Đang tải... (xem toàn văn)
Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.. * Gọi I là trung điểm của BC, từ giả thiết suy ra A’I là đường cao của lăng trụ.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI ( Đề gồm 01 trang) x 1 x có đồ thị (H) Câu I (5 điểm): Cho hàm số a) Chứng minh đường thẳng y x m luôn cắt đồ thị (H) hai điểm phân biệt A, B Tìm y m để khoảng cách AB ngắn 2sin u t 0; b) Tìm t để phương trình sin u ( ẩn là u) có nghiệm trên Câu II (4 điểm): a) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số b) Cho tam giác ABC có các góc A,B,C thỏa mãn định các góc A,B,C y 2 x 2 x (2 x)(2 x) cos A cos B cos 2C 0 Xác x y k ( x y 1) 1 xy x y Câu III (3 điểm): Cho hệ phương trình ( k là tham số) a) Giải hệ phương trình k=0 b) Tìm k để hệ phương trình có nghiệm Câu IV (2 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N là trung điểm các cạnh SA, SD Mặt phẳng ( ) chứa MN cắt các cạnh SB, SC Q, P Đặt VS MNPQ SQ x V SB S ABCD , tìm x để Câu V (4 điểm): Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông A, AB=a, AC a và hình chiếu vuông góc đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin góc hai đường thẳng AA’ và B’C’ Câu VI (2 điểm): u1 1 u1 u2 un un2 lim u u , n n 1 n n u u3 un 1 ( u ) 2010 n Cho dãy số xác định sau: Tính Hết Họ và tên thí sinh: .Số báo danh: (2) Họ tên, chữ kí giám thị 1: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CAO BẰNG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán ( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu I (5 điểm) Nội dung x 1 x có đồ thị (H) Cho hàm số a) Chứng minh đường thẳng y x m luôn cắt đồ thị (H) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để khoảng cách AB ngắn * Hoành độ giao điểm (H) và đường y x m nghiệm phương trình x 1 x m x2 (1) Điểm y x (4 m) x 2m 0 x Ta có (1) x m 12 ( 2) (4 m)( 2) 2m 0 Vì nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt đó y x m đường thẳng luôn cắt (H) hai điểm phân biệt A,B * Vì A, B là giao điểm (H) và đường y x m nên hoành độ A và B x A xB m x x 1 2m x (4 m ) x m nghiệm phương trình Theo Viet ta có A B (2) 2 Khoảng cách AB ( xB x A ) ( yB y A ) AB ( xB xA ) (( xB m) ( xA m)) 0,5 0,5 0,5 (2) 2( xB x A ) 2(m 12) 24 AB 2 Do AB ngắn m=0 2sin u t 0; b) Tìm t để phương trình sin u (*) ( ẩn là u) có nghiệm trên u 0; x 0;1 Đặt sin u x , vì nên x 1 t x 0;1 Bài toán đưa tìm t để phương trình x có nghiệm x 1 y x trên 0;1 Xét hàm số Hàm số y xác định và liên tục với x 0;1 0,5 0,5 (3) 0, x 0;1 y y (0) max y y (1) 1 ( x 2) , x 0;1 Suy x 0;1 t 1 Do đó phương trình (*) có nghiệm II a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số (4 điểm) y x x (2 x)(2 x) y' * Tập xác định: 0,5 2; 2 0,5 t2 t2 y t t 2 * Đặt t x x , suy 2; 2 Xét hàm số t ( x) x x trên 1 2 x 2x t '( x) 2 x 2 x 2 x x , t '( x) 0 x Bảng biến thiên: x 0 x 0 x t’ -2 + 0 2 0,5 - t 2 Suy t 2 y Bài toán đưa tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 2; 2 đoạn y ' 0 t 1 2; 2 y ' 0, x 2; 2 Ta có y ' t , , t2 t 2 trên Bảng biến thiên: t y’ 2 2 y 2 Vậy: Giá trị lớn hàm số x 2 ( t=2) Giá trị nhỏ hàm số 2 x 0 ( t 2 ) b) Cho tam giác ABC có các góc A,B,C thỏa mãn cos A cos B cos 2C 0 Xác định các góc A,B,C (4) Ta có: cos A cos B cos 2C cos A 3(cos B cos 2C ) 0 0 2cos A 3.cos( B C ).cos( B C ) cos A 3cosA.cos(B-C)+ 0 0 3 cosAcos(B-C) cos (B-C) 0 3 cosAcos(B-C) sin (B-C) 0 sin( B C ) 0 cos A cos( B - C ) Vì A, B, C là các góc tam giác nên ta có o B C cosA= o B C 75 B C B C 75 o o A 30o A 30 A 30 Vậy: III x y k ( x y 1) 1 (3 điểm) xy x y Cho hệ phương trình ( k là tham số) a) Giải hệ phương trình k=0 x y 0 x y 0 Điều kiện: x y 1 x y 2 ( x y )2 xy 2 xy x y xy x y xy x y Với k=0 ta có hệ S 0 2 S P 2 S 2S 0 P S 2 x y S P S P S xy P P 1 Đặt , ta hệ S 0 x 1 x + Với P suy y y 1 ( thỏa mãn điều kiện) S 2 + Với P 1 suy x=y=1 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy: với k=0, hệ phương trình đã cho có nghiệm (1;-1), (-1;1), (1;1) b) Tìm k để hệ phương trình có nghiệm Nhận thấy: ( x0 ; y0 ) là nghiệm hệ phương trình thì ( y0 ; x0 ) là nghiệm hệ Do đó, để hệ có nghiệm thì điều kiện cần là x0 y0 x k ( x 1) 1 0 x 2 x0 Thay x, y hệ phương trình x0 ta được: , suy 0,5 0,5 1 0,5 0,5 (5) k 0 x0 1 Với k=0, theo ý a hệ phương trình có nghiệm Do không có giá trị k nào để hệ có nghiệm IV (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N là trung điểm SA, SD Mặt phẳng ( ) chứa MN cắt các cạnh SB, SC VS MNPQ SQ x V SB S ABCD Q, P Đặt , tìm x để V VS ABD VS BCD V V Vì MN//BC nên PQ//BC Đặt S ABCD Ta có SP SQ x SC SB VS MNQ SM SN SQ x V SA SD SB S ABD + VS MNQ x VS MNQ x V V 2 VS NPQ SN SQ SP V x S NPQ x V + VS BCD SD SB SC VS MNPQ VS MNQ VS NPQ x x2 x x 0 V 8 Ta có: VS ABCD x=1 x ( loại) Vậy x=1 V Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam (4 điểm) giác vuông A, AB=a, AC a và hình chiếu vuông góc đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC và tính cosin góc hai đường thẳng AA’ và B’C’ *) Gọi I là trung điểm BC, từ giả thiết suy A’I là đường cao lăng trụ AI BC a 3a a Ta có , A ' I AA '2 AI 4a a a Thể tích khối chóp A’.ABC a3 1 V S ABC A ' I AB.AC A ' I a.a 3.a 3 (đvtt) *) Góc AA’ và B’C’ góc BB’ và BC 2 2 Tam giác IA’B’ vuông A’ nên IB ' IA ' A ' B ' 3a a 2 a Suy tam 0,5 (6) giác BB’I cân B’ nên góc B ' BI nhọn, đó góc B ' BI là góc BB’ và BC BI a ' BI cosB BB ' 2.2a Ta c ó: Vậy: cosin góc hai đường thẳng AA’ và B’C’ VI (2 điểm) 0,5 u1 1 un2 u un , n 1 n 1 ( u ) 2010 n Cho dãy số xác định sau: u u u lim n n u un 1 u3 Tính u u2 u 1 un 1 n un un 1 un n n 2010.( ) 2010 2010 u u u n n n Ta có: Suy ra: 1 1 u u1 u2 1 n 2010 ) 2010(1 u2 u3 un 1 un un un1 un 1 u1 u2 u2 u3 un2 un 1 un 0, n N * 2010 Vì nên (un ) là dãy đơn điệu tăng Giả sử (un ) bị chặn lim un a trên thì n un2 a2 un 1 un a a 2010 2010 Lấy giới hạn hai vế biểu thức , ta có phương trình , u 1, n suy a=0 ( vô lí vì n ) 0,5 Do đó (un ) không bị chặn trên tức lim un u u u 0,5 lim n lim 2010.(1 ) 2010 n u un 1 n un1 u3 Ta có * Lưu ý chung toàn bài : + Điểm toàn bài là tổng điểm các bài thành phần, giữ lại hai chữ số thập phân + Nếu thí sinh giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì cho điểm tối đa bài đó (7)