Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ’... Viết phương trình mặt phẳng P đi qua hai điểm M, N và tạo với đường thẳng d một[r]
(1)Sở giáo dục và đào tạo nghệ an Trêng thpt th¸i hoµ đề thi thử đại học năm 2012-lần thứ II M«n thi : To¸n Thêi gian lµm bµi :180 phót ==========*========= I.PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7 ®iÓm) C©u I(2 ®iÓm): Cho hµm sè : y=x −3 x −3 m(m+2) x−1 (1) 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2.Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị nằm hai phía trục hoành C©u II (2 ®iÓm) 2( x−2) ( √4 x−4 + √ x−2 ) =3 x−1 cos x ( sin x−1 ) tan x= + cos x sin x−1 2.Giải phương trình: 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh: π C©u III (1 ®iÓm): TÝnh tÝch ph©n: I = x +sin x ∫ 1+cos2 x dx C©u IV (1 ®iÓm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có đường chéo AC = 3a ,BD = 2a Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách a √3 hai đường thẳng SA và CD Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a C©u V (1 ®iÓm):Xét các số thực x, y thoả mãn điều kiện: x−3 x+1=3 y+2− y Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức P = x + y II.Phần riêng (3 điểm): Thí sinh đợc làm phần (Phần A phần B) A.Dµnh cho Ban C¬ B¶n C©u VIa (2 ®iÓm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(0;2); trung điểm I đoạn thẳng AC nằm trên đường thẳng x + y - = và đường phân giác góc A có phương trình x - =0 Xác định tọa độ điểm C biết tam giác ABC có diện tích x y−2 z+ = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình: −1 √ và √ x +2 y−3 z−1 = = −1 Tìm điểm M ¿d , N ¿ d cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P): x + y + z -2 = và MN =√ 42 z i 2 C©u VIIa.(1 ®iÓm) : Tìm số phức z thoả mãn : biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị B.Dµnh cho Ban Khoa häc tù nhiªn C©u VIb (2 ®iÓm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : x y 0 , ' :3x y 10 0 và điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ’ d: x−1 y +2 z = = −2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng và hai điểm M(1,1,5); N(2,1,6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M, N và tạo với đường thẳng d góc ϕ √17 cho cos ϕ= 32 x + y + +3 x + y =27 x + y + log ( x +1 ) +log ( y + ) =1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ C©u VIIb (1 ®iÓm):Giải hệ phương trình: ===========HÕt========== Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: (2) Sở giáo dục và đào tạo Nghệ an Kì thi thử đại học năm 2012 – Lần thứ M«n thi: To¸n (Thêi gian: 180 phót) Trêng ThPT th¸i hoµ §¸p ¸n- BiÓu ®iÓm (gåm trang) C©u néi dung 1.(1 ®) Với m = ta có hàm số: y = x3 - 3x2 - a)Tập xác định: D = R b)Sù biÕn thiªn +)ChiÒu biÕn thiªn: y’= 3x2-6x, y’=0 ⇔ x=0∨x=2 ®iÓm 2,0 0,25 ⇔ x<0∨x>2, y '<0⇔ 0<x<2 y’>0 Hµm sè đồng biến biÕn trªn c¸c kho¶ng ( −∞;0 ) vµ ( 2;+∞ ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) +)Cùc trÞ : Hµm sè đạtcực đại x = 0, yCĐ = -1 Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT =-5 +)Giíi h¹n vµ tiÖm cËn: lim y =−∞ , lim y =+∞ x →−∞ 0,25 x →+∞ §å thÞ hµm sè không có tiệm cận +)B¶ng biÕn thiªn: x - + y' 0 - + 0,25 + + -1 y -5 - +)§å thÞ: c¾t trôc tung t¹i (0;-1) 0,25 -5 -2 -4 2.( 1® ) Ta có : y’ = 3x2 - 6x - 3m(m+2) Điều kiện có cực trị : Phương trình y’ = có nghiệm phân biệt ⇔ Δ'=9+9 m(m+2 )=9 (m+1 )2 >0 ⇔m≠−1 Hai điểm cực trị đồ thị hàm số là A(m+2,-2m3-9m2-12m-5) B(-m ;2m3+3m2-1) Để A, B nằm hai phía trục hoành thì yA.yB < 0,25 0,25 0,25 (3) ⇔ (−2 m3 −9 m2−12 m−5 )( 2m3 +3 m2 −1 ) <0 ⇔ ( m3 +9 m +12 m+5 )( m3 +3 m2 −1 ) >0 ⇔(2 m+5 )( m−1 ) (m+1)4 >0 ⇔ ( m+5 ) (2 m−1)>0 ⇔m<− ∨m> 2 m∈ −∞ ;− ∪ ; +∞ 2 Kết luận : ( )( 0,25 ) ii 2,0 1.(1®) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2( x−2) ( √ x−4 + √ x−2 ) =3 x−1 Điều kiện: x≥1 +)x=2 không phải là nghiệm phương trình +) x≠2 , ta có PT tương đương: Đặt f ( x )=2 ( √ x−4 + √ x−2 ) ; ( √ x−4+ √2 x−2 ) = g ( x) = x−1 x−2 x−1 x−2 Hàm số f(x) đồng biến trên [1;+∞) nên đồng biến trên [1;2) và ( 2;+∞ ) −5 < ∀ x≠2 ( x−2 )2 nên hàm nghịch biến trên [1;2) và ( 2;+∞ ) g ' ( x) = 0,25 =>Phương trình f(x) =g(x) có nghiệm thì nghiệm đó là trên 0,25 [1;2) và trên ( 2;+∞ ) Với x∈[1;2) ta có f (x )≥f (1)=0 ; g( x)≤g ( )=−2<0 nên phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm trên [1;2) Với x∈ ( ;+∞ ) , nhận thấy f(3) = g(3) => x = là nghiệm phương trình Kết luận: x = ( sin x−1 ) tan x= 2.(1 ®): Gi¶i ph¬ng tr×nh: 0,25 0,25 cos x + cos x sin x−1 cos x ≠ sin x ≠1 ⇔ ¿ π x ≠ + kπ π x ≠ +k π π ⇔ x ≠ + kπ ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ Điều kiện: (2 sin x−1 ) sin x cos x ( sin x +1 ) = + cos x sin x−1 PT <=> cos x 0,25 (vì sinx ¿−1 ) 0,25 (2 sin x−1 ) sin x 2sin x +2 = − cos x cos x cos x <=> <=>(2sinx -1)sinx = - 2sinx -2 <=>2sin2x + sinx - = ⇔ [sin x=−1 ( l ) ¿ [¿ [ sin x= ( tm ) sinx = ⇔ π [ x= +k π ¿ [¿ 5π [ x= +k π 0,25 0,25 (4) π x= +k π Đáp số: PT có hai họ nghiệm π III TÝnh tÝch ph©n: I = π π xdx ∫ 1+cos2 x x +sin x ∫ 1+cos2 x dx = π xdx và π x= 5π +k π π xdx ( k ∈Z ) sin xdx ∫ 1+cos x +∫ 1+cos x 0 0,25 xdx ∫ cos2 x =∫ cos2 x = 1,0 u= x dx dv = cos2 x => ¿ du = dx v = tan x ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Đặt Áp dụng công thức tích phân phần ta có: π xdx ∫ cos x =x tan π π π π 4 x|0 − π ∫ tan xdx= π π +ln|cos x||04 = − 0,25 ln2 π ( 3−4 sin x ) sin xdx ( cos x−1 ) sin xdx sin xdx =∫ ∫ 1+cos x =∫ cos x cos2 x 0 =A Đặt t = cosx, dt = -sinxdx 0,25 π => t= √ Đổi cận x = => t = 1, x = √2 −∫ ( t −1 ) dt 2t A= ( = ∫ 2− √2 1 dt = t + |1 = − 2t 2 √ 2t √ ) ( ) 0,25 π − ln2+ − √2 Vậy I = 1,0 IV S 0,25 H K B C O A Gọi O = D AC∩BD ⇒ SO⊥ ( ABCD ) Kẻ OK ⊥ AB( K ∈ AB ), OH ⊥ SK ( H ∈SK ) Chứng minh OH ¿ ( SAB ) a √3 d(SA,CD) = d(D;(SAB)) = 2d(O;(SAB)) = 2.OH=> OH = 0,25 (5) 1 1 1 = + = + + 2 2 OH SO OK SO OA OB 16 1 1 a = + 2+ 2⇒ = ⇒ SO= 2 2 SO a a SO a Thay số ta có: a Vậy thể tích khối chóp S.ABCD 1 a a SO S ABCD= SO AC BD= a √ a= 6 √3 V= 3 a Đáp số: V = √3 0,25 0,25 1,0 V x−3 √ x +1=3 √ P+2−x+x−P Ta có : y = P - x Thay vào giả thiết ta có : ⇔3 √ x+1+3 √ P+2−x−P=0 0,25 (1) Ta xác định P để (1) có nghiệm Từ điều kiện bài toán ta có : P+2≥−1 ⇔ P≥−3 Đặt f (x )=3 √ x +1+3 √ P+2−x−P f ' (x )= 3 − √ x +1 √ P+2−x ; (−1≤x≤P+2 ) f ' ( x )=0 ⇔ x= P+1 Bảng biến thiên : 0,25 P+1 x f'(x) -1 P+2 + - 2P+6 -P f(x) P+3 -P P+3 -P Để phương trình f(x)= có nghiệm thì √ P +6 − P≥0 √ P +3 − P≤0 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ −3 ≤ P≤ 9+ √ 15 + √ 21 P≥ + √ 21 ⇔ ≤P ≤9 + ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ 9+3 √21 Vậy giá trị nhỏ P là 13+3 √ 21 ; y=−2 x = √ 15 x=-1; y= 11+3 √ 21 10+3 √15 8+3 √15 , y= 2 Giá trị lớn P là 9+3 √ 15 x = PhÇn riªng: 0,25 0,25 (6) a.Dµnh cho ban c¬ b¶n VIa 2,0 1.(1®) A I(a;4-a) 0,25 I'(2-a;4-a) C B(0;2) D Gọi I(a;4-a) I’ là điểm đối xứng với I qua đường phân giác góc A Khi đó I’(2-a;4-a) và I '∈ AB ⃗ BI ' (2−a;2−a) TH1: a =2 I(2;2), I’’’ ¿ B S Δ ABI =2.S Δ ABI =AH BI=|y A −2|.2=4 ( H= AD∩BI ) => [ y A =4 [⇒ [ y A =0 ¿ [ A ( ; ) [ ⇒ ¿ [ C ( 3; 0) [ ¿ [ A ( ; 0) [ C ( ; 4) TH2: a ¿ Chọn vec tơ pháp tuyến đường thẳng AB là ⃗n (1;−1) Phương trình đường thẳng AB : x - y + = Điểm A là giao điểm đường thẳng AB và phân giác góc A => A(1;3) ⃗ AI= ( a−1;1−a ) Chọn vec tơ pháp tuyến đường thẳng AC là Phương trình đường thẳng AC là x + y - = S Δ ABC =d(B ; AC) AI = |0+2−4| |a−1|√2=4 √2 0,25 0,25 Gọi M(t;2-t;-4+2t) ¿d ; N(-2+2u;3+u;1-u) ¿ d Ta có ⃗n ' ( 1;1) ⇔|a−1|=2⇔ a=3∨a=−1 Với a = ta có I(3;1) =>C(5;-1) Với a = -1 ta có I(-1;5) => C(-3;7) Đáp số : C(5;-1) ;C(-3;7);C(3;0) và C(3;4) (1®) 0,25 0,25 ⃗ MN(−2+2u−t ;1+u+t ;5−u−2t ) Do đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) nên ⃗ MN ⃗ nP=0 ⇔−2+2u−t +1+u+t+5−u−2t=0 ⇔ 4+2 u−2 t=0 ⇔t=u+2 (−2+2 u−t )2 + ( 1+u+t )2 + (5−u−2t )2 =0 MN2 =42 ⇔ 0,25 0,25 Thay t = u+2 ta có: (u-4)2 + (2u+3)2 + (1-3u)2 = 42 ⇔u=−1∨u= <=>14u2 -2u - 16 =0 Với u = -1, t = ta có M(1;1;-2) và N(-4;2;2) 22 Với u = , t = 22 16 29 ;− ; ; ;− 7 ) và N( 7 ) ta có M( 0,25 (7) 22 16 29 ;− ; ; ;− 7 ) và N( 7 ) Đáp số : M(1;1;-2) và N(-4;2;2) M( VIIa 1,0 Gọi số phức z=a+bi ( a , b∈R ;i =−1 ) 0,5 |a− 2+ ( b + ) i| =2 b= a− ⇔ ¿ ( a − ) + ( b + ) 2= b= a− ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ Theo bài ta có: a 2 b a 2 b 2 0,5 2 Vậy số phức cần tìm là: z= +( )i; z= +( )i B.dµnh cho ban khoa häc tù nhiªn VIb 2,0 1.(1®) Tâm I đường tròn thuộc nên I(-3t – 8; t) Theo yc thì k/c từ I đến ’ k/c IA nên ta có 3( 3t 8) 4t 10 ( 3t 2) (t 1) 2 4 Giải phương trình trên ta t = -3 Khi đó I(1; -3), R = và pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25 2.(1®) 0,25 0,25 0,25 0,25 Gọi ⃗n ( a;b;c ) là vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P).(điều kiện: a2 + b2 + c2 > 0) Phương trình mặt cầu (S): ax + by + cz - a -b -5c = Vì (P) qua N(2;1;6) nên ta có: a + c =0 sin ϕ= Do đó ta có : Ta có Từ đó suy |a+ 2b−2 c| √a 2+b 2+c √12+22+(−2 )2 = 0,25 0,25 3|a+2b−2c|=8 √ a2 +b2 +c Thay c = - a ta có 3|3a+2b|=8 √ 2a2+b Bình phương hai vế: ( a +12 ab+4 b2 )=64 ( a +b2 ) 0,25 ¿ ⇔47a −108ab+28b2=0 [a=2b ⇔( a−2b) (47a−14b)=0 [47a=14b [¿¿ ⇔ Với a = 2b, c = -a , chọn a =2, b = 1, c = -2 ta có phương trình mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + = Với 47a = 14b, c =-a, chọn a = 14, b =47, c =-14 ta có phương trình mặt phẳng (P): 14x +47y-14z +9 = Đáp số: Phương trình mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + = 14x +47y-14z +9 = VIIb Giải hệ phương trình: x + y +2 x +2 y x+ y +3 =27 + (1 ) log ( x +1 ) +log ( y + ) =1 ( ) ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 0.25 1,0 (8) Điều kiện: x>-1; y>-1 Đặt a=3 2x+y ;b=3 x+2 y (a,b>0) Thay vào (1) ta có: 9a + b = ab + ⇔ ( a−1 ) ( b−9 )=0 0,5 ⇔a=1∨b=9 Với a =1 ta có 2x + y = <=> y = -2x Thay vào (2) ta có phương trình : log3 ( x +1 ) +log ( 1−2 x ) =1 0,25 ⇔ −1 < x < ( x+1 )( 1−2 x )=3 ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ (hệ vô nghiệm) Với b = ta có x + 2y = <=> x = 2-2y Thay vào (2) ta có phương trình : ¿ ( 3−2 y ) ( y + ) =3 ⇔ ¿ [ y =0 [ [ y= ( 3−2 y ) +log ( y +1 ) =1 { ¿ ¿ ¿ −1 < y < log ⇔ Với y = ta có x = Hệ có nghiệm (x ;y) : (2 ;0) Với y =1/2 ta có x = Hệ có nghiệm (x ;y) : (1 ;1/2) Đáp sô : Hệ có nghiệm (x ; y) : (2 ;0) và (1 ;1/2) 0,25 (9)