b Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số C m có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có độ lớn của diện tích và chu vi bằng nhau.. Diện tích tam giác ABC được tính :.[r]
(1)TÀI LIỆU TOÁN THPT ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 http://www.k2pi.net Môn: TOÁN NGÀY 24.11.2012 ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx + có đồ thị (C m ) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m = −1 b) Xác định các giá trị tham số m để đồ thị hàm số (C m ) có điểm cực trị tạo thành tam giác có độ lớn diện tích và chu vi Câu (2 điểm) a) Giải phương trình: (1 +p sin x) +p(2 cos x + 1) (2 x − 1)2 = cos x + tan x pcos ¶ µ 1+2 x −x x 1+x x b) Giải phương trình: =2 p 1+x 3−x − 2−x Z π sin x − 2x cos x Câu (1 điểm) Tính tích phân I = dx e x (1 + sin 2x) p Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC D , đáy ABC D là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = 2a Cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy, các điểm M , N là trung điểm D A và DS Đường thẳng SC cắt mặt phẳng (B M N ) P Tính thể tích khối chóp S.B M N P và khoảng p cách hai đường thẳng SB và P N , biết cô-sin góc đường thẳng C N và mặt phẳng (B M N ) Câu (1 điểm) 33 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn : x + 2y 2·+ 5z ≤ Tìm giá trị lớn ¸nhất biểu thức: q ¡ ¢ ¡ ¢2 P = x y + y z + zx + − x + 2y + 5z PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn Câu 6A (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hình thoi ABC D ngoại tiếp đường tròn 32 Biết các đường thẳng AC và AB qua các điểm M (7; 8) và N (6; 9) Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi ABC D (I ) : (x − 5)2 + (y − 6)2 = b) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Ox y z cho các điểm B (0; 1; 0) và N (2; −1; 2) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua các điểm B, N đồng thời cắt các tia Ox,Oz A,C cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ ( Câu 7A (1 điểm) Giải hệ phương trình: log5 (5x − 4) = − 2y ¢¡ ¢ ¡ x − 2y = x − x 2y + B Theo chương trình nâng cao Câu 6B (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hai đường tròn (O ) và (O ) có bán kính và cắt A(4; 2) và B Một đường thẳng qua A và N (7; 3) cắt các đường tròn (O ) và (O ) D và C Tìm tọa độ các đỉnh tam giác BC D biết đường thẳng nối tâm O ,O có phương trình 24 b) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Ox y z cho các mặt phẳng (P ) : −mx + (1 − m)z − 2m + = 0, x − y − = và diện tích tam giác BC D (Q) : m y + z + = và (R) : x − y = ( m là tham số thực khác ) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P ) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) Câu 7B (1 điểm) Tính xác suất để có thể lập số tự nhiên gồm chữ số mà đó chữ số có mặt đúng lần,chữ số có mặt đúng lần và các chữ số còn lại có mặt không quá lần ———————————————–Hết—————————————————- (2) TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN Câu Cho hàm số y = x − 2mx + có đồ thị (C m ) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m = −1 b) Xác định các giá trị tham số m để đồ thị hàm số (C m ) có điểm cực trị tạo thành tam giác có độ lớn diện tích và chu vi a) Lời giải (hungchng): m = −1 hàm số y = x − 2x + có tập xác định : D = R; ¡ ¢ đạo hàm y = 4x x − , y = ⇐⇒ x = 0; x = −1; x = Đồ thị Hàm số đồng biến trên (−1; 0); (1; +∞) ; Hàm số nghịch biến trên (−∞; −1); (0; 1) lim y = +∞; lim y = +∞; x→−∞ x→+∞ Bảng biến thiên x −∞ y0 −1 − +∞ + +∞ − + +∞ −2 y −1 −1 Điểm cực đại (0; 1); điểm cực tiểu (−1; 0), (1; 0) b) Lời giải (Con phố quen): ¡ ¢ ¡ ¢ Tập xác định : D = R Ta có : y = 4x − 4mx = 4x x − m Do đó : y = ⇐⇒ 4x x − m = ⇐⇒ x = ∨ x = m Vậy để hàm số có ba cực trị, điều kiện tương thích là m > p p Gọi tọa độ ba cực điểm là A(0; 1), B (− m, − m ),C ( m, − m ) Ta có A ∈ Ox, B,C đối xứng qua O y nên tam giác ABC cân A Kẻ AH ⊥BC ⇒ H ∈ O y Diện tích tam giác ABC tính : ¯ 1 ¯ AH · BC = · ¯ y B − y A ¯ · |x B − xC | 2 p p CV ABC = 2AB + BC = m + m + m S ABC = p Do đó S ABC = m m Lại có, chu vi tam giác ABC tính : Theo giả thiết : S ABC = CV ABC nên ta có phương trình : p p p p m m = m + m + m ⇐⇒ m = m + + m>0 p ⇐⇒ m − ≥ =⇒ m = 2(1 + 2) (m − 2)2 = 4(m + 1) p Vậy m = 2(1 + 2) là giá trị cần tìm bài toán Câu 2.a Giải phương trình: (1 + sin x) + (2 cos x + 1) (2 cos x − 1)2 = cos x + tan x Lời giải (angel): ĐK : cos x 6= Phương trình tương đương với : £¡ ¢ ¤ ¡ ¢ (2 cos x − 1) cos2 x − + tan x = ⇐⇒ (2 cos x − 1) cos3 x − cos x + sin x = " x = ± π3 + k2π cos x = 12 ¡ ¢ ⇐⇒ x = π4 + kπ ⇐⇒ (2 cos x − 1) (cos 3x + sin x) = ⇐⇒ (k ∈ Z ) cos 3x = cos π2 + x x = − π8 + kπ Câu 2.b Giải phương trình: p p p ¶ µ 1+2 x −x x 1+x x =2 p 1+x 3−x − 2−x Lời giải (Con phố quen): http://www.k2pi.net (3) Điều kiện : ≤ x ≤ Phương trình đã cho biến đổi tương đương thành phương trình : ¡ ¢ p ¢¡ p p p p x x +x −x − x − x −1 1+ x x − x +1 = p 1+x 2−x +x −3 ¡ ¡p ¢¡ ¢ ¢ p ¢¡ p p 1+ x x − x +1 x +1 x − x −1 = ⇐⇒ p 1+x 2−x +x −3 p p x − x −1 2x − x + (1) = ⇐⇒ p 1+x 2−x +x −3 p p x − x −1 Tới đây ta có : − x + x − < 0, ∀x ∈ [0; 2] Mặt khác ta có : p ≤ 1, ∀x ∈ [0; 2] 2−x +x −3 Thật vậy, ta có (2) tương đương với : p p p p x − x − ≥ − x + x − ⇐⇒ − x + x ≤ p p Ta có (3) luôn đúng vì theo bất đẳng thức B.C S ta có : − x + x ≤ p p Dấu đẳng thức p xảy và : − x = x ⇐⇒ x = Lại có : x − x +1 ≥ 1, ∀x ∈ [0; 2] 1+x (2) (3) p (12 + 12 )(2 − x + x) = (4) Thật vậy, ta có (4) tương đương với : ¡p ¢2 p x − ≥ (luôn đúng) x − x + ≥ + x ⇐⇒ Dấu đẳng thức xảy p (4) và x = x − x −1 p ≤1 2− px + x − Vậy ta có : x ∈ [0; 2] nên (1) xảy và x = x − x +1 ≥1 1+x Vậy x = là nghiệm phương trình Lời giải (NgoHoangToan): Đặt a = px, a ≥ b = p2 − x ≥ ⇐⇒ a + b = Ta viết lại phương trình đã cho thành: + 2a − a(2 − b ) + a3 = − (2 − b ) − b + a2 + ab 1+a ⇐⇒ =2 b −b +1 + a2 ⇐⇒ + ab + a + a b = 2b − 2b + + 2a b − 2a b + 2a ⇐⇒ a (b − 2b + 1) + b − 2b + + b − ab + a − a = ⇐⇒ (a + 1)(b − 1)2 + (a − 1)(a − b ) = ⇐⇒ (a + 1)(b − 1)2 + 2(a − 1)(a − 1) = ⇐⇒ (a + 1)(b − 1)2 + 2(a − 1)2 (a + 1) = (b − 1)2 = Mà a, b ≥ nên ta có (a − 1)2 = Câu Tính tích phân π Z I= Hay a = b = ⇐⇒ x = Vậy x = là nghiệm phương trình sin x − 2x cos x dx e x (1 + sin 2x) Lời giải (khanhtoanlyhoa): π Z4 I= Đặt t = x+ ¢ ¡ sin x + cos x − x + 12 cos x e x (1 + sin 2x) dx e x (sin x + cos x) =⇒ d t = ¡ ¢ e x (sin x + cos x) − x + 21 [e x (cos x − sin x) + e x (cos x + sin x)] http://www.k2pi.net e 2x (cos x + sin x)2 dx = ¡ ¢ sin x + cos x − x + 21 cos x e x (1 + sin 2x) dx (4) Đổi cận: x = → t = , x = π π+2 →t = p π 4 2.e p π ¯ π+2π ¯ p π + − 2.e π+2 =⇒ I = t ¯¯ 2.e = p π − = p π 2.e 4 2.e p Câu Cho hình chóp S.ABC D , đáy ABC D là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = 2a Cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy, các điểm M , N là trung điểm D A và DS Đường thẳng SC cắt mặt phẳng (B M N ) P Tính thể tích khối chóp S.B M N P và khoảng cách hai đường thẳng SB và P N , biết cô-sin góc đường p thẳng C N và mặt phẳng (B M N ) 33 Lời giải (dan_dhv): Gọi O là tâm đáy I = AC ∩ B M Ta A ⇐⇒ (B M N ) ∩ (S AC ) = I P kS AkM N (P ∈ SC ) p có M N kS p AC 2a 4a 1 3a = ; IC = Nhận thấy : + = ⇐⇒ AC ⊥ B M 2 3 AB AM = AI p 2a Lại có: AC ⊥ P I ⇐⇒ AC ⊥ (B M N P ) S Ak(B M N P ) ⇐⇒ d (A; (B M N P )) = d (S; (B M N P )) = AI = p 33 IC á Khi đó (NC ; (B M P )) = C N I = α, cos α = ⇐⇒ tan α = p Mà tan α = IN p p9 p p p p p p a 33 a 4a 2a 6 Nên I N = ; I M = AM − AI = ; M N = I N − I M = a 3; đó S A = 2a 3; P I = S A = ; BI = 3 3 p 1 5a 2 S B M N P = S B I P + S I M N P = I P.B I + I M (P I + M N ) = p p p 5a 2 2a 5a Vậy VSB M N P = = 3 Vẽ PQkSB ⇐⇒ S AkPQkNO; QO ∩ AD = E p Ta có : AC = 2a 3; AI = Hạ DF kQE ⇐⇒ d (SB ; N P ) = d (B ; (QE N P )) = d (F ; (QE N P )) p 4a Hạ F H ⊥ QE ⇐⇒ F H ⊥ (QE N P ) Ta có SQE DF = AB.(QF + DE ) = 2p p SQE DF a 44 4a 2 Lại có: SQE DF = F H (2F D); F D = C D +C F = ⇐⇒ F H = =p DF 22 4a Vậy d (SB ; N P ) = p 22 Câu Cho các số thực x, y, z thỏa mãn : x + 2y + 5z · ≤ Tìm giá trị lớn ¸ biểu thức: q ¡ ¢ ¡ ¢2 P = x y + y z + zx + − x + 2y + 5z Lời giải (Inspectorgadget): Áp dụng bất đẳng thức C auch y − Schw ar z ta có: 2x + 3y + 6z = x2 + y2 + z2 ≥ (x + y + z)2 + 31 + 16 = (x + y + z)2 http://www.k2pi.net (5) Vậy nên: ³ ´ p x + 2y + 5z ≥ 2(x y + y z + zx) =⇒ 2P ≤ t + − t Với t = x + 2y + 5z ≤ Vậy ta cần tìm giá trị lớn : ³ ´ p K = t 1+ 4− t2 (t ≤ 2) Dấu xảy 2x = 3y = 6z Câu 6A.a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hình thoi ABC D ngoại tiếp đường tròn 32 Biết các đường thẳng AC và AB qua các điểm M (7; 8) và N (6; 9) Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi ABC D (I ) : (x − 5)2 + (y − 6)2 = Lời giải (thiencuong_96): Do là đường tròn nội tiếp hình thoi, suy tâm trùng với giao hai đường chéo Dể dàng suy (AC ) : x − y + = Gọi(AB ) : y = k(x − 6) + x p (AB ) : y = + |3 − k| 10 k=3 =⇒ Có : d (I ; (AB )) = p = −13x 53 −13 =⇒ k2 + (AB ) : y = + k= 9 B (3; 8) D(7; 4) ¶ ¶ µ µ Có phương trình (B D) : x + y − 11 = =⇒ =⇒ −23 45 43 −21 B D ; ; 2 2 " =⇒ A(9; 10) A(2; 3) " =⇒ C (1; 2) C (8; 9) Câu 6A.b Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Ox y z cho các điểm B (0; 1; 0) và N (2; −1; 2) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua các điểm B, N đồng thời cắt các tia Ox,Oz A,C cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ Lời giải (dan_dhv): x z Gọi A(a; 0; 0);C (0; 0; c) Do A,C thuộc tia Ox.Oz nên a, c > Mặt phẳng (P ) có pt: + y + = a c h−→ −→i 1 (a + c)2 −→ −→ Do N ∈ (P ) ⇐⇒ + = ⇐⇒ a + c = ac ≤ ⇐⇒ a + c ≥ Ta có : B A(a; −1; 0); BC (0; −1; c); BC ; B A = (c; ac; a) a c p p ¯¯h−→ −→i¯¯ p 1p S ABC = ¯ BC ; B A ¯ = a + c + a2c = a + c + (a + c)2 ≥ Do đó Mi n S ABC = ⇐⇒ a = c = 2 2 Vậy (P ) : x + 2y + z − = ( Câu 7A Giải hệ phương trình: log5 (5x − 4) = − 2y ¡ ¢¡ ¢ x − 2y = x − x 2y + (1) (2) Lời giải (dan_dhv): Đk: 5x − > P t (2) ⇐⇒ x − x + x = (x − x + 1)2y ⇐⇒ x = 2y Thay vào P t (1) ta có : log5 (5x − 4) = − x ⇐⇒ 5x − = 51−x ⇐⇒ 5x = ⇐⇒ x = Vậy nghiệm hệ là (1; 2) Câu 6B.a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hai đường tròn (O ) và (O ) có bán kính và cắt A(4; 2) và B Một đường thẳng qua A và N (7; 3) cắt các đường tròn (O ) và (O ) D và C Tìm tọa độ các đỉnh tam giác BC D biết đường thẳng nối tâm O ,O có phương trình x − y − = và diện tích tam giác BC D 24 Lời giải (thiencuong_96): Phương trình (AN ) : x − 3y + = µ ¶ Có O O ⊥ AB =⇒ (AB ) : x + y − = =⇒ I ; =⇒ B (5; 1) ( với I là giao điểm AB và O O ) 2 Ù Do đường tròn bán kính nhau( hay hai đường tròn nhau) nên B DC = BC µ A ( cùng ¶ chắn cung AB ) 23 11 Nên tam giác B DC cân Kẻ B M vuông góc với DC suy (B M ) : 3x + y − 16 = hay M ; 5 µ ¶ 56 22 Gọi D(3t − 2; t ) =⇒ C − 3t ; −t 5 µ ¶ 41 17 D(1; 1);C ; t = µ5 5¶ Có S BC D = d (B ; (C D)).DC Suy 17 =⇒ 41 17 t= C (1; 1); D ; 5 http://www.k2pi.net (6) Câu 6B.b Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Ox y z cho các mặt phẳng (P ) : −mx + (1 − m)z − 2m + = 0, (Q) : m y + z + = và (R) : x − y = ( m là tham số thực khác ) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P ) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) Lời giải (manlonely838): Phân tích: Bài này là không ít học sinh hình dung không hướng làm Giả thiết cho phương trình các mặt £− ¤ → =→ − → =→ − − phẳng Rõ ràng, − u n (R) Thêm nữa, vì (α) chứa giao tuyến (P ), (Q) nên − u u (P )∩(Q) = → n (P ) , → n (Q) Suy 1(α) 2(α) → − n (α) Vấn đề còn lại là tìm điểm nào đó thuộc (α) là phương trình (α) hình thành Nhưng, (α) qua giao tuyến (P ) và (Q) mà phương trình (P ) và (Q) lại có chứa tham số m chưa xác định và chắn không có sở để xác định tham số m này Có lẽ tham số m này là để đánh lừa chăng? Mà mục tiêu chúng ta là tìm điểm có tọa độ xác định thuộc giao tuyến này Thật may mắn! Ta có → − − → =→ − n (P ) = (−m; 0; − m), → n (Q) = (0; m; 1), − u n (R) = (1; −1; 0) 1(α) ¤ − → = £→ − − u n (P ) , → n (Q) = (m − m; m; −m ) 2(α) Suy £→ − → − → ¤ = (m ; m ; m ) n (α) = − u 1(α) , u 2(α) − Vì m 6= nên ta chọn → n (α) = (1; 1; 1) Mặt khác ta nhận thấy điểm M (1; 0; −3) ∈ (P ) ∩ (Q) nên M (1; 0; −3) ∈ (α) Vậy, (α) có phương trình là 1.(x − 1) + 1.(y − 0) + 1.(z + 3) = ⇐⇒ x + y + z + = Câu 7B Tính xác suất để có thể lập số tự nhiên gồm chữ số mà đó chữ số có mặt đúng lần,chữ số có mặt đúng lần và các chữ số còn lại có mặt không quá lần Lời giải (angel): Ta có 9.106 số tự nhiên có chữ số Giả sử số tự nhiên có chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là a1 a2 a7 Do a1 6= nên có C 63 cách để đặt chữ số 0, sau đó có C 42 cách để đặt chữ số Và có A 28 cách để đặt các chữ số còn lại Ta có: C 63 C 42 A 28 = 6720 số thỏa mãn Vậy: P = 9375 http://www.k2pi.net (7)