Tìm m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị A, B, C sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1.. Giải bất phương trình:.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2012LẦN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU Môn thi: TOÁN – Khối A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + m (1) , m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: 2sin(2 x + Giải bất phương trình: 9p 11p ) + sin x + sin( x + )-4 =0 x + x + 92 ³ x + x + x - + ln3 Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I = (2e x - e x ) dx òe x 4e x - + Câu IV (1,0 điểm) Cho khối lăng trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác cạnh 2a, điểm A1 cách ba điểm A, B, C Cạnh bên A1A tạo với mặt phẳng đáy góc a Hãy tìm a , biết thể tích khối lăng trụ ABCA1B1C1 3a Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = Chứng minh rằng: 2a + b + ab + bc + abc £ II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có phương trình cạnh AB, AC là: x + y - = và x + y + = , điểm M (1; 2) thuộc đoạn BC Tìm tọa độ điểm D cho uuur uuur DB.DC có giá trị nhỏ Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz) cho A(3;5;4), B(3;1;4) Hãy tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P): x - y - z - = cho tam giác ABC cân C và có diện tích 17 Câu VIIa (1,0 điểm) 1 k 2012 Tính tổng S = C2012 C2010 + (12 C2012 22011 - 2 C2012 2010 + + ( -1) k -1 k 2C2012 2012 -k + - 20122 C2012 ) B Theo chương trình nâng cao Câu VIb (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB, BD là: x - y + = và x - y + 14 = , đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ điểm N thuộc BD cho NA + NC nhỏ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; 1), B(1; 2; 1), C(1; 2; 3) và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) Câu VIIb (1,0 điểm) Tìm số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức: 22 2n n 121 P = ( + x ) n + Biết n nguyên dương thoả mãn: Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cn = x n +1 n +1 Hết Cảm ơn từ funny09@yahoo.com gửi đến www.laisac.page.tl (2) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 20112012 Môn: TOÁNkhối ABD Điểm Phần chung Câu I 1.(1 điểm) (2 Với m = hàm số là: y = x - x + +) TXĐ: D= R điểm) 0,25 éx = +) Giới hạn, đạo hàm: lim y = +¥ ; lim y = +¥ y ' = x - x; y ' = Û ê x ®+¥ x ®-¥ ë x = ±1 +) Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1; 0), (1; + ¥ ) nghịch biến trên các khoảng ( ¥ ; 1), (0; 1) +) Hàm đạt cực đại x = 0, yCĐ = 1, cực tiểu x = ± 1, yCT = +) BBT: x ¥ 1 +¥ y' + + y +¥ +¥ 0,25 0,25 10 15 10 5 10 15 0,25 2 4 6 8 Đồ thị 10 (1 điểm) TXĐ: D= R y ' = x - 4mx = x ( x - m ) éx = y' = Û ê ëx = m 0,25 Hàm số có điểm cực trị y’=0 có nghiệm phân biệt Û m > Gọi điểm cực trị A(0;m), B ( - m ; - m + m ), C( m ; - m + m) Ta có A thuộc Oy và B, C đối xứng qua Oy nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam 0,25 giác ABC thuộc Oy (3) Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(0;a) Ta có: IA2 = IB = IC = 0,25 ì ém - a = ìï( m - a ) = ïê Ûí Û íë m - a = -1 2 îï m + ( - m + m - a ) = ï 2 î m + (- m + m - a ) = 1(*) Với m - a = -1 thay vào (*) ta có phương trình vô nghiệm "m > -1 (TM) Với m - a = thay vào (*) ta có m = 1, m = 0,25 1.(1 điểm) p Phương trình Û sin(2 x + ) + sin x - cosx - = Û sin x + cos2 x + sin x - cosx - = 0,25 Û (2sin x cos x - cos x) - 2sin x + sin x - = 0,25 Û cos x(2sin x - 1) - (2sin x - 1)(sin x - 3) = Û (2sin x - 1)(cos x - sin x + 3) = é sin x = Ûê ê cos x sin x + = 0(VN ) ë Câu II (2 điểm) 0,25 p é ê x = + k 2p Ûê ê x = 5p + k 2p êë 2.(1 điểm) Điều kiện: x ³ 0,25 Bất phương trình Û x + x + 92 - 10 ³ ( x + x - 8) + ( x - - 1) x2 + 2x - Û ³ ( x - 2)( x + 4) + x + x + 92 + 10 x-2 x -1 +1 é ù x+4 Û ( x - 2) ê - ( x + 4) ú³0 x -1 +1û ë x + x + 92 + 10 é ù 1 Û ( x - 2) ê( x + 4)( - 1) ú³0 x -1 +1û x + x + 92 + 10 ë Ta có: ( x + 4)( x + x + 92 + 10 - 1) - x -1 +1 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: £ x £ III (1 0,25 0.25 < 0, "x ³ Do đó bất phương trình Û x - £ Û x £ Câu 0,25 0,25 (1 điểm) ln3 I= (2e3 x - e x ) dx òe x 4e x - + ln = ò (2e3 x - e x )dx 4e x - 3e x + 0,25 (4) điểm) Đặt t = 4e3 x - 3e x Þ t = 4e3 x - 3e x Þ 2tdt = (12e3 x - 6e2 x )dx Þ (2e3 x - e x )dx = tdt 0,25 Đổi cận: x = Þ t = ; x = ln Þ t = 9 ÞI = tdt 1 = (1 ) dt ò1 t + ò1 t +1 = (t - ln t + 1) = 0,25 - ln 0,25 (1 điểm) B1 A1 C1 0.25 A I Câu điểm) H C IV (1 B G Ta có tam giác ABC cạnh 2a nên SABC= a Mặt khác A1A= A1B= A1CÞ A1ABC là tứ diện 0,25 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có A1G là đường cao Trong tam giác ABC có AG= 2a AH= 3 0,25 Trong tam giác vuông A1AG có: Ð A1AG= a A1G=AG.tan a = 2a tan a VLT=A1G.SABC= 3a Þ tan a = Þ a = 600 0,25 (1 điểm) Ta có: Câu V (1 điểm) 3 1 M = 2a + b + ab + bc + abc = 2a + b + a.4b + b.4c + a.4b.16c 4 2 a + 4b b + 4c a + 4b + 16c £ 2a + b + + + 4 12 28( a + b + c ) = =7 12 16 Dấu xảy và a = , b = , c = 7 0.25 0,25 0,25 0,25 (5) Phần riêng (1 điểm) ur uur uur Gọi VTPT AB, AC, BC là: n1 (1; 2), n2 (2;1), n3 ( a; b) Phương trình BC có dạng: a ( x - 1) + b( y - 2) = 0, a + b > Tam giác ABC cân A nên: ur uur uur uur cos B = cos C Û cos(n1 , n3 ) = cos(n2 , n3 ) Û a + 2b a + b2 = 0.25 2a + b a + b2 é a = -b Ûê ëa = b Với a=b, chọn b=1 Þ a = Þ PT BC: x - y + = Þ B (0;1); C ( Câu VIa (2 điểm) -2 ; ) Không thỏa 0,25 3 mãn M thuộc đoạn BC Với a=b, chọn a=b=1 Þ PT BC: x + y = Þ B (4; -1); C (-4; 7) Thỏa mãn M thuộc đoạn BC Gọi trung điểm BC là I (0;3) uuur uuur uuur uur uuur uur BC BC Ta có: DB.DC = ( DI + IB).( DI + IC ) = DI ³4 Dấu xảy D º I Vậy D(0;3) 2.(1 điểm) C thuộc mặt phẳng (P) nên C( a ; b ;ab1) 0,25 0,25 0.25 Tam giác ABC cân C => AC = BC Þ (a -3)2 + (b -5)2 + (5- a + b)2 = (a -3)2 + (b -1)2 + (5- a +b)2 Þb = (1) 0,25 Ta có AB = 4, trung điểm AB là I (3;3; 4) SDABC = CI AB = 17 Þ CI = 17 => ìa = ìa = Từ (1) và (2) ta có í í îb = îb = ( - a ) + (8 - a ) = 17 (2) Vậy có hai điểm C(4 ; ;0) , C(7;3;3) 2012 2012 Ta có: (2 + x ) 2012 = C2012 2012 + C2012 22011 x + + C2012 x 2012 2011 Đạo hàm hai vế ta có: 2012(2 + x)2011 = 1C2012 2011 + 2C2012 2010 x + 2012C2012 x Nhân hai vế với x ¹ ta có: Câu 2012 2012 2012 x (2 + x ) 2011 = 1C2012 2011 x + 2C2012 22010 x + + 2012C2012 x VIIa Đạo hàm hai vế ta có: (1 2012 2011 2012 éë 2011(2 + x ) 2010 x + (2 + x ) 2011 ùû = 12 C2012 22011 + 2 C2012 2010 x + 2012 C2012 x điểm) k 2012 Cho x = -1 ta có: -2012.2010 =12 C2012 22011 - 22 C2012 22010 + + (-1)k-1k 2C2012 22012-k + - 20122 C2012 0,25 0,25 0.25 0,25 0,25 1 Ta có: C2012 C2010 = 2012.2010 1 k 2012 Þ S = C2012 C2010 + (12 C12012 22011 - 22 C2012 22010 + + (-1)k -1 k 2C2012 22012-k + - 20122 C2012 ) = 0,25 Câu VIb (1 điểm) ABCD là hình chữ nhật nên góc AC và AB góc AB và BD, kí hiệu 0.25 (6) (2 điểm) uuur uuur uuur n AB (1; -2); nBD (1; -7); nAC ( a; b) (với a 2+ b2 > 0) là VTPT các đường uuur uuur uuur uuur thẳng AB, BD, AC Khi đó ta có: cos nAB , nBD = cos n AC , n AB ( ) ( ) é a = -b 2 2 Û a - 2b = a + b Û a + 8ab + b = Û ê êa = - b ë Với a = b Chọn a = Þ b = Khi đó Phương trình AC: x – y – = 0, Với b = 7a : Chọn a = Þ b = Khi đó Phương trình AC: x – 7y +5 = (loại vì 0,25 AC không cắt BD) Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC Ç BD nên toạ độ I là nghiệm hệ: ì ïï x = ìx - y -1 = 0,25 æ7 5ö Ûí ÞIç ; ÷ í è 2ø î x - y + 14 = ïy = ïî Ta có: A, C khác phía so với BD nên: NA + NC ³ AC æ7 5ö Dấu xảy N = AC Ç BD Þ N º I Vậy N ç ; ÷ è2 2ø (1 điểm) uuur uuur Ta có: AB = (2; 2; -2), AC = (0; 2; 2) Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: x + y - z - = 0, y + z - = r uuur uuur Vectơ pháp tuyến mp(ABC) là n = éë AB, AC ùû = (8; -4; 4) Suy (ABC): 2x - y + z +1 = ì x + y - z -1 = ìx = ï ï Giải hệ: í y + z - = Þ í y = Suy tâm đường tròn là I (0; 2;1) ï2 x - y + z + = ï z = î î Bán kính mặt cầu là R = d ( I , (Oxz )) = Câu VIIb (1 điểm) 0,25 0.25 0,25 0,25 Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x + ( y - 2) + ( z - 1) = 0,25 Xét khai triển (1 + x ) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n Lấy tích phân vế cận từ đến 2, ta được: 3n +1 - 22 23 n +1 n Û = 2Cn0 + Cn1 + Cn3 + + Cn n +1 n +1 0.25 22 n n 3n +1 - 121 3n +1 - Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cn = Û = Û 3n +1 = 243 Û n = n +1 2(n + 1) n + 2(n + 1) P = ( + x )6 Þ Tk +1 = C6k x3 k -6 Ï x Û k = x Vậy số hạng không phụ thuộc x khai triển là: C62 32 = 135 0,25 0,25 0,25 (7)