = a + bi a + b2 VD: Tìm z thoả (1 + i )z = 3z – i i Ta có (3 – – i )z = i Û z = 2i Û i (2 2i) 2i 1 z Û z Û z i 44 4 z = z z hay z ' z '.z z z hay IX> Lũy thừa đơn vị ảo: Cho k N 4k 4k+ = i; i 4k+ = -1; i 4k+ = -i i = 1; i 13 VD: Tìm phần thực và ảo số phức: z = (2 2i) z (2 2i) (2 2i) (8i) (2 2i) 86.2 86.2i 219 219 i 19 19 Phần thực a = , phần ảo b = 2.BÀI TẬP PHÉP TOÁN SỐ PHỨC 1) Tìm các số thực x, y biết: a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 41 (42) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ b) (1 – 2x) – i = + (1 – 3y)i; c) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; 1 1 Hướng dẫn: a) x = , y = c) x = , y = b) x = 0, y = 2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: a) Phần thực z –2; b) Phần ảo z 3; c) Phần thực z thuộc khoảng (–1; 2); d) Phần ảo z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực và phần ảo z thuộc đoạn [–2; 2] Hướng dẫn: a) Là đường thẳng x = –2; b) Là đường thẳng y = 3; c) Là miền giới hạn hai đường thẳng song song x = –1 và x = không tính biên; d) Là miền giới hạn hai đường thẳng song song y = và y = tính biên; e) Là miền giới hạn bốn đường thẳng đôi song song x = –2, x = và y = –2, y = tính biên 3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: a) |z| = 1; b) |z| c) < |z| d) |z| = và phần ảo z Hướng dẫn: 2 a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a b 1 , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1; 2 b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a b 1 , là hình tròn tâm O, bán kính R = tính biên; 2 c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a b 2 , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = không tính biên, bán kính lớn R = tính biên; 4)Thực các phép tính sau: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 42 (43) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ (1 i) (2i)3 i b) a) 2i(3 + i)(2 + 4i) 5)Giải phương trình sau: a) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = + 3i; z (2 3i) 5 2i c) 3i b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z i Hướng dẫn: a) z = b) z = 5 c) z = 15 – 5i 6)Xác định các số phức biểu diễn các đỉnh lục giác có tâm là gốc tọa độ O mặt phẳng phức, biết đỉnh biểu diễn số i Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số – F cos ;sin i 6 nên F biểu diễn số 2 C đối xứng F i i 2 E đối xứng F qua Ox nên qua O nên C biểu diễn số i E biểu diễn số 2 B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số i 2 z i ; z ; z ; ( z )3 ;1 z z 2 Hãy tính: z 7)Cho z 1 Hướng dẫn: Ta có nên 1 3 i z z i z z z 1 ; z 2 2 ; ; z z 0 8)Chứng minh rằng: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 43 (44) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ zz a) Phần thực số phức z , phần ảo số phức z z z 2i b) Số phức z là số ảo và z z c) Số phức z là số thực và z z d) Với số phức z, z¢, ta có z z ' z z ', zz ' z.z ' và z z' z' thì z z Hướng dẫn: z a bi, z a bi (1) zz a) Lấy vế cộng vế Phần thực số phức z Lấy z z vế trừ vế phần ảo số phức z 2i b) Số phức z là số ảo và phần thực Û z z 0 Û z z c) Số phức z là số thực và phần ảo Û z z 0 Û z z 2 d) z a bi; z ' a ' b ' i; z z a b là số thực z z ' (a a ') (b b ')i (a a ') (b b ')i (a bi ) ( a ' b ' i ) z z ' zz ' (aa ' bb ') (ab ' a ' b)i (aa ' bb ') (ab ' a ' b)i ( a bi)( a ' b ' i) z.z ' z ' z '.z z '.z z '.z z ' z.z z z z.z z.z 9)Chứng minh với số nguyên m > 0, ta có i m 1; i m 1 i; i m 2 1; i m3 i 2 Hướng dẫn: Ta có i i i 1 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 44 (45) GIẢI TÍCH 12 m i HỌC KÌ 1m Û i m 1 Û i m i 1.i Û i m 1 i Û i m 1.i i.i Û i m 2 Û i m 2 i 1.i Û i m 3 i 10)Chứng minh rằng: | u u e) Nếu mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | | z | và từ đó hai điểm A1 , A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 A A z2 z1 thì ; f) Với số phức z, z¢, ta có |z.z¢| = |z|.|z¢| và z thì z' z' z z g) Với số phức z, z¢, ta có Hướng dẫn: zz' z z' z a b2 u z a bi u a) thì , biểu diễn số phức z thì = (a; b) 2 u a b đó | u | | z | A1 , A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì A1 A2 OA2 OA1 z2 z1 A1 A2 z2 z1 z.z ' aa ' bb ' ab ' a ' b i b) z a bi , z ' a ' b ' i , , z a b , z ' a '2 b '2 2 z z ' a b a '2 b '2 Ta có Ta có 2 2 2 z.z ' aa ' bb ' ab ' a ' b aa ' bb ' ab ' a ' b a b2 a '2 b '2 Vậy |z.z¢| = |z|.|z¢| z' z z' z z' z ' z '.z z z.z z z z Khi z ta có TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 45 (46) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ c) u biểu diễn z, u ' biểu diễn z¢ thì u u ' biểu diễn z + z¢ và z z ' u u ' u Khi , u ' 0 , ta có 2 2 2 u u ' u u ' u u ' cos u , u ' u u ' u u ' u u ' u u ' u u ' zz' z z' đó 11)Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: z i 1 z i 1 z z 4i a) b) z i c) Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức a) Với z x yi z i 1 Û x ( y 1)i 1 Û x ( y 1)2 1 Û x y 1 1 Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = b) Với z x yi z i 1 Û x ( y 1)i x ( y 1)i z i 2 Û x y 1 x y 1 Û y 0 Tập hợp các điểm M là trục thực Ox c) Với z x yi z z 4i Û x yi ( x 3) (4 y )i Û x y ( x 3) (4 y )2 Û x y 25 0 Tập hợp các điểm M là đường thẳng x y 25 0 12)Chứng minh với số phức z 1, ta có z10 z z z z TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 46 (47) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ Hướng dẫn: Với z 1, z z z z 1 z z z z10 z z z z10 Chia hai vế cho z – đẳng thức chứng minh.(Cấp số nhân) 13)Hỏi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho biểu thức xác định)? z z z ( z )2 2 3 a) z ( z ) b) z ( z ) c) zz Hướng dẫn: Ta có z a bi, z a bi , z (a b ) 2abi, z (a b ) 2abi, 3 2 3 2 Và z (a 3ab ) (3a b b )i, z (a 3ab ) (3a b b )i z z b i 2 2 3 z ( z ) 2( a b ) z ( z ) a ab Vậy là số thực; là số z ( z )2 4ab i a b là số ảo ảo; z.z 13)Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: 2 2 a) z là số thực âm; b) z là số ảo ; c) z ( z ) d) z i là số ảo Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì z x yi z x y xyi; z x y xyi 2 a) z là số thực âm xy = và x y Û x = và y Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O 2 b) z là số ảo x y 0 Û y = x Tập hợp các điểm M là đường phân giác gốc tọa độ 2 c) z ( z ) xy = Û x = y = Tập hợp các điểm M là trục tọa độ TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 47 (48) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ x ( y 1)i 2 d) z i = x ( y 1)i x ( y 1) là số ảo x = 0, y Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0; y) 14).Tìm nghiệm phức phương trình sau: i z 0 c) z 0 a) iz i 0 b) 3i z z iz 1 z 3i z 3i 0 d e) Hướng dẫn: z i z i 10 10 5 a) z 1 2i b) c) d) i; 3i; 3i e) z 2i 15) Cho số phức z x yi (x, yR) z i a) Khi z 1, hãy tìm phần thực và phần ảo số phức z i b) Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z i z thỏa điều kiện z i là số thực dương.) Hướng dẫn: x2 y2 2x 2 2 h) Phần thực là x ( y 1) , phần ảo x ( y 1) 2 i) Là số thực dương x 0 và x y Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn hai số phức i, i 16)a) Trong mặt phẳng phức cho điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 Hỏi trọng tâm DABC biểu diễn số phức nào? b) Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số z z2 z3 phức z1 , z2 , z3 thỏa Chứng minh A, B, C là đỉnh tam giác và z1 z2 z3 0 Hướng dẫn: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 48 (49) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ a) Gọi G là trọng tâm DABC, ta có 1 OG OA OB OC z1 z2 z3 3 G biểu diễn số phức z z1 z2 z3 OA OB OC b) Vì nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O Tam giác ABC trọng tâm G trùng O hay z1 z2 z3 0 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I> Căn bậc hai số phức: Cho số phức w, số phức z = a + b i thoả z = w gọi là bậc hai w w là số thực: w = a a = 0: Căn bậc hai là a > 0: Có hai bậc hai đối là a và – a a i a i a < 0: Có hai bậc hai đối là và – w là số phức: w = a + b i (a, b , b 0) và z = x + y i là x2 - y2 = a 2 z w Û (x + yi) = a + bi Û 2xy = b bậc hai w Mỗi số phức có hai bậc hai đối VD: Tính bậc hai w = –3 + i Gọi z = x + y i là bậc hai w Ta có x y 2 z w Û ( x yi ) 4i Û 2 xy 4 Û 2 2 x y y y 0 y 4 Û Û 2 x y x y x y TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 49 (50) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ y 2 y Û x 1 x Vậy có bậc hai w là z1 = + i , z2 = –1 – i II> Phương trình bậc hai: 1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực: ax bx c 0 (a 0), D b 4ac D 0: Phương trình có nghiệm thực D < 0: Phương trình có nghiệm phức VD: Giải phương trình x 0 x1,2 b D 2a x1,2 b | D |.i 2a x x 0 Û x 23 0 Û ( x 2)( x x 4) 0 Û x x 0 (1) (1) có D¢ = – = –3 = 3.i nên có nghiệm phức x1,2 1 3.i Do đó phương trình có nghiệm x1 1 3.i, x2 1 3.i, x3 2) Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ax Bx C 0 ( A 0), D B AC , D a bi B x 2A D = 0: Phương trình có nghiệm kép B x1,2 A với là D 0: Phương trình có nghiệm bậc hai D VD: Giải phương trình: 2 a) 2z iz 0 ; b) z (3 2i ) z 5i 0 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 50 (51) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ 2 a) 2z iz 0 có D = –1 – = – = (3i ) i 3i z1 i Phương trình có nghiệm phức , i 3i z2 i 2 b) z (3 2i ) z 5i 0 có D = (3 2i )2 4(5 5i) 9 12i 4i 20 20i 15 8i = (1 4i) Phương trình có nghiệm phức 2i 4i 2i 4i z1 3i z2 i 2 ; 4.BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1) Giải các phương trình sau trên tập phức: 2 a) 3z z 0 b) z 3z 0 ; c) z z 11 0 Hướng dẫn: i i 47 i 171 14 10 a) b) c) 2) Giải các phương trình sau trên tập phức: 4 a) z z 0 b) z z 10 0 Hướng dẫn: a) 2; i b) i 2; i 3) Cho a, b, c R, a 0, z1 , z2 là hai nghiệm phương trình az bz c 0 Hãy tính z1 z2 và z1 z2 theo các hệ số a, b, c b c z z z z Hướng dẫn: = a , = a 4) Cho z = a + bi là số phức Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm nghiệm Hướng dẫn: Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = Û x ( z z ) x zz 0 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 51 (52) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ 2 Với z + z = 2a, z z = a b Vậy phương trình đó là x 2ax a b 0 5) Chứng minh z là bậc hai w thì Hướng dẫn: z a bi là bậc hai w z w Û z w Û z w Û z w 4i i z w VD: tức z 2 i là bậc hai w 3 4i z w thì 6) Tìm nghiệm phức các phương trình sau: 2 a) z z b) z z 0 c) z (1 3i) z 2(1 i ) 0 Hướng dẫn: 1 1 5 z 2.z Û z Û z 4 2 2 a) 2 z z 0 Û z 1 Û z 1 2i Û z 2i Û z 2i b) c) D 3i i 2i i Phương trình có hai nghiệm z i ; z i phức là 7) a) Hỏi công thức Viét phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng chúng – i và tích chúng 5(1 – i) c) Có phải phương trình bậc hai z Bz C 0 (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không? Hướng dẫn: a) Hai nghiệm phương trình bậc hai hệ số phức là B B C z1,2 D B AC z1 z2 ; z1 z2 2A A A nên TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 52 (53) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ z i z i 0 b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình D 12i 3i Có nên hai số cần tìm là z1 3 i; z2 1 2i c) Phương trình z Bz C 0 có hai nghiệm là z a bi; z a bi thì B z z 2a là số thực và C z.z a b2 là số thực Điều ngược lại không đúng z i z 2iz 1 0 8) a) Giải phương trình sau: b) Tìm số phức B để phương trình z Bz 3i 0 có tổng bình phương hai nghiệm Hướng dẫn: 2 2 i; i; i z i z i 0 2 a) có nghiệm là b) Ta có z1 z2 B; z1.z2 3i nên z12 z22 8 Û z1 z2 z1 z2 8 Û B 6i 8 Û B i Û B i z k z các trường hợp sau: 9) Tìm nghiệm phương trình a) k = 1; b) k = ; c) k = 2i z k Û z kz 0 z Hướng dẫn: có nghiệm k z1,2 D k 2 z1,2 i z1,2 i 2 2 a) k = thì b) k = thì k 2i z1,2 i c) 10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức phương trình sau: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 53 (54) GIẢI TÍCH 12 a) z 0 ; HỌC KÌ 4 b) z 0 ; c) z 0 ; d) z z z Hướng dẫn: a) 3 z 0 Û z 1 z z 1 0 Û z 1, z i, z i 2 2 4 b) z 0 Û z 1 Û z 1 Û z 1, z i c) d) z 0 Û z Û z 2i Û z i , z i z 1 z 1 0 Û z 1 z 1 z z 1 0 1 Û z 1, z , z i 4 11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình z bz c 0 nhận z 1 i làm nghiệm b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình z az bz c 0 nhận z 1 i và z = làm nghiệm Hướng dẫn: i b i c 0 Û b c b i 0 Û b c 0 vaø b 0 Û b 2, c 2 a) b) Lần lượt thay z 1 i và z = vào phương trình, ta b c (2 2a b)i 0 8 4a 2b c 0 Û b c 2 Û 2a b 4a 2b c a b 6 c DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC(tham khảo) I> Số phức dạng lượng giác: 1) Acgumen số phức z 0: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 54 (55) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ Cho số phức z = a + b i biểu diễn điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Số đo (rađian) góc (Ox, OM ) gọi là acgumen z Mọi acgumen z sai khác là k2 tức là có dạng + k2 (k ) (z và nz sai khác k2 với n là số thực khác 0) VD: Biết z có acgumen là Hãy tìm acgumen z ; –z ; z số phức sau: –z; z biểu diễn OM thì –z biểu diễn – OM nên có acgumen là + (2k + 1) z biểu diễn M¢ đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – + k2 OM ' nên có acgumen là – + (2k + 1) – z biểu diễn – 1 z z | z | , vì | z |2 là số thực nên z có cùng z = acgumen với z là – + k2 2) Dạng lượng giác số phức z = a + b i : Dạng lượng giác số phức z là z = r (cos + i sin ) với là acgumen z z = a + bi Û z = r cosφ + isinφ Với r = a + b ; cosφ = a b ; sinφ = r r VD: Số –1 có môđun là và acgumen nên có dạng lượng giác là z = cos + i sin Số + i có môđun và acgumen thoả cos = và sin = Lấy = thì TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 55 (56) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ + i = 2(cos + i sin ) Số có môđun là và acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác = 0(cos + i sin ) Chú ý: Số – cos – i sin có dạng lượng giác là cos( + ) + i sin( + ) Số cos – i sin có dạng lượng giác là cos(– ) + i sin(– ) Số – cos + i sin có dạng lượng giác là cos( – ) + i sin( – ) II> Nhân, chia số phức dạng lượng giác: Cho z = r (cos + i sin ) và z¢ = r ¢(cos ’ + i sin ’) với r , r ¢ z.z' = r.r'[cos(φ + φ')+ isin(φ + φ')] và z r = [cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')] z' r' ( r ¢ 0) Ta có z ' và z có cùng acgumen là – ’ + k2 nên 1 [cos( ') i sin( ')] z' r' z r [cos( - ') i sin( - ')] Do đó z ' r ' ( r ’ 0) 3 3 5 5 z1 2 cos i sin z2 sin i cos 4 và 12 12 VD: z1 z1.z2 và z2 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 56 Tính (57) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ z2 cos i sin 12 12 ; z1.z2 = Với 5 5 2 cos i sin i 2.i 2 6 2 2 2 z1 i sin i i cos 3 2 2 2 z và = III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng: 1) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos + i sin ) n * r(cosφ + isinφ) = r n (cosnφ + isinnφ) (n ) 2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:` Mọi số phức z = r (cos + i sin ) ( r > 0) có bậc hai là φ φ r cos + isin 2 và φ r cos i sin r cos +π 2 2 VD: Đổi sang dạng lượng giác tính: w = + 3.i 1 i + isin và bậc hai Ta có + i = 100 1 i = Do đó 50 cos i sin 2 cos 25 i sin 25 cos i sin 3 có bậc hai là w = + 3.i = 7 7 cos i sin cos i sin 6 và 6 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 57 100 2 i cos i sin 4 100 φ +π 2 (58) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ 1 i 1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn Moavrơ để tính ð190 ð192 ð194 ð1916 ð1918 19 và công thức i cos i sin 4 Hướng dẫn: Ta có 1 i n 19 19 ðnk i k ð190 i ð191 i1 ð192 i ð1918i18 ð1919i19 k 0 19 19 19 16 19 với 18 19 phần thực là ð ð ð ð ð 19 19 19 19 2 19 9 i sin i i cos i 4 có phần thực 512 16 18 Vậy ð19 ð19 ð19 ð19 ð19 = –512 i 1 i 2004 2) Tính: Hướng dẫn: i 1 i 2004 3i ; 3i 1 i 21 2004 2004 2 cos i sin 4 1 1002 cos i sin 1002 2 21 21 21 3i 2 2 i sin 3i cos 3 i 221 cos14 i sin14 221 w 3i n 3) Cho số phức Tìm các số nguyên dương n để w m là số thực Hỏi có số nguyên dương m để w là số ảo? Hướng dẫn: 4 4 4n 4n w 3i cos i sin wn cos i sin 3 3 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 58 (59) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ W là số thực dương sin 4n 0 , điều này xảy n là bội nguyên m Không có m nào để w là số ảo 6.CÁC DẠNG BAI TẬP CƠ BẢN Tìm phần thực và phần ảo số phức sau: 1+i ( 10 + −i ) + ( 2+3 i ) ( −3 i )+ 1−i i ( ) Tìm nghiệm phức phương trình sau: 2+i −1+3 i z= ; −i 2+i c z 2+ ¿ z ∨¿ ; a ( b ( ( −i ) z +3+i ) iz+ =0 ; 2i ) 2 d z +| z| =0 ; 3.Tính : a) 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…….+(1+i)20 b) 1+i+i2+i3++……+i2011 Xác đỉnh tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau: a ¿ z+ z+3∨¿ ; b ¿ z − z +1 −i∨¿ ; c ( 2− z )( i+ z ) là số ảo tùy ý; d 2∨z −i∨¿∨z − z+2 i∨; − − Các vectơ u ,u ' mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’ a Chứng minh tích vô hướng b Chứng minh − − u ,u ' − − u u ' = ( z z ' + z z ' ) ; vuông góc và ¿ z+ z '∨¿∨z − z '∨ Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn | z −iz |=k , (k là số thực dương cho trước) TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 59 (60) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời | zz−1−i |=1 và | zz−3+i i|=1 z +i =1 z −i ( ) Tìm số phức z thỏa mãn i tan Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức: i tan 10 Giải các phương trình sau trên C : z2 a z − z + + z +1=0 cách đặt ẩn số phụ w=z − z 2 2 b ( z + z +6 ) + z ( z +3 z +6 ) − z =0 c (z2+1)2+(z+3)2=0a ( z − i) ( z +1 ) ( z3 +i ) =0 d ( z 2+ z ) + ( z + z ) − 12=0 11 Giải hệ phương trình hai ẩn phức z , z sau : ¿ ¿ z1 + z 2=4+i z z 2=− 5− 5i a/ z 21+ z 22=5 − 2i b/ z 21+ z 22=− 5+2 i ¿{ ¿{ ¿ ¿ ; 12 Tìm acgumen số phức a.-1-i ; c −sin π π b cos −i sin ; π π −i cos ; 8 d 1− sin ϕ+i cos ϕ (0< ϕ< π2 ) ; 13 Cho PT : z2+ kz+1=0 (-2<k<2) Chứng minh các điểm biểu diễn nghiệm PT đã cho thuộc đường tròn đơn vị 14 Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số z 2z i z phức z thỏa mãn điều kiện sau : 15 Tìm phần thực và phần ảo số phức sau: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 60 (61) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ π π −i sin i ( 1+ √3 i ) ; a 3 z 2000 + 2000 biết z+ =1 z z ( ) cos b ( 1+i )10 ( √ 3+i ) ; c 18 CMR:3(1+i)2011= 4i(1+i)2009- 4(1+i)2007 19 Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức ( 3− √ 3i √ − 3i n ) là số thực, là số ảo? i 20.Viết dạng lượng giác số z= 2 Suy bậc hai số phức z BÀI TẬP TỰ RÈN BÀI Tìm các số thực x, y cho: a) 3x + yi = 2y + + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i Hướng dẫn: a) x = 1, y = b) x = –1, y = BÀI Chứng tỏ với số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun nó Hướng dẫn: z = a + bi |z| = a b Ta có |z| a = a và | z| b = b BÀI Giải phương trình sau trên tập phức: a) (3 + 4i)z + (1 –3i) = + 5i; b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz Hướng dẫn: 18 13 i i a) 5 b) 7 BÀI Giải phương trình sau trên tập phức: 4 a) z z 0 b) z 0 c) z 0 Hướng dẫn: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 61 (62) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ i 47 4 a) b) , i c) 1, i BÀI Tìm hai số phức, biết tổng chúng 3, tích chúng Hướng dẫn: z1 z2 3, z1 z2 4 z1 , z2 là nghiệm phương trình i z1,2 2 ( i ) z 3z 0 với D = BÀI Cho hai số phức z1 , z2 Biết z1 z2 , z1 z2 là hai số thực Chứng tỏ z1 , z2 là hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực Hướng dẫn: Đặt z1 z2 a, z1 z2 b với a, b R Khi z1 , z2 là hai nghiệm phương trình ( z z1 )( z z2 ) 0 hay z ( z1 z2 ) z z1 z2 0 Û z az b 0 z w 1 BÀI Chứng minh thì số zw zw 0 zw là số thực Hướng dẫn: Ta có z.z z 1 1 zw zw z w z w z w zw zw zw 1 zw zw nên zw zw 0 zw là số thực BÀI Giải phương trình: iz iz 3 0 z i z i 13 0 z i z i a) b) z c) 2 1 z 3 0 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 62 (63) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ Hướng dẫn: z 3 i a) b) z i 3 2i z i 13 0 Û Û z i 3 2i z i z 3i iz z 2i iz iz 0 Û 3 z 2i z 2i iz 4 z 2i z i (1 i ) z 2i 2 Û Û (4 i) z 3 8i z 35 i 17 17 c) z 2 1 z 3 i 0 Û z ( z 3)i z ( z 3)i 0 Phương trình z iz 3i 0 có nghiệm z1 1 2i; z2 i 2 Phương trình z iz 1 3i 0 có nghiệm z3 1 2i; z4 i Bài Tìm phần thực và phần ảo số phức z = ( x yi ) 2( x yi ) Với giá trị nào x, y thì số phức trên là số thực 2 Hướng dẫn: Phần thực là x y x , phần ảo là 2( xy y ) Số phức trên là số thực y = x = Bài 10 Thực các phép tính: 3 2010 2009 a) (1 2i ) (1 2i ) ; b) (1 i ) (1 i) i 1 i c) i 2 i Bài 11 Tìm z, biết: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 63 (64) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ a) (1 5i ) z 10 2i 1 5i ; z i i 3 i c) i b) (3 2i ) z 1 i z 3i z 3i 2 z d) i ; i 3i z 2i e) ( i 3) z i 2i ; f) i z 2i 1 i z i z 3i z 1 i 2i 1 i 1 i 1 i g) h) 2iz 2i i z 5i 1 i i) Hướng dẫn: z i z i 5 ; c) z 2 3i ; d) ; a) z 1 2i ; b) i e) i ; f) 5 g) z 3 i h) z 3i i) z 2 3i Bài 12 Biết z1 và z2 là hai nghiệm phương trình z z 0 Hãy tính: z1 z2 2 2 3 z z2 a) z1 z2 ; b) z1 z2 ; c) z2 z1 ; d) Hướng dẫn: z1 z2 2 3 z1 z2 z1 z2 z z1 = –1; a) = –3; b) = ; c) z1 z2 d) = Bài 13 Tìm hai số phức, biết tổng chúng và tích chúng z1 i 2 và Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là z2 i 2 Bài 14 Giải các phương trình sau trên tập số phức: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 64 (65) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ 2 z i z 2i 0 a) z 8(1 i ) z 12 16i 0 ; b) ; 2 iz i z 0 z i z i 0 c) ; d) Hướng dẫn: a) z 2i, z 6i ; b) z1 2; z2 i ; c) z1 2; z2 2i ; d) z1 2 i; z2 3 2i Bài 15 Giải các phương trình sau trên tập số phức: 4 a) x x 25 0 ; b) x 16 x 100 0 ; 4 b) c) x x 3i 0 d) x 3(1 2i ) x 6i 0 c) e) x 24i 0 ; Hướng dẫn: x 2i , x 2i a) ; x i , x i c) x i , x 2i e) ; f) x 28 96i 0 b) x i , x i ; d) x i , x i ; f) x i , x 3i Bài 16 Tìm z biết: 10 z i z 2i 10 a) z z ; b) z z 2 4i c) và z 2 Hướng dẫn: Gọi z = x + y i z = x – y i và z x y xyi x y x (1) 2 xy y (2) z z a) Û (2) có nghiệm y = thay vào (1) x = x = 1 Nếu y (2) có nhiệm x = – thay vào (1) y = TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 65 (66) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ Vậy nghiệm hệ là các cặp số 3 3 (0;0), (1;0), ; , ; 2 Vậy phương trình có các nghiệm: 3 i i z = 0; z = 1; z = 2 ; z = 2 z 4i b) c) z 1 3i; z 3i Bài 17 Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: z 3i 1 z i 2 z z 1 i z i a) ; b) ; c) ; d) (2 3i ) z 2i m 0 (m là tham số) Hướng dẫn: a) z i 2 Û x ( y 1)i 2 Û x ( y 1) 2 Û x ( y 1) 4 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = z 3i x ( y 3)i 1 Û 1 Û z 3i x ( y 3)i x ( y 3) x ( y 3) 1 Û y 0 b) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox c) z z i Û x yi ( x 1) ( y 1)i Û x y ( x 1) ( y 1) Û x y 0 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – = d) TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 66 (67) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ (2 3i ) z 2i m 0 Û z m 2i 2m 3m Û z i 3i 13 13 2m x 13 x y 0 m y 13 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + = Bài 18 Dùng công thức Moa-vrơ để tính (1 i ) , 3 i Hướng dẫn: 1 i Bài 19 Tìm phần thực và phần ảo số phức Hướng dẫn: i i 2 i 2 cos i sin 6 2 Bài 20 Cho z1, z2 là các nghiệm phức phương trình z z 11 0 A Tính giá trị biểu thức z1 z2 2 z1 z2 ĐS: A=11/4 z i 2 Bài 21 Tìm số phức z thoả mãn: Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị z 2 i, z 2 i ĐS: z z i 1 1 z 3i 1 Bài 22 Tìm số phức z thỏa mãn: z i HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1 ĐS: z=1+i z i 1 Bài 23 Giải phương trình: z i TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC ĐS: z{0;1;1} Page 67 (68) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ z z 0 Bài 24 Giải phương trình: HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z ĐS: z{0;i;i} Giải phương trình: z z 0 HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình x, y z ĐS: z=0, z=1, z i 2 z2 z z3 z 0 Bài 25 Giải phương trình: 1 z i 2 HD: Chia hai vế phương trình cho z ĐS: z=1±i, Bài 26 Giải phương trình: z + z + z + z + z + =0 3 z 1, z i , z i 2 2 HD: Đặt thừa số chung ĐS: 2 Bài 27 Cho phương trình: (z + i)(z 2mz+m 2m)=0 Hãy xác định điều kiện tham số m cho phương trình: a Chỉ có đúng nghiệm phức b Chỉ có đúng nghiệm thực c Có ba nghiệm phức Bài 28 Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm biết: a = 25i b = 2i c = - i Bài 29 Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm ảo: a z3iz22iz2 = b z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = Bài 30 Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: x2 y z i z z 2i ĐS: z 3i Tìm số phức z có Bài 31 Trong các số phức thỏa mãn môđun nhỏ z 3i x y 3 2… HD: *Gọi z=x+yi Vẽ hình |z|min z TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 68 (69) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ 26 13 78 13 i 13 26 ĐS: Bài 32 Tìm phần thực và phần ảo số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20 HD: Áp dụng công thức tính tổng CSN ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1 z CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Bài (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn (1 i) (2 i ) z 8 i (1 2i) z Tìm phần thực và phần ảo z b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình z 7i z 2i z i trên tập Hướng dẫn: a) (1 i) (2 i) z 8 i (1 2i) z Û (1 i )2 (2 i ) (1 2i ) z 8 i 2i(2 i) 2i z 8 i Û Û 8i (8 i )(1 2i) 10 15i z z z 2 3i 2i Û 1 Û Phần thực là 2, phần ảo –3 z 7i z 2i z i b) Û z (4 3i ) z 7i 0 2 Ta có D = (4 3i) 4(1 7i ) 3 4i (2 i) Phương trình có nghiệm: 3i i 3i i z1 3 i z2 1 2i 2 và Bài (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện | z (3 4i ) |2 Hướng dẫn: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 69 (70) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ Đặt z = x + y i (x, y ) z (3 4i ) x yi 4i ( x 3) ( y 4)i Ta có | z (3 4i ) |2 Û ( x 3)2 ( y 4)2 = ( x 3)2 ( y 4) =2Û Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = Bài (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thoả: | z (2 i) | 10 và z.z = 25 Hướng dẫn: Đặt z = x + y i (x, y ) z (2 i) x yi i ( x 2) ( y 1)i 2 Ta có | z (2 i ) | 10 Û ( x 2) ( y 1) 10 Û x y x y 0 (1) 2 Ta có z.z = 25 Û (x + y i )( x – y i ) = 25 Û x y 25 (2) 2 y 10 x x y x y 0 x y 25 x y 25 Từ (1) và (2), ta có Û Û y 10 x x 3 x 5 x x 15 0 Û y 4 y 0 Vậy z = + i z = + 0i Bài (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z z 10 0 2 A z1 z2 Tính giá trị biểu thức Hướng dẫn: z z 10 0 có D¢ = – 10 = –9 = (3i ) Nghiệm là z1 3i , z2 3i z 10 z 10 Ta có: và nên 2 A z1 z2 20 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 70 (71) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ Bài (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo số phức z 2 3i z i z 3i thỏa: b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình z i z 3i 0 Hướng dẫn: 3i z i z 3i a) Gọi z = a + bi, ta có: 3i (a bi) i (a bi ) 3i 2 Û Û 6a 4b (2a 2b)i 8 6i 6a 4b 8 a Û Û 2a 2b 6 b 5 Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = z i z 3i 0 b) có D = (1 i ) 4(6 3i ) 24 10i (1 5i )2 i 5i z1 1 2i Do đó phương trình có nghiệm: ; i 5i z2 3i Bài (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) z Tìm số phức z thỏa: và z là số ảo Hướng dẫn: z a b z a b 2abi Gọi z = a + bi Theo đề ta có: 2 2 a b a 1 a 1 a a b 2 Û Û Û hoặ c 2 2 2 a b 0 a b 0 b 1 b 1 a b 0 a 1 a 1 a a Û b 1 b b 1 b Vậy z = + i z = – i z = –1 + i z = –1 – i TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 71 (72) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ Bài (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z (1 i ) z Hướng dẫn: Gọi z = x + yi, ta có x ( y 1)i (1 i )( x yi ) Û x ( y 1) ( x y ) ( x y ) 2 2 Û x y y 0 Û x ( y 1) 2 Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R = Bài (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo số phức z thỏa: z ( i) (1 2i ) b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa: (1 3i)3 z i Tìm môđun số phức z iz Hướng dẫn: a) Gọi z = a + bi, ta có: z ( i ) (1 2i) a bi 2i 2i Û a bi 5 2i a 5, b Vậy phần phần ảo b = – b) Gọi z = a + bi, ta có: (1 3i )3 3i 3i 8(1 i) z 4i 1 i 1 i 1 i 1 z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i z iz = –8 – 8i Do đó : z iz 8 2 8 Bài (Đề thi Cao đẳng năm 2012) 2 i Câu 7.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 – 2i)z – i = (3 – i)z Tìm tọa độ điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 72 (73) GIẢI TÍCH 12 HỌC KÌ Câu 7.b (1,0 điểm) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức phương trình z z2 z2–2z + + 2i = Tính Bài 10 (Đề thi Đại học khối A năm 2012) 5( z i ) 2 i Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa z Tính môđun số phức w = + z + z2 Bài 11 (Đề thi Đại học khối B năm 2012) 2(1 2i ) (2 i ) z 7 8i 1 i Câu 9.a Cho số phức z thỏa mãn Tìm mô đun số phức w = z + + i Câu 9.b Giải phương trình trên tập các số phức: z 3(1 i ) z 5i 0 trên tập các số phức z z Bài 12 A2011 Tìm tất các số phức z, biết z2 = Bài 13 D2011 Tìm số phức z, biết : z (2 3i) z 1 9i Bài 14 A2011 Tính môđun số phức z, biết: (2z – 1)(1 + i) + ( z +1)(1 – i) = – 2i Bài 15 5i z 0 z a) B2011 Tìm số phức z, biết: 1 i z i b) B2011 Tìm phần thực và phần ảo số phức Bài 16 a) CĐ2011 Cho số phức z thoả mãn (1+2i)2z + z = 4i - 20 Tính môđun z z2 - ( + i) z + 2i = b) CĐ2011 Cho số phức z thoả mãn Tìm phần thực và phần ảo z o0o TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC Page 73 (74) GIẢI TÍCH 12 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC HỌC KÌ Page 74 (75)