(Sáng kiến kinh nghiệm) từ kiến thức cơ bản về diện tích hình tam giác phát triển, nâng cao để bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU TRƯỜNG TIỂU HỌC DIỄN NGỌC - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TỪ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC PHÁT TRIỂN, NÂNG CAO ĐỂ BỒI DƢỠNG HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Người thực hiện: Điện thoại: 01683949237 Vị ThÞ Minh TỪ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC PHÁT TRIỂN, NÂNG CAO ĐỂ BỒI DƯỠNG HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN ĐẶT VẤN ĐỀ Đất nƣớc ta thời kỳ công nghiệp hóa đại hóa hội nhập quốc tế Văn kiện hội nghị lần Ban chấp hành TW Đảng CSVN khóa VIII (2/1993) khẳng định “Giáo dục quốc sách hàng đầu, động lực phát triển kinh tế xã hội” Thật vậy, công đổi đất nƣớc, cần có ngƣời có lĩnh, có lực chủ động dám nghĩ dám làm để thích ứng với đời sống xã hội ngày, thay đổi Muốn vậy, xã hội phải dựa vào giáo dục đáp ứng đƣợc điều Chính lẽ đó, Đảng nhấn mạnh mục tiêu giáo dục là: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực bồi dƣỡng nhân tài” Nhƣ rõ ràng phải từ kiến thức vững để nâng cao dân trí để đào tạo nhân lực cho xã hội Trên tảng để bồi dƣỡng nhân tài Chúng ta xây dựng tòa lâu đài đồ sộ móng khơng vững vàng, lại khơng thể đào tạo nhân tài mà kiến thức chƣa vững Chúng ta bồi dƣỡng học sinh giỏi theo kiểu áp đặt nhƣ “cứ gặp dạng làm này” lúc học sinh chƣa hiểu lại làm nhƣ Dạy nhƣ vơ hình biến học sinh làm việc nhƣ máy rập khuôn, thiếu linh hoạt làm thiếu sáng tạo thực tiễn Chính vậy, muốn bồi dƣỡng học sinh giỏi phải từ kiến thức vững từ phát triển, nâng cao dần để em chiếm lĩnh kiến thức cách nhẹ nhàng, thỏa mái vững THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Nhƣ biết, từ bƣớc chân vào trƣờng tiểu học em đƣợc làm quen với hình tam giác dạng tổng thể (phân biệt hình tam giác số hình khác: hình vng, hình trịn ) Lên đến lớp 5, em học khái niệm hình tam giác nhƣ đỉnh, góc, đáy, chiều cao tƣơng ứng với đáy học cách tính diện tích tam giác (tuần 17 – 18) đƣợc củng cố cách tính diện tích thơng qua nội dung ơn tập hình học cuối cấp Thực tế qua nhiều năm dạy học cho thấy, em đƣợc học đầy đủ cách xác định đáy chiều cao tƣơng ứng với đáy nhƣ: - Trong tam giác ta chọn cạnh làm cạnh đáy, từ đỉnh đối diện với cạnh đáy kẻ đƣờng thẳng vuông góc với đáy ta đƣợc đƣờng cao tam giác - Cách kẻ đƣờng cao: Đặt cạnh góc vng eke trùng với đỉnh tam giác, cạnh góc vuông trùng cạnh đối diện với đỉnh để vẽ Thế nhƣng vận dụng vào làm số tập em không khỏi lúng túng trƣờng hợp đƣờng cao nằm ngồi tam giác Cịn cách tính diện tích hình tam giác đƣợc sách giáo khoa giới thiệu cách tính diện tích biết đáy chiều cao Nhƣng thực tế ta tính diện tích hình tam giác cách so sánh diện tính Do áp dụng để làm số tập cụ thể, học sinh không tránh khỏi khó khăn, lúng túng đặc biệt trƣờng hợp tính diện tích hình tam giác mà ta chƣa biết cụ thể độ dài đáy chiều cao Cụ thể, sau học xong phần diện tích hình tam giác em áp dụng làm số tập đơn giản nhƣ sách giáo khoa, cho học sinh lớp bồi dƣỡng khảo sát qua số tập nhỏ (trong thời gian 40 phút) nhƣ sau: Bài 1: (30 điểm): Nêu tên cạnh đáy đƣờng cao tƣơng ứng hình tam giác D A M I K S T E B H Hình G L C P N Hình Bài 2: (2.0 điểm): Cho hình thang vng ABCD (xem hình vẽ) có AB = 12cm, DC = 15cm, AD = 13cm Nối D với B đƣợc hai tam giác ABD BDC a) Tính diện tích tam giác đó? b) Tính tỉ số phần trăm diện tích hình tam giác ABD diện tích hình tam giác BDC Bài (2,5 điểm): Cho hình tam giác ABC có diện tích 24cm2 Nếu kéo dài đáy BC thêm đoạn dài 2cm diện tích tăng thêm bao nhiêu? Biết Hình Q A B D C A 24cm2 B 8cm C 2cm D đáy hình tam giác ban đầu 8cm A Bài (2,5 điểm): Cho tam giác ABC Trên cạnh đáy BC lấy điểm D cho BD DC Nối A với D Trên cạnh AD lấy điểm M cho DM M B C D AD Tính diện tích tam giá ABC biết diện tích tam giác BMD = 4cm2 Sau 40 phút làm bài, kết thu đƣợc từ học sinh nhƣ sau: Yếu Giỏi Số học sinh khảo sát SL TL SL TL SL TL SL TL 30 0% 13 43,34% 17 56,66% 0% TB Khá Qua chấm khảo sát, kết cho thấy: * Ở 1: Hình hình 30 em tìm đủ cạnh đƣờng cao tƣơng ứng với cạnh Nhƣng sang hình phần lớn em tìm đƣợc cạnh đáy MP đƣờng cao tƣơng ứng với NT cịn đƣờng cao ML tƣơng ứng với cạnh đáy PN đƣơng cao PQ tƣơng ứng với đáy MN em làm đƣợc * Ở 30 em làm theo đáp số chiếm tỷ lệ 100% Tuy nhiên 30 em làm theo cách áp dụng cơng thức để thay số tính, khơng em biết cách dùng tỉ số hai đáy để tính nhƣ: Dienj tích tam giác ABD là: 12 x 13 : = 78 ( cm2) Diện tích tam giác ABD BDC có chiều cao (bằng chiều cao hình thang) Tỷ số hai đáy AB DC là: 12:15 = Vậy tỷ số diện tích hai tam giác ABD BDC Diện tích tam giác BDC 78: = 97,5 (cm2) Tỉ số phần trăm diện tích hình tam giác ABD diện tích tam giác BDC là: 4:5 = 0,8 0,8 = 80% * Ở tập 3, phần lớn em tìm đáp số nhƣng nhiều em lý luận chƣa chặt chẽ Cũng nhƣ em chƣa biết tìm diện tích phần mở rộng cách dựa vào tỉ số độ dài hai đáy * Sang tập đa số em vẽ hình đúng, đẹp xác nhƣng khơng có em tính đƣợc diện tích tam giác ABC để giải đƣợc địi hỏi em phải nắm vững mối quan hệ yếu tố tam giác đáy (đáy, chiều cao tƣơng ứng với đáy diện tích) Ta thấy thực tiễn dạy tốn, khơng phải tốn dạng tƣờng minh nhƣ tập cần dựa vào cơng thức tính đƣợc kết Đặc biệt trình dạy bồi dƣỡng học sinh khiếu, để đáp ứng đƣợc nhu cầu học tập học sinh, giáo viên phải sƣu tầm, thiết kế toán nâng cao hơn, khái quát thƣờng toán đƣợc “ngụy trang “ điều kiện chƣa tƣờng minh Bởi không tránh khỏi vƣớng mắc, khó khăn giáo viên khơng có phƣơng pháp giúp học sinh nắm vững mối quan hệ yếu tố tam giác Trong trình nghiên cứu qua thực tế giảng dạy nhiều năm, đặc biệt qua hai năm thực chƣơng trình thay sách lớp tơi thấy khó khăn dạy toán tam giác trƣờng hợp sau - Trƣờng hợp 1: Vẽ đƣờng thẳng để chia tam giác cho thành phần theo tỉ lệ diện tích + Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, qua đỉnh A vẽ đƣờng thẳng cắt cạnh BC điểm D cho diện tích tam giấc ABD diện tích tam giác ADC + Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Hãy kẻ đƣờng thẳng cắt hai cạnh tam giác để chia tam giác ABC thành hai phần cho diện tích phần diện tích phần - Trƣờng hợp 2: Tính diện tích tam giác chƣa biết độ dài cạnh đáy chiều cao Để tính đƣợc diện tích hình phải dựa vào diện tích tỉ lệ độ dài đáy chiều cao tam giác khác Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có diện tích 780cm2 Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE = 3BE Trên cạnh AC lấy điểm D cho CD = 3AD Nối BD CE cắt I a) So sánh diện tích hai tam giác ABD BCE b) Tính diện tích tam giác BEL (Đề thi tuyển vào trƣờng THCS Cao Xuân Huy năm học 2006 – 2007) Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 540 cm2 Trên cạnh AB lấy hai điểm M N cho AM = AB; AN = AB; CM cắt DN O a) Tính diện tích tam giác MBC b) Tính diện tích tam giác OMN ( Đề thi tuyển vào trƣờng THCS Cao Xuân Huy năm học 2007 - 2008) Với ví dụ làm để vẽ đƣợc tam giác có diện tích theo tỷ lệ cho hay để tính đƣợc diện tích tam giác mà ta chƣa biết độ dài cạnh đáy nhƣ chiều cao Căn vào mối quan hệ để vẽ đƣợc, tính đƣợc trƣờng hợp nhƣ ? GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Nhƣ biết, muốn bồi dƣỡng học sinh giỏi phải bồi dƣỡng theo mạch kiến thức, bồi dƣỡng theo dạng không lan man nhiều mạch kiến thức gặp dạng làm dạng nhƣ khó dạy sâu học sinh khó tƣ Muốn nâng cao dạng phải củng cố kiến thức thật Học sinh phải nắm đƣợc phƣơng pháp giải, quy trình giải, cơng thức tính Để học sinh nắm sâu ta phải dùng hệ thống câu hỏi để kiểm tra xem thử em nắm chƣa làm theo công thức làm theo mẫu chƣa hiểu rõ vấn đề cốt lõi Sau học sinh nắm kiến thức giáo viên dựa kiến thức để mở rộng nâng cao theo mạch kiến thức để từ kiến thức phát triển lên kiến thức Khi rút đƣợc số kết luận giáo viên phải tổng qt hóa tốn để học sinh dễ nhớ hiểu Từ toán bản, giáo viên thiết kế, sáng tác thêm tốn có nội dung phong phú hơn, mở rộng nâng cao dần để em giải Đối với em thật giỏi, giáo viên khuyến khích học sinh tự đề giải Có nhƣ phát huy hết lực tiềm ẩn học sinh, khơi dậy tị mị ham thích học tập em Trở lại với dạng tốn diện tích hình tam giác Để giúp em vẽ đƣợc, tính đƣợc diện tích tam giác trƣờng hợp trên, nhƣ giúp học sinh hiểu sâu vận dụng làm tốt tốn trƣờng hợp tƣơng tự tơi sử dụng số biện pháp sau: - Thơng qua số hình vẽ hƣớng dẫn em xác định yếu tố tam giác (cụ thể đáy chiều cao tƣơng ứng với đáy) - Từ ví dụ cụ thể giúp học sinh tìm mối quan hệ yếu tố tam giác (đáy, chiều cao tƣơng ứng với đáy diện tích) - Vận dụng hiểu biết mối quan hệ để thực hành số toán liên quan Cụ thể: Củng cố cách xác định đáy kẻ đƣờng cao tƣơng ứng với đáy thông qua số hình vẽ: - Trƣớc hết phải cho học sinh nhắc lại cách A xác định đáy vẽ đƣờng cao tƣơng ứng với đáy Sau giáo viên vẽ hình tam giác yêu cầu học sinh xác định đáy dùng eke để vẽ đƣờng cao B C tam giác Hỏi: - Trong tam giác ABC chọn BC làm đáy đỉnh đối diện với đáy BC đỉnh nào? (đỉnh A) - Nếu chọn AC làm đáy đỉnh đối diện với cạnh AC đỉnh nào? (đỉnh B) - Nếu chọn cạnh AB đáy đỉnh đối diện với cạnh AB đỉnh nào? (đỉnh C) Sau yêu cầu học sinh kẻ đƣờng cao tƣơng ứng với đáy AB, AC, BC Qua hình vẽ ta thấy đƣờng cao nằm tam giác Vậy đƣờng cao nằm tam giác ta vẽ nhƣ nào? Giáo viên vẽ tiếp tam giác MNQ lên bảng Hỏi: Muốn vẽ đƣờng cao tƣơng ứng với đáy QN M ta phải xác định đƣợc gì? (đỉnh đối diện với đáy QN đỉnh M) Giáo viên hƣớng dẫn dùng đƣờng kẻ phụ: kéo H dài đáy QN phía Q sau dùng eke để vẽ Q Tiếp tục yêu cầu học sinh vẽ đƣờng cao tƣơng ứng với đáy QM (kéo dài đáy QM đoạn phía Q I dùng eke để vẽ) N * Qua hình vẽ ta thấy đƣờng cao tƣơng ứng với đáy QN QM nằm tam giác Vậy để vẽ đƣợc đƣờng cao nằm tam giác ta phải ý điều gì? (dùng đƣờng kẻ phụ kéo dài đáy phía) * Sau dó giáo viên tiếp tục vẽ thêm số hình tam giác khác yêu cầu học sinh kẻ đƣờng cao tƣơng ứng với đáy Bài tập: Vẽ đƣờng cao BH cho tam giác sau: B A A A C C B B C * Sau học sinh nắm vững cách xác định đáy chiều cao tƣơng ứng với đáy, giáo viên tiếp tục hƣớng dẫn học sinh xác định tam giác có chung đáy tam giác có chung chiều cao, thơng qua số tập sau: Bài 1: Dựa vào hình vẽ em cho biết AH chiều cao tam giác nào? A A Bài 2: Cho hình vẽ sau: Nêu tên tam giác có chung chiều cao MK Nêu tên tam giác có chung chiều cao CH B H N A C M N B H I K D C Bài 3: Cho tứ giác ABCD, nối AC BD cắt E (xem hình vẽ) B Nêu tên tam giác có chung cạnh đáy AC? Nêu tên tam giác có chung cạnh đáy BD? Nêu tên tam giác có chung cạnh đáy DE? A E Nêu tên tam giác có chung cạnh đáy EB? Nêu tên tam giác có chung cạnh đáy AE? D C Nêu tên tam giác có chung cạnh đáy EC? * Sau học sinh xác định đƣợc tam giác có chung đáy, có chung chiều cao, để tính đƣợc diện tích hình tam giác liên quan, giáo viên phải giúp học sinh nắm đƣợc mối quan hệ yếu tố tam giác (đáy, chiều cao diện tích) Mối quan hệ yếu tố tam giác Bài tốn 1: Tam giác ABC có đáy BC 20cm chiều A cao tƣơng ứng với đáy 8cm Kéo dài đáy BC 8cm thêm đoạn CD 5cm diện tích tăng thêm bao nhiêu? B H 20cm C 5cm D Bài toán đƣợc học sinh dễ dàng giải đƣợc Cách 1: Diện tích tam giác ABC : (20 x 8) :2 = 80 (cm2) Khi mở rộng đáy thêm 5cm phần mở rộng có dạng hình tam giác chiều cao phần mở rộng chiều cao tam giác ban đầu (bằng chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BD) Độ dài đoạn BD là: 20 + = 25 (cm) Diện tích tam giác ABD là: 25 x : = 100 (cm2) Diện tích tăng thêm là: 100 – 80 = 20 (cm2) Đáp số : 20cm2 Cách 2: Chiều cao phần mở rộng chiều cao tam giác ban đầu ( chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BD) Diện tích phần mở rộng là: x : = 20 (cm2) Đáp số: 20 cm2 Việc quan trọng học sinh xác định đƣợc hai tam giác ABC ACD có chung chiều cao (chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BD) Từ toán hỏi: Em so sánh đáy phần mở rộng đáy phần tam giác ban đầu? (5:20 = ) Diện tích phần mở rộng so với diện tích hình tam giác ban đầu nhƣ nào? (20:80 = ) Vậy hai tam giác có chiều cao (chiều cao nhau) độ dài đáy diện tích có quan hệ nhƣ nào? (cùng tăng giảm) Rút kết luận 1: Hai tam giác A B có chiều cao (chung chiều cao) thì: Đáy tam giác A Diện tích hình A = Đáy tam giác B Diện tích hình B Từ tốn ta khai thác thêm số toán khác mà thực chất tốn song hình thức biểu lại khác Hỏi: Nếu biết diện tích tam giác tỉ số đáy hai tam giác ta tính đƣợc diện tích tam giác khơng? Ta có tốn 2: Một ruộng hình tam giác có diện tích 80m2 Ngƣời ta mở rộng đáy thêm đoạn đáy ban đầu diện tích tăng thêm bao nhiêu? Biết sau mở rộng ruộng hình tam giác Hỏi: Tỉ số đáy tam giác phần mở A rộng đáy ban đầu bao nhiêu? ( ) Vậy tỉ số diện tích phần mở rộng diện tích tam giác ban đầu bao 80cm2 B nhiêu? ( ) C D Dựa vào quan hệ tỉ lệ đáy diện tích tam giác nên em dễ dàng giải đƣợc Giải: Phần mở rộng hình tam giác có chiều cao chiều cao tam giác ban đầu Theo đáy phần mở rộng đáy ruộng ban đầu nên diện tích phần mở rộng diện tích ruộng ban đầu Diện tích phần mở rộng là: 80 x =20 (m2) Đáp số: 20m2 Từ toán hỏi: Nếu biết đáy ruộng ban đầu tỉ số diện tích phần mở rộng với diện tích tam giác ban đầu ta có tính đƣợc đáy phần mở rộng khơng? 10 Ta có tốn 3: Một ruộng hình tam giác có đáy dài 20m Ngƣời ta mở rộng đáy thêm đoạn để có diện tích phần mở rộng 25% diện tích ban đầu Tính độ dài đáy phần mở rộng, biết sau mở rộng ruộng hình tam giác Hỏi: Tỉ số diện tích phần mở rộng diện A tích ruộng ban đầu bao nhiêu? (25%) Vậy tỉ số đáy phần mở rộng đáy ruộng ban đầu nhƣ nào? (cùng B 25%) C Dựa vào quan hệ tỉ lệ đáy diện tích, em dễ dàng giải đƣợc Từ toán 3, hỏi: * Nếu biết đƣợc độ dài đáy phần mở rộng biết tỉ số diện tích tam giác phần mở rộng diện tích tam giác ban đầu ta tính độ dài đáy ban đầu khơng? Ta có tốn 4: Nhà bác An có ruộng hình tam giác Nay làm đƣờng nên bị xén vào ruộng phần đất hình tam giác (hình vẽ) có đỉnh đỉnh đất, diện tích bị xén vào diện tích ban đầu Tính độ dài đáy mảnh đất cịn lại biết mảnh đất bị xén có đáy A 5m Từ hiểu biết mối quan hệ độ dài đáy diện tích, em giải đƣợc B C D Phần bị xén phần đất cịn lại có dạng hình tam giác Ta xem đáy tam giác 5m chiều cao chiều cao phần đất lại (bằng chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BC) Theo phần đất bị xén diện tích ban đầu hay diện tích đất cịn lại Do đáy phần đất bị xén đáy phần đất lại 11 D Độ dài đáy phần đất lại là: : = 20 (m) Đáp số: 20m * Từ toán rút tổng qt 1: - Gọi diện tích hình S1; đọ dài đáy hình a1 - Gọi diện tích hình S2; đọ dài đáy hình a2 Khi tam giác tam giác có chung chiều cao (chiều cao nhau) thì: Ta có: a1 S1 a S2 S1 S2x a1 a 2x a1 a2 S1 S2 S2 S1x a2 a 1x a2 a1 S2 S1 Đối với dạng này, hai tam giác có chiều cao (chung chiều cao) diện tích độ dài đáy có quan hệ tỉ lệ tăng giảm Vậy hai tam giác có đáy (chung đáy) diện tích chiều cao có quan hệ nhƣ nào? Bài tốn 1: Cho tứ giác ABCD vng C D, có AD = 6cm, BC = 9cm, DC = 8cm (xem hình vẽ) Nối A với C, B với D B Hãy so sánh diện tích tam giác ADC BDC A Vận dụng cơng thức tính diện tích tam giác, học sinh chăn dẽ dàng giải đƣợc: Giải: Diện tích tam giác ACD là: x : = 24 (cm2) Diện tích tam giác BCD : x : = 36 (cm2) D C 2 Vì 36cm > 24cm nên diện tích tam giác BCD lớn diện tích tam giác ADC Từ toán trên, hỏi: - Nếu xem DC đáy tam giác ACD chiều cao tƣơng ứng cạnh nào? (AD) - Nếu xemDC đáy tam giác BCD chiều cao tƣơng ứng cạnh nào? (BC) 12 - Chiều cao BC tam giác BCD gấp lần chiều cao AD tam giác ADC? (9:6 = lần) - Diện tích tam giác BCD gấp lần diện tích tam giác ADC? (36:24 = lần) - Vậy hai tam giác có chung đáy (đáy nhau) diện tích chiều cao có quan hệ nhƣ nào? (quan hệ tăng giảm) Rút kết luận 2: Hai tam giác A B có chung đáy (đáy nhau) thì: Chiều cao tam giác A Diện tích tam giác A = Chiều cao tam giác B Diện tích tam giác B Từ tốn trên, hỏi: Nếu ta biết tỉ lệ chiều cao hai tam giác biết diện tích hai tam giác ta tính đƣợc diện tích tam giác cịn lại hay khơng? Ta có tốn 2: Khi thiết kế xong nhà hình tam giác bác An định xây cao 3m, tính diện tích bề mặt nhà 9m2 Nhƣ phần khơng phù hợp với ngơi nhà nên bác hạ chiều cao xuống cịn chiều cao ban đầu Tính diện tích nhà bác An Hỏi: Khi đáy nhà khơng đổi mà ta hạ chiều cao diện tích bề mặt nhà thay đổi nhƣ nào? (diện tích giảm) Tỉ số chiều cao nhà sau hạ xuống chiều cao dự định ban đầu bao nhiêu? ( ) Vậy tỉ số diện tích bề mặt nhà so với diện tích dự định ban đầu bao nhiêu? ( ) Từ tính đƣợc diện tích nhà bác An hay khơng? Giải: Khi đáy nhà khơng đổi 13 Nếu chiều cao nhà sau hạ chiều cao ban đầu diện tích bề mặt nhà sau hạ diện tích ban đầu Diện tích bề mặt nhà bác An là: x = 7,5 (m2) * Tƣơng tự ta thiết kế số tốn, từ rút cơng thức tổng qt 2: - Gọi diện tích hình tam giác S1, chiều cao tam giác h1 - Gọi diện tích hình tam giác S2, chiều cao tam giác h2 Nếu tam giác tam giác có chung đáy (hoặc đáy nhau) thì: h1 h S1 h1 S2 S1 S2x h1 h h 2x S1 ; h S2 ; S2 S1x h 1x h S2 S1 h1 * Nhƣ qua kết luận kết luận 2: + Hai tam giác có chung chiều cao (chiều cao nhau) diện tích độ dài đáy quan hệ tỉ lệ tăng giảm + Hai tam giác có đáy (chung đáy) diện tích chiều cao tƣơng ứng với đáy có quan hệ tỉ lệ tăng giảm Vậy hai tam giác có diện tích độ dài đáy chiều cao tƣơng ứng với có quan hệ nhƣ nào? Bài tốn 1: Cho hình chữ nhật ABCD vó chiều dài AB = 12cm, chiều rộng BC = 7cm Trên cạnh AB lấy điểm E cho EB = AB; cạnh BC lấy điểm M cho CM = MB Nối E với M, M với D So sánh diện tích tam giác EBM MCD A E B M D C 14 Hỏi: Muốn so sánh diện tích hai tam giác EBM MCD ta phải làm gì? (phải biết diện tích hình tam giác) Hai tam giác có đặc điểm gì? (đều tam giác vng) Muốn tính đƣợc diện tích tam giác EBM ta phải biết gì? (độ dài đoạn EB BM) Muốn tính đƣợc diện tích tam giác MCD ta phải biết gì? (độ dài đoạn MC DC) Giải: Độ dài đoạn EB là: 12 x = (cm) Độ dài đoạn BM là: 7:(3+4)x4 = 4(cm) Độ dài đoạn MC là: – = (cm) Diện tích tam giác BME là: x : = 18 (cm2) Diện tích tam giác MCD là: x 12 : = 18 (cm2) Vì 18cm2 = 18cm2 nên diện tích tam giác BME diện tích tam giác MCD * Từ toán trên, hỏi: - Nếu coi EB đáy tam giác EBM chiêu cao tƣơng ứng cạnh (BM) - Nếu coi DC đáy tam giác DMC chiêu cao tƣơng ứng cạnh (MC) - Tỉ số chiều cao BM MC bao nhiêu? ( ) - Tỉ số đáy EB DC ? ( ) - Vậy hai tam giác có diện tích độ dài đáy chiều cao tƣơng ứng với đáy có quan hệ nhƣ nào? (chiều cao tăng lần độ dài đáy giảm nhiêu lần ngƣợc lại chiều cao giảm lần đáy tăng nhiêu lần) Qua toán rút kết luận 3: Đáy tam giác A Chiều cao tam giác B Nếu: = Đáy tam giác B Chiều cao tam giác A Thì diện tích tam giác A diện tích tam giác B Từ tốn giáo viên thiết kế thêm số khác, từ rút công thức tổng quát 3: 15 - Gọi đáy tam giác a1; chiều cao tƣơng ứng đáy h1 - Gọi đáy tam giác a2; chiều cao tƣơng ứng đáy h2 Nếu a1 a1 h a h1 a 2x S1 = S2 h h1 ; h1 h 2x a ; a a1 a 1x h1 h ; h 2 h 1x a1 a Sau học sinh nắm vững mối quan hệ yếu tố tam giác giáo viên số tập theo dạng để nâng cao dần kiến thức cho học sinh, hệ thống tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Sau số ví dụ: * Dạng 1: Kẻ đƣờng thẳng để chia tam giác thành phần diện tích theo tỉ lệ Trƣờng hợp 1: Kẻ đường thẳng qua đỉnh chia tam giác thành phần Bài toán 1: Cho tam giác ABC, qua đỉnh A kẻ đƣờng thẳng cắt cạnh BC điểm D cho diện tích tam giác ABD = diện tích tam giác ABC Hỏi: - Chiều cao tam giác ABD ABC nhƣ nào? (bằng nhau, chiều cao hạ từ đỉnh A) - Tỉ lệ diện tích hai tam giác bao nhiêu? ( ) Dựa vào kết luận em dễ dàng tìm đƣợc tỉ lệ hai đáy hai tam A giác? ( ) B D C Từ em tìm đƣợc điểm D cạnh BC Bài toán 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 6cm Qua đỉnh A, em kẻ đƣờng thẳng để hia tam giác ABC thành phần có diện tích Hỏi: - Chiều cao tam giác nhƣ (bằng nhau, chiều cao hạ từ đỉnh A) - Tỉ lệ diện tích tam giác bao nhiêu? (bằng nhau) - Tỉ lệ độ dài đáy tam giác bao nhiêu? (bằng nhau) Vậy làm để kẻ đƣợc? (vì đáy tam giác nên chia đáy BC thành phần nối điểm với đỉnh A) 16 Từ em dễ dàng giải đƣợc * Đối với toán kẻ đƣờng thẳng qua đỉnh cần dựa vào tỉ lệ diện tích để chia độ dài cạnh đối diện với đỉnh thành phần theo tỉ lệ diện tích cho, tƣơng ứng với đỉnh ta có cách vẽ khác Trƣờng hợp 2: Kẻ đường thẳng qua hai cạnh tam giác Bài toán: Cho tam giác ABC Hãy kẻ đƣờng thẳng cắt hai cạnh tam giác để đƣợc hai hình cho diện tích diện tích hình Hỏi: Diện tích diện tích hình hay diện tích hình lần diện tích ban đầu? (bằng ) Vì đƣờng thẳng cắt hai cạnh tam giác nên ta hƣớng dẫn học sinh phân tích tỉ số thành tích hai thừa số - Trên cạnh tam giác ta lấy điểm có tỉ lệ với thừa số thứ - Trên cạnh tam giác ta lấy điểm có tỉ lệ với thừa số thứ hai Ta thấy: 1 x 3 x VD: Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = A E AB D Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AC B C Nối D với E ta có: S ADE S ABE Suy ra: Vậy S ABE (có đáy AD= AB, chung chiều cao hạ từ E xuống AB) S ABC (có đáy AE= AC, chung chiều cao hạ từ B xuống AC) S ADE S ADE x S ABC S ABC S DEBC 17 Ngoài cách vẽ ta cịn có nhiều cách vẽ khác, tƣơng ứng với cách phân tích số ta lại có cách vẽ khác * Đối với dạng tốn kẻ đƣờng thẳng cắt hai cạnh tam giác để chia tam giác thành hai phần có tỉ lệ diện tích x y Cần phân tích tỷ số x ( x biết) y thành tích hai phân số (vì cắt hai cạnh y tam giác) Ví dụ: x a y b x c d a Trên cạnh thứ tam giác ta lấy điểm theo tỉ lệ b Trên cạnh thứ hai tam giác ta lấy điểm theo tỉ lệ c d x Nối hai điểm lại ta đƣợc hai phần có diện tích theo tỉ lệ y (Tƣơng ứng với cách phân tích số nhƣ ta lại có cách kẻ khác nhau) * Dạng 2: Bài tốn tính diện tích tam giác Bài 1: Cho tam giác ABC Trên BC lấy M cho BM = BC ; nối A với M AM lấy N cho NM = AM Nối B với N Tính diện tích hình tam giác ABC biết diện tích hình tam giác BMN 6cm2 - Để giải đƣợc tốn u cầu em vẽ hình Từ hình vẽ giáo viên hƣớng dẫn em khai thác dần - Để tính đƣợc diện tích tam giác ABC ta phải dựa vào đâu? (dựa vào quan hệ tỉ lệ diện tích tam giác AMB ABC) - Hai tam giác có quan hệ nhƣ nào? A N 6cm B M C 18 (chung chiều cao hạ từ đỉnh A, đáy BM = BC nên S ABM S ABC ) - Diện tích tam giác ABM biết ? (chƣa) - Dựa vào đâu để tính đƣợc diện tích tam giác ABM? (quan hệ tam giác BMN ABM) - Tam giác BMN ABM có quan hệ nhƣ nào? (có chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy MN = AM nên S BMN S ABM ) Từ hƣớng suy nghĩ học sinh giải đƣợc: Giải: Tam giác BMN ABM có chung chiều cao hạ từ đỉnh B đáy MN= AM nên diện tích tam giác BMN = diện tích tam giác ABM Diện tích tam giác ABM là: x = 18 (cm2) Tam giác ABM ABC có đáy BM = BC , có chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên diện tích tam giác ABM = diện tích tam giác ABC Diện tích tam giác ABC : 18 x = 72 (cm2) Đáp số: 72 cm2 Ở tốn có em phát cách giải khác Nối N với C, sau dựa vào quan hệ tỉ lệ tam giác tính Cách 2: Nối N với C SBMN = S MNC có đáy BM = MC (do BM = BC ) , có chung chiều cao hạ từ đỉnh N Diện tích tam giác MNC là: x = 18 (cm2) SMNC = S AMC (đáy MN = AM, chung chiều cao hạ từ đỉnh C) A Diện tích tam giác AMC là: 18 x = 54 (cm ) N B M C 19 SBMN = SMNC có đáy BM = MC (do BM = BC), có chung chiều cao hạ từ đỉnh N Diện tích tam giác MNC là: x = 18 (cm2) SMNC = SAMC (đáy MN = AM; chung chiều cao hạ từ đỉnh C) Diện tích tam giác AMC : 18 x = 54 (cm2) SBMN = SABM (đáy MN = AM, chung chiều cao hạ từ đỉnh B) Diện tích tam giác ABM là: x = 18 (cm2) Diện tích tam giác ABC : 54 + 18 = 72 (cm2) Đáp số: 72cm2 Bài 2: Cho diện tích tam giác ABC có diện tích 780cm2 Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE= AB Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = AC Nối BD CE cắt I Tính diện tích tam giác CBD EBD Hỏi: Để tính đƣợc diện tích tam giác BDC ta phải dựa vào đâu? (Dựa vào quan hệ tỉ lệ diện tích tam giác BCD ABC) Hai tam giác có quan hệ nhƣ nào? (Có chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy DC = B E I AC AD = AC nên SBDC = A SABC) D C - Để tính đƣợc diện tích tam giác EBD ta dựa vào đâu? (quan hệ tỉ lệ diện tích tam giác EBD ABD) - Hai tam giác có quan hệ nhƣ nào? (có chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy EB = AB nên SEBD = SABD) 20 Dựa vào kết luận học sinh tính đƣợc: Giải: 3 4 SBDC= SABC (đáy DC = AC; AD = AC, có chung chiều cao hạ từ đỉnh B) Diện tích tam giác BDC là: 780 x =585 (cm2) Diện tích tam giác ABD là: 780 – 585 = 195 (cm2) SEBD = SABD (đáy EB = AB; có chung chiều cao hạ từ đỉnh D) Diện tích tam giác EBD là: 195 : = 48,75 (cm2) Đáp số: 48,75cm2 585cm2 *Từ toán hỏi: - Tam giác EBD BDC có chung cạnh nào? (BD) - Nếu ta xem BD đáy tam giác EBD BCD ta tính đƣợc tỉ số chiều cao hai tam giác khơng? Dựa vào đâu để biết? (có, dựa vào tỉ lệ diện tích) Giáo viên kẻ chiều cao EK tam giác EBD chiều cao CH tam giác BCD Hỏi: Chiều cao EK tam giác EBD chiều cao tam giác (EIB) - Chiều cao CH tam giác BCD chiều cao tam giác nữa? (BIC) - Biết đƣợc tỉ lệ chiều cao tam giác EBI ICB ta có tính đƣợc diện tích tam giác EBI khơng? (có) Bài tốn 3: Cho tam giác ABC có diện tích 780cm2 Trên cạnh AB lấy điểm E cho EB = AB Trên cạnh AC lấy điển D cho AD = AC Nối BD CE cắt I Tính diện tích tam giác BEI Hỏi: Tam giác BEI có cạnh BI chung với cạnh tam giác nào? (BIC) Dựa vào mối quan hệ yếu tố tam giác học sinh giải đƣợc: B E K I H C A D 21 - Từ kết ta có: Diện tích tam giác BDC gấp diện tích tam giác EBD số lần là: 58: 48,75 = 12 (lần) Tam giác BDC EBD có chung đáy BD mà diện tích tam giác BDC gấp 12 lần diện tích tam giác EBD nên chiều cao CH gấp 12 lần EK - Xét tam giác EBI BIC có chung đáy BI chiều cao CH gấp 12 lần EK nên diện tích tam giác BIC gấp 12 lần diện tích EBI hay SEBI = 12 S BIC Mà SBEC = 13 S BEC SABC (vì EB = AB; chung chiều cao hạ từ đỉnh C) Diện tích tam giác BEC là: 780 x = 195 (cm2) Diện tích tam giác EBI là: 195 x =15 (cm2) 13 Đáp số: 15cm2 Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD có AC BD cắt E Biết diện tích tam giác EAB, ECD, ECB lần lƣợt 15cm2, 10cm2 5cm2 Tính diện tích hình tam giác EAD A Hỏi: Muốn tính diện tích tam giác AED ta dựa vào đâu? (ta xem tam giác có chung cạnh với tam giác nào? sau ta xem cạnh đáy, B 15cm2 xét tỉ số chiều cao hai tam giác đó) E 5cm2 - Dựa vào đâu để tính tỉ số chiều cao? (dựa 10cm2 vào diện tích tam giác có chung chiều cao với C chiều cao đó) D - Em cho biết tam giác ADE có chung cạnh với tam giác nào? (chung cạnh AE với tam giác AEB; chung cạnh DE vứi tam giác DEC) Từ hƣớng suy nghĩ em giải đƣợc A Cách 1: Tam giác BEC DEC có chung đáy EC tỉ số diện tích K B tam giác BEC DEC là: : 10 = E H C D 22 Do chiều cao BH = DK Tam giác AED AEB có chung đáy AE chiều cao BH = DK Nên diện tích tam giác ABE = diện tích tam giác AED Diện tích tam giác AED là: 15 x = 30 (cm2) Đáp số: 30cm2 Cách 2: Tam giác EDA EDC có chung cạnh DE, AK chiều cao tam giác ADE chiều cao tam giác ABE, CH chiều cao tam giác EBC chiều cao tam giá ECD Tam giác EBC ABE có chung đáy EB nên tỉ số diện tích tỉ số chiều cao A B H E K C D Tỉ số diện tích tam giác EBC ABE là: : 15 = Do chiều cao CH = AK Tam giác ECD EAD có chung đáy ED chiều cao CH = AK nên diện tích tam giác ECD = diện tích tam giác EAD Diện tích tam giác AED là: 10 x = 30 (cm2) Đáp số: 30cm2 Kết luận: Đối với toán yêu cầu tính diện tích tam giác (ta chƣa biết cụ thể số đo độ dài đáy chiều cao tƣơng ứng với nó) phải xét mối quan hệ tam giác với số tam giác khác (theo tỉ lệ độ dài đáy chiều cao) * Ngồi ra, ta cịn vận dụng mối quan hệ yếu tố tam giác để giải toán mở rộng hay thu hẹp diện tích tam giác, tứ giác KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Sau nhiều năm bồi dƣỡng học sinh khiếu toán, áp dụng số kinh nghiệm trên, nhận thấy chất lƣợng học sinh đƣợc nâng cao rõ rệt Gặp toán tƣơng đối phức tạp, em biết áp dụng kết luận 23 mối quan hệ yếu tố tam giác để giải Bài làm em lý luận chặt chẽ, xác Từ tốn cụ thể, em có hƣớng suy nghĩ khác Từ hƣớng suy nghĩ em tìm đƣợc nhiều cách giải cho toán Đặc biệt, tiết học bồi dƣỡng tốn có liên quan đến tốn diện tích tam giác em học hào hứng Đó động lực thúc đẩy tơi trình dạy học BÀI HỌC KINH NGHIỆM Để bồi dƣỡng học sinh khiếu tốn theo tơi giáo viên cần phải: - Bồi dƣỡng theo mạnh kiến thức, từ kiến thức để khai thác nâng cao dần - Tránh lối dạy áp đặt chiều, phải từ ví dụ cụ thể, giáo viên dùng hệ thống câu hỏi bổ sung (ít hay nhiều tùy thuộc trình độ nhận thức học sinh) để hƣớng dẫn em rút kết luận Từ kết luận giáo viên phải biết tổng qt hóa tốn để giúp học sinh dễ nhớ - Khi em nắm kiến thức bản, giáo viên phải đề phong phú hơn, nâng cao dần khái qt hóa tốn - Phải ý khai thác phát triển đề toán khác sở toán có, tạo hội phát triển tƣ em Khi thiết kế toán nên liên hệ gần gũi với sống, phải thƣờng xuyên đổi nội dung cho phù hợp với vấn đề thời đại - Phải kiên trì khơng nóng vội, học sinh chƣa hiểu nắm chƣa vững kiến thức giáo viên cần phải có hệ thống câu hỏi gợi mở nhằm giúp em nắm trắc kiến thức, tránh làm thay cho học sinh - Đặc biệt giáo viên nên khuyến khích học sinh nên tự đề tự giải, có nhƣ em nhớ lâu, khắc sâu đƣợc kiến thức Với cách làm thấy chất lƣợng học tập học sinh ngày đƣợc nâng lên, hạn chế tình trạng học sinh tiếp thu kiến thức cách thụ động Số lƣợng học sinh u thích mơn học ngày tăng Với ý tƣởng nâng cao chất lƣợng học sinh giỏi, đồng thời mở rộng cách nhìn tốn diện tích hình tam giác; kinh nghiệm ỏi mình, tơi cố gắng trình bày số tốn điển hình phƣơng pháp giải chúng Hy vọng nhận đƣợc đồng nghiệp ngƣời quan tâm ý kiến bổ ích để vấn đề nêu ngày thiết thực Diễn Ngọc, ngày 30 tháng 05 năm 2008 24 Người thực Vũ Thị Minh 25 ...TỪ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC PHÁT TRIỂN, NÂNG CAO ĐỂ BỒI DƯỠNG HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN ĐẶT VẤN ĐỀ Đất nƣớc ta thời kỳ cơng nghiệp hóa đại hóa hội... cạnh tam giác Bài toán: Cho tam giác ABC Hãy kẻ đƣờng thẳng cắt hai cạnh tam giác để đƣợc hai hình cho diện tích diện tích hình Hỏi: Diện tích diện tích hình hay diện tích hình lần diện tích. .. thiết kế số tốn, từ rút cơng thức tổng qt 2: - Gọi diện tích hình tam giác S1, chiều cao tam giác h1 - Gọi diện tích hình tam giác S2, chiều cao tam giác h2 Nếu tam giác tam giác có chung đáy