Bài 2 2 điểm Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x3 – mx + 1 + 1 = 0 Bài 3 3 điểm Chứng minh rằng trong hai hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình chữ [r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÙ CÁT MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2005 – 2006 Ngày thi: 26/11/2005 – Thời gian: 150 phút Bài (2 điểm) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn n + S(n) = 94, với S(n) là tổng các chữ số n Bài (2 điểm) Tìm các giá trị m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x3 – m(x + 1) + = Bài (3 điểm) Chứng minh hai hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình chữ nhật nào có hiệu độ dài các cạnh nhỏ thì hình chữ nhật đó có diện tích lớn Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Trên đoạn thẳng AD lấy các điểm E và F cho CBF ABE BCF Chứng minh ACE Quy Nhơn, ngày 12 – 10 – 2012 BVC (2) GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN PHÙ CÁT NĂM HỌC 2005 – 2006 – Ngày thi: 26 – 11 - 2005 Bài (2,0 điểm) Tìm n Từ điều kiện : n + S(n) = 94 (1), ta có n là số tự nhiên có hai chữ số Do đó: < S(n) 18 Vì từ (1) suy n = 94 – S(n) 76 Đặt n = ab (7 a 9), (1) viết lại: ab + (a + b) = 94 11a + 2b = 94 (2), suy a là số chẵn Vì a nên a = 8, thay a = vào (2) ta có b = Vậy n = 83 Bài (2,0 điểm) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt Giả sử phương trình x3 – m(x + 1) + = có đúng hai nghiệm phân biệt a, b Khi đó vế trái phương trình phân tích thành tích, đó có nhân tử bậc và nhân tử là bình phương nhị thức bậc : Ta viết: x3 – m(x + 1) + = (x + a)2(x + b) (a b) x3 – mx + (1 – m) = x3 + (2a + b) x2 + (a2 + 2ab)x + a2b Đồng các hạng tử cùng bậc hai đa thức hai vế, ta có: 2a b b 2a (1) a 2ab m 3a m (2) a b m 2a3 1 m (3) Từ (2) và (3), ta có: -2a3 + 3a2 = 2a3 - 3a2 + = (a – 1)2(2a + 1) = a = 1, a = + Nếu a = thì m = 3a2 = 3, + Nếu a = - thì m = 3a2 = Vậy m = m = thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt Bài (3,0 điểm) Chứng minh diện tích hình chữ nhật (1) lớn diện tích hình chữ nhật (2) a x b y Gọi kích thước hình chữ nhật thứ là a, b; kích thước hình chữ nhật thứ hai là x, y (a > b > 0, x > y > 0) (3) Theo điều kiện bài toán, ta có: a b x y (1) 0 a b x y (2) Biến đổi: (2) (a – b)2 < (x – y)2 a2 + b2 – 2ab < x2 + y2 – 2xy (3) (1) (a + b)2 = (x + y)2 a2 + b2 + 2ab = x2 + y2 + 2xy (4) Từ (3), (4), suy : (a2 + b2 + 2ab) – (a2 + b2 – 2ab) > (x2 + y2 + 2xy) – (x2 + y2 - 2xy) 4ab > 4xy ab > xy Vậy diện tích hình chữ nhật thứ lớn diện tích hình chữ nhật thứ hai S S Bài (3,0 điểm) BCF Chứng minh ACE Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường phân giác AD góc A cắt (O) điểm thứ hai M A B (góc ngoài ABF), MBE B B Ta có : MFB 1 Vì A1 B3 ( A ) , B1 B2 (giả thiết) A MBE nên MFB Do đó MFB MBE (g.g) MF MB (1) F MB ME A nên MB MC Mặt khác, A O MB = MC (2) MF MC Thay (2) vào (1), ta , E MC ME C B là góc chung, lại có CMF D nên MCE MFC (c.g.c), MCE suy MFC A ACF (góc ngoài ACF), Ta có : MFC C BCE , và vì A C , MCE nên suy ACF BCE M Quy Nhơn, 12 – 10 – 2012 BVC (4) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÙ CÁT MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2002 – 2003 Ngày thi: 17/11/2002 – Thời gian: 150 phút Bài (2 điểm) Giải phương trình: x x x 2x Bài (2 điểm) Chứng minh x2 + 2y là số chính phương với x, y nguyên dương thì x2 + y tổng hai số chính phương Bài (3 điểm) Có 10 đội bóng thi đấu với nhau, đội phải đấu trận với các đội còn lại Chứng minh vào lúc nào có hai đội đấu số trận Bài (3 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có đỉnh thuộc cạnh hình vuông Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ Quy Nhơn, ngày 12 – 10 – 2012 BVC (5) GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN PHÙ CÁT NĂM HỌC 2002 – 2003 – Ngày thi: 17 – 11 - 2002 Bài (2 điểm) Giải phương trình: x x x 2x (1) ĐKXĐ: x 2 x a a2 b 2 x a Đặt (a, b 0) x = , b – a = (b > a 0) 2 x b x b Phương trình trở thành: (1) a – b = 2ab – (a2 + b2) + a – b = - (a – b)2 + (b – a)2 – (b – a) - = (2) Đặt t = b – a (t 0), phương trình (2) viết lại: t2 – t - = t1 = -1 < : loại, t2 = Thay b – a = vào biểu thức b2 – a2 = , ta được: b + a = Từ đó tính b = 2, a = Với a = 0, ta tính x = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài Chứng minh x2 + y tổng hai số chính phương Ta có : x2 + 2y là số chính phương nên : x2 + 2y = m2 (m Z) (1) mx mx Từ (1) suy x và m cùng tính chẵn, lẻ, nên là các số nguyên , 2 m x2 Mặt khác, (1) 2y = m2 – x2 y = Do đó : 2 m x2 m x2 m x m x 2 x + y= x + = =a +b , 2 m x mx với a , b , a, b Z 2 Vậy x2 + y tổng hai số chính phương 2 Bài (3 điểm) Chứng minh có hai đội có cùng số trận đấu Xét hai trường hợp, thời điểm bất kỳ: +Nếu có đội chưa đấu trận nào, đó số trận đấu đội là tập hợp {0; 1; 2; ; …; 8} M Vì có 10 đội nên theo nguyên tắc Dirichlet, A a có đội có cùng số trận đấu +Nếu tất các đội đã thi đấu thì số trận đấu E đội là tập hợp {1; 2; ; …; 8; 9} Do đó theo nguyên tắc Dirichlet, có đội có cùng số trận đấu Vậy lúc nào có hai đội có cùng số trận đấu Bài (3, điểm) Điều kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ Gọi E, F, I là trung điểm MN, PQ, MP, a là độ dài cạnh hình vuông ABCD Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông, ta có : B N I Q F D P C (6) MN = 2BE PQ = 2DE Theo tính chất đường trung bình tam giác, ta có : NP = 2IE MQ = 2IF Do đó : MN + PQ + NP + MQ = 2BE + 2DE + 2IE + 2IF = 2(BE + EI + IF + FD) 2BD = 2 a Dấu “=” xảy và các điểm E, I, F cùng thuộc đường chéo BD Khi đó M,N và P, Q đối xứng qua BD, và MQ // NP // BD, tứ giác MNPQ là hình chữ nhật Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật nội tiếp hình vuông ABCD (MQ // NP // BD) thì chu vi tứ giác MNPQ có giá trị nhỏ và 2 a A a M A M B a E N I Q B F D P C N Q D P C Quy Nhơn, ngày 12 – 10 – 2012 BVC (7)