KS HSG MON TOAN 9

Chứng minh tam giác A1HB đồng dạng với tam giác A1CA.. Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC.[r]

TRƯỜNG THCS GIA KHÁNH đề thi chọn học sinh giỏi M«n: To¸n líp N¨m häc 2012 - 2013 C©u 1: (2 ®iÓm) (Thêi gian lµm bµi: 150 phót)  1       12 3  a Rót gän biÓu thøc: A =  b Cho sè d¬ng a; b; c tháa m·n: a + b + c = H·y tÝnh: (a  bc)(b  ca) (c  ab)(b  ca) (c  ab)(a  bc)   c  ab a  bc b  ca B= C©u 2: (2 ®iÓm) a Cho đa thức f(x) xác định với giá trị x, thỏa mãn: (x – 1)f(x + 1) = (x2 – 4)f(x) Chøng minh r»ng ®a thøc f(x) cã Ýt nhÊt ba nghiÖm b Cho a;b;c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n abc = Chøng minh r»ng: 1    a (b  c) b (c  a) c (a  b) C©u 3: (2 ®iÓm) a Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  1005  x x  2010  x  1005  x x  2010 1005 3 b Cho x = + + T×m mét ®a thøc bËc víi hÖ sè nguyªn, nhËn xo lµ nghiÖm C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đờng cao AA1; BB1; CC1 cắt H a Chứng minh tam giác A1HB đồng dạng với tam giác A1CA b KÎ trung tuyÕn AM cña tam gi¸c ABC ( M  BC) Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC Gi¶ sö GH // BC Chøng minh r»ng: tanB tanC = C©u 5: (1 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: 2x + = y2 - Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi M«n: To¸n líp C©u ý đáp án Thang ®iÓm a(1®) 1(2®) b(1®) 5  (  2)    12 12 12 XÐt: 1 3 3      6 3  12  1 3 2      3  A=  3 2 3 3 1    6 3 = = V× a + b + c = nªn a + bc = a(a + b + c) + bc = a2 + ab + ac + bc = (a + b)(a + c) T¬ng tù: b + ac = (a + b)(b + c) ; c + ab = (a + c)(b + c) (a  bc)(b  ca) (c  ab)(b  ca) (c  ab)(a  bc)   c  ab a  bc b  ca B= a(1®) 2(2®) b(1®) 2 (a  b)  (b  c)  (c  a) = (V× a,b,c > 0) = a + b + b + c + c + a = 2(a + b + c) = Vì f(x) xác định với giá trị x Chän x =  f(1) =  x = lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) Chän x =  f(3) =  x = lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) Chän x = -  f(-1) =  x = - lµ nghiÖm cña f(x) VËy ®a thøc f(x) cã Ýt nhÊt nghiÖm – 1; 1; Vì a;b;c > áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng b c bc  2   a (b  c) 4bc a (b  c) 4bc a 1 11 1       a (b  c) a  b c  1 11 1 1 11            3 T¬ng tù: b (a  c) b  a c  ; c (a  b) c  a b  1 11 1 1         3 abc  a (b  c) b (c  a) c (a  b)  a b c  1     a (b  c) b (c  a) c (a  b) DÊu (=) x¶y a = b = c = 0,25® 0,25® 0,5® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® ta cã: (§K: x  2010 ) Nh©n hai vÕ cña ph¬ng tr×nh víi 0,25® x  1005  x x  2010  x  1005  x x2  2010 1005  x  2010)2  (x  x  2010)2 2010 (x   x x  2010  x  x  2010 2010 0,25® MÆt kh¸c: a(1®) x  x   x  2010 x   x  2010  2010  x  2010  x  x  2010  x  x 3(2®) x  2010 x  2010  x  x  2010 2 x 0,25® 0,25® Từ đó: x = 2010  x = 1005  x = ±1005 (TMĐK) b(1®) a(1®) 3 3 Tõ gi¶ thiÕt: x = + +  xo – =  3  (xo – 1)3 = + 27 (  )  xo3 – 3xo2 + 3xo – = + 9xo  xo3 – 3xo2 – 6xo – = VËy xo lµ nghiÖm cña ®a thøc x3 – 3x – 6x – Ta cã: A  AC A  BH  A 1 (Cïng phô ACB ) B1  B CA  A HA 1 = 90o  A1HB đồng dạng  AC11CA (g-g) H B b(2®) 0,25® 0,25® 0,25® 0,5® 0,5® G A1 M C HA1 CB1  (1) A B B B  A1HB đồng dạng  B1CB (g-g)  CB1 A1C  (2) B B A A 1  B CB đồng dạng  A CA (g-g) 4(3®) 0,25® HA1 A1C  A B A1A  HA A A = A C A B (3) Tõ (1) vµ (2)  1 1 HA1 GM 1    HA1  AA1 (4) V× HG // BC  AA1 AM Thay (4) vµo (3)  A1A2 = 3A1B.A1C A1A A1A  A B  A1C = Hay tanB tanC = Ph¬ng tr×nh: 2x + = y2  (y – 1)(y + 1) = 2x 0,25® 0,25® 0,5® 0,5® 0,5® 0,25® 5(1®) m  y  2  n  y  2 (Víi m <n vµ m + n = x; m; n  N)   = 2n – 2m = 2m(2n – m – 1) 2 m 2 2 m 1  n m  n m    2  2  HoÆc  m 0 m 1  n  3 Kh«ng cã gi¸ trÞ n  N tháa m·n n    hoÆc  VËy nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh x = y = 0,25® 0,25® 0,25®