Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN VĂN LAN BÁO CÁO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Tác giả: Phạm Thị Hoa Trình độ chun mơn: Cử nhân sư phạm Tốn Chức vụ: Giáo viên Nơi công tác: Trường THPT Trần Văn Lan Mỹ Lộc, ngày 28 tháng 11 năm 2014 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Các phương pháp giải phương trình hệ phương trình vơ tỉ Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng thực tế giảng dạy ôn thi Đại học học sinh giỏi mơn Tốn THPT Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ năm 2012 đến năm 2014 Tác giả: Họ tên: PHẠM THỊ HOA Ngày tháng năm sinh: 30/7/1987 Nơi thường trú: Xóm 11 – xã Xuân Thành – huyện Xuân Trường – tỉnh Nam Định Trình độ chun mơn: Cử nhân sư phạm Tốn Chức vụ cơng tác: Giáo viên dạy mơn Tốn Nơi làm việc: Trường Trung học phổ thông Trần Văn Lan Địa liên hệ: Trường THPT Trần Văn Lan - xã Mỹ Trung - huyện Mỹ Lộc - tỉnh Nam Định Điện thoại: 0946098216 Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường trung học phổ thông Trần Văn Lan Địa chỉ: Xã Mỹ Trung – huyện Mỹ Lộc – tỉnh Nam Định Số điện thoại: 03503810111 I Đặt vấn đề (lý chọn đề tài) - Phương trình hệ phương trình vơ tỉ mảng kiến thức chương trình tốn trung học phổ thông thường gặp đề thi đại học, cao đẳng thi học sinh giỏi Đối với nhiều học sinh, tốn giải hệ phương trình coi tốn khó, chí câu khó cấu trúc đề thi ĐH, CĐ - Phương trình hệ phương trình vơ tỉ đa dạng khơng thể có phương pháp chung áp dụng để giải tất phương trình hệ phương trình nên học sinh thường thấy lúng túng việc phân tích, lựa chọn cách giải phù hợp, ngắn gọn Qua trình giảng dạy học sinh ôn thi ĐH, CĐ bồi dưỡng học sinh giỏi phải trực tiếp hướng dẫn học sinh giải loại tập này, thấy cần phải rèn cho học sinh định hướng tốt phương pháp có kỹ giải thành thạo Để giúp học sinh phần việc định hướng lựa chọn phương pháp giải phù hợp với tốn chương trình tốn THPT, nghiên cứu đề tài: “CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ” II Giải vấn đề (nội dung sáng kiến kinh nghiệm) Cơ sở lý luận vấn đề - Về lý luận: Dựa vào kiến thức phương trình hệ phương trình phương pháp giải phương trình hệ phương trình nói chung phương trình vơ tỉ nói riêng - Về thực tiễn: Dựa vào yêu cầu đề thi vào truờng Cao đẳng Đại học, đề thi học sinh giỏi - Thực trạng vấn đề Khi gặp tập khó giải phương trình hệ phương trình vô tỉ đa số em học sinh tỏ lung túng việc tìm hướng giải thường dễ dàng bỏ qua - Mặt khác với thực tế nhận thức em học sinh trường so với học sinh trường có điểm đầu vào cao nên trình giảng dạy thầy cô hạn chế dạng tập (nếu có dạy cho học sinh lớp chọn) nên trường chưa có chuyên đề viết chi tiết phương pháp giải phương trình hệ phương trình vơ tỉ Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề a Một số giải pháp trọng tâm Với thực trạng mạnh dạn đưa giải pháp sau: - Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao tài liệu tham khảo khác - Tổng kết kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Trao đổi đồng nghiệp - Điều tra khảo sát chất lượng học sinh b Giới thiệu bố cục trình bày Nội dung sáng kiến kinh nghiệm chia làm hai phần: Phần 1: Các phương pháp giải phương trình hệ phương trình vơ tỉ Trong phương pháp chia làm mục nhỏ sau: a Phương pháp giải b Ví dụ minh họa c Bài tập tham khảo Phần 2: Bài tập tổng hợp Các tốn đưa phần lớn tơi sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, số tơi kì thi khảo sát (KS), thi HSG,… Giới hạn đề tài Các phương pháp giải phương trình hệ phương trình vơ tỉ đa dạng kể tên số phương pháp sau: Phương pháp cộng đại số Phương pháp Phương pháp biến đổi tương đương: Trong phương pháp chia làm phương pháp sau: 3.1) Bình phương vế phương trình 3.2) Trục thức 3.3) Biến đổi phương trình tích Phương pháp đặt ẩn phụ: Trong phương pháp chia làm dạng phương pháp sau: 4.1) Đặt ẩn phụ thông thường 4.2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến 4.3) Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 4.4) Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích 4.5) Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường xây dựng hệ phương trình đối xứng loại Phương pháp đánh giá sử dụng: +) Hằng đẳng thức +) Bất đẳng thức +) Tính chất vectơ +) Tính chất đặc biệt tam giác Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Phương pháp lượng giác hóa Mục tiêu Sau đề tài thực hiện, qua việc hướng dẫn phương pháp chung giải số tập mẫu học sinh vận dụng giải tập sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo giúp học sinh thực hành giải toán linh hoạt, thành thạo đạt kết tốt trình học q trình ơn tập củng cố kiến thức chuần bị cho kỳ thi Nội dung cụ thể a) Phần 1: Các phương pháp giải phương trình hệ phương trình vơ tỉ Phương pháp cộng đại số (giải hệ phương trình vơ tỉ) a) Phương pháp: Kết hợp hai phương trình hệ phép tốn: cộng, trừ, nhân, chia ta thu phương trình hệ mà việc giải phương trình khả thi có lợi cho bước sau Nhận dạng Phương pháp thường dùng cho hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k b) Ví dụ minh họa �1 � 2 2 y �x VD1: Giải hệ phương trình � �1 �y x � (1) (2) Giải 2 - ĐK: x � , y � - Trừ vế hai pt ta � y xy x x 2 2 y y 2 � 1� � y � x� 0� 2 x 0 � 2 y 2 x xy yx x y yx � xy � y � 0 1� � x� 1 2 2 x x - TH y x � y x vào (1) ta - Đặt t , t ta x t �2 �2 t �0 � t2 t � � � � t � x y �2 2 t t t t t � � - TH xy x y 0 � 1 � TH vô nghiệm ĐK xy � � y x� � Vậy hệ có nghiệm (1; 1) � � � 1 �3x � � � � x y� VD2: Giải hệ phương trình � � �7 y � 1 � � � � � x y� - Phân tích Các biểu thức ngoặc có dạng a + b a – b nên ta chia hai vế pt thứ cho 3x chia hai vế pt thứ hai cho 7y Giải - ĐK: x �0, y �0, x y �0 - Dễ thấy x y không thỏa mãn hệ pt Vậy x 0, y � �1 � 2 � � 2 1 (1) � � � � x y� 7y 7y � � 3x � 3x � � 3x �� �� - Hệ � � � � 2 �1 � �1 2 � � � �x y � 3x 7y 7y x y � x y � 7y � � � 3x - �1 Nhân theo vế hai pt hệ ta � � 3x �1 2� 2� � � � 7y � x y � � xy y 6x � 2 � � y 38 xy 24 x � � � 3x y x y y x � - TH y x vào pt (1) ta 11 22 1� x �y 21 3x 21x - TH y x không xảy x 0, y - Vậy hệ pt có nghiệm x; y � - Chú ý Hệ phương trình có dạng � � 11 22 � ; � 21 � � abm m n 2a � � �� Trong trường hợp a b n m n 2b � � này, dạng thứ có vế phải chứa thức nên ta chuyển dạng thứ hai sau nhân vế để thức n �a m � bx px qy � Tổng quát ta có hệ sau: � �c m n � px qy � dy c) Bài tập tham khảo Giải hệ phương trình sau: � �x( y 9) y 1) � 2 �y (18 x 1) x 22 ( xy 1) � �x y xy 2) � � x 1 y 1 Phương pháp (giải hệ phương trình vơ tỉ) a) Phương pháp: Nhiều phương trình sau rút ẩn (hoặc biếu thức) từ phương trình vào phương trình ta phương trình đơn giản nhờ mà ta có cách biến đổi hệ đơn giản Ta thường áp dụng cách với hệ mà ta quan sát thấy phương trình hệ mà ẩn có bậc hai phương trình hệ có biểu thức chung b) Ví dụ minh họa � � x y x y (1) Giải hệ phương trình: � (HSG QG – 2001) x y x y (2) � Giải x y �0 � , từ (2) ta suy x y �0 � ĐK: � x y y x , vào (1) ta x y x y Do ta có hệ 3 �x y �2 � � 3 �x y �2 x y 1 � � � x y x y x xy y � �x y �� � x 19; y 10 � � �2 2 x y y x y x xy �y 11 y 10 � Dễ thấy nghiệm x y thỏa mãn hệ cịn nghiệm khơng c) Bài tập tham khảo Giải hệ phương trình sau: 19 � ( 3x x )2 y 2( x 8) � x � � �y log x � �x x y x y x � 2( y y x 1) y ( x 1) � Phương pháp biến đổi tương đương 3.1) Bình phương vế phương trình a) Phương pháp +) Khi gặp phương trình dạng: f x g x h x k x thường bình phương hai vế số tốn để ngun mà bình phương toán trở thành phức tạp Để tránh điều ta chuyển vế linh hoạt trước bình phương (xem VD1 đây) +) Khi gặp phương trình có dạng đẳng thức A B 3 A.B A B C sử dụng phép 3 A B C ta biến đổi thành A B C ta phương trình: A B 3 A.B.C C b) Ví dụ VD1: Giải phương trình sau: x 3x x x Giải Đk: �x � Bình phương vế khơng âm phương trình ta được: 12 x x 3x 1 x ( x 5) x , giải phương trình khơng khó phức tạp chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình: x x x x 3x � x � 2 Bình phương hai vế ta có phương trình hệ quả: 3x x 3x 13x 10 � � � x � � Thử lại vào phương trình ban đầu có x=5/8 thỏa mãn Nhận xét: Nếu phương trình: f x g x h x k x Mà có : f x h x g x k x , ta biến đổi phương trình dạng: f x h x k x g x sau bình phương ,giải phương trình hệ VD2: Giải phương trình sau: x2 2x x Giải Điều kiện: x �2 Bình phương vế phương trình? Nếu chuyển vế chuyển nào? 10 x3 x2 x4 � x 1 x 1 x 1 x x x 2 Xét hàm số f t t t 2t � t2 Ta có: f ' t t t2 t �� � hàm số f(t) đồng biến �, nên � f x 1 f x � x x � x Vậy phương trình (1) có nghiệm x 3 x 3x x x (1) VD7: Giải phương trình Giải Điều kiện: x �0 1 � x x x 3x Xét hàm số f x x x x 3x 0; � Ta có: f ' x 2x f " x x3 x 3x 3x 1 x � 0; � � f ' x đồng biến 0; � � phương trình f’(x) = có nhiều nghiệm 0; � 1 �4 � �� Mà f ' � � �1 � ; f ' 1 � f ' � � f ' 1 � phương trình f’(x) = có �4 � �1 � �4 � nghiệm � phương trình f’(x) = có nghiệm x �� ;1� Bảng biến thiên 35 Căn BBT, ta có phương trình f(x) = có nhiều nghiệm mà f f 1 Nên phương trình (1) có nghiệm x 0; x � (4 x 1) x ( y 3) y � VD8 (A – 2010) Giải hệ phương trình � 2 4x y 4x � (1) (2) Giải - (1) � (4 x 1)2 x (2 y 6) y � �� (2 x ) 1� (2 x ) � y � � � � 1� y � (2 x ) x � 2y 2y � (2 x) f ( y ) với f (t ) t t f '(t ) 3t 0, t ��� (t ) ĐB � Vậy f (2 x ) f ( y ) � x y � y 4x 2 , x �0 �5 x � - Thế vào pt (2) ta x � x � g ( x) � � � � � - Với �5 x � � � CM hàm g(x) g ( x) x � x 7, x �� 0; � � � � 4� � � � nghịch biến - Ta có nghiệm x �y2 VD9: (Thi thử ĐT 2011) Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm 3 � �x y y 3x �2 2 �x x y y m Giải - Điều kiện 1 �x �1, �y �2 36 3 (1) � x x ( y 1) 3( y 1) - Hàm số f (t ) t 3t nghịch biến đoạn [1;1] x, y 1� 1;1 nên f ( x) f ( y 1) � x y � y x Thế vào pt (2) ta x x m (3) Hệ có nghiệm � Pt (3) có nghiệm x � 1;1 � 2 1 Xét g ( x ) x x , x � 1;1 , g '( x) x � � � � x2 � g '( x) � x g (0) 2, g (�1) Pt (3) có nghiệm x � 1;1 � 2 � m �1 � 1 �m �2 �x5 xy y10 y � VD10 (Thử ĐT 2012) Giải hệ: � � � 4x y TH1: Xét y thay vào hệ thây không thỏa mãn (1) 2 x x TH2: Xét y �0 , chia vế (1) cho y ta ( ) y y (3) y y - Xét hàm số f (t ) t t � f '(t ) 5t nên hàm số đồng biến x x - Từ (3) � f ( ) f ( y ) � y � x y y y - Thay vào (2) ta có pt x x � x Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) (1;1) c) Bài tập tham khảo Bài 1: Giải phương trình: a) x 27 x3 27 x 13 x b) 3x x x c) 24 x 60 x 36 x x 15 x 1 5x x 1 d) 16 x3 24 x 12 x x e) x x3 x 37 f) x x 2x2 2x2 g) x3 16 x x x x h) x x x 1 x i) x x x x 11 x x Bài 2: Giải hệ phương trình sau: � �3 x x 3 y 1) � � �3 y y 3 x � � x x x y 1 y y 2) � 2 �x y x y 44 � � x y 1 y 1 x 3) � � x 1 y 2 � � x x 22 y y y 4) � 2 � � y y 22 x x x 10 � �x xy y y 5) � � 4x y � x 1 x y 3 y � 6) � 2 4x y 4x � � � x y x xy y 3 x y y � 7) � 3x y � � xy � x2 y �x x 2x � 8) � xy �y y2 x � y 2y � � y y x x x 3 � 9) � 3x 1 y x y x � � 38 � x y 1 x y x y 20 � 10) � 3x y x y x y 18 � 2 � �x x y x x y 11) �3 �x y x y 15 x � x y y 2x 1 � 12) � x y y 2y x 2y x � � Phương pháp lượng giác hóa a) Phương pháp: � � Nếu x �1 có số t với t �� ; cho: sin t x số y với �2 � � y � 0; cho x cos y �� 0; Nếu �x �1 có số t với t �� cho: sin t x số y với � 2� � �� y �� 0; cho x cos y � 2� � � � ; �sao cho: x tan t Với số thực x có t �� �2 2� Nếu: x , y hai số thực thỏa: x y , có số t với �t �2 , cho x sin t , y cos t Từ có phương pháp giải toán: � � x cos y với y � 0; �2 � � Nếu: x �1 đặt sin t x với t �� ; � � � � 0; �hoặc x cos y , với y �� 0; � Nếu �x �1 đặt sin t x , với t �� 2 � � � � Nếu: x , y hai số thực thỏa: x y , đặt x sin t , y cos t với �t �2 39 Nếu x �a , ta đặt: x a � � ; �, tương tự cho trường hợp , với t �� sin t �2 2� khác � � ; � �2 2� X số thực thi đặt: x tan t , t �� *) Lý phải đặt điều kiện cho t: Chúng ta biết đặt điều kiện x f t phải đảm bảo với x có t , điều kiện để đảm bào điều (xem lại vòng tròn lượng giác ) *) Cách xây dựng phương trình vơ tỉ phương pháp lượng giác Từ cơng phương trình lượng giác đơn giản: cos3t sin t , ta tạo phương trình vô tỉ Chú ý: cos3t 4cos3 t 3cos t ta có phương trình vơ tỉ: x x x (1) Nếu thay x ta lại có phương trình: x x x x (2) Nếu thay x phương trình (1) bởi: (x-1) ta có phương trình vố tỉ khó: x 12 x x x x (3) Việc giải phương trình (2) (3) khơng đơn giản chút ? Tương tự từ công thức sin 3x, sin 4x,…….ta xây dựng phương trình vơ tỉ theo kiểu lượng giác b) Ví dụ minh họa VD1 Giải phương trình sau: x x(1 x ) Giải: Điều kiện: x �0 � 1 �x �1 � � � � ; � Khi phương trình có dạng: Đặt x sin t , t �� 2 40 sin t sin t (1 sin t ) � cos t sin t (1 2cos t ) t � 2cos sin t sin 2t t 3t t � 2cos 2sin cos 2 � t � cos t � � � x t 3t � 2cos (1 sin ) � � �� �� � 2 � 3t � x 1 t sin � � � � 2 � x Vậy nghiệm phương trình là: � � x 1 � x x 1 x 1 2x x x2 VD2.Giải phương trình: Giải Đk x �0, x ��1 � � ; � Ta đặt: x tan t , t �� �2 2� Khi pttt 2sin t cos 2t cos 2t � sin t sin t 2sin t Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm x � 2� 1 VD3 .Giải phương trình x � � x2 � � Giải Đk: x , ta đặt x � � , t �� ; � sin t �2 2� cos t � � cot t � � Khi ptt: sin x sin 2t � 41 Phương trình có nghiệm: x VD4 Giải phương trình sau: 1 6x 2x Giải Lập phương vế ta được: x x � x3 x 5 7 � � cos ;cos ;cos � mà Xét: x �1 , đặt x cos t , t � 0; Khi ta S � 9 � phương trình bậc có tối đa nghiệm tập nghiệm phương trình c) Bài tập tham khảo Giải phương trình sau: 2x 2x 2x 2x 1) 2x 2x 2) x2 x x2 4) x � x � � ĐS: x 2cos x 2cos x HD: chứng minh x vô nghiệm 3) x 3x x 2 HD: tan x x2 � x � � 3 b) Phần 2: Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải phương trình sau 1) x 3 10 x2 x2 x 12 3) y y 1 y y 1 2) x x x 1 x x2 x y 4) x2 x2 11 31 5) x 5 x x2 3x 6) x2 3x x2 3x 7) x2 x 8) x3 1 23 2x 9) 2 1 x x2 2x x2 2x 10) 18 x x 42 Bài 2: Giải hệ phương trình sau � �x y x y 2 1) � 2 2 � �x y x y 4 � � � 1 � 3x � � � � x y� 2) � � �7y � 1 4 � � � x y� � � 10 � �x xy y y 3) � � 4x y � �x 1 y2 y 1 x2 1 x 1 y � 4) � � x y 1 4xy 2 � x y 1 5) � xy �2 �x y x y 6) � � x y x2 y � � y x x3 3 � 7) � � � x y x 1 � x 1 �x y y 8) � � � xy y x 2 � � x y x y 1 x y 9) � � � x y 1 � 2x y 2x y � 10) � � x 1 y � �y x y x 11) � 2 �xy y x 13 y 43 � 3( y y )(1 x 2) x x � 12) � 2y 2y x � �x x y y � 13) � � � x y x 44 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Từ kinh nghiệm thực tế giảng dạy học hỏi đồng nghiệp qua thử nghiệm vào thực tế chất lượng kiểm tra tiết tăng lên rõ rệt sau: - Tổng số kiểm tra: 43 - Kết đạt sau: + Trước thực sáng kiến: Điểm giỏi: chiếm 14% Điểm khá: 10 chiếm 23,3% Điểm TB: 12 chiếm 33% Điểm yếu, kém: 16 chiếm 29.7% + Sau thực sáng kiến Điểm giỏi: 12 chiếm 27, 9% Điểm khá: 21 chiếm 48,9% Điểm TB: chiếm 20,9% Điểm yếu, kém: chiếm 0,3% Qua kết làm kiểm tra tăng lên rõ rệt Vậy giảng phương pháp giải phương trình hệ phương trình vơ tỉ giáo viên cần khắc sâu cho học sinh đặc điểm sử dụng phương pháp giúp em lựa chọn cách giải ngắn gọn, hiệu cho Trong tiếp nhận toán giáo viên cần cho học sinh tìm hiểu kỹ nội dung bài, gợi mở cho học sinh toán quen thuộc có sử dụng phương pháp giải, biết đặc điểm để nhận dạng phương trình, hiểu rõ sở dẫn đến lời giải Trong trình tìm đường lối giải học sinh phải ln kiểm tra q trình suy luận có logic khơng? Vận dụng khái niệm phương pháp giải hay sai? Các liệu đầy đủ xác chưa? Giáo viên hướng dẫn học sinh chia toán thành bước nhỏ sau hướng dẫn thực hành giải tốn Trên vài kinh nghiệm mà tơi tâm đắc khẳng định phương pháp có tác dụng tốt giảng dạy phương pháp giải phương trình hệ phương trình vơ tỉ Mặc dù tâm huyết với chuyên đề, thời gian khả có hạn nên viết 45 khó tránh khỏi thiếu sót Tối mong nhận góp ý q thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp em học sinh để chuyên đề hoàn thiện trở thành tài liệu có ích giảng dạy học tập 46 III Kết luận, kiến nghị - Hiện thư viện trường THPT Trần Văn Lan trang bị tài liệu phục vụ cho việc dạy nhiên chưa có nhiều sách tham khảo hay sâu phương pháp giải phương trình hệ phương trình vơ tỉ Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại giáo viên có thêm nguồn tư liệu cho giảng dạy để em học sinh tìm đọc thêm trình bồi dưỡng tự học - Trong trình giảng dạy, nhận thức em học sinh trường chưa thật nhanh so với trường bạn, nhiên với sưu tầm, tổng hợp phương pháp kinh nghiệm trình giảng dạy, thầy cô mạnh dạn giành thêm thời gian để rèn luyện cho học sinh loại toán giải phương trình hệ phương trình vơ tỉ để em không khỏi bỡ ngỡ lúng túng trước đề thi qua nâng cao điểm số kiểm tra thi TÁC GIẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHẠM THỊ HOA 47 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN VĂN LAN (xác nhận, đánh giá, xếp loại) ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Ngày … tháng … năm 2014 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH (xác nhận, đánh giá, xếp loại) ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Ngày … tháng … năm 2014 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải tích 12NC (Đồn Quỳnh- Tổng Chủ biên - NXB GD - 2008) Sách tập Giải tích 12 (Vũ Tuấn - Chủ biên -NXB GD - 2011) Sách giáo viên Giải tích 12NC (Đồn Quỳnh- Tổng Chủ biên -NXB GD - 2008) Phân loại phương pháp giải tốn phương trình bất phương trình đại số (Th.S Lê Thị Hương-NXB ĐHQGHN) Đại số sơ cấp (Trần Phương-Lê Hồng Đức- NXB ĐHQGHN) Phương pháp giải tốn đại số (Lê Hồng Đức- Lê Bích Ngọc-NXB ĐHQGHN) Phân loại chuyên đề giải đề thi đại học theo phương pháp mơn Tốn (Trần Phương - NXB thành phố HCM) Các trang tài liệu mạng như: tailieu.vn, hocmai.vn, violet.vn 49 ... TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ” II Giải vấn đề (nội dung sáng kiến kinh nghiệm) Cơ sở lý luận vấn đề - Về lý luận: Dựa vào kiến thức phương trình hệ phương trình phương pháp giải phương trình hệ phương. .. tài Các phương pháp giải phương trình hệ phương trình vơ tỉ đa dạng kể tên số phương pháp sau: Phương pháp cộng đại số Phương pháp Phương pháp biến đổi tương đương: Trong phương pháp chia làm phương. .. Phương pháp (giải hệ phương trình vơ tỉ) a) Phương pháp: Nhiều phương trình sau rút ẩn (hoặc biếu thức) từ phương trình vào phương trình ta phương trình đơn giản nhờ mà ta có cách biến đổi hệ đơn
Ngày đăng: 15/06/2021, 14:13
Xem thêm:
