Chú ý: Để xác định thiết diện của một mặt phẳng với một khối đa diện thì ta tìm giao tuyến của mặt với tất cả các mặt hoặc tìm giao điểm của mp với các cạnh của hình chóp sau đó nố[r]
(1)Phạm văn huy Email: info@123doc.org ĐT: 0989787249 CHUYÊN ĐỀ THIẾT DIÊN CỦA HÌNH CHÓP TRƯỜNG ĐHSP THÁI NGUYÊN NGƯỜI BUỒN CẢNH CÓ VUI ĐÂU BAO GIỜ (2) Cơ sở lý thuyết 1.1 Các tiên đề: Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt không gian có và đường thẳng mà thôi Tiên đề 2: Qua ba điểm không thẳng hàng có và mặt phẳng mà thôi Tiên đề 3: Một đường thẳng có hai điểm nằm mặt phẳng thì nó nằm trọn mặt phẳng Tiên đề 4: Hai mặt phẳng có điểm chung thì có đường thẳng chung qua điểm đó 1.2 Các định lý đường thẳng và mặt phẳng, cách xác định mặt phẳng Định lý 1: Hai đường thẳng phân biệt có không quá điểm chung Định lý 2: Một đường thẳng cắt mặt phẳng không chứa nó nhiều là điểm Định lý 3: Hai mặt phẳng phân biệt thì không cắt cắt theo giao tuyến Định lý 4: Qua điểm và đường thẳng không chứa điểm có mặt phẳng và mà thôi Một mặt phẳng xác định với: - Ba điểm không thẳng hàng - Hai đường thẳng giao - Hai đường thẳng song song - Một đường thẳng và điểm không thuộc đường thẳng 1.3 Quan hệ song song 1.3.1 Đường thẳng song song với đường thẳng Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm mặt phẳng không có điểm chung Định lý 1: Qua điểm ngoài đường thẳng ta có thể kẻ đường thẳng song song với đường thẳng đã cho Định lý 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ca thì song song với Định lý 3: Hai mặt phẳng cắt chứa hai đường thẳng song song với thì giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng 1.3.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng Định nghĩa: Đường thẳng gọi là song song với mặt phẳng nó không có điểm chung với mặt phẳng Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng song song với mặt phẳng là nó không thuộc mặt phẳng và song song với đường thẳng nằm mặt phẳng Định lý 2: Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng thì giao tuyến chúng song song với đường thẳng Định lý 3: Qua hai đường thẳng chéo có thể dựng mặt phẳng song song với đường thẳng Định lý 4: Qua điểm bất kì dựng mặt phẳng song song với hai đường thẳng chéo cho trước 1.3.3 Mặt phẳng song song với mặt phẳng Định nghĩa: Hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung (3) Định lý 1: Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng giao cùng song song với mặt phẳng thì hai mặt phẳng song song với Định lý 2: Qua điểm cho trước ngoài mặt phẳng ta dựng và mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến song song với Định lý 4: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thì song song với 1.4 Quan hệ vuông góc Định nghĩa 1: Hai đường thẳng vuông góc với và góc chúng 90 Định nghĩa 2: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) a vuông góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng (P) Định lý 1: Nếu đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng (P) thì a vuông góc với (P) Định lý 2: Một đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt Định lý 3: Một mặt phẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng Định lý 4: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với Định lý 5: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thì song song với Định lý 6: Nếu đường thẳng và mặt phẳng không chứa nó cùng vuông góc với đường thẳng thì chúng song song với Định lý 7: Qua điểm cho trước dựng và mặt phẳng vuông góc với đường thẳng đã cho Định lý 8: Cho hai đường thẳng chéo và vuông góc với qua hai đường thẳng dựng mặt phẳng vuông góc với đường thẳng Thiết diện hình chóp 2.1 Thiết diện qua ba điểm cho trước 2.1.1 Ba điểm nằm trên ba cạnh không đồng phẳng hình chóp a, Nội dung phương pháp + Xác định mặt phẳng chứa hai điểm cho trước + Xác định giao điểm đường thẳng qua hai điểm đó với giao tuyến mặt phẳng chứa nó với mặt phẳng chứa điểm còn lại + Nối các đoạn thẳng với các giao điểm và điểm cho trước để xác định cắt các cạnh hình chóp Chú ý: Trong xác định thiết diện cần dự đoán mặt phẳng cắt cạnh nào hình chóp để dễ xác định b, Các ví d Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD gọi H,K là trung điểm các cạnh AB, BC Trên đường thẳng CD lấy điểm M cho KM không song song với BD Tìm thiết diện mặt phẳng (HKM) với hình chóp (4) A Giải: Trong (BCD) gọi KM BD=I Trong (ABD) gọi AD HI =J J (HKM) (Vì J IH (HKM) ) Tứ giác HKMI là thiết diện mặt phẳng (HKM) với hình chóp Nhận xét: Vì thuộc đường thẳng CD nên xảy hai trường hợp là: - M nằm CD đó thiết diện là tứ giác vì mặt phẳng (HKM) cắt mặt tứ diện - M nằm ngoài CD, đó thiết diện là tam giác vì mặt phẳng (HKM) cắt hình tứ diện mặt Học sinh thường xét trường hợp điểm M nằm CD nên bị thiếu trường hợp Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD cạnh a, trên hai đường thẳng BC và BD kéo dài lấy hai điểm E và F cho CD=EF=a Gọi M là trung điểm AB Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng (MEF) Giải: A Trong mặt phẳng (ABC) gọi I=BE AC M (MEF) (ABC) = MI (1) J Trong mặt phẳng (ABD) gọi J = MF AD B I D F J (MEF) (ABD) = MJ (2) C Mà ta có : (ACD) (MEF) = IJ (3) Từ (1), (2) và (3) suy tứ diện là ∆MIJ E H J D B I M K C (!) Chú ý: Để xác định thiết diện mặt phẳng () với khối đa diện thì ta tìm giao tuyến mặt () với tất các mặt tìm giao điểm mp () với các cạnh hình chóp sau đó nối lại với thì ta thiết diện Nhưng ví dụ trên ta thấy mp (MEF) cắt mp (ABCD) theo giao tuyến EF EF không là cạnh nào thiết diện với hình chóp Mặt phẳng () thì cắt tất các mặt hình chóp thiết diện thì có thể là giao mp () với số mặt hình chóp c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành M,N,P lầm lượt là trung điểm SA,BC,CD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) Bài 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD với AD không song song BC Gọi M,N là trung điểm SB và SC Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (AMN) Bài 3: Cho hình chóp SABCD trên SA và SB lấy hai điểm M,N cho SM=2MA, NB=2SN, Q là trung điểm DC Xác định thiết diện mặt phẳng (MNQ) với hình chóp Bài 4: Cho hình chóp SABCD M,N là hai điểm trên BC và SD Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (BMN) (5) 2.1.2 Có hai điểm nằm trên hai cạnh còn điểm nằm trên mặt hình chóp a, Nội dung phương pháp: + Xác định giao tuyến các mặt + Xác định giao điểm đường thẳng nối hai điểm trên hai cạnh đã cho với giao tuyến + Xác định giao điểm đường nối điểm đó với điểm thứ trên mặt đã cho với cạnh hình chóp + Nếu hai điểm trên hai cạnh không cùng mặt bên thì tìm giao điểm với các cạnh kéo dài và xác định giao tuyến thuộc mặt cắt + Nếu hai điểm nằm trên hai cạnh chéo thì cần xác định mặt phẳng chứa điểm trên cạnh và điểm trên mặt đã cho b, Các ví dụ : Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD, gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên BC cho BN=2NC K là trọng tâm ∆ACD Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNK) Giải: Trong mặt phẳng (ABC) gọi I = MN AC Trong mặt phẳng (ADC) gọi R = TK DC và S = AD IK Khi đó : S(ADC) R (ADC) (SAD) (MNK) = RS (ABC) (KMN) = MN (ABD) (KMN) = SR (BDC) (KMN) = RN Tứ giác SMNR là thiết diện mặt phẳng (MNK) với tứ diện A S M K D B R N C I (!) Chú ý: Trong ví dụ trên học sinh có thể không nhìn điểm I và K cùng thuộc mặt phẳng (ADC) đó không tìm hai giao điểm R và S mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (ADC) đó không dựng thiết diện Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song Gọi M,N là trung điểm SA và BC, G là trọng tâm ∆SCD Xác định thiết diện mặt phẳng (PMG) với hình chóp S Giải: Gọi M’ là trung điểm CD Trong mặt phẳng (SAM’) gọi I = AM’ MG I AM’ I (ABCD) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi J = IN AB Trong mặt phẳng (SAB) gọi K = MJ SB Trong mặt phẳng (SBC) gọi R = KN SC Trong mặt phẳng (SDC) gọi S’ = GR SD M A S' B J G K N R C D M' T (6) Khi đó MJNRS’ là thiết diện mặt phẳng (MNG) với hình chóp (!) Sai lầm HS: + Không nhận AM’ và MG thuộc mặt phẳng (SAM’) đó không xác định I = AM’ MG + Không nhận I và N thuộc mặt phẳng (ABCD) đó không xác định J= IM AB + Không nhìn K và N cùng thuộc mặt phẳng (SBC) đó không tìm giao điểm (MNG) với SC + HS không tưởng tượng đâu là nét khuất đó vẽ hình không chính xác c, Các bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD , AB không song song CD Trên SA lấy điểm M, SB lấy điểm N cho MN∥AB Gọi O là điểm bất kì nằm ∆SCD Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MND) Bài 2: Cho tứ diện ABCD lấy điểm M,N trên AC và AD cho AM=3MC và AN=2ND O là điểm nằm trên đường trung tuyến BB ∆BCD cho OB’=2OB Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNO) Bài 3: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD có hai cặp cạnh đối không song song M và P là trung điểm SA và BC Gọi I là trọng tâm ∆SCD Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (PMG) Bài 4: Cho hình chóp SABCD Trên AD và SC lấy hai điểm E và F cho AE=3ED và SF=2SC Gọi K là trọng tâm ∆SAB Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (EFK) Bài 5: Cho hình chóp SABCD Trên các đoạn thẳng AD và SC lây hai điểm E và F Gọi K là điểm bất kì nằm ∆SAB Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (EFK) Bài 6: Cho tứ diện ABCD gọi M,N là hai điểm trên cạnh BC và CD E là điểm bất kì ∆ABD Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (EMN) 2.1.3 Có điểm nằm trên cạnh còn hai điểm nằm trên hai mặt khác a, Nội dung phương pháp: + Tìm mặt phẳng nào đó chứa hai điểm đã cho sau đó tìm giao điểm đường thẳng nối hai điểm với mặt thích hợp hình chóp + Xác định giao điểm các cạnh hình chóp với mặt phẳng thiết diện b, Các ví dụ: S Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD gọi G, G là trọng tâm các ∆SBC và ∆SCD M là trung điểm SA Xác định thiết diện hình chóp M với mặt phẳng (MGG) S'' Giải: G2 Trong mặt phẳng (SAD) gọi MG AP = I D K A G1 R S' Trong mặt phẳng (SAS’) gọi MG AS’ = J J C P B Trong mặt phẳng (ABCD) gọi IJ AB = Q Và gọi IJ AD = K I Q (7) Trong mặt phẳng (SAD) gọi KM SD = S’’ Trong mặt phẳng (SAB) gọi R = QM SB Trong mặt phẳng (SDC) gọi S’’G SC = O Trong mặt phẳng (SBC) gọi RG G = O KL : Vậy thiết diện mặt phẳng (MGG) với hình chóp là tứ giác MROS’’ Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD M là trung điểm SA, N và P là trọng tâm các ∆SBC và ∆ACD Xác định thiết diện mp (MNP) với hình chóp Giải: Trong mp (SAH) gọi AH MN = K Trong mp (ABCD): Gọi KP BC = E Gọi KP AD = F Trong mp (SBC) gọi EN SB = J S M J F A D P N Q C E H B K Vậy tứ giác MJEF là thiết diện mp (MNP) với hình chóp (!) Sai lầm HS: + HS không chọn đúng mặt phẳng bước đầu đó không tìm giao điểm + Có bài phải chọn hai mặt phẳng bước đầu + HS không xác định đúng nét khuất nên có thể ngộ nhận giao điểm dẫn đến dựng sai thiết diện 2.1.4 Ba điểm nằm trên ba mặt khác a, Nội dung phương pháp: + Xác định mặt phẳng chứa hai ba điểm và tìm với mặt không chứa điểm nào O + Xác định giao điểm đường thẳng nối hai điểm M trên và xác định các giao điểm đường thẳng nối các cạnh hình chóp b, Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD, trên các mp A T (SBC), (SCD) lấy các điểm M,N,P nằm E N giác tạo ba đỉnh tương ứng các mặt (MNP) không song song với mặt đáy Xác định mp (MNP) với hình chóp F B Trường hợp 1: Thiết diện là ngũ giác S giao tuyến nó với giao tuyến các điểm với L P (SAB), J K tam cho mp thiết diện D I H R C (8) Trong mp (SEF): Gọi R = EF MN Trong mp (SEJ) : Gọi K = EJ MP Trong mp (ABCD) : GH = RK BC Gọi I = RK DC Trong mp (SBC): Gọi T = NH SB Trong mp (SAB): gọi O = TM SA Trong mp (SCD): gọi L = TP SD Vậy thiết diện mp (MNP) với hình chóp là ngũ giác TOLIH s Trường hợp 2: Thiết diện là tứ giác Trong mp (SIJ) : Gọi E = IJ MN Trong mp (SIK) : Gọi F = IK MP Trong mp (ABCD) : A Gọi R = EF AB Gọi L = EF DC R E Trong mp (SAB) gọi T = MR SB Trong mp (SDC) gọi V = KP SC V I Vậy thiết diện mp (MNP) với hình chóp là tứ T N V M D P L F K T(MNP) (MNP) giác RTVL C B J Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD, trên các mặt (SAB), (SBC), (ADC) lấy các điểm M,N,P nằm tam giác tạo đỉnh tương ứng cho mp (MNP) không song song với bất kì cạnh nào hình chóp Xác định thiết diện mp (MNP) với hình chóp và biện luận nghiệm hình bài toán S E N S' D A Q R M K P L I Giải: Trong mp (SIJ) : Gọi L = MN IJ Trong mp (ABCD): C J B (9) Gọi Q = LP AB Gọi R = LP DC Trong mp (SAB) gọi S’ = QM SB S’(MNP) Trong mp (SBC) gọi E = NS’ SC E(MNP) Vậy thiết diện mp (MNP) với hình chóp là tứ giác RQS’E Biện luận: Trong trường hợp điểm P nằm vị trí mà QP cắt AD điểm nào đó nằm cạnh AB thì mp (MNP) cắt mặt hình chóp thiết diện không phải là tứ giác trường hợp trên mà thiết diện là ngũ giác (!) Chú ý: Những sai lầm mà HS thường mắc phải dạng này: + HS không tưởng tượng mặt phẳng chứa điểm nằm trên mặt + Không chọn mặt phẳng phụ bước đó không xác định giao tuyến dẫn đến không tìm giao điểm bước + Có bài ta chọn mặt phẳng phụ thì chưa đủ để xác định đầy đủ giao điểm mp chứa điểm đã cho với các cạnh hình chóp đó ta phải chọn thêm mp phụ thứ ví dụ + Nếu bài toán cho ba điểm nằm trên ba mặt là cố định thì bài toán có nghiệm hình + Nếu bài toán cho ba điểm nằm trên ba mặt là không cố định thì bài toán có thể có nhiều nghiệm hình ứng với các vị trí ba điểm đó mà dựng thiết diện thì HS thường dựng thiết diện ứng với trường hợp ba điểm đó cố định nên thiếu các trường hợp còn lại ví dụ trên c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F,G là trung điểm các cạnh BD,BC,CD Trên AE,AF,AG lấy các điểm M,N,P cho mp (MNP) không song song với các mặt(BCD) Xác định thiết diện mặt phẳng (MNP) với tứ diện Bài 2: Cho hình chóp SABCD , trên mp (SAB) và (SCD) lấy các điểm M,N nằm tam giác tạo đỉnh tương ứng và lấy P thuộc BC Xác định thiết diện mp (MNP) với hình chóp Bài 3: Cho hình chóp SABCD Trong các tam giác SAB, SBC, ABC lấy các điểm M,N,P cho mp (MNP) không song song với bất kì cạnh nào hình chóp Tìm thiết diện mp (MNP) với hình chóp 2.1.5 Thiết diện có điểm nằm khối chóp a, Nội dung phương pháp: + Tìm cách chuyển điểm khối chóp các mặt ngoài khối chóp cách xác định giao tuyến mp chứa điểm nằm khối chóp và điểm nằm trên mặt cạnh khối chóp với mặt khối chóp sau đó nối điểm còn lại với điểm nằm khối chóp cắt giao tuyến điểm + Xác định giao điểm đường thẳng nối điểm với mp chứa giao tuyến bước + Tìm giao điểm mp với các cạnh hình chóp ta thiết diện ( đưa bài toán các dạng trên) b, Các ví dụ: (10) Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD Gọi G là trọng tâm ∆ABD, I là trung điểm SG Xác định thiết diện mp (CDI) với hình chóp S Giải: Trong mp (SDE): Q Gọi K = DI SE K Trong mp (ABCD): I Gọi R = DC AB P A Trong mp (SAB) : D Gọi Q = RK SA Q(CID) G E Gọi P = RK SB P(CID) C Vậy thiết diện mp (CID) với B hình chóp là tứ giác CDQP (!) Sai lầm hs: + Không nhìn ID nằm mp (SED) + Kéo dài ID đến cắt mp (SAB) K theo cảm giác R không xác định giao tuyến SE để suy ID SE = K + Không nghĩ AB CD = R đó không tìm giao điểm thứ hai (CID) với (SAB) Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, gọi I = AC BD, gọi O là trung điểm SI, gọi M,N là trung điểm BC, CD Xác định thiết diện mp (MNO) với hình chóp Giải: Trong mp (ABC): gọi P = MI AD Trong mp (SPM) : S gọi K = MO SP Trong mp (ABCD) : F gọi E = MN AD K Q O gọi H = MN AB E' Trong mp (SAD) : A gọi E’ = EK SD E’(MNO) B gọi F = EK SA F (MNO) Trong mp (SAB) gọi Q = HE SB Q(MNO) Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác MNE’FQ (!) Sai lầm HS: + Không nhận MO cắt (SAD) P D E I N M C H (11) + Không sử dụng giả thiết M,N là trung điểm AB, CD đó không tìm H và E c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm ∆BCD, I là trung điểm AG M,N là trung điểm BC và BD Xác định thiết diện mp (MNI) với hình chóp Bài 2: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm ∆BCD, I nằm tển AG cho 2AI=IG M,N là các điểm trên AB,CD cho MB=2AM, DN=3NC Xác định thiết diện mp (MNI) với tứ diện Bài 3: Cho hình chóp SABCD, gọi K là trọng tâm ∆ACD, gọi I là trung điểm SG E,F là trung điểm BC, CD Xác định thiết diện hình chóp với mp (IEF) 2.2 Thiết diện hình chóp quan hệ song song Để xác định thiết diện song song cần xác định mp thiết diện song song với đường nào, chứa cạnh nào hình chóp Vận dụng tính chất song song đó xác định các đường thẳng tướng ứng và tìm giao điểm mp thiết diện với hình chóp 2.2.1 Đi qua hai điểm và song song với đường thẳng a, Nội dung phương pháp: + Xác định mp chứa điểm và đường thẳng song song ( có thể lấy điểm nằm trên đường thẳng chứa điểm cho trước) + Trong mp vừa xác định kẻ đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và qua điểm cắt cạnh hình chóp điểm + Quay bài toán tìm thiết diện qua điểm b, Các ví dụ : Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD M,N là điểm nằm trên AB,CD Gọi () là mp qua M,N và song song với SA.Xác định thiết diện mp () với hình chóp Giải: S Trong mp (SAB) kẻ MP∥AS cắt SA P P () Trong mp (ABCD) kẻ MN BC R P R () S' Trong mp (SBC) gọi S’ = PR SC A D S’ () Vậy thiết diện mp () với M R N hình chóp là tứ giác MNS’P C B Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình S bình hành M,N là điểm trên AD,BC Mp () qua MN và song song với Q SO Xác định thiết diện mp () với hình chóp P Giải: Trong mp (SBD) kẻ EQ∥SO A cắt SD Q (E=MNBD) B Trong mp (ABCD) O M gọi R = MN DC R () E N Trong mp (SDC) R D C gọi P = QR SC P () Vậy thiết diện mp () với (12) hình chóp là tứ giác MNPQ (!) Một số sai lầm HS thường mắc phải: + Không xác định mp qua điểm và song song với đường thẳng cho trước vì không nhớ định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng + Kĩ tìm giao tuyến hai mặt phẳng còn kém c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD M,N là hai điểm bất kì trên SB, CD () là mp qua M,N và song song với SC Tìm thiết diện mp () với hình chóp Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành M,N là hai điểm trên hai cạnh SC và AD () là mp qua M,N và song song với BD Xác định thiết diện mp () với hình chóp Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành Gọi C’ là trung điểm SC M là điểm di động trên SA () là mp luôn qua MC’ và song song với BC Xác định thiết diện mp () với hình chóp 2.2.2 Thiết diện qua điểm và song song với cặp đường thẳng chéo a, Nội dung phương pháp + Từ điểm đã cho ta kẻ đường thẳng song song với điểm hai đường thẳng chéo (có thể kẻ hai đường thẳng song song với hai đường thẳng chéo tùy bài tập) và phải cắt mp chưa đường thẳng còn lại điểm nào đó + Từ điểm thứ hai kẻ đường thẳng song song với đường thẳng thứ hai đó ta đã xác định mp () + Tìm giao tuyến mp () với mặt còn lại (!) Chú ý : () ∥ a a’ () và a’ ∥ a () ∥ b b’ () và b’∥ b () = (a’,b’) với a’ b’ ≠ b, Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành, xác định thiết diện hình chóp cắt mp () qua M là trung điểm AB và song song với SA và BD Giải: S Trong mp (ABCD) Q kẻ MN ∥ BD cắt AD N N () Trong mp (SAC) P kẻ IQ ∥ SA cắt SC Q Q () R Trong mp (SAD) A C kẻ NP ∥ SA cắt SD P P () Trong mp (SAB) N kẻ MR ∥ SA cắt SB R R () I Vậy thiết diện mp () với B M B hình chóp là ngũ giác MNPQR Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O M là trung điểm SB Xác định thiết diện mp () với hình chóp, biết () qua O và song song với AM và SC Giải: (13) Cách 1: S Trong mp (SAC) kẻ OP ∥ SC cắt SA P P () Q Trong mp (SAB) kẻ PQ ∥ AM cắt SB Q Q () P M Trong mp (SAB) gọi H = PQ AB Trong mp (ABCD) B A gọi E = HO BC H Vậy thiết diện là tứ giác PQEF F Cách 2: O E Trong mp (SAC) kẻ OP ∥ SC cắt SA P P () C D Trong mp (SAB) ker PQ ∥ AM cắt SB Q Q () Ta có : + mp () qua PO + mp () = (CBS) qia SC + Q () + Q (CBS) () (CBS) = d qua Q và song song với SC cắt BC E E () Trong mp (ABCD) gọi F = OE AD F () Vậy thiết diện hình chóp với mp () là tứ giác PQEF (!) Một số sai lầm HS thường mắc phải: + Không xác định mp () song song với hai đường thẳng chéo và qua điểm cho trước không nhớ định nghĩa và cách xác định mp () ∥ a a’ () và a’ ∥ a () ∥ b b’ () và b’ ∥ b () = (a’,b’) với a’ b’≠ + Không nhớ tính chất ()()=c thì c∥a và c∥b Do đó không tìm giao tuyến với các mặt còn lại c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD M, N là trung điểm trên SB và SC () là mp qua E và song song với AM và BN, với E là điểm thuộc AB Tìm thiết diện mp () với hình chóp Bài 2: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành G là trọng tâm ∆SBC, M là điểm trên đoạn AC Mp () qua M, song song với AG và BD Xác định thiết diện hình chóp với mp () Bài 3: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành H là trọng tâm đáy Tìm thiết diện mp () qua H và song song với SA,BC 2.2.2 Thiết diện qua điểm và song song với mp a, Nội dung phương pháp: + Xác định mp () qua điểm và song song với mp cho trước () = (a,b) ∥ () Chú ý: a và b chứa điểm cho trước a chứa điểm cho trước b chứa điểm cho trước + Tìm giao tuyến mp () = (a,b) với hình chóp b, Các ví dụ: (14) Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành Gọi E là trung điểm cua SC, H là tâm đáy Trên đoạn AH lấy điểm M Tìm thiết diện tạo bợi mp () qua M và song song với mp (BDE) với hình chóp S Giải: Trong mp (ABCD) qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB N, cắt AD P P và N thuộc () R Trong mp (SAC) kẻ MR ∥ EH F cắt SC R R () () (PNR) E Ta có: (1) Q A (2) B N Từ (1) và (2) (PNR) (SAB) = FN M với FN ∥ SA P H Tương tự ta có (PNR) (SAD) = PQ D với PQ ∥ SA C Vậy thiết diện mp () với hình chóp là ngũ giác PQREN Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành, H = AC BD Tìm thiết diện tạo mp () qua H và song song với (SAB) với hình chóp Giải: Trong mp (ABCD) qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD N, cắt BC M Trong mp (SAC) kẻ HP ∥ SA cắt SC P Khi đó mp () (MNP) Ta có: S Mặt khác (MNP) và (SAD) có điểm chung là N (MNP) (SAD) = NQ với NQ ∥ SA cắt SD Q Vậy thiết diện mp () với hình chóp là tứ giác MNPQ (!) Một số sai lầm HS thường mắc phải: + Không xác định mp () không nhớ định nghĩa () = (a,b) ∥ () + Không nhớ tính chất : a,b,c song song đồng quy Do đó không xác định giao tuyến mp () với các mặt còn lại hình chóp c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành Gọi M,N là trung điểm AB,AD Trên SC lấy điểm K Tìm thiết diện mp () qua K và song song với mp (AMN) Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M,N là trung điểm AB,CD Điểm E chia BC theo tỉ số BE : EC = 2:1 Trên AM lấy điểm H Tìm thiết diện tạo () qua H và song song với mp (MNE) với hình chóp P Q A B N D M H C (15) 2.3 Thiết diện hình chóp quan hệ vuông góc 2.3.1 Thiết diện qua điểm và vuông góc với đường thẳng a, Nội dung phương pháp: Xác định thiết diện hình chóp với mp (P) qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước có hai trường hợp xảy ra: TH1: Nếu có hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với d, a không song song b thì ta có (P) ∥ a và (P) ∥ b (P) có thể chưa hai đường thẳng a và b sau đó vận dụng các phương pháp xác định thiết diện song song để xác định thiết diện TH2: Nếu không có hai đường thẳng vuông góc với d ta dựng hai đường thẳng cắt cùng vuông góc với d đó ít hai đường thẳng chứa điểm M Mp xác định hai đường thẳng trên chính là mp (P), sau đó xác định thiết diện theo các phương pháp đã học Chú ý: Để xác định đường thẳng thứ hai TH2 cần nắm định lý ba đường vuông góc và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mp và hai mp vuông góc b, Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có đường cao AH Gọi O là trung điểm AH Trên đường thẳng vuông góc với mp (ABC) O lấy điểm S Gọi I là điểm trên OH, () là mp qua I và vuông góc với OH Xác định thiết diện mp () với hình chóp SABCD Giải: S Ta có : () ∥ BC Trong mp (ABC) qua I kẻ P J đường MQ ∥ BC (M AB, Q AC) N MQ OH Trong mp (SOH) kẻ IJ ∥ SO (J SH) IJ OH (vì SO (ABC)) () (MQ;IJ) = (MJQ) C A Q Ta có: O I (N SB; P SC) H M thiết diện mp () với hình chóp là tứ giác MNPQ Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông SA vuông góc với đáy B Gọi () là mp qua A và vuông góc với SC Xác định thiết diện mp () với S hình chóp Giải: Kẻ AM SB AM (SBC) M P Vì BC (SAB) nên BC AM AM SC I N Kẻ AN SD Tương tự ta có AN SC B A mp () (AMN) Trong mp (SBD) gọi I = MN SO O Trong mp (SAC) gọi P = AI SC Vậy thiết diện mp () với D C hình chóp là tứ giác ANPM (16) (!) Chú ý: + HS thường nghĩ là mp () SC thì phải dựng đường thẳng qua A và cắt SC và vuông góc với SC ta có thể dựng hai đường thẳng cùng vuông góc với SC không cắt SC AM và AN ví dụ trên + HS có thể dựng AP SC lại không nhìn AM và AN cùng vuông góc với SC đó không dựng đường thứ hai cắt AP để tạo mp () + Cũng dựng AP SC không nhìn để suy MN qua I song song với BD vuông góc với SC để suy mp () HS thường không xác định mp () quên định nghĩa đường thẳng vuông góc với mp và mối liên hệ quan hệ song song và quan hệ vuông góc đó không dựng thiết diện c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD AC BD = O, SO (ABCD) Gọi I là trung điểm SO Xác định thiết diện hình chóp với mp () qua O và vuông góc với SA Bài 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB AD, AB AC, AD AC Gọi G là trọng tâm ∆BCD Xác định thiết diện mp () qua G và vuông góc với AD với tứ diện Bài 3: Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều, AB vuông góc với (BCD) Gọi () là mp qua D và vuông góc với AB Xác định thiết diện mp () với tứ diện 2.3.2 Thiết diện qua hai điểm và vuông góc với mp (P) cho trước a, Nội dung phương pháp: + Chọn điểm A nằm trên đường thẳng qua hai điểm đã cho cho qua A có thể dựng đường thẳng b vuông góc với (P) cách đơn giản + mp (a,b) chính là mp cần dựng + Nếu có đường thẳng d vuông góc với (P) thì mp cần dựng là mp chứa hai điểm đã cho và song song với d b, Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông tâm O SO vuông góc với đáy () là mp qua AD và vuông góc với (SBC) Xác định thiết diện () với hình chóp Giải: S Gọi M là trung điểm BC , N là trung điểm AD Trong mp (SNM) kẻ NP SM (1) Q Ta có BC MN ( ABCD là hình vuông) BC NP (BC (SMN)) (2) P Từ (1) & (2) NP (SBC) A R B Mp () (ADP) Ta có O N M ( R SC; Q SB) Vậy thiết diện là tứ giác ADRQ D C (17) Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông và SA vuông góc với đáy Gọi () là mp qua A và E là trung điểm CD và vuông góc với (SBC) Tìm thiết diện mp () với hình chóp Giải: Trong mp (SAB) hạ AH SB BC AH (Vì BC (SAB)) AH (SBC) Mp () (HAE) Trong mp (ABCD) gọi I = AE BC I () Trong mp (SBC) gọi J = IH SC J () Vậy thiết diện mp () với hình chóp là tứ giác AHJE (!) Sai lầm HS thường mắc phải: + Không xác định mp cắt đường thẳng qua hai điểm và vuông góc với mp đã cho đó không tìm mp chứa hai điểm cho trước và vuông góc với mp ban đầu + Không nắm các kiến thức đường thẳng vuông góc với mp và hai mp vuông góc đó không xác định giao tuyến sau dựng mp () c, Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABCD đáy là tứ giác có cặp cạnh đối không song song Xác định thiết diện hình chóp với mp () qua A,B và vuông góc với mp (SCD) Bài 2: Cho hình chóp SABCD có SA (ABCD), I thuộc SA cho 2AI=IS J thuộc CD cho DJ=2JC Xác định thiết diện hình chóp với mp qua I,J và vuông góc với (SBD) S H A B J D C E I (18)