Loại 1: Sử dụng phương pháp trực tiếp giải các bài toán phép ñếm không lặp Chú ý: Chia cách thực hiện theo các bước sau: • Bước 1: Phân bài toán ra các trường hợp, trong mỗi trường hợp p[r]
(1)CHUYÊN ðỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP, CHỈNH HỢP VÀ PHÉP ðẾM CHỦ ðỀ 1: CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC TỔ HỢP A Lý thuyết bản: Pn = n ! = 1.2.3 n n! Cnk = , (0 ≤ k ≤ n, n > 0) k !(n − k )! n! Ank = , (0 ≤ k ≤ n, n > 0) (n − k )! Cnk = Cnn − k Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 B Các dạng bài tập Bài: Chứng minh ñẳng thức Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk − + Cnk −3 = Cnk+ , ≤ k ≤ n 14 15 16 Bài: Tính tổng S = C30 − C30 + C30 − − C3029 + C3030 2006 2005 2004 k 2006 − k 2006 Bài: S = C2007 C2007 + C2007 C2006 + C2007 C2005 + + C2007 C2007 − k + + C2007 C1 k 2006 − k k Hướng dẫn: C2007 C2007 − k = 2007.C2006 Bài: (KB-08) Chứng minh: n +1 1 + k + k +1 = k với n, k ∈ ℤ , ≤ k ≤ n n + Cn +1 Cn +1 Cn Bài: (ðH HV-06) Chứng minh với ∀n ≥ : 1 1 n −1 + + + + = A2 A3 A4 An n Bài: Cho k,n là các số nguyên và ≤ k ≤ n CMR: Cnk + 4Cnk −1 + Cnk − + 4Cnk −3 + Cnk − = Cnk+ Cn2 Cn3 Cnn + + + n = Cn2+1 Cn1 Cn2 Cnn −1 Bài: Cho n ≥ là số nguyên, CMR: Pn = + P1 + P2 + 3P3 + + ( n − 1) Pn −1 ( có thể CM quy nạp) Bài: Chứng minh với số nguyên n ≥ , ta có: Cn1 + CHỦ ðỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ðẾN SỐ TỔ HỢP, SỐ CHỈNH HỢP A Lý thuyết bản: Với các phương trình, BPT thuộc dạng này, cách giải sau: ðặt ñiều kiện Sử dụng các công thức số tổ hợp, số chỉnh hợp, số hoán vị ñưa phương trình ñã cho phương trình ñại số Nghiệm tìm ñược phải ñối chiếu với ñiều kiện ban ñầu, chú ý ñến tính nguyên nghiệm B Bài tập Bài: Giải phương trình : Px Ax2 + 72 = 6( Ax2 + Px ) Bài: Giải phương trình: C 1x + 6C x2 + 6C x3 = x − 14 x Bài: Giải phương trình: x C xx−−14 = A42 C x3−1 − xC xx−−14 C x4−1 − C x3−1 − Ax2− ≤ y y 2 Ax + 5C x = 90 y 5 Ax + 2C xy = 80 Bài: Giải bất phương trình: Bài: Giải hệ phương trình: (2) Bài: Giải hệ phương trình: a) C xy++11 = C xy+1 y 3C x +1 = 5C xy+−11 ( x ≥ y) x x C y : C y + = b) C x : A x = y y 24 Bài: Tìm các số nguyên dương m, n thỏa mãn: C nm++11 : C nm+1 : C nm+−11 = : : An4+1 + An3 , biết Cn2+1 + 2Cn2+ + 2Cn2+3 + Cn2+ = 149 (n + 1)! ðS: M=3/4 Bài : (KB-06) Cho tập A gồm n phần tử ( n ≥ 4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k ∈ {1, 2, n} cho số tập gồm k phần tử A lớn ðS: Tập hợp A có 18 phần tử; k=9 Bài :(KB-02) Cho ña giác ñều A1 A2 A2 n (n ≥ 2) nội tiếp ñường tròn (O) Biết số tam giác có các ñỉnh là số 2n ñỉnh A1 , A2 , A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các ñỉnh là số 2n ñỉnh A1 , A2 , A2 n Tìm n ðS: n=8 Nhận xét: thí dụ trên, dạng ñầu bài không nói gì ñến giải phương trình liên quan ñến số tổ hợp, số chỉnh hợp thực chất bài toán chính là ñiều Bài : (KD-05) Tính giá trị BT M = Bài : (CðSPHCM-05) Tìm tất các số tự nhiên x,y cho: Axy −1 : Axy−1 : C xy−1 = 21: 60 :10 ðS: x=7,y=3 x x 2 Ay + 5C y = 90 ðS: (2;5) Bài : (Cð CNHN-04) x x 5 Ay − 2C y = 80 Bài : A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10 ðS: x=3,x=4 x Bài : Cho tập hợp A gồm n phần tử n>4 Tìm n, biết số các tập A có ñúng 16n tập có số phần tử là số lẻ ðS: n=8 n−2 Bài: DB KB 02 Tìm số n nguyên dương thỏa mãn BPT An + 2Cn ≤ Bài:DB KD 03 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn Cn2Cnn − 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn −3 = 100 Bài: DB KB 05 Tìm số nguyên n lớn thỏa mãn Pn + An2 − Pn An2 = 12 Ax2 + C y3 = 22 Bài: DB-KB-07 Tìm x, y ∈ N thỏa mãn Ay + Cx = 66 CHỦ ðỀ 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP ðẾM A Lý tuyết bản: Hai quy tắc ñếm bản: 1.1 Qui tắc cộng: Một công việc nào ñó có thể ñược thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực và không trùng với bất kì cách nào phương án A thì công việc ñó có m + n cách thực 1.2 Qui tắc nhân: Một công việc nào ñó có thể bao gồm hai công ñoạn A và B Nếu công ñoạn A có m cách thực và ứng với cách ñó có n cách thực công ñoạn B thì công việc ñó có m.n cách thực ðịnh nghĩa và công thức tính số hoán vị, tổ hợp chập k, chỉnh hợp chập k tập hợp 2.1 Hoán vị (không lặp): (3) Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách xếp n phần tử này theo thứ tự nào ñó ñược gọi là hoán vị n phần tử Số các hoán vị n phần tử là: Pn = n! 2.2 Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 ≤ k ≤ n) theo thứ tự nào ñóñược gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! Ank = n( n − 1)( n − 2) ( n − k + 1) = ( n − k )! • Công thức trên ñúng cho trường hợp k = k = n • Khi k = n thì Ann = Pn = n! 2.3 Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử A ñược gọi là tổ hợp chập k n phần tử n! • Số các tổ hợp chập k n phần tử: Cnk = k !(n − k )! • Qui ước: Cn = • Tính chất: Cn0 = Cnn = Cnk = Cnn − k Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1 Cnk = n − k + k −1 Cn k B Một số bài tập ôn tập quy tắc ñếm, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp: Quy tắc ñếm: Ví dụ 1: Từ tập hợp X = {a, b, c} chọn tập hợp Hỏi có cách Ví dụ 2: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập ñược số tự nhiên có chữ số phân biệt Ví dụ 3: Số 12000 có bao nhiêu ước số tự nhiên Ví dụ 4: Từ các phần tử X = {0,1, 2,3, 4,5} có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác Ví dụ 5: Từ các phần tử X = {0, 2,3, 6,9} có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp: Ví dụ 6: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, có thể lập ñược số tự nhiên có chữ số khác Ví dụ 7: Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có bao nhiêu cách Ví dụ 8: Từ các phần tử X = {0,1, 2,3, 4,5} có thể lập ñược số tự nhiên có chữ số khác Ví dụ 9: Có 10 sách toán khác chọn Hỏi có cách Ví dụ 10: Một nhóm có nam và nữ Chọn người cho ñó có ít nữ Hỏi có bao nhiêu cách Ví dụ 11: Hỏi có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho số ñó, chữ số hàng ngàn lớn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn chữ số hàng trục và chữ số hàng trục lớn chữ số hàng ñơn vị C Các dạng bài tập Các phương pháp chính ñể giải toán ñếm: Phương pháp trực tiếp: “ hỏi gì, ñếm nấy” Phương pháp gián tiếp: “ ñếm cái không cần ñếm ñể biết cái cần ñếm” (4) Hai loại bài toán ñếm: Phép ñếm không lặp Phép ñếm có lặp I Phép ñếm không lặp + Phép ñếm không lặp, yếu tố cấu thành nên phần tử cần ñếm xuất tối ña lần, không có lặp lại + Hai quy tắc ñếm chính: Qui tắc cộng và qui tắc nhân Loại 1: Sử dụng phương pháp trực tiếp giải các bài toán phép ñếm không lặp Chú ý: Chia cách thực theo các bước sau: • Bước 1: Phân bài toán các trường hợp, trường hợp phân thành các giai ñoạn • Bước 2: Tùy các giai ñoạn cụ thể và giả thiết bài toán ñể sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp Ớ Bước 3: đáp án là tổng kết các trường hợp trên Bài 1: (KB-04) Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi ñó có thể lập ñược bao nhiêu ñề kiểm tra, ñề gồm câu hỏi khác nhau, cho ñề thiết phải có ñủ loại câu hỏi: khó, TB, dễ và số câu hỏi dễ không ít ðS: 56875 Bài 2: (KB-05) Một ñội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công ñội niên tình nguyện ñó giúp ñỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam, nữ ðS: 207900 Bài 3: (Cð CKLK-05) Cĩ nhà tốn học nam, nhà tốn học nữ và nhà vật lí nam Lập đồn công tác người cần có nam và nữ, cần có nhà toán học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách ðS: 90 Bài 4: Có cầu xanh ñánh số từ ñến 6, cầu ñỏ ñánh số từ ñến 5, cầu vàng ñánh số từ ñến Hỏi có bao nhiêu cách lấy cầu vừa khác màu vừa khác số ðS: 64 Bài 5: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên mà số có chữ số khác ðS: 192 và chữ số ñứng cạnh chữ số Bài 6: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên số gồm chữa số khác và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn ðS: 1440 Bài 7: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác mà số lập ñược ñều nhỏ 25000 ðS: 360 Loại 2: Sử dụng phương pháp gián tiếp giải các bài toán phép ñếm không lặp ðối với nhiều bài toán, phương pháp dài Do ñó ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép toán A ∪ A = X ⇒ X \ A = A • Bước 1: Chia yêu cầu ñề thành hai phần là yêu cầu chung X (tổng quát) gọi là loại và yêu cầu riêng A Xét A là phủ ñịnh A, nghĩa là không thỏa mãn yêu cầu riêng gọi là loại • Bước 2: Tính số cách chọn loại và loại Ớ Bước 3: đáp số là số cách chọn loại trừ ựi số cách chọn loại Bài: (KD-06) ðội niên xung kích trường PT có 12 học sinh gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B và học sinh lớp C Cần chọn học sinh ñi làm nhiệm vụ, cho học sinh này thuộc không quá lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn ðS: 225 Bài: (Cð SPHN 05) Trong tổ HS lớp 12A có nam và nữ Thầy giáo muốn chọn học sinh ñể trực nhật, ñó phải có ít học sinh nam Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn ðS: 216 (5) Bài: (Cð KA-04) Một lớp học có 30 học sinh, ñó có 03 cán lớp Hỏi có bao nhiêu cách chọn em lớp ñể trực tuần cho em ñó luôn có cán lớp ðS: 1135 Bài : Một hộp ñựng viên bi ñỏ, viên bi trắng và viên bi vàng Người ta chọn viên từ hộp ñó Hỏi có bao nhiêu cách chọn ñể số bi lấy không ñủ màu? ðS: 645 Bài : Ở trường tiểu học có 50 em là HSG, ñó có cặp em sinh ñôi Cần chọn học sinh số 50 em ñể ñi dự trại hè Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà nhóm em ñược chọn không có cặp anh em sinh ñôi nào? ðS: 19408 Bài : Cho hình thập giác lồi Hỏi có thể lập ñược bao nhiêu tam giác có ñỉnh là ñỉnh thập giác lồi, cạnh tam giác không phải là cạnh thập giác lồi? ðS: 50 Bài: Một thầy giáo có 12 sách ñôi khác nhau, ñó có sách văn học, âm nhạc và hội họa (các ñôi khác nhau) Ông muốn lấy và ñem tặng cho học sinh, học sinh cho sau tặng sách xong, thể loại Văn học, Âm nhạc, Hội họa ñều còn lại ít Hỏi có bao nhiêu cách tặng? ðS: 579.600 II Phép ñếm có lặp ðể giải các bài toán phép ñếm có lặp, người ta qui phép ñếm không lặp và sử dụng các phương pháp giải ñã dùng Bài 1: Cho tập hợp E={1;2;3;4;5;6} Có thể lập ñược bao nhiêu số có chữ số không yêu cầu ñôi khác (các chữ số này chọn từ tập E) cho số tạo thành ñều chia hết cho 4? ðS: 324 Nhận xét: - Ở ñây không ñòi hỏi các chữ số số có chữ số ñôi khác nhau, nên cho phép các số ñã dùng ñược dùng lại (phép ñếm có lặp) Bài 2: Có thể lập ñược bao nhiêu số có chữ số cho số có mặt tối ña lần, các số 2,3,4 số có mặt tối ña lần? ðS: 228 Bài 3: Biển số xe là dãy gồm chữ cái ñứng trước và chữ số ñứng sau: các chữ cái ñược lấy từ 26 chữ cái A,B,C ,Z Các chữ số ñược chọn từ 10 chữ số 0,1,2 ,9 Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác nhau, ñồng thời có ñúng chữ số lẻ và chữ số lẻ ñó giống nhau? ðS: 487500 Bài:KB 02 Cho ña giác ñều A1 A2 A2 n BÀI TẬP TỰ GIẢI (n ≥ 2) nội tiếp ñường tròn (O) Biết số tam giác có các ñỉnh là số 2n ñỉnh A1 , A2 , A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các ñỉnh là số 2n n=8 ñỉnh A1 , A2 , A2 n Tìm n Bài:TK 02 ðội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, ñó có học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử em ñội ñi dự trại hè cho khối có ít em ñược chọn ðS: 41811 Bài:TK KA 03 Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho mà số có chữ số khác ðS: 952 Bài:TK 03 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên mà số có chữ số khác và chữ số ñứng cạnh chữ số ðS: 192 Bài:TK KB 03 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên số có chữ số và thỏa mãn ñiều kiện : chữ số số là khác và số ñó tổng chữ số ñầu nhỏ tổng chữ số cuối ñơn vị ðS: 108 Bài:TK 03 Trong tổ gồm học sinh nữ và học sinh nam, cần chọn em ñó số học sinh nữ nhỏ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ðS: 462 Bài:TK 03 Từ chữ số 0,1,2…8 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác ðS: 90720 Bài:KB 04 Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi ñó có thể lập ñược bao nhiêu ñề kiểm tra, ñề gồm câu hỏi khác , cho ñề thiết phải có ñủ loại câu hỏi: khó, TB, dễ và số câu hỏi dễ không ðS: 56875 ít Bài:TK KA 04 Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 7) Tìm n biết số tập gồm phần tử A lần số tập gồm phần tử A (6) Bài:KB 05 Một ñội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công ñội niên tình nguyện ñó giúp ñỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam, nữ Bài:TK 05 Từ các chữ số 1,2,…,9 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, số gồm chữ số khác và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn Bài: TK 04 Cho tập hợp A gồm n phần tử n>4 Tìm n, biết số các tập A có ñúng 16n tập có số phần tử là số lẻ Bài:DB KD 04 Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn ñồng thời các ñiều kiện sau: gồm ñúng chữ số ñôi khác nhau, là số chẵn; nhỏ 2158 Bài:TK 05 Từ các chữ số 1,2 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, số gồm chữ số khác và thiết phải có hai chữ số và Bài:TK 05 Một ñội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm ñồng ca gồm người, biết nhóm ñó phải có ít nữ Bài:TK 06 Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau? Tính tổng tất các số tự nhiên ñó Bài:KD 06.ðội niên xung kích trường PT có 12 học sinh gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B và học sinh lớp C Cần chọn học sinh ñi làm nhiệm vụ, cho học sinh này thuộc không quá lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn (03 cách) ðS: 225 Bài:TK 06 Một lớp học có 33 học sinh, ñó có nữ Cần chia lớp học thành tổ, tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có ít học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chia Bài:TK 06 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác mà số lập ñược ñều nhỏ 25000 Bài:KB 06 Cho tập A gồm n phần tử ( n ≥ 4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k ∈ {1, 2, n} cho số tập gồm k phần tử A lớn Bài:TK 06 Từ các chữ số 0,1, có thể lập ñược bao nhiêu số chẵn, số có chữ số khác ñó có ñúng chữ số lẻ và chữ số lẻ ñó ñứng cạnh Bài:TK 06 Cho hai ñường thẳng song song d1 , d Trên ñường d1 có 10 ñiểm phân biệt, trên ñường d có n ñiểm phân biệt ( n ≥ 2) Biết có 2800 tam giác có ñỉnh là các ñiểm ñã cho Tìm n Bài:Cð KA 04 Một lớp học có 30 học sinh, ñó có 03 cán lớp Hỏi có bao nhiêu cách chọn em lớp ñể trực tuần cho em ñó luôn có cán lớp Bài:CðTCKT IV 05 Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên mà số có các chữ số khác Bài:CðKTKT 05 Từ các số 0,1,2, 6,7 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác Bài:CðSPHN 05 Trong tổ HS lớp 12A có nam và nữ Thầy giáo muốn chọn học sinh ñể trực nhật, ñó phải có ít học sinh nam Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn Bài:CðCKLK 06 Cĩ nhà tốn học nam, nhà tốn học nữ và nhà vật lí nam Lập đồn cơng tác người cần có nam và nữ, cần có nhà toán học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách Bài:DB KD 07 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác Bài:DB KA 07 Trên các cạnh AB,BC,CD,DA hình vuông ABCD lẫn lượt cho 1,2,3 và n ñiểm phân biệt khác A,B,C,D Tìm n biết số tam giác có ñỉnh lấy từ n+6 ñiểm ñã cho là 439 Bài:DB KA 07 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn 2007 mà số có chữ số khác Bài:DB KA 08 Cho tập hợp E = {0,1, 2,3, 4, 5, 7} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác ñược thành lập từ các chữ số E Bài : Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, cho số có chữ số và thỏa mãn ñiều kiện: sáu chữ số số là khác và số ñó tổng chữ số ñầu nhỏ tổng chữ số cuối ñơn vị ðS: 108 Bài : Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác nhau? ðS: 90720 Bài : Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn, số có chữ số khác ñó có ñúng chữ số lẻ và chữ số lẻ ñứng cạnh ðS: 360 (7) Bài : Cho 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Lập ñược bao nhiêu số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ 10 số trên? ðS: 36960 Bài : Tìm tất các số tự nhiên có ñúng chữ số cho số ñó chữ số sau lớn chữ số ñứng liền trước? ðS: 126 Bài : Từ bông hồng vàng, bông hồng trắng, bông hồng ñỏ ( các bông hoa này xem ñôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hoa gồm bông a) Có cách chọn bó hoa ñó có ñúng bông màu ñỏ b) Có cách chọn bó hoa ñó có ít bông vàng và ít bông ñỏ? ðS: a) 112 ; b) 150 Bài : Có 12 cây giống loại: xoài, mít, ổi, ñó có cây xoài, cây mít, cây ổi Muốn chọn cây giống ñể trồng Hỏi có bao nhiêu cách chọn cho số cây mít nhiều số cây xoài ðS: 172 Bài: Một ñội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam, nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm ñồng ca gồm người, cho có ít nữ ðS: 3690 Bài: Một lớp học có 30 học sinh, ñó có cán lớp Hỏi có bao nhiêu cách chọn em lớp ñể trực tuần cho em ñó luôn luôn có cán lớp? ðS: 1135 Bài: Trong toa tàu có ghế xa-lông ñối mặt nhau, ghế có chỗ ngồi Trong số hành khách, có người muốn ngồi nhìn theo hướng tàu chạy, người muốn ngồi ngược lại, người còn lại không có yêu cầu gì Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi? ðS: 1728 Bài: Số ñiện thoại thành phố có chữ số ñược lựa chọn tập {0;1;2;, ;8;9} a) Có bao nhiêu số ñiện thoại gồm cặp hai số giống (tức là có dạng ababab , chấp nhận số 000000 b) Có bao nhiêu số ñiện thoại mà số có mặt lần, số và số số có mặt ñúng lần và số còn lại có tổng chia hết cho ðS: a) 100 ; b) 2700 (8)