Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng thi có 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi nhau có cùng một đề?. 2.21.[r]
(1)TỔ HỢP hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy bông hoa? 1.6.2 Từ các chữ số 1, 2, có thể lập bao nhiêu số khác có chữ số khác nhau? 1.7 1.7.1 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số? 1.7.2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số? 1.7.3 Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số là số chẵn? 1.7.4 Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số, đó các chữ số cách chữ số đứng thì giống nhau? 1.7.5 Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số và chia hết cho 5? 1.8 Một đội văn nghệ chuẩn bị kịch, điệu múa và bài hát Tại hội diễn, đội trình diễn kịch, điệu múa và bài hát Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng các kịch, điệu múa, các bài hát là nhau? 1.9 .Một người có cái áo đó có áo trắng và cái cà vạt đó có hai cà vạt màu vàng Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: 1.9.1 Chọn áo nào và cà vạt nào được? 1.9.2 Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? 1.10 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có bao nhiêu cặp thứ tự (x, y) biết QUY TẮC ĐẾM Hành Trình Vạn Dặm Bắt Đầu Từ Một Bước Chân 0975907725 Qui tắc cộng: Một công việc nào đó có thể thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực và không trùng với bất kì cách nào phương án A thì công việc đó có m + n cách thực Qui tắc nhân: Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B Nếu công đoạn A có m cách thực và ứng với cách đó có n cách thực công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực 1.1 Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Không có đường nào nối thành phố B với thành phố C Hỏi có tất bao nhiêu đường từ thành phố A đến thành phố D? 1.2 Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhỏ 2.108, chia hết cho 3, có thể viết các chữ số 0, 1, 2? 1.3 Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên thoả: 1.3.1 Gồm chữ số 1.3.2 Gồm chữ số khác 1.3.3 Gồm chữ số khác và chia hết cho 1.4 Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp Cứ đội phải đấu với trận (đi và về) Hỏi có bao nhiêu trận đấu? 1.5 Có bao nhiêu số palindrom gồm chữ số (số palindrom là số mà ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị nó không thay đổi) 1.6 1.6.1 Một bó hoa gồm có: bông hồng trắng, bông hồng đỏ và bông x;y A rằng: x A, y A ; x A, y A và x y 6 1.11 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} đó n là số nguyên dương lớn Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc hay làm! - Nguyễn Trãi -Page (2) TỔ HỢP Có bao nhiêu cặp thứ tự (x, y), biết rằng: x A, y A, x y 1.12 Với chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số: 1.12.1 Gồm chữ số? 1.12.2 Gồm chữ số khác nhau? 1.12.3 Số lẻ gồm chữ số? 1.12.4 Số chẵn gồm chữ số khác nhau? 1.12.5 Gồm chữ số viết không lặp lại? 1.12.6 Gồm chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? 1.13 Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số có chữ số: 1.13.1 Khác nhau? 1.13.2 Khác nhau, đó có bao nhiêu số lớn 300? 1.13.3 Khác nhau, đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? 1.13.4 Khác nhau, đó có bao nhiêu số chẵn? 1.13.5 Khác nhau, đó có bao nhiêu số lẻ? 1.14 1.14.1 Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số lẻ có chữ số khác nhỏ 400? 1.14.2 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác nằm khoảng (300 , 500) 1.15 Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán Thành lập đoàn gồm hai người cho có học sinh chuyên toán và học sinh chuyên tin Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn trên? 1.16 Có bao nhiêu cách xếp người đàn ông và người đàn bà ngồi trên ghế dài cho người cùng phái phải ngồi gần 1.17 Có bao nhiêu cách xếp viên bi đỏ và viên bi đen xếp thành dãy cho hai viên bi cùng màu không gần HOÁN VỊ Giai thừa n! = 1.2.3…n; Qui ước: 0! = 1; n! = (n–1)!n; n! p! = (p+1).(p+2)…n (với n>p); n! (n p)! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) Hoán vị (không lặp) Một tập hợp gồm n phần tử (n 1) Mỗi cách xếp n phần tử này theo thứ tự nào đó gọi là hoán vị n phần tử Số các hoán vị n phần tử là: Pn = n! Hoán vị lặp Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử đó gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo thứ tự nào đó gọi là hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử là: n! o P (n , n , …, n ) = n1 !n2 ! n k ! n k Hoán vị vòng quanh Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi là hoán vị vòng quanh n phần tử Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc hay làm! - Nguyễn Trãi -Page 0975907725 (3) TỔ HỢP Số các hoán vị vòng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! 2.1 Rút gọn các biểu thức sau: 7!4! 8! 9! B 10! 3!5! 2!7! ; 2.1.1 C 2.1.2 2.7 Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ các số 1, 3, 5, 7, Hỏi các số đó có bao nhiêu số: 2.7.1 Bắt đầu chữ số 9? 2.7.2 Không bắt đầu chữ số 1? 2.7.3 Bắt đầu 19? 2.7.4 Không bắt đầu 135? 2.8 Với hoán vị các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta số tự nhiên Tìm tổng tất các số tự nhiên có từ các hoán vị phần tử trên? 2.9 Tìm tổng S tất các số tự nhiên, số tạo thành hoán vị chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 2.10 Trên kệ sách có sách Toán, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có bao nhiêu cách xếp các sách trên: 2.10.1 Một cách tuỳ ý? 2.10.2 Theo môn? 2.10.3 Theo môn và sách Toán nằm giữa? 2.11 Có học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và học sinh nữ B1, B2, B3 xếp ngồi xung quanh bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu: 2.11.1 Một cách tuỳ ý? 2.11.2 A1 không ngồi cạnh B1? 2.11.3 Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau? 2.12 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số, đó chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt đúng lần? 2.13 Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và khác biết tổng chữ số này 2.14 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất các số có chữ số khác Hỏi các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số và không đứng cạnh nhau? 5! (m 1)! m(m 1) (m 1)!3! ; 6! A (m 2)(m 3) 2.1.3 (m 1)! (m 1)(m 4) (m 5)!5! m.(m 1)! 12.(m 4)!3! (với m 5); 2.2 Chứng minh rằng: 2.2.1 Pn – Pn–1 = (n–1)Pn–1; P (n 1)Pn (n 2)Pn 2.2.2 n 2P2 P1 ; 1 1 1! 2! 3! n! 2.2.3 ; n2 1 2.2.4 n! (n 1)! (n 2)! x! (x 1)! 2.3 Giải phương trình: (x 1)! 2.4 Giải bất phương trình: n (n 1)! n.(n 1)! n (n 3)!4! 12(n 3).(n 4)!2! 5 2.5 Giải các phương trình 2.5.1 P2.x2 – P3.x = 8; Px Px 1 P x 2.5.2 2.6 Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi các số đó có bao nhiêu số: 2.6.1 Bắt đầu chữ số 5? 2.6.2 Không bắt đầu chữ số 1? 2.6.3 Bắt đầu 23? 2.6.4 Không bắt đầu 345? Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc hay làm! - Nguyễn Trãi -Page 0975907725 (4) TỔ HỢP 2.15 Có bao nhiêu cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho: 2.15.1 Bạn C ngồi chính giữa? 2.15.2 Hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế? 2.16 Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn các nước: Mỹ người, Nga người, Anh người, Pháp người, Đức người Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho thành viên cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau? 2.17 Sắp xếp 10 người vào dãy ghế Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 2.17.1 Có người nhóm muốn ngồi kề nhau? 2.17.2 Có người nhóm không muốn ngồi kề nhau? 2.18 Sắp xếp nam sinh và nữ sinh vào dãy ghế Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 2.18.1 Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? 2.18.2 Chỉ có nữ ngồi kề nhau? 2.19 Có bao nhiêu cách xếp 12 học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết đó phải có em định trước đứng kề nhau? 2.20 Có đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi phát cho 10 học sinh khối 11 và 10 học sinh khối 12 Có bao nhiêu cách xếp 20 học sinh trên vào phòng thi có dãy ghế cho hai em ngồi cạnh có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi có cùng đề? 2.21 Có viên bi đen (khác nhau), viên bi đỏ (khác nhau), viên bi vàng (khác nhau), viên bi xanh (khác nhau) Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi trên thành dãy cho các viên bi cùng màu cạnh nhau? 0975907725 2.22 Trên giá sách có 30 tập sách Có thể xếp theo bao nhiêu cách khác để có: 2.22.1 Tập và tập đứng cạnh nhau? 2.22.2 Tập và tập không đứng cạnh nhau? 2.23 Với chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số, đó chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần và chữ số còn lại có mặt đúng lần? 2.24 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số, đó chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt đúng lần 2.25 Xét số gồm chữ số, đó có chữ số và chữ số còn lại là 2, 3, 4, Hỏi có bao nhiêu số nếu: 2.25.1 chữ số xếp kề nhau? 2.25.2 Các chữ số xếp tuỳ ý? CHỈNH HỢP Chỉnh hợp (không lặp) Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 k n) theo thứ tự nào đóđược gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! A kn n(n 1)(n 2) (n k 1) (n k)! o Công thức trên đúng cho trường hợp k = k = n n o Khi k = n thì A n = Pn = n! Chỉnh hợp lặp Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc hay làm! - Nguyễn Trãi -Page (5) TỔ HỢP Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, đó phần tử có thể lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi là chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: A yx 11 Px y 72 Px 3.5.4 3.6 Giải các bất phương trình: A 4n 4 15 3.6.1 (n 2)! (n 1)! ; A 4n 2 143 0 3.6.2 Pn 2 4Pn 3.7 Tìm các số âm dãy số 3.1 Rút gọn các biểu thức sau: A52 A10 A P2 7P5 ; 3.1.1 x1 , x , x3 , , x n 3.1.2 B P1 A2 P2 A3 P3 A với: A 4n 4 143 xn (n 1, 2, 3, ) Pn 2 4.Pn P4 A 54 P1P2P3P4 ; 11 A12 A10 49 A 49 17 A17 C A10 A17 49 3.1.3 ; 3.8 Một khiêu vũ có 10 nam và nữ Người ta chọn có thứ tự nam và nữ để ghép thành cặp Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 3.9 Trong không gian cho điểm A, B, C, D Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ – không Hỏi có thể có bao nhiêu vectơ? 3.10 Một lớp học có các bàn đôi (2 chỗ ngồi) Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết có thể xếp chỗ ngồi cho học sinh lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) 3.11 Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số: 3.11.1 Các chữ số khác nhau? 3.11.2 Hai chữ số kề phải khác nhau? 3.12 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu: 3.12.1 Số gồm chữ số khác nhau? 3.12.2 Số chẵn gồm chữ số khác nhau? 3.12.3 Số gồm chữ số khác và phải có mặt chữ số 5? P P P P D 54 43 32 21 A52 A5 A5 A5 A5 ; 3.1.4 3.2 Chứng minh rằng: 1 n An n 3.2.1 A2 A3 n , n 2 ; k k k 3.2.2 A n A n k.A n ; n 2 n 1 n 3.2.3 A n k A n k k A n k 3.3 Giải các phương trình sau: 3.3.1 A n 20n ; 3.3.2 A n 5A n = 2(n + 15); 2 3.3.3 3A n A2n 42 0 3.4 Tìm n cho: Pn 2 210 n 3.4.1 A n P3 ; 3.4.2 2( A n 3A n ) = Pn+1; 2 3.4.3 2Pn 6A n Pn A n 12 3.5 Giải các phương trình: 10 3.5.1 A x A x 9A x ; 3.5.2 .A72Px6() ; Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc hay làm! - Nguyễn Trãi -Page 2x 3.5.3 2A 50 A ; A kn n k 0975907725 x (6) TỔ HỢP 3.13 Từ các chữ số 0, 1, 2, …, có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm chữ số (trừ số 000)? 3.14 Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số với: 3.14.1 Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? 3.14.2 Chữ số đầu và cuối khác nhau? 3.14.3 Hai chữ số đầu giống và hai chữ số cuối giống nhau? 3.15 Có bao nhiêu số điện thoại có chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại có chữ số khác nhau? 3.16 Một biển số xe gồm chữ cái đứng trước và chữ số đứng sau Các chữ cái lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z Các chữ số lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, Hỏi: 3.16.1 Có bao nhiêu biển số xe đó có ít chữ cái khác chữ cái O và các chữ số đôi khác nhau? 3.16.2 Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác và có đúng chữ số lẻ giống nhau? 3.17 3.17.1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác mà tổng các chữ số đó 18? 3.17.2 Hỏi có bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đó? 3.18 Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Có bao nhiêu cách chọn nếu: 3.18.1 Cả 11 cầu thủ có khả nhau? (kể thủ môn); 3.18.2 Có cầu thủ bị chấn thương và thiết phải bố trí cầu thủ A đá số và cầu thủ B đá số 3.19 Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống trên kệ trang trí Có bao nhiêu cách xếp nếu: 3.19.1 Người đó có tượng khác nhau? 3.19.2 Người đó có tượng khác nhau? 3.19.3 Người đó có tượng khác nhau? 3.20 Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác và thoả: 3.20.1 Số chẵn; 3.20.2 Bắt đầu số 24; 3.20.3 Bắt đầu số 345; 3.20.4 Bắt đầu số 1? Từ đó suy các số không bắt đầu số 1? 3.21 Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập bao nhiêu số n gồm chữ số khác đôi lấy từ X trường hợp sau: 3.21.1 n là số chẵn? 3.21.2 Một ba chữ số đầu tiên phải 1? 3.22 3.22.1 Từ chữ số 0, 1, 3, 6, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác và chia hết cho 3; 3.22.2 Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số khác cho các chữ số đó có mặt số và số 3.22.3 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác đó thiết phải có mặt chữ số 3.23 3.23.1 Tính tổng tất các số tự nhiên gồm chữ số khác đôi tạo thành từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc hay làm! - Nguyễn Trãi -Page 0975907725 (7) TỔ HỢP 3.23.2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, Tính tổng các số này 3.24 3.24.1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác và chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0) 3.24.2 Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , Có bao nhiêu số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho 0975907725 n n n o C C 1 ; k n k o Cn Cn ; o o Ckn Cnk 11 Cnk ; Ckn n k k Cn k ; T ổ h ợp l ặ p a ;a ; ;an và số tự nhiên Cho tập A = k bất kì Một tổ hợp lặp chập k n phần tử là hợp gồm k phần tử, đó phần tử là n phần tử A Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Ckn Ckn k Cnmk1 Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ A kn k!Ckn công thức: Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: không có thứ tự Những bài toán mà kết phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, là tổ hợp Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k n) k o Không thứ tự, không hoàn lại: Cn TỔ HỢP o Tổ hợp (không lặp) k o Có thứ tự, có hoàn lại: A n 4.1 Tính: Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 k n) phần tử A gọi là tổ hợp chập k n phần tử Số các tổ hợp chập k n phần tử: Ckn k Có thứ tự, không hoàn lại: A n 23 13 4.1.1 A C25 C15 3C10 ; C74 C73 C84 A32 B 6 C C C P2 10 10 11 4.1.2 4.2 Rút gọn các biểu thức sau: n! k!(n k)! n n n 4.2.1 S Cn C2n C3n ; o Qui ước: Cn = 1; Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc hay làm! - Nguyễn Trãi -Page (8) TỔ HỢP P 4.2.2 15 15 10 17 0975907725 k n 10 15 4.8.2 Chứng minh: C C với n = 2m + 1, k m Từ đó suy C 2C C Pn 2 k A n Pn k C ; 4.2.3 Cmn ; Cmn 1 Q C1n 2 n n k n k n C C k C C n n n n n C C Ckn Cnp kk Cnp Cpk là lớn * Áp dụng bài toán này ta có thể giải nhiều bài toán khác 4.3 Chứng minh các hệ thức sau: 4.3.1 k n 4.9 Có 25 học sinh Muốn lập thành nhóm gồm p học sinh Tìm giá trị p để số cách chia nhóm là lớn nhất? Tìm số cách chia nhóm đó (k p n); n Crn Crn 11 r 4.3.2 4.4 Chứng minh các hệ thức sau: m1 4.4.1 Cn22 ; GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA TỔ HỢP 5.1 Giải các phương trình sau: k k k k k 4.4.2 Cn 3Cn 3Cn Cn Cn 3 (3 k n) 4.5 Chứng minh các hệ thức sau: A 4n 24 n 23 ; 5.1.1 A n 1 Cn 1 x x x 5.1.2 C4 C5 C6 ; 4.5.1 Ckn 4Ckn 6Ckn 4Ckn Ckn Cn 4 k (4 k n); n p Cpn 1 Cn p 4.5.2 ; x x x x 10 5.1.3 Cx Cx Cx Cx 1023 5.2 Giải các phương trình sau: k k 4.5.3 k(k 1)Cn n(n 1)Cn (2 < k < n) 4.6 Chứng minh các hệ thức sau: 4.6.1 x 4 2x 10 5.2.1 C10x C10x ; x 5.2.2 x C4 x C3 C3 0 ; C0r Cqp C1r Cqp Cpr C0q Crpq x 5.2.3 A x Cx 101 ; 2 n n 4.6.2 (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2n 4.6.3 x 3 5.2.4 C8x 5A x 6 ; 2p C02p C2p C2p C2p 2p C12p C32p C2p C2p 1 5.2.5 Cx 6Cx 6Cx 9x 14 5.3 Giải các bất phương trình: ; Cnn 31 5.3.1 A n 1 14P3 ; Pn 5 60A kn 32 5.3.2 (n k)! ; 4.6.4 C1n C2n C3n ( 1)p Cpn ( 1)p Cpn 1 n C2n 2n 2n 4.7 Chứng minh rằng: ( n N, n 1) 4.8 C4n C3n 5.3.3 5.4 Giải các phương trình và bất phương trình: k k 4.8.1 Chứng minh: Cn Cn với n = m 2m, k m Từ đó suy Cn là lớn nhất; x 5.4.1 Cx 1 2Cx 7(x 1) ; x 5.4.2 A x Cx 14x ; Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc hay làm! - Nguyễn Trãi -Page A n (9) TỔ HỢP A 336 C 5.4.3 ; C2x 225 28 2x 52 5.4.4 C24 C4n C3n A 2n 5.4.5 ; Cnn 31 5.4.6 A n 1 14P3 ; 2 5.4.7 2Cx 1 3A x 30 ; A2x A2x C3x 10 x 5.4.8 5.5 Giải các hệ phương trình: 5.5.1 A xy Cyy x 126 P x 1 P 720 x 1 5.5.2 C y x 1 :C y 1 x :C y x ; 6 :5:2 ; Cyx Cyx 1 0 y y 4Cx 5Cx 0 5.5.3 ; 5.6 Giải các phương trình và hệ bất phương trình: 2A yx 5Cyx 90 y 5A 2Cyx 80 5.6.1 x ; x x C :C y y Cx : A x y y 24 ; 5.6.2 lg(3C3x ) lgC1x 1 5.6.3 x 3y 6 k k 1 k 2 5.7 Tìm số tự nhiên k cho C14 , C14 , C14 lập thành cấp số cộng Tìm số tổ hợp các bài toán số học 6.1 Cho 10 câu hỏi, đó có câu lý thuyết và bài tập Người ta cấu tạo thành các đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, đó Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc hay làm! - Nguyễn Trãi -Page 0975907725 thiết phải có ít câu lý thuyết và bài tập Hỏi có thể tạo bao nhiêu đề thi? 6.2 Một lớp học có 40 học sinh, đó gồm 25 nam và 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: 6.2.1 Gồm học sinh tuỳ ý; 6.2.2 Có nam và nữ; 6.2.3 Có nam và nữ; 6.2.4 Có ít nam; 6.2.5 Có ít nam và nữ 6.3 Cho điểm mặt phẳng và không có điểm nào thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu vectơ tạo thành từ điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ điểm ấy? 6.4 Có tem thư khác và bì thư khác Người ta muốn chọn từ đó tem thư, bì thư và dán tem thư lên bì thư đã chọn Một bì thư dán tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm vậy? 6.5 Một túi chứa viên bi trắng và viên bi xanh Lấy viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy được: 6.5.1 viên bi cùng màu? 6.5.2 viên bi trắng, viên bi xanh? 6.6 Từ 20 người, chọn đoàn đại biểu gồm trưởng đoàn, phó đoàn, thư ký và ủy viên Hỏi có cách chọn? 6.7 Từ bông hồng vàng, bông hồng trắng và bông hồng đỏ (các bông hoa xem đôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hóa gồm bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa đó: 6.7.1 Có đúng bông hồng đỏ? 6.7.2 Có ít bông hồng vàng và ít bông hồng đỏ? 6.8 Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số gồm 10 chữ số x x x (10) TỔ HỢP chọn từ chữ số trên, đó chữ số có mặt đúng lần, chữ số khác có mặt đúng lần 6.9 Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập bao nhiêu số: 6.9.1 Chẵn gồm chữ số khác đôi và chữ số đứng đầu là chữ số 2? 6.9.2 Gồm chữ số khác đôi cho chữ số đó có đúng chữ số chẵn và chữ số lẻ? 6.10 6.10.1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số đầu tiên phải khác 0), đó có mặt chữ số không có chữ số 1); 6.10.2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần và các chữ số còn lại có mặt không quá lần 6.11 Người ta viết các số có chữ số các chữ số 1, 2, 3, 4, sau: Trong số viết có chữ số xuất hai lần còn các chữ số còn lại xuất lần Hỏi có bao nhiêu số vậy? 6.12 Từ tập thể 14 người gồm năm và nữ đó có An và Bình, người ta muốn chọn tổ công tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau: 6.12.1 Trong tổ phải có nam lẫn nữ? 6.12.2 Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An và Bình không đồng thời có mặt tổ? 6.13 Một đoàn tàu có toa chở khác Toa I, II, III Trên sân ga có khách chuẩn bị tàu Biết toa có ít chỗ trống Hỏi: 6.13.1 Có bao nhiêu cách xếp cho vị khách lên toa; 0975907725 6.13.2 Có bao nhiêu cách xếp cho vị khách lên tàu có toa có vị khách nói trên 6.14 Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành hai tổ, tổ học sinh cho tổ có học sinh giỏi và tổ có ít hai học sinh khá TÌM TỔ HỢP TRONG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7.1 Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt đôi một, không có đường nào đồng quy Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác tạo thành? 7.2 Cho 10 điểm không gian, đó không có điểm nào thẳng hàng 7.2.1 Có bao nhiêu đường thẳng qua cặp điểm? 7.2.2 Có bao nhiêu vectơ nối cặp điểm? 7.2.3 Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 10 điểm trên? 7.2.4 Nếu 10 điểm trên không có điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện tạo thành? 7.3 Cho đa giác lồi có n cạnh (n 4) 7.3.1 Tìm n để đa giác có số đường chéo số cạnh? 7.3.2 Giả sử đường chéo cùng qua đỉnh thì không đồng qui Hãy tính số giao điểm (không phải là đỉnh) các đường chéo ấy? 7.4 Cho đa giác lồi có n-cạnh (n , b 3) 7.4.1 Tìm số đường chéo đa giác Hãy đa giác có số cạnh số đường chéo? 7.4.2 Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh đa giác? 7.4.3 Có bao nhiêu giao điểm các đường chéo? Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc hay làm! - Nguyễn Trãi -Page 10 (11) TỔ HỢP 7.5 Tìm số giao điểm tối đa của: 7.5.1 10 đường thẳng phân biệt? 7.5.2 10 đường tròn phân biệt? 7.5.3 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên? 7.6 Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, trên (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là điểm số 37 điểm đã chọn trên (d1) và (d2) 7.7 Cho mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét các tam giác có ba đỉnh lấy từ các đỉnh H 7.7.1 Có tất bao nhiêu tam giác vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh H? 7.7.2 Có bao nhiêu tam giác có đúng cạnh là cạnh H? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh H? 7.8 Có 10 điểm A, B, C, trên mặt phẳng đó không có điểm nào thẳng hàng 7.8.1 Nối chúng lại ta bao nhiêu đường thẳng? Trong đó có bao nhiêu đường không qua A hay B? 7.8.2 Có bao nhiêu tam giác đỉnh các điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB? 7.9 Có p điểm mặt phẳng đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có điểm nào thẳng hàng Nối p điểm đó lại với Hỏi: 7.9.1 Có bao nhiêu đường thẳng? 7.9.2 Chúng tạo bao nhiêu tam giác? 7.10 Cho p điểm không gian đó có q điểm đồng phẳng, số còn lại không có điểm nào đồng phẳng Dựng tất các mặt phẳng chứa p điểm đó Hỏi: 7.10.1 Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau? 0975907725 7.10.2 Chúng tạo bao nhiêu tứ diện? 7.11 Cho p điểm đó có q điểm cùng nằm trên đường tròn, ngoài không có điểm nào đồng phẳng Hỏi có bao nhiêu: 7.11.1 Đường tròn, đường qua ba điểm? 7.11.2 Tứ diện với các đỉnh thuộc p điểm đó? NHỊ THỨC NEWTON Công thức khai triển nhị thức Newton Với nN và với cặp số a, b ta có: n (a b)n Ckna n k bk k 0 Tính chất Số các số hạng khai triển n + Tổng các số mũ a và b số hạng n Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: k n k k Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n) Các hệ số các cặp số hạng cách số hạng đầu và cuối thì nhau: Ckn Cnn k n Cn Cn 1 , Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b giá trị đặc biệt thì ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: x n C0n x n C1n x n Cnn C0n C1n Cnn 2n x –1 n C0n x n C1n x n ( 1)n Cnn C0n C1n ( 1)n C nn 0 XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỂN Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc hay làm! - Nguyễn Trãi -Page Ckn Ckn Ckn 1 11 (12) TỔ HỢP 9.1 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức: 0975907725 9.8.1 Tìm số hạng không chứa thức khai triển nhị thức: 10 x x4 ; 9.1.1 3 ; 9.8.2 Tìm số mũ n biểu thức 12 x x ; 9.1.2 n b3 12 Biết tỉ số các hệ số số hạng thứ và thứ khai triển nhị thức đó là 7:2 Tìm số hạng thứ 6? 9.9 Trong khai triển nhị thức: 1 x x ; 9.1.3 1 x x 9.1.4 9.2 12 13 9.2.1 Tìm hệ số x y a b khai 25 triển (2x 3y) ; 9.2.2 Tìm các số hạng khai 15 triển (x xy) 9.3 Trong khai triển (x + y + z)n, tìm số hạng chứa xk.ym (k,m <n) 9.4 Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng đa thức: 15 1 x x ; khai triển 9.10.2 Tìm số hạng chứa a7 12 P(x) (1 x)9 (1 x)10 (1 x)14 ta đa thức: 3 2 a a ; khai triển 64 9.10.3 Tìm số hạng P(x) a a1 x a2x a14 x14 Hãy xác định hệ số a9? 10 x ; khai triển x 9.10.4 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức: 9.5 Cho đa thức P(x) (1 x) 2(1 x) 3(1 x)3 20(1 x)20 viết dạng: P(x) a a1 x a2x a20x20 21 b a , tìm các số hạng chứa a, b với luỹ thừa giống nhau? 9.10 9.10.1 Tìm số hạng thứ 12 1 x x ; 9.10.5 Tìm hạng tử độc lập với x Tìm hệ số a15? 80 9.6 Khai triển P(x) (x 2) a0 a1 x a2x a 80x 80 16 1 3 x x khai triển 9.11 Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên khai triển sau: Tìm hệ số a78? 9.7 Khai triển P(x) (3 x)50 a0 a1x a 2x2 a50x50 9.7.1 Tính hệ số a46? 9.7.2 Tính tổng S a0 a1 a2 a50 9.11.1 ( x x)10 ; 9.11.2 x x 13 9.8 Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc hay làm! - Nguyễn Trãi -Page 12 (13) TỔ HỢP 9.12 9.12.1 0975907725 hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là 46 Tìm hạng tử không chứa x? 9.15.3 Cho biết tổng hệ số số hạng đầu tiên khai Tìm số hạng khai triển ( 2) là số nguyên; 9.12.2 Tìm số hạng hữu tỉ n 2 x là 97 Tìm hạng tử triển khai triển chứa x4? khai triển ( 15) ; 9.12.3 Xác định các số hạng hữu 36 tỉ khai triển ( 7) ; 9.12.4 Có bao nhiêu hạng tử 124 nguyên khai triển ( 5) 9.13 9.13.1 Tìm số hạng thứ ba n a 13 a 1 a khai triển C3n : C2n 4 :1 ; n 9.13.2 Trong khai triển (1 x) theo lũy thừa tăng x, cho biết T3 4T5 40 T4 T6 Tìm n và x? 10.ÁP DỤNG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 10.1 Tính các tổng sau: 9.14 9.14.1 Xác định hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba khai triển n 1 x x ; 9.14.2 Cho biết tổng hệ số trên là 11 Tìm hệ số x2 9.15 9.15.1 Trong khai triển 10.1.1 S1 C0n C1n C2n Cnn 10.1.2 S2 C0n C2n Cn4 10.1.3 S3 C1n C3n C5n 10.1.4 S4 C0n 2C1n 22 C2n 2k Cnk 2n Cnn n 1 a a a cho biết hiệu số hệ số hạng tử thứ ba và thứ hai là 44 Tìm n? 9.15.2 Cho biết khai triển S5 C0n 22 Cn2 24 C4n 10.1.5 10.2 Biết tổng tất các hệ số khai triển thị thức (x2 + 1)n 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) số hạng ax12 khai triển đó 10.3 Tính tổng sau: n 1 x x , tổng các hệ số các 10.3.1 10 11 S1 C11 C11 C11 C11 C11 C11 Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc hay làm! - Nguyễn Trãi -Page 13 (14) TỔ HỢP 11.TOÁN CHIA HẾT Nếu a chia cho b có số dư là r thì a = bq + r nên an = (bq + r)n = bnqn + nbn–1qn–1r + … + nbqrn–1 + rn Do đó an và rn có cùng số dư chia cho b Tức là: an rn(mod b) Vậy a r (mod b) thì an rn (mod b) 10.3.2 S2 316 C16 315 C116 314 C16 C16 16 10.4 Chứng minh các hệ thức sau: 10.4.1 2n C02n C2n C2n C2n 1 C12n C32n C52n C2n 2n Tổng hệ số chẵn tổng hệ số lẻ có đúng không? 10.4.2 11.1 có: 10.C12n 102.C2n 103.C32n 1 102n C2n 102n 81n 2n 10.4.3 10.5 ; ; (1 x)m (1 x)n (1 x)m n , chứng minh rằng: C0m Cnk C1m Ckn C2m Ckn Cmm Ckn m Ckmn , m k n (Hệ thức Van der mon de (Van đec mon)); 10.5.2 n (C0n )2 (C1n )2 (C2n )2 (Cnn )2 C2n 10.5.3 C0n Ckn C1n Ckn 1 C2n Ckn 2 (2n)! Cnn k Cnn (n k)!(n k)! 10.6 Tính giá trị các biểu thức: 10.6.1 2n A 22n C02n 22n C22n 20 C2n 10.6.2 1 B 22n C12n 22n C32n 21 C2n 2n 10.7 Chứng minh các đẳng thức sau: 10.7.1 C0n 6C1n 62 C2n 6n Cnn 7n 10.7.2 17 317 C17 41.316.C117 417 C17 17 7 Nên thợ nên thầy vì có học, no ăn no mặc hay làm! - Nguyễn Trãi -Page 4n + 15n – 9; 16n – 15n – 225 11.1.2 11.2 Chứng minh với n Z+, ta có: 26n+1 + 36n+1 + 56n + Dùng đẳng thức 10.5.1 Chứng minh với n Z+, ta 11.1.1 C02n C2n 32 C2n 34 2n C2n 22n 1.(22n 1) 2n 0975907725 14 (15)