MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC Ngoài những phương pháp thường gặp ở trên, đôi khi ta cũng có những lời giải khác lạ đối với một số phương trình vô tỷ.. Cũng có thể ta sử dụng kết hợp các phương[r]
(1)Dạng VII MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC Ngoài phương pháp thường gặp trên, đôi ta có lời giải khác lạ số phương trình vô tỷ Cũng có thể ta sử dụng kết hợp các phương pháp trên để giải phương trình Dùng tọa độ véc tơ r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: u = ( x1; y1 ) , v = ( x2 ; y2 ) đó ta có r r r r u+v ≤ u + v ⇔ 2 + ( y1 + y2 ) ≤ x12 + y12 + x22 + y22 r r x y Dấu xẩy và hai véc tơ u, v cùng hướng ⇔ = = k ≥ , chú x2 y ( x1 + x2 ) ý tỉ số phải dương rr r r r r u.v = u v cosα ≤ u v , dấu xẩy và cos α = ⇔ u cùng hướng v Ví dụ Giải phương trình: x − x + 20 + x + x + 29 = 97 r r Trong mặt phẳng tọa độ xét hai véc tơ a = ( x − 2; 4) và b = (− x − 2;5) r r r Khi đó ta a + b = (−4;9) , suy a + b = 97 và ta có a = x − x + 20 , r r r r r r b = x + x + 29 Phương trình trở thành a + b = a + b , đẳng thức đó xảy a và r x − −x − 2 b cùng chiều ⇔ = Từ đó ta phương trình có nghiệm là x = Sử dụng tính chất đặc biệt tam giác Nếu tam giác ABC là tam giác , thì với điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có MA + MB + MC ≥ OA + OB + OC với O là tâm đường tròn Dấu xẩy và M ≡ O Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC cùng góc 1200 Ví dụ Giải phương trình x − 2.x + + x − 2.x + 16 = Nếu x ≤ thì Vt ≥ + = > = Vp (phương trình không có nghiệm) Nếu x > thì ta xét tam giác vuông ABC với A = 900 , AB = 4; AC = Gọi AD là phân giác góc A, lấy M thuộc tia AD Đặt AM = x, xét ∆ACM ⇒ CM = x + − 2.x và 2 ∆ABM ⇒ BM = x + 16 − 2.x Từ đó suy Vt = CM + BM ≥ BC = Dấu đẳng thức xảy M ≡ D ,hay xét (2) CM = BM ⇔ 16 CM = BM ⇔ 16 x + 16.9 − 48 x = x + 16.9 − 36 x ⇔ x − 12 x = ⇔ x= 12 12 Phương pháp sử dụng tính liên tục hàm số để chứng minh số nghiệm phương trình Ví dụ CMR phương trình sau có nghiệm phân biệt thuộc (-7,9): x + 63 − x = Vậy phương trình có nghiệm là x = đặt t= − x có pt 2t3 – 6t + =0 hàm số này liên tục trên R ,có f(-2)f(0)<0 có 1ng t∈(-2,0) suy có ng x∈ (1,9) , f(0)f(1)<0 có 1ng t∈ (0,1) suy có 1ng x∈ (0,1) , f(1)f(2)< có 1ng t∈ (1,2) suy có ng x∈ (-7,0) Vậy phương trình đã cho có đúng nghiệm phân biệt thuộc ( -7,9) Phương pháp sử dụng đạo hàm bậc Tìm tập xác định phương trình Xét hàm số f trên miền D ,tồn đạo hàm bậc suy hàm số lồi lõm trên miền Suy phương trình không có quá nghiệm nhẩm nghiệm thuộc miền D Ví dụ Giải phương trình: x + = x − x + ⇔ đ/k x≥ - PT tương đương x + − x + x − = xét hàm số f(x) = x + − x + x − trên 3 tập x/đ x ≥ -1, f , ( x) = − x + ⇒ f ,,`` ( x) = − − < hàm số đó x +1 ( x + 1) có đồ thịlồi trên txđ Do đó phương trình có nghiệm thì không quá nghiệm ta dễ thấy x = 0, x = là nghiệm Ví dụ Giải phương trình: x + x + = x + x + điều kiện x ≥ phưong trình tương đương với x + x + − x − x − = xét hàm số f(x) = x + x + − x − x − tập xác định x ≥ f , ( x) = + − x − ⇒ f ,, ( x) = − − − < đồ thị 2 x 3x + x (3 x + 1) hàm số lồi trên tạp xác định vì phương trình không có quá nghiệm ,dễ thấy x = ,x = là nghiệm Một số phương trình không mẫu mực (3) Ví dụ Giải phương trình: 10 + = đ/k x < 2−t 3−t 6 > ⇒ − x = ⇔ − x = 1+ 2− x t t t ≤ 10t đócó PT: t4-8t3+12t2-48t+96=0 suy Pt thành t+ = ⇔ 10t 2 t +6 = (4 − t ) t + (t-2)(t3-6t2-48)=0 Có nghiệm t=2 suy x=1/2 cònphương trình: t3-6t2-48=t2(t-6) -48 < với o<t≤ vô nghiệm, pt đã cho có nghiệm x=1/2 đặt t = Ví dụ Giải phương trình: 3x − x + − x − = 3x − x − − x − 3x + tưong 3x − x + − 3x − x − = x − − x − 3x + tương đương với − 2x + 3x − = 2 3x − x + + 3x − x − x − + x − 3x + *) với x > không thể là nghiệm vì vế trái < 0,vế phải > *) với x < không thể là nghiệm *) với x = là nghiệm phương trình có nghiệm x = đương với Bài tập ( ) 1) x2 − x + + x2 − −1 x + + 2x2 + 2) x − x + − x − 10 x + 50 = ( ) +1 x +1 = (4)