Đang tải... (xem toàn văn)
Cách vẽ biểu đồ tần suất, tần số hình cột Để mô tả bảng phấn bố tần suất ghép lớp và trình bày các số liệu thống kê, có thể vẽ biễu đồ tần suất hình cột như sau: + Chọn hệ trục Oxf với đ[r]
(1)WWW.ToanCapBa.Net §1 MỆNH ĐỀ 1.1 Xét xem các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến? a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x<3 d) có phải là số nguyên không? e) +4 là số vô tỉ 1.2 Tìm giá trị x để mệnh đúng, mệnh đề sai a) P(x):”3x2+2x1=0” b) Q(x):” 4x+3<2x1” 1.3 Cho tam giác ABC Lập mệnh đề PQ và mệnh đề đảo nó, xét tính đúng sai, với: a) P: “ Góc A 900” Q: “ BC2=AB2+AC2” b) P: “ A B ” Q: “ Tam giác ABC cân” 1.3 a) PQ: “ Nếu góc A 900 thì BC2=AB2+AC2” đúng QP: “ Nếu BC2=AB2+AC2 thì góc A 900 ” đúng b) PQ: “ A B thì tam giác ABC cân” đúng Q P:” “Nếu tam giác ABC cân thì A B ” sai (vì có thể A C 1.4 Phát biểu lới các mệnh đề sau Xét tính đúng/sai và lập mệnh đề phủ định chúng a) x : x2=1 b) x :x2+x+2≠0 1.4 a) x : x2=1; “ Có số thực mà bình phương nó 1” sai x : x2≠1; “ Với số thực, bình phương nó khác 1” b) x :x2+x+2≠0; “ Với số thực có x2+x+2≠0” đúng x :x2+x+2=0 1.5 Xét tính đúng sai mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định nó 3 3 a) c) 12 b) 2 8 là số hữu tỉ x2 0 d) x=2 là nghiệm phương trình x 3 3 ” 1.5 a) Đúng P : “ c) Đúng vì b) Sai P : 2 3 8 12 =27 là số hữu tỉ P : “ 12 là số vô tỉ” x 4 0 d) Sai P :” x=2 khônglà nghiệm phương trình x ” 1.6 Tìm giá trị m để mệnh đề đúng, mệnh đề sai b) Q(m): “m< m ” a) P(m): “ m< m” c) R(m): “ m=7m” 1.7 Phát biểu mệnh đề phủ định các mệnh đề sau và xét tính đúng sai chúng a) P: “ 15 không chia hết cho 3” b) Q: “ ” 1.8 Lập mệnh đề PQ và xét tính đúng sai nó, với: - WWW.ToanCapBa.Net (2) WWW.ToanCapBa.Net a) P: “2<3” Q: “4<6” b) P: “10=1” Q: “100=0” 1.8 Lập mệnh đề PQ và xét tính đúng sai nó, với: a) Nếu 2<3 thì 4<6 Sai b) Nếu 10=1 thì 100=0 Đúng 1.9 Cho số thực x Xét mệnh đề P: “ x là số hữu tỉ”, Q: “ x là số hữu tỉ” a) Phát biểu mệnh đề PQ và xét tính đúng sai b) Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề trên c) Chỉ giá trị x mà mệnh đề đảo sai 1.9 a) Nếu x là số hữu tỉ thì x là số hữu tỉ Đúng b) Nếu x là số hữu tỉ thì x là số hữu tỉ c) Khi x = mệnh đề đảo sai 1.10 Cho số thực x Xét mệnh đề P: “ x 2=1”, Q: “ x =1” a) Phát biểu mệnh đề PQ b) Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề trên và xét tính đúng sai c) Chỉ giá trị x mà mệnh đề PQ sai 1.10 b) mệnh đề đảo đúng c) x =1 thì PQ sai 1.11 Cho số thực x Xét mệnh đề P: “ x là số nguyên”, Q: “ x +2 là số nguyên” a) Phát biểu mệnh đề PQ b) Phát biểu mệnh đề QP c) Xét tính đúng sai PQ, QP 1.11 a) PQ đúng b) QP đúng 1.12 Cho tam giác ABC Xét mệnh đề P: “AB=AC”, Q: “Tam giác ABC cân” a) Phát biểu PQ, cho biết tính đúng sai b) Phát biểu mệnh đề đảo QP 1.12 a) Nếu AB=AC thì tam giác ABC cân đúng b) Nếu tam giác ABC cân thì AB=AC , AB=BC≠AC mđ sai 1.13 Cho tam giác ABC Phát biểu mệnh đề đảo các mệnh đề sau: a) Nếu AB=BC=CA thì tam giác ABC đều; b) Nếu AB>BC thì C A ; 1.13 c) Nếu A =900 thì ABC là tam giác vuông a) Nếu tam giác ABC thì AB=BC=CA cả hai đúng b) Nếu AB>BC thì C A ; đúng và mđ đảo đúng c) Nếu A =900 thì ABC là tam giác vuông đúng và mđ đảo sai (vuông B C) 1.14 Dùng kí hiệu để viết các mệnh đề sau: a) Có số nguyên không chia hết cho chính nó; b) Mọi số thức cộng với chính nó; c) Có số hữu tỉ nhỏ nghịch đảo nó; d) Mọi số tự nhiên lớn số đối nó 1.14 a) n : n không chia hết cho n b) x : x +0=0 c) x : x < x d) n : n>n 1.15 Phát biểu lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai chúng a) x : x2≤ b) x : x2≤0 x2 x x x c) : x2 x x x d) : - WWW.ToanCapBa.Net (3) e) x : x 2+ x +1>0 WWW.ToanCapBa.Net f) x : x 2+ x +1>0 1.15 Phát biểu lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai chúng a) Bình phương số thực nhỏ 1 sai b) Có số thực mà bình phương nó nhỏ 0đúng x2 x c) Với số thực , cho x Sai x2 x d) Có số thực, cho x Đúng e) Với số thực x , cho x 2+ x +1>0 đúng f) Có số thực x , cho x 2+ x +1>0 đúng 1.16.Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau và xét tính đúng sai nó a) x : x 1= x b) x : x x =1 c) n : n<n2 1.16 a) x : x 1≠ x sai b) x : x x ≠1 đúng c) n : n≥n2 đúng 1.17 Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau và chó biết tính đúng saicủa chúng a) Mọi hình vuông là hình thoi; b) Có tam giác cân không phải là tam giác đều; 1.17 a) “Có ít hình vuông không phải là hình thoi” sai b) “Mọi tam giác cân là tam giác đều” sai 1.18 Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định mệnh đề: a) x , 4x2-1= b) x , n2+1 chia hết cho c) x , (x-1)2 x-1 1.18 Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định mệnh đề: a) x , 4x2-1= 0 sai; mđ phủ “ x , 4x2-1≠0” b) n , n2+1 chia hết cho 4 Sai vì Nếu n là số tự nhiên chẳn : n =2k (k N) n2+1 = 4k2+1 không chia hết cho Nếu n là số tự nhiên le : n = 2k+1 (k N) n2+1 = 4(k2+k)+2 không chia hết cho Mđ phủ định “ n , n2+1 không chia hết cho 4” c) x , (x-1)2 x-1 Sai x =0 mđ phủ định “ x ,(x-1)2 =x-1” 1.19 Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng: a) x , x > x2 b) x , |x| < x< c) x N, n2+1 không chia hết cho 1.19 d) a , a2=2 a) đúng, ví dụ x =1/10 b) sai, vì x <3 | x |<3 sai x =8 Sửa lại : “ x , | x |<3 x <3” c) đúng (giải thích) d) sai Sửa lại “a , a2≠2” 1.20 Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng: - WWW.ToanCapBa.Net (4) WWW.ToanCapBa.Net A: ” 15 là số nguyên tố” B: ” a , 3a=7” C: “ a , a2≠3” 1.20.1.21 Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ": a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng song song b) Nếu hai tam giác thì chúng có diện tích c) Nếu số tự nhiên tận cùng là chữ số thì chia hết cho d) Nếu a+b > thì hai số a và b phải dương Tương 1.21 Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ": a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc đường thẳng thứ ba là điều kiện đủ để hai đường thẳng song song b) Hai tam giác là điều kiện đủ để chúng có diện tích c) Số tự nhiên tận cùng là chữ số là điều kiện đủ để số đó chia hết cho d) a+b > là điều kiện đủ để hai số a và b dương tự 1.22 Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần": a) Nếu hai tam giác thì chúngcó các góc tươmg ứmg b) Nếu tứ giác T là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc c) Nếu số tự nhiên chia hết cho thì nó chia hết cho d) Nếu a=b thì a2=b2 1.22 Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần": a) Điều kiện cần để hai tam giác là chúng có các góc tươmg ứmg b) Điều kiện cần để tứ giác T là hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc c) Điều kiện cần để số tự nhiên chia hết cho là nó chia hết cho d) Điều kiện cần để a=b là a2=b2 1.23 Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ” “Tam giác ABC là tam giác và tam giác ABC là tam giác cân và có góc 600” 1.23 Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ” “Tam giác ABC là tam giác là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là tam giác cân và có góc 600” 1.24 Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để mệnh đề đúng: a) Để tứ giác T là hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó có bốn cạnh b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là số đó chia hết cho c) Để ab>0, điều kiện cần là hai số a và b điều dương d) Đề số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện đủ là nó chia hết cho 1.24 Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để mệnh đề đúng: a) Sai “Tứ giác T là hình vuông là điều kiện đủ để nó có bốn cạnh nhau” b) Sai “Tổng hai số tự nhiên chia hết cho là điều kiện cần để số đó chia hết cho c) Sai “ ab>0 là điều kiện cần để hai số a và b dương” d) Đúng 1.25 Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích a) Hai tam giác và chúng có diện tích b) Hai tam giác và chúng đồng dạng c) Một tam giác là tam giác vuông và có góc(trong) tổng hai góc còn lại d) Một tam giác là tam giác và nó có hai trung tuyến và có góc 60 1.25 Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích a) Sai Vì diện tích thì cần cạnh và đường cao ứng với cạnh đó b) Sai c) Đúng Vì Nếu ABC vuông A thì B C A Ngược lại B C A thì - WWW.ToanCapBa.Net (5) WWW.ToanCapBa.Net A B C 1800 A 1800 A 900 d) Đúng Vì ABC thì trung tuyến Ngược lại, BM=CN Lấy Q đối xứng C qua N, P đối x ứng B qua M Khi đó AQBC và APCB là hai hình bình hành Q A Mà CQ=BP AB=AC ABC cân N P M G B - WWW.ToanCapBa.Net H C (6) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP THÊM Xét đúng (sai)của mệnh đề sau : a/ Hình thoi là hình bình hành b/ Số không là nghiệm phương trình : x2 5x + = ) (3 < ) c/ ( > e/ (5.12 > 4.6) (2 < 10) 11 d/ ( > ) (42 < 0) f) (1< ) là số nguyên tố Phủ định các mệnh đề sau : a/ < x < b/ x 2 hay x c/ Có ABC vuông cân d/ Mọi số tự nhiên không chia hết cho và e/ Có ít học sinh lớp 10A học yếu hay kém f/ x< hay x=3 g/ x hay x>1 h/ Pt x2 + = vô nghiệm và pt x+3 =0 có nghiệm Xét đúng (sai)mênh đề và phủ định các mệnh đề sau : a/ x R , x2 + > b/ x R , x2 3x + = c/ n N , n2 + chia hết cho d/ n Q, 2n + e/ a Q , a > a f) x R , x2 +x chia hết cho 4.Dùng bảng đúng (sai)để chứng minh: a) A B = B A b) AB A B c) A B A B d) A (B C ) ( A B) ( A C ) B SUY LUẬN TOÁN HỌC Phát biểu định lý sau dạng "điều kiện đủ" a/ Nếu hai tam giác thì chúng đồng dạng b/ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với c/ Nếu a + b > thì a > hay b > d/ Nếu số tự nhiên có chữ số tận cùng là số thì nó chia hết cho e/ Nếu a + b < thì ít hai số phải âm Phát biểu định lý sau dạng "điều kiện cần" a/ Hình chữ nhật có hai đường chéo b/ Nếu hai tam giác thì nó có các góc tương ứng c/ Nếu số tự nhiên chia hết cho thì nó chia hết cho d/ Nếu a = b thì a3 = b3 e/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn 7.Dùng phương pháp phản chứng, CMR : a/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn b/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn c/ Nếu x2 + y2 = thì x = và y = - WWW.ToanCapBa.Net (7) WWW.ToanCapBa.Net d/ Nếu x = hay y = thì x + 2y 2xy = 1 d/ Nếu x và y thì x + y + 2xy e/ Nếu x.y chia hết cho thì x hay y chia hết cho f) Nếu d1// d2 và d1// d3 thì d2 // d3 Chứng minh vơi số nguyên dương n, ta có: a) + + + + + (2n – 1) = n2 b) + + + + + (2n) = n(n +1) n(n 1) c) + + + + + n = n(n 1)(n 2) a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) = 1 1 n n.(n 1) n b) 1.2 2.3 3.4 1 1 n (2n 1).(2n 1) 2n c) 1.3 3.5 5.7 n(n 1)(2n 1) d) + + + + n = n2 (n 1)2 e) 13 + 23 + 33 + + n3 = n n f) + + + + = 2(2 – 1) g) 31 + 32 + 33 + + n = ( n – ) h) n +2n chia hết cho i) n3 +11n chia hết cho j) n3 +5n chia hết cho k) 2n + 63 hết 72 l) 2n + + n + chia hết cho m) 2n + n + + n chia hết cho 11 n) 2n – n chia hết cho 2 2 o) n + 15.n – chia hết cho §2 TẬP HỢP Tập hợp là khái niệm toán học, không định nghĩa - Tập hợp thường kí hiệu các chữ cái in hoa như: A, B, C, D, các phần tử tập hợp đặt cặp dấu { } - Để phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a A, ngược lại ta viết a A - Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng Khí hiệu Cách xác định tập hợp: có 2cách - Liệt kê các phần tử : phần tử liệt kê lần, các phần tử có dấu phẩy dấu chấm phẩy ngăn cách Nếu số lượng phần tử nhiều có thể dùng dấu ba chấm VD : A = 1; 3; 5; 7 B = ; 1; 2; ;100 C={1;3;5; ;15;17} - Chỉ rõ tính chất đặc trưng các phần tử tập hợp, tính chất này viết sau dấu gạch đứng VD : A = x N | x lẻ và x <9 ; B= {x | 2x2-5x+3=0} Tập : Nếu tập A là B, kí hiệu: A B B A - WWW.ToanCapBa.Net (8) WWW.ToanCapBa.Net Khi đó A B x( xA xB) Ví dụ: A={1;3;5;7;9}, B={1;2;3; ;10} Cho A ≠ có ít tập là và A Tính chất: A A , A với A Nếu A B và B C thì A C Tập hợp nhau: A=B A B và B A hay A=B x (x A x B) Ví dụ : C={x R | 2x -5x+2=0}, D={ ,2 } C=D - Biểu đồ Ven Ta có * BÀI TẬP §2 2.1 Viết các tập sau cách liệt kê các phần tử A= { x | 2x25x+2=0} B= {n | n là bội 12 không vượt quá 100} C = {x R | (2x-x2)(2x2-3x-2) = 0} D = {x Z | 2x3-3x2-5x = 0} E = {x Z | |x| < } F = {x | x=3k với k Z và -4 < x < 12 } G= {Các số chính phương không vượt quá 100} H= {n | n(n+1)≤ 20} I={ x | x là ước nguyên dương 12} J={ x | x là bội nguyên dương 15} K= {n | n là ước chung và 14} L= { n | n là bội và 8} 2.2 Viết các tập sau theo cách tính chất đặc trưng A={2;3;5;7} B= {1;2} C={2;4;6;8; ;88;90} D={4;9;16;25} 2.3 Trong các tập sau tập nào là tập rỗng? A = {x | x2-x+1=0 } B = {x | x2-4x+2= 0} C = {x | 6x2-7x+1= 0} D = {x | | x| < 1} 2.4 Trong các tập sau, tập nào là tập nào? A = {1,2,3} B = { x N | x<4 } C = (0;+ ) D = { x R | 2x2-7x+3= 0} 2.5 Tìm tất các tập các tập sau: a) A = {1;2} b) B= {1;2;3;4} c) C= d) D= {} 2.6 Tìm tất các tập X cho: {1,2} X {1,2,3,4,5} 2.7 Tập A = {1,2,3,4,5,6} có bao nhiêu tập gồm hai phần tử ? Để giải bài toán , hãy liệt kê tất các tập A gồm hai phần tử đếm số tập này Hãy thử tìm cách giải khác 2.8 Liệt kê tất các phần tử tập sau: R={3k-1| k , -5≤ k ≤5} 19 S={x | 3<|x|≤ } T= { x | 2x25x+2=0} - WWW.ToanCapBa.Net (9) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP THÊM Liệt kê các phần tử tập hợp sau : a/ A = {x N / x < 6} b/ B = {x N / < x 5} c/ C = {x Z , /x / 3} d/ D = {x Z / x2 = 0} e/ E = {x R / (x 1)(x2 + 6x + 5) = 0} f/ F = {x R / x2 x + = 0} g/ G = {x N / (2x 1)(x2 5x + 6) = 0} h/ H = {x / x = 2k với k Z và 3 < x < 13} i/ I = {x Z / x2 > và /x/ < 10} j/ J = {x / x = 3k với k Z và 1 < k < 5} k/ K = {x R / x2 = và x2 4x + = 0} l/ L = {x Q / 2x = hay x2 = 0} Xác định tập hợp cách nêu tính chất : a/ A = {1, 3, 5, 7, 9} b/ B = {0, 2, 4} c/ C = {0, 3, 9, 27, 81} d/ D = {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} e/ E ={2, 4, 9, 16, 25, 36} f/ F = { , , , } Tìm tất các tập tập hợp sau : a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c} c/ C = {a, b, c, d} d) A = {1, 2, 3, 4} Cho A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 3} ; C = {2, 3} ; D = {2, 3, 5} a/ Liệt kê tất các tập có quan hệ b/ Tìm tất các tập X cho C X B c/ Tìm tất các tập Y cho C Y A Cho A = {x / x là ước nguyên dương 12} ; B = {x N / x < 5} ; C = {1, 2, 3} ; D = {x N / (x + 1)(x 2)(x 4) = 0} a/ Liệt kê tất các tập có quan hệ b/ Tìm tất các tập X cho D X A c/ Tìm tất các tập Y cho C Y B §3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 1.Pheùp giao AB = x|xA vaø xB x A ¿ x∈ A B x ∈B ¿{ ¿ Tính chất A A=A A= A B=B A Phép hợp AB = x| xA xB x A x∈ A ¿ x ∈B B ¿ ¿ ¿ ¿ Hiệu tập hợp A\ B = x| xA vaø xB x A\B Tính chất A\ =A A\A= A\B≠B\A Tính chất A A=A A =A A B= B A Phép lấy phần bù: Neáu A E thì CEA = E\A = x ,xE vaø xA Ví dụ 1: Cho A= {1;2;3;4}, B= {1;3;5;7;9} , C= {4;5;6;7} Tính A B, (A B) C, A C, (A B) C, A\ B, A\ C BÀI TẬP §3 3.1 Cho các tập A = {0 ; 1; 2; 3}, B = {0 ; 2; 4; 6}, C = {0 ; 3; 4; 5} Tính A B, B C, C\A, (A B)\ (B C) - WWW.ToanCapBa.Net x A xB (10) WWW.ToanCapBa.Net 3.2 Cho A = {xN | x < 7} và B = {1 ; ;3 ; 6; 7; 8} a) Xác định A B ; AB ; A\B ; B\ A b) CMR : (A B)\ (AB) = (A\B) (B\ A) 19 3.3 Cho R={3k-1| k , -5≤ k ≤5}, S={x | 3<|x|≤ }, T= { x | 2x24x+2=0} Tính R S, S T, R\S 3.4 Cho A={0;2;4;6;8}, B={0;1;2;3;4}, C={0;3;6;9} Tính a) (A B) C và A (B C) Có n hận xét gì hai kết quả? b) (A B) C d) (A B) C e) (A \ B) C 3.5 Cho A={0;2;4;6;8;10}, B={0;1;2;3;4;5;6}, C={4;5;6;7;8;9;10} Tính a) B C, A B, B C, A\B, C\B b) A (B C) c) (A B) C d) A (B C) e) (A B) C f) (A\B) (C\B) 3.6 Cho E = { x | x < 7} A= { x | (x2-9)(x2 – 5x – 6) = } B = { x | x là số nguyên tố 5} a) Chứng minh B E b) Tìm CEB ; CE(AB) c) Chứng minh : E \ (A B)= (E \A) ( E \B) E \ ( AB) = ( E \A) ( E \ B) - WWW.ToanCapBa.Net (11) WWW.ToanCapBa.Net §4 CÁC TẬP HỢP SỐ Các tập số đã học , *, , , Các tập thường dùng Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Tập số thực (-;+) Đoạn [a ; b] xR, a x b Khoảng (a ; b ) xR, a < x < b Khoảng (- ; a) xR, x < a Khoảng(a ; + ) Nửa khoảng [a ; b) xR, a< x xR, a x < b Nửa khoảng (a ; b] xR, a < x b Nửa khoảng (- ; a] xR, x a Hình biểu diễn //////////// [ //////////// ( ) ///////// )///////////////////// ///////////////////( //////////// ///////////////////[ [ ) ///////// ]///////////////////// Nửa khoảng [a ; ) xR, a x [a ; b]= xR, a x b, R+=[0;+), R=(;0] ///////////////////[ Chú ý 1: Có hai cách biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn trên trục số: Hoặc gạch bỏ phần không thuộc khoảng hay đoạn đó, tô đậm phần trục số thuộc khoảng hay đoạn đó Ví dụ: Biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn sau trên trục số theo hai cách (2;5), [3;1], ([1;4] Chú ý 2: -Tìm giao các khoảng ta biểu diễn các khoảng đó trên cùng trục số Phần còn lại sau đã gạch bỏ chính là giao hai tập hợp -Tìm hợp các khoảng ta viết các khoảng đó trên cùng trục số,sau đó tiến hành tô đậm khoảng Hợp các khoảng là tất các tô đậm trên trục số -Tìm hiệu hai khoảng (a;b)\(c,d) ta tô đậm khoảng (a;b) và gạch bỏ khoảng (c;d), phần tô đậm còn lại là kết cần tìm Ví dụ: Tính a) (1;2] [1;3) = [1;2] 1 b) [3; ) (1;+ ) =[1; ) 1 c) ( ;2) (1;4) =( ;4) 1 d) ( ;2]\(1;4) =( ;1] BÀI TẬP §4-C1 4.1 Viết lại các tập sau kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng Biểu diễn chúng trên trục số A={ x | x ≥ 3} B={ x | x <8} C={ x | 1< x < 10} D={ x | 6 < x ≤ 8} ≤x≤ } x 1<0} E={ x | F={ x | 4.2 Viết các khoảng, đoạn sau dạng kí tập hợp E=(1;+) F=(;6] H=[ ;1] G=(2;3] 4.3 Xác định A B, A B, A\B, B\A và biểu diễn kết tên trục số - WWW.ToanCapBa.Net (12) WWW.ToanCapBa.Net a) A = { x | x 1 } B ={ x | x 3 } b) A = { x | x 1 } B ={ x | x 3 } c) A = [1;3] B = (2;+ ) d) A = (-1;5) B = [ 0;6) x x x 4.4 Cho A={ | 2≥0 }, B={ | x 5>0} Tính A B, A B, A\B, B\A 4.5 Xác định các tập sau và biểu diễn chúng trên trục số a) (5;3) (0;7) b) (1;5) (3;7) c) \(0;+) d) (;;3) (2;+) 4.6 Xác định A\B , A B, A B và biểu diễn chúng trên trục số a) A=(3;3) B=(0;5) b) A=(5;5) B=(3;3) c) A= B=[0;1] d) A=(2;3) B=(3;3) 4.7 Xác định tập hợp C D, biết a) C=[1;5] D=(3;2) (3;7) b) C=(5;0) (3;5) D=(1;2) (4;6) 4.8 Xác định các tập sau a) (3;5] b) (1;2) c) [3;5] 4.9 Xác định các tập sau a) \((0;1) (2;3)) b) \((3;5) (4;6)) c) (2;7)\[1;3] d) ((1;2) (3;5))\(1;4) 4.10 Xác định các tập sau 1 a) (; ) ( ;+) c) (0;12)\[5;+) 11 27 b) ( ;7) (2; ) d) \[1;1) BÀI TẬP THÊM Cho tập hợp : A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6} ; C = {4, 6} a/ Tìm A B , A C , B C b/ Tìm A B , A C , B C c/ Tìm A \ B , A \ C , C \ B d/ Tìm A (B C) và (A B) (A C) Có nhận xét gì hai tập hợp này ? Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {2, 4, 6} ; C = {1, 3, 4, 5} Tìm (A B) C và (A C) (B C) Nhận xét ? Cho tập hợp A = {a, b, c, d} ; B = {b, c, d} ; C = {a, b} a/ CMR : A (B \ C} = (A B) \ (A C) b/ CMR : A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) Tìm A B ; A B ; A \ B ; B \ A , biết : a/ A = (2, + ) ; B = [1, 3] b/ A = (, 4] ; B = (1, +) c/ A = (1, 2] ; B = (2, 3] d/ A = (1, 2] ; B = [2, +) e/ A = [0, 4] ; B = (, 2] e) A = (2 , 10) ; B = ( 4, ) Cho A = {a, b} ; B = {a, b, c, d} Xác định các tập X cho A X = B A= {x N / 0< x < 10} ; A, B X ; A B = {9, 4, 6} A {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} ; B { 4, 8} = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Xác định A, B - WWW.ToanCapBa.Net (13) WWW.ToanCapBa.Net §5 SỐ GẦN ĐÚNG SAI SỐ Số gần đúng Trong nhiều trường hợp ta không thể biết giá trị đúng đại lượng mà ta biết số gần đúng nó Ví dụ: giá trị gần đúng π là 3,14 hay 3,14159; còn √ là 1,41 hay 1,414;… Như có sai lệch giá trị chính xác đại lượng và giá trị gần đúng nó Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa khái niệm sai số tuyệt đối Sai số tuyệt đối: a) Sai số tuyệt đối số gần đúng Nếu a là số gần đúng a thì a=| a a| gọi là sai số tuyệt đối số gần đúng a b) Độ chính xác số gần đúng Trong thực tế, nhiều ta không biết a nên ta không tính a Tuy nhiên ta có thể đánh giá a không vượt quá số dương d nào đó Nếu a ≤ d thì ad≤ a ≤ a+d, đó ta viết a =a ± d d gọi là độ chính xác số gần đúng Ví dụ: Giả sử a = √ và giá trị gần đúng nó là a = 1,41.Ta có : (1,41)2 = 1,9881 < ⇒ 1,41 < √ 2⇒ √ - 1,41 > (1,42)2 = 2,0164 > ⇒ 1,42 > √ 2⇒ √ -1,41 < |1,42-1,41|=0,01 Do đó : Δ a=|a− a|=|√ −1 , 41|<0 , 01 *Sai số tương đối δ a ¿ a∨¿ Δ , δ a= a ¿ đó δa Vậy sai số tuyệt đối 1,41 là không vượt quá 0,01 ¿ a∨¿ d ¿ Người ta thường viết sai số tương đối dạng phần trăm (nhân với 100%) Nếu ¿ a∨¿ càng nhỏ thì chất lượng phép đo đạc hay tính toán càng cao d ¿ * Sai số tuyệt đối không nói lên chất lượng xắp xỉ mà chất lượng đó phản ánh qua sai số tương đối Sai số tương đối càng nhỏ thì độ chính xác càng lớn Quy tròn số gần đúng * Nguyên tắc quy tròn các số sau: - Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ thì ta việc thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó - Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hay thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó và cộng thêm đơn vị vào số hàng vi tròn Ví dụ 1: Quy tròn số 7216,4 đến hàng chục là 7220(vì chữ số hàng quy tròn là chữ số sau nó là 6) Ví dụ 2: Quy tròn số 2,654 đến hàng phần trăm là 2,65(vì chữ số hàng qui tròn là chữ số sau nó là 4) Ví dụ 3: Quy tròn số 2,649 đến hàng phần chục là 2,6(vì chữ số hàng qui tròn là chữ số sau nó là 4) Chú ý: Khi thay số đúng số quy tròn thì sai số tuyệt đối nhỏ nửa đơn vị hàng quy tròn Ở vd1 ta có a=|7216,4-7220|=3,6<5 (hàng quy tròn là hàng chục) Ở vd2 ta có a=|2,654-2,65|=0,004 <0,005 (hàng quy tròn là hàng phần trăm 0,01) * Các viết số quy tròn số gần đúng vào độ chính xác cho trước: Cho số gần đúng a với độ chính xác d Khi yêu cầu quy tròn a mà không nói rõ quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng đó d Hàng quy tròn Hàng trăm Hàng nghìn Hàng chục Hàng trăm Hàng phần trăm Hàng phần chục …………………… ……………………… Ví dụ 1: Cho a =1,236±0,002 số quy tròn 1,236 là 1,24 (vì 0,002<0,01) Ví dụ 2: Cho a =37975421±150 số quy tròn 37975421 là 37975000 - WWW.ToanCapBa.Net (14) WWW.ToanCapBa.Net Ví dụ 3: Cho số gần đúng a=173,4592 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,01 (d=0,01) Khi đó số quy tròn a là 173,5 * Chú ý: - Kí hiệu viết gần đúng là - Khi thực quy tròn thì sai số tuyệt đối tăng lên - Hàng phần chục, phần trăm,… là số sau đấu phẩy - Hàng vị, hàng chục, hàng trăm,… là số trước dấu phẩy Chữ số chắn (đáng tin) (Ban CB đến số 3) Trong số gần đúng a, chữ số gọi là chữ số chắn d không vượt quá ( ≤ )nửa đơn vị hàng có chữ số đó (nếu d > nửa đơn vị hàng có chữ số đó thì chữ số đó không chắc) Tất chữ số đứng bên trái chữ số chắn là chắn Những chữ số đứng bên phải chữ số không là không Ví dụ 1: Cho a =1379425±300, xác định các chữ số chắn Ta có 100 1000 =50< d <500= 2 nên chữ số hàng trăm không chắc, chữ số hàng nghìn chắn=> 1,3,7,9 lá các chữ số chắn Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có diện tích S = 180,57 cm2 0,06 cm2 Tìm các chữ số S Ta có 0,1 =0 , 05<d=0 , 06< =0,5 2 nên chữ số hàng phần chục không chắc, chữ số hàng đơn vị chắn=> 1,8,0 là các chữ số chắn Dạng chuẩn số gần đúng - Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà chữ số nó là chữ chắn - Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn nó là A.10 k đó A là số nguyên , k là hàng thấp có chữ số (k N) (suy chữ số A là chữ số chắn) Khi đó độ chính xác d=0,5.10k Ví dụ: Giá trị gần đúng √ viết dạng chuẩn là 2,236 Nên độ chính xác d=0,5.10 -3=0,0005, đó 2,236-0,0005≤ √ ≤2,236+0,0005 Kí hiệu khoa học số Mọi số thập phân khác viết dạng .10n, 1≤||<10, n Z (ta có −m 10 = ) 10m Ví dụ : Khối lượng Trái Đất là 5,98.1024kg Khối nguyên tử Hiđrô là 1,66.10-24g BÀI TẬP §5 5.1 Cho √ =1,7320508…Viết số gần đúng √ theo quy tắc là tròn đến hai, ba, bốn chữ số thập phân có ước lượng sai số tuyệt đối trường hợp HD: Ta có 1,73< √ <1,74| √ -1,73|<|1,73-1,74|=0,01 sai số tuyệt đối trương hợp (làm tròn chữ số thập phân) không vượt quá 0,001 5.2 Theo thống kê dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người Giả sử sai số tuyệt đối nhỏ 10000 Hãy viết quy tròn số trên Kq: 79720000 5.3 Đo độ cao núi là h=1372,5m±0,1m Hãy viết số quy tròn số 1372,5 Kq: 1373 5.4 Đo độ cao cây là h=347,13m±0,2m Hãy viết số quy tròn số 347,13 Kq: 347 5.5 Chiều dài cây cầu là d=1745,25m±0,01m Hãy viết số quy tròn 1745 Kq : 1745,3 5.6 Cho giá trị gần đúng là a=3,141592653589 với độ chính xác là 10-10 Hãy viết số quy tròn a Kq : 3,141592654 5.7 Một hình lập phương có thể tích V=180,57cm3±0,05 cm3 Xác định các chữ số chắn V Kq : 0,01/2<0,05≤0,1/2 1,8,0,5 là chữ số chắn - WWW.ToanCapBa.Net (15) WWW.ToanCapBa.Net 5.8 Trong thí nghiệm, số C xác định là 2,43265 với cận trên sai số tuyệt đối d=0,00312 Tìm các chữ số chắn C 5.9 Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x=43m±0,5m, chiều dài y=63m±0,5m chứng minh chu vi P miếng đất là P=212m±2m - WWW.ToanCapBa.Net (16) WWW.ToanCapBa.Net Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §1 HÀM SỐ I Ôn tập hàm số Hàm số: Cho D Hàm số f xác định trên D là quy tắc ứng với x D là và số y , kí hiệu là y= f(x) Khi đó: + x gọi là biến số (hay đối số) hàm số và y gọi là hàm số x; + D gọi là tập xác định (hay miền xác định); + f( x ) là giá trị hàm số x Cách cho hàm số + Hàm số cho bảng + Hàm số cho biểu đồ + Hàm số cho công thức: y=f( x ) Chú ý: Khi hàm số cho công thức mà không rõ tập xác định thì : “ Tập xác định hàm số y=f( x ) là tập hợp tất các số thực x cho biểu thức f( x ) có nghĩa” Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số a) y=f( x )= x 2 x y x Ví dụ 2: Cho b) y= x x 0 x c) y= x 1 x a) Tìm tập xác định hàm số b) Tính f(1), f(1), f(0) Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y=f( x ) xác định trên D là tập hợp các điểm M(x;f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với x D II Sự biến thiên hàm số Cho f(x) xác định trên khoảng K Khi đó: f đồng biến ( tăng) trên K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) < f(x2) f nghịch biến ( giảm) trên K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) > f(x2) Bảng biến thiên: là bảng tổng kết chiều biến thiên hàm số (xem SGK) III Tính chẵn lẻ hàm số + f gọi là chẵn trên D xD x D và f(x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng + f gọi là lẻ trên D xD x D và f(x) = f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng (Ban CB đến III) * Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Oxy Cho (G) là đồ thị y = f(x) và p;q > 0; ta có Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì đồ thị y = f(x) + q Tịnh tiến (G) xuống q đơn vị thì đồ thị y = f(x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì đồ thị y = f(x+ p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì đồ thị y = f(x – p) Đối xứng qua trục hoành thì x không đổi y’= -y Đối xứng qua trục tung thì y không đổi x’= - x * Tịnh tiến điểm A(x;y) song song với trục tọa độ Oxy : + Lên trên q đơn vị A1(x ; y+q) + Xuống q đơn vị A1(x ; yq) + Sang trái p đơn vị A1(xp ; y) + Sang phải p đơn vị A1(x+p ; y) - WWW.ToanCapBa.Net (17) WWW.ToanCapBa.Net CÁC DẠNG BÀI TẬP I Tìm tập xác định hàm số *Phương pháp + Để tìm tập xác định D hàm số y = f(x) ta tìm điều kiện để f(x) có nghĩa,tức là: | f(x) } D = {x + Cho u(x), v(x) là các đa thức theo x , ta xét số trường hợp sau : a) Miền xác định hàm số dạng đẳng thức : y=u(x) ; y = u(x)+v(x) ; y=| u(x) | ; y = ¿ u(x )∨¿ … là D = √¿ (không chứa bậc chẵn, không có phân số, có bậc lẻ,…) u (x) là D = { x v (x) c) Miền xác định hàm số y = √ u(x) là D = { x u (x) d) Miền xác định hàm số y = là D = { x √ v ( x) e) Miền xác định hàm số y = √ u(x)+ √ v( x) là | v(x) b) Miền xác định hàm số y = D= {x | u(x) } {x 0} | u(x) } | u(x) > } | v(x) } tức là nghiệm hệ VÍ DỤ : Tìm tập xác định các hàm số sau II Xét biến thiên hàm số * Phương pháp + Tìm tập xác định D hàm số y = f(x) + Viết D dạng hợp nhiều khoảng xác định ( có ) + Xét biến thiên hàm số trên khoảng xác định K= (a;b) sau: Giả sử x1,x2 K, x1 < x2 Tính f(x2) - f(x1) Lập tỉ số T = ¿ u(x )≥ v (x )≥ ¿{ ¿ f ( x 2) − f ( x 1) x2 − x1 Nếu T > thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) Nếu T < thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b) VÍ DỤ: III Xét tính chẵn lẻ hàm số * Phương pháp + Tìm tập xác định D hàm số y =f(x) + Chứng minh D là tập đối xứng, tức là : ∀ x ¿ D ⇒−x ∈ D ¿ + Tính f(-x), đó Nếu f(-x) = f(x) với ∀ x D thì y =f(x) là hàm số chẵn Nếu f(-x) = -f(x) với ∀ x D thì y = f(x) là hàm số lẻ Nếu có x0 D f(-x0) f(x0) & f(-x0) -f(x0) thì hàm số y = f(x) không chẵn và không lẻ VÍ DỤ: IV Tịnh tiến đồ thị song song trục tọa độ Cho (G) là đồ thị y = f(x) và p;q > 0; ta có Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì đồ thị y = f(x) + q Tịnh tiến (G) xuống q đơn vị thì đồ thị y = f(x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì đồ thị y = f(x+ p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì đồ thị y = f(x – p) - WWW.ToanCapBa.Net (18) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP §1-C2 1.1 Tìm tập xác định các hàm số sau y a) y= 3x3 x +2 b) c) y= x d) y= x 2x 1 x 1 x 1 x f) y= y x 4x h) e) y= x x g) y= 3x 2x x2 1 1- x neáu x 0 x neáu x > 1.2 Cho hàm số y= Tính các giá trị hàm số đó x =3; x =0; x =1 2x x 0 x x x x 1.3 Cho hàm số y= Tính giá trị hàm số đó x =5; x =2; x = với x < với x 2 3x x 7 x 1.4 Cho hàm số y=g( ) Tính các giá trị g(3); g(0); g(1); g(2); g(9) 1.5 Xét biến thiên hàm số sau trên khoảng a) y=f( x )= 2x27 trên khoảng (4;0) và trên khoảng (3;10) x b) y=f( x )= x trên khoảng (;7) và trên khoảng (7;+) 1.6 Xét tính chẵn lẻ các hàm số sau a) y=f( x )= x c) y=f( x )=x3 1.7 Tìm tập xác định các hàm số sau x2 b) y=f( x )= x d) y=3 3x a) y= x x 2x 3x x b) y= 7x c) y= x 5+7 x 3 d) y= x x 2 x 9 e) y= x x 1 f) y= x x 20 2x g) y= (2 x 1)( x 3) 3x h) y= x x 1.8 Tìm tập xác định các hàm số sau a) y = c) y = x −3 x − x+ x +3 x −3 x+ 2 b) y = d) y = - x +2 x x ( x+ 2) √ x+1 WWW.ToanCapBa.Net (19) WWW.ToanCapBa.Net 2x 1 e) y = x x 2x 1 f) y = x x - WWW.ToanCapBa.Net (20) WWW.ToanCapBa.Net 1.9 Xét biến thiên hàm số khoảng đã chi a) y= 2 x +3 trên b) y= x2+10 x +9 trên (5;+) x trên (3;2) và (2;3) c) y= 1.10 Xét biến thiên hàm số khoảng đã chi a) y = x2+4x-2 ; (- ;2) , (-2;+ ) b) y = -2x2+4x+1 ; (- ;1) , (1;+ ) c) y = x ; (-1;+ ) d) y = x ; (2;+ ) 1.11 Xét tính chẵn lẻ các hàm số sau a) y= 4 c) y= x 4+3 x 2 1.12 Xét tính chẵn lẻ các số sau a) y = x4-x2+2 c) y = | x+2| - |x-2| e) y = (x-1)2 b) y= 3x21 x4 x2 x d) y= b) y= -2x3+3x d) y = |2x+1| + |2x-1| f) y = x2+2 a 1.13 Cho hàm số y= f(x) = x , với giá trị nào a thì hàm số đồng biến (tăng), nghịch biến trên các khoảng xác định nó ¿ −2( x −2)neáu -1 ≤ x <1 1.14 Cho hàm số √ x − neáu x ≥ ¿ f (x )={ ¿ a) Tìm tập xác định hàm số f b) Tính f(-1), f(0,5), f( √2 ), f(1), f(2) BÀI TẬP THÊM Bài tập 1: Tìm tập xác định các hàm số sau : a) x+5 y= x+1 D= \{ } x−2 x −3 x +2 x2− e) y= ( x +2) √ x +1 x −√− x g) y= 1− x c) y= i) y= b) D= \{1;2} x +5 x − x +1 d) y= D= √ x −1 D=[1;+)\{2} x −2 x+1 x −9 x − √2 − x D=(;0]\{1} h) y= D=(2;2] √ x +2 D=(1;+) √ x −1+ √ − x ( x − 2)( x −3) y= D=[1;4]\{2;3} j) y= f) y= √ x +1− √ 3− x - WWW.ToanCapBa.Net D= \{3;3} D=[ ;3] (21) WWW.ToanCapBa.Net f ( x) y f ( x) f2 ( x ) coù TXÑ: D1 coù TXÑ: D Khi đó D=D1 D ¿ −2( x −2)neáu -1 ≤ x <1 x − neáu x ≥ √ Bài tập : Cho hàm số ¿ f (x )={ ¿ a) Tìm tập xác định hàm số f b) Tính f(-1), f(0,5), f( √2 D=[1;) ), f(1), f(2) - WWW.ToanCapBa.Net (22) WWW.ToanCapBa.Net Bài tập 3: Trong các điểm sau M(-1;6), N(1;1), P(0;1), điểm nào thuộc đồ thị hàm số y=3x2-2x+1 Bài tập 4: Trong các điểm A(-2;8), B(4;12), C(2;8), D(5;25+ √ x −3 √2 ), điểm nào thuộc đồ thị hàm số f(x)= x 2+ Bài tập 5: Khảo sát biến thiên hàm số sau và lập bảng biến thiên nó: a) y= x2+2x-2 trên khoảng (-;-1) và (-1;+) T= x2+x1+2 x 1 + + + y=x +2x-2 3 b) y= -2x2+4x+1 trên khoảng (-;1) và (1;+) T=2(x1+x22) x + y=-2x +4x+1 c) y= x −3 trên khoảng (-;3) và (3;+) x y= x −3 d) y= x −2 2 ( x 3)( x2 3) T= 1 + + trên khoảng (-;2) và (2;+) 1 ( x 2)( x2 2) T= e) y= x2-6x+5 trên khoảng (-;3) và (3;+) T= x2+x16 f) y= x2005+1 trên khoảng (-;+) 2005 2005 2005 2005 x1<x2 => x < x2 => f(x1)= x +1< x +1=f(x2) đồng biến Bài tập : Dựa vào đồ thị hàm số, hãy lập bảng biến thiên (A) x y=-2x2+4x+1 + 2 + 1 (B) x y= x + + (C) x y=f(x) + Bài tập 7: Xét tính chẵn, lẻ các hàm số sau : a) y=x43x2+1 chẵn b) y= -2x3+x lẻ c) y= |x+2| - |x-2| lẻ d) y=|2x+1|+|2x-1| chẵn e) y= |x| chẵn f) y=(x+2)2 g) y=x +x lẻ h) y=x +x+1 i) y=x|x| lẻ j) y= √ 1+ x + √ − x D=[1;1] chẵn - WWW.ToanCapBa.Net (23) WWW.ToanCapBa.Net k) y= √ 1+ x − √ 1− x D=[1;1] lẻ Bài : Cho đường thẳng y=0,5x Hỏi ta đồ thị hàm số nào tịnh tiến (d): a) Lên trên đơn vị b) Xuống đơn vị c) Sang phải đơn vị d) Sang trái đơn vị Bài 9: Gọi (d) là đường thẳng y= 2x=f(x) và (d’) là đường thẳng y= 2x-3 Ta có thể coi (d’) có là tịnh tiến (d): a) Lên trên hay xuống bao nhiêu đơn vị? (d’): y=2x3= f(x)3 b) Sang trái hay sang phải bao nhiêu đơn vị? (d’): y=2x3= 2(x ) Bài 10: Cho đồ thị (H) hàm số y= − x a) Tịnh tiến (H) lên trên đơn vị, ta đồ thị hàm số nào? b) Tịnh tiến (H) sang trái đơn vị, ta đồ thị hàm số nào? c) Tịnh tiến (H) lên trên đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận sang trái đơn vị, ta đồ thị hàm số nào? Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm A(-1;3), B(2;-5), C(a;b) Hãy tính tọa độ các điểm có tịnh tiến các điểm đã cho: a) Lên trên đơn vị b) Xuống đơn vị c) Sang phải đơn vị d) Sang trái đơn vị BÀI TẬP THÊM Tìm tập xác định hàm số a) y = |x+2| - | 3x2-4x-3| D= ¿ x + x − 4∨¿ √¿ +1 c) y= ¿ x+ 6∨ d) y = x +1 ¿ x −3∨ ¿ e) y = x + x+ ¿ f) y= x −3 x g) y = √ 1− x + x √ 1+ x x∨x − 4∨¿ √ h) 2x−1 y= ¿ i) y = √ 3− x+ x −1 b) y = √ D= D= D= D= D= \{0;3} D=(1;1]\{0} D=(0;+)\{4} D=(;3]\{1;1} j) y = k) y = 2 x2 x D= vì x x ( x √ − x+ x √2 x +1 D=[ ;6] - WWW.ToanCapBa.Net 2) >0 x (24) WWW.ToanCapBa.Net x+1 l) y = D= \{1;0;1} x (¿ x∨− 1) x +1 m) y = D=[1;2) + x √ 1+ x √2 − x +( x+ 2) √ x +3 n) y = D=[3;+) vì x x ≠0 x x +3 x+ +¿ x +1∨√ x − x +6 o) y = D= √ x +3 x +5 11 x 3x ( x ) >0 x 23 x x ( x ) >0 x vì ¿ x − 2∨+¿ x 2+2 x∨¿ p) y = ¿ x∨ ¿¿ ¿ D= vì không có giá trị nào x để |x2|+|x2+2x|=0 Thật vậy: x2=0 x=2 thì x2+2x≠ q) y = √ 3 x +5 x −1 D= \{1;1} r) y = x2 x x s) y = x2 x 1 x t) y= D=[3;+) √ x − 4+1 D=[4;+) ¿ x −3 x +2∨+¿ x − 1∨¿ ¿ D= \{1} vì x=1 thì mẫu (tương tự câu p) ¿ x −2∨x∨+1 ¿ x∨− −¿ x2 − x −∨x∨ u) y = D= \{1;1} x x , x 0 x | x | 1 x x , x 1−∨x ∨¿ √¿ √ ¿ x −1∨¿ w) y = ¿ v) y = D=[1;1] D= \{1;1} ¿ 1-x neáu -2≤ x ≤ x) y = f(x)= x neáu ≤ x ≤ ¿{ ¿ D=[2;2] Xét biến thiên các hàm số trên các khoảng đã a) y = 2x x−3 6 (2 x2 3)(2 x1 3) T= ( ;+ ∞) trên - WWW.ToanCapBa.Net (25) WWW.ToanCapBa.Net ; b) y = 3x2-4x+1 trên (- ) c) y = − x+1 x−1 d) y = x+ x −2 trên (1;+ T=3x2 + 3x14 ∞ trên (2; + ∞ ) ( x 1)( x1 1) T= ) 5 ( x 2)( x1 2) T= e) y = | x+2| - | x-2 | trên (-2;2) x (2;2) đó 2< x <2 x+2>0; x2<0 y= x+2 [(x2)]=2x T=2 hàm số đống biến Với giá trị nào a thì các hàm số sau đồng biến,nghịch biến trên các khoảng xác định nó a ( x 2)( x2 2) T= a x −2 a) y = f(x) = b) y = f(x) = (a 1) x1x2 T= a+1 x Xét tính chẵn , lẻ các hàm số sau a) y = b) c) d) e) ¿ x∨¿ 2 x −1 ¿ D= \{0}; chẵn y = x(|x|-2) y = x2-2|x| y = | x+3 | - | x-3 | y = 2x+ | x+3 | + | x-1 | D= ; lẻ D= ; chẵn D= ; lẻ D= ; không chẵn, không lẻ f) y = x7g) y = x −x √¿ x∨+ x √ x2 − x+ D= \{0} vì |x|+x2 ≥ x, dấu “=” x=0 + | x+2 | D= ; chẵn vì ¿ x+1∨−∨x − 1∨¿ h) y = ¿ x+1∨+¿ x −1∨ ¿ ¿ ¿ i) y = √ 1+ x x∨x∨ ¿ j) y = x −1 ¿ x x ( x 2)2 | x | D= \{0}; lẻ D=[1;+) x D x D D= \{1} x D x D (khi x=1) k) Định m để hàm số y = f(x) = x2 + mx +m2 ,x R ,là hàm chẵn 2 f(-x) = x mx+m để f(x) chẵn m=m = m=0 Gọi (G) là đồ thị hàm số y=2|x|, ta đồ thị hàm số nào tịnh tiến (G): a) lên trên đơn vị; b) sang trái đơn vị; c) sang phải đơn vị xuống đơn vị BÀI TẬP THÊM 1/ Tìm tập xác định các hàm số sau : 4x a/ y = x 2x b/ y = x - WWW.ToanCapBa.Net (26) WWW.ToanCapBa.Net c/ y = x 2 e/ y = x x 6 2x g/ y = x x 1 d/ y = x x h/ y = x + x x 1 x 3 + i/ y = k/ y = j/ y = ( x 3) 2x 4 x l/ y x ( 2x 1)( x 2) x2 4x x 5x m) y = x f/ y = o) y = x 3x 2 p)y = (3x 4)(3 x ) q) y = ( x 2) x x r) y = | x 2| - 3x s) y = x + x Tìm m để tập xác định hàm số là (0 , + ) a) y = x m 2x m x m 2x 3m x m ĐS: a) m > b) y = Định m để hàm số xác định với x dương y x m a/ y x m x m b/ Xét biến thiên các hàm số trên khoảng đã : a/ y = x2 4x (-, 2) ; (2, +) b/ y = 2x + 4x + (-, 1) ; (1, +) c/ y = x d/ y = x 3x e/ y = x b) m > 4/3 x m xm (1, +) (3, +) (, 1) f/ y = x Xác định tính chẵn, lẻ hàm số : a/ y = 4x3 + 3x b/ y = x4 3x2 1 c/ y = x 2 e/ y = |1 x| + /1 + x| d/ y = 3x f/ y = |x + 2| |x 2| g/ y = |x + 1| |x 1| h/ y = i/ y = | x|5.x3 1 x + 1 x x x y 2+x x k/ - WWW.ToanCapBa.Net (27) WWW.ToanCapBa.Net l/ y = x ; x ; 1x 1 0 x ; x 1 m) y = x ; x ; 1x 1 0 ; x 1 x §2 HÀM SỐ y= ax + b Hàm số bậc Hàm số dạng y = ax + b , a;b và a≠ Hệ số góc là a Tập xác định: D = Chiều biến thiên: a > hàm số đồng biến trên a < hàm số nghịch biến trên Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số: là đường thẳng Đồ thị không song song và trùng với các trục tọa độ, cắt trục tung điểm (0;b) và cắt trục hoành (-b/a;0) * Cho hai đường thẳng (d):y= ax+b và (d’)= a’x+b’, ta có: (d) song song (d’) a=a’ và b≠b’ (d) trùng (d’) a=a’ và b=b’ (d) cắt (d’) a≠a’ (d)(d’) a.a’= 1 Hàm số y=b Đường thẳng y= b là đường thẳng song song trùng trục Ox và cắt Oy điểm có tọa độ (0;b) Đường thẳng x= a là đường thẳng song song trùng trục Oy và cắt Ox điểm có tọa độ (a;0) Hàm số bậc trên khoảng, hàm số y= |ax+b| Muốn vẽ đồ thị hàm số y=|ax+b| ta làm sau: y + Vẽ hai đường thẳng y = ax + b, y = - ax – b + Xóa hai phần đường thẳng nằm phía trục hoành ¿ x +1 neáu ≤ x<2 − x + neáu ≤ x ≤ Ví dụ 2: Xét hàm số y=f(x)= 2 x −6 neáu < x ≤ ¿{{ ¿ D B Ví dụ 1: Khảo sát vè vẻ đồ thị hàm số y= | x | (Xem SGK tr.42) C y A O x Đồ thị (hình) Ví dụ : Xét hàm số y=|2x-4| Hàm số đã cho có thể viết lại sau : O ¿ x − neáu x ≥2 y= −2 x+ neáu x<2 ¿{ ¿ Đồ thị (hình) - WWW.ToanCapBa.Net x (28) WWW.ToanCapBa.Net Ví dụ 4: Tìm hàm số bậc y=f(x) biết đồ thị nó qua điểm A(0 ; 4) , B (-1;2).Vẽ đồ thị và lập bảng y g ( x) f ( x) biến thiên hàm số Hàm số bậc có dạng y ax b , a 0 Giải b 4 a 2 2 a b b 4 Đồ thị hàm số qua điểm A , B g ( x) x , ta vẽ đồ thị hai hàm số Vẽ đồ thị hàm x neáu x y 2 x neáu x trên cùng hệ trục tọa độ, bỏ phần phía trên trục Ox g ( x) x Vẽ đồ thị hàm Bảng biến thiên BÀI TẬP §2-C2 2.1 Vẽ đồ thị các hàm số sau a) y= 2 x +1 b) y= e) y= f) y= x −3 2 x c) y= 5−x 2.2 Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y=|x|+2x x y 1 c) e) g) y= | x |2 b) y= |3x2| với x 1 2 x y x với x<1 d) với x>2 với x 2 2.3 Xác định a, b để đồ thị hàm số y= ax+b, biết: a) Đi qua M(1;3) và N(1;2); b) Đi qua M(2;3) và song song y=3x2 ; c) Đi qua A( ;2) và B(0;1); d) Đi qua C(1;2) và D(99;2); e) Đi qua P(4;2) và Q(1;1) 2.4 Viết phương trình đường thẳng ứng với các hình sau: y a) y b) - -2 x WWW.ToanCapBa.Net 2 x (29) WWW.ToanCapBa.Net 2.5 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: b) y= | − a) y= |2x3| x+1| c) y= |2x|2x 2.6 Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng sau: và x = a) y = 3x -2 b) y =-3x+2 và y = 4(x-3) 2.7 Tìm a để ba đường thẳng sau đồng qui: y = 2x; y = -x-3 ; y = ax+5 ; 2.8 xác định a và b cho đồ thị hàm số y = ax +b , biết a) qua hai diểm (-1;-20) và (3;8) 2x b) qua (4;-3) và song song với đường thẳng y= +1 2.9 vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = f(x) = 2x, neáu x 0 - x , neáu x b) y = f(x) = x 1, neáu x 0 - 2x, neáu x §3 HÀM SỐ BẬC HAI Hàm số bậc hai là hàm số cho công thức y= ax2 + bx + c với a ; b; c R và a ≠ + Tập xác định D= + Đỉnh I ( b 2a ; 4a ) với = b24ac b 2a + Trục đối xứng là đường x = Sự biến thiên a>0 Hàm số nghịch biến trên khoảng a<0 Hàm số nghịch biến trên khoảng b ( -; 2a ) và đồng biến trên khoảng ( +) Bảng biến thiên x b y 2a - + b b b a ; (-; 2a ) và đồng biến trên khoảng ( a ; +) Bảng biến thiên x b + + 2a - y 4a - Cách vẽ đồ thị b ; -Xác định đỉnh : I 2a 4a ; b 4ac (không có ' ) - WWW.ToanCapBa.Net + 4a - (30) WWW.ToanCapBa.Net b ax bxI c ( Sau tính xI = 2a yI = I Khi đó I(xI ; yI ) b x 2a -Vẽ trục đối xứng - Xác định các điểm đặc biệt (thường là giao điểm parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng) - Căn vào tính đối xứng , bề lõm và hình dáng parabol để nối các điểm đó lại (Đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c là parapol) y Ví dụ 1: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = -x2+4x-3 Tập xác định : R Đỉnh :I(2;1) Trục đối xứng :x = x - Bảng biến thiên : Điểm đặc biệt : y= -x 2+4x-3 x = y = -3 y = x = x = + A O y= -x 2+4x-3 - Ví dụ 2: dựa vào ví vẽ đồ thị hàm số y = |-x2+4x-3| Cách vẽ : vẽ y= -x2+4x-3 sau đó lấy đối xứng phần âm qua trục Ox -2 y 2 x bx c biết đồ thị nó Ví dụ 3: Xác định hàm số bậc hai 1) Có trục đối xứng là x=1 và cắt trục tung điểm có tung độ là 2) Có đỉnh là (-1;-2) 3) Có hoành độ đỉnh là và qua điểm (1;-2) Giải b b b a 1) Trục đối xứng y (0) c Cắt trục tung (0;4) x 1 2) Đỉnh b b x b 4 2a y b 4ac 16 8c c 0 4a b b 2 b a 3) Hoành độ đỉnh y (1) c c 4 Đồ thị qua điểm (1;-2) x Tìm tọa độ giao điểm - WWW.ToanCapBa.Net x (31) WWW.ToanCapBa.Net Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x); (C2) y = g(x).Tọa độ giao điểm (C1) và (C2) là ngiệm hệ phương y f ( x) y g ( x) trình Phương trình f(x) = g(x) (*) gọi là phương trình hoành độ giao điểm (C 1) và (C2) Ta có: + Nếu (*) vô nghiệm thì (C1) và (C2) không có giao điểm + Nếu (*) có n nghiệm thì (C1) và (C2) có n giao điểm + Nếu (*) có nghiệm kép thì (C1) và (C2) tiếp xúc BÀI TẬP §3-C2 3.1 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau a) y= x2 + x 2 b) y= 2x2 + x +3 c) y = x22x d) y = f) y = x2+2x-2 x2+2x+3 e) y = x2+2x2 3.2 Xác định parapol y=2x2+bx+c, biết nó: a) Có trục đối xứng x=1 vá cắt trục tung điểm (0;4); Đáp số: b= 4, c= b) Có đỉnh I(1;2); Đáp số: b= 4, c= c) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(4;0); Đáp số: b= 31/4, c=1 d) Có hoành độ đỉnh là và qua điểm M(1;2) Đáp số: b= 8, c= 3.3 Xác định parapol y=ax24x+c, biết nó: a) Đi qua hai điểm A(1;2) và B(2;3); Đáp số: a= 3, c= 1 b) Có đỉnh I(2;1); Đáp số: a= 1, c= 5 c) Có hoành độ đỉnh là 3 và qua điểm P(2;1); Đáp số: a= 2/3, c= 13/3 d) Có trục đối xứng là đường thẳng x=2 vá cắt trục hoành điểm M(3;0) ĐS a=1 3.4 Tìm parapol y = ax2+bx+2 biết parapol đó: a) qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8) Đáp số: a=2, b=1 3 b) qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng x= 4 Đáp số: a= , b= c) có đỉnh I(2;-2) Đáp số: a=1, b=4 d) qua điểm B(-1;6), đỉnh có tung độ Đáp số: a=16, b=12 a=1, b=3 3.5 Xác định parapol y=a x2+bx+c, biết nó: a) Đi qua ba điểm A(0;1), B(1;1), C(1;1); b) Đi qua điểm D(3;0) và có đỉnh là I(1;4) c) Đi qua A(8;0) và có đỉnh I(6;12) d) Đạt cực tiểu x=2 và qua A(0;6) 3.6 Viết phương trình y=ax2+bx+c ứng với các hình sau: Đáp số: a=1, b=1, c= 1 Đáp số: a=1, b=2, c=3 Đáp số: a=3, b=36, c=96 Đáp số: a=1/2, b=2, c=6 -3 -5 O -1 -2 -3 -5 O -1 a) b) -2 -4 3.7 Tìm toạ độ giao điểm các hàm số cho sau đây Trong trường hợp vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng hệ trục toạ độ: a) y = x-1 và y = x2-2x-1 b) y = -x+3 và y = -x2-4x+1 c) y = 2x-5 và y = x2-4x+4 - WWW.ToanCapBa.Net (32) WWW.ToanCapBa.Net 3.8 Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết hàm số đạt cực tiểu x=2 và đồ thị hàm số qua điểm A(0;6) 3.9 Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết hàm số đạt cực đại x=2 và đồ thị hàm số qua điểm A(0;1) 2 x x2 3 3.10 Vẽ đồ thị hàm số y= 3.11 Vẽ đồ thị hàm số y=x22|x|+1 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 1.Tìm tập xác định hàm số : a/ y = 2 x x 4 3x x b/ y = x 2x c/ y = x x x x 2x x1 e/ y = Xét biến thiên hàm số a/ y = x2 + 4x trên (; 2) x 1 b/ y = x 1 1 x 1 x x 2 5 x 2x d/ y = xx f/ y = trên (1; +) c/ y = x d/ y = 2x e/ y = Xét tính chẵn, lẻ hàm số : x4 x2 x2 a/ y = c/ y = x x x 1 x e/ y = x x b/ y = d/ y = x(x2 + 2|x|) x x x 1 x f/ y = x 1 4.Cho hàm số y = x a/ Tìm tập xác định hàm số b/ CMR hàm số giảm trên tập xác định 5.Cho hàm số : y = x x a/ Khảo sát tính chẵn lẻ b/ Khảo sát tính đơn điệu c/ Vẽ đồ thị hàm số trên 6.Cho hàm số y = x x a/ Tìm tập xác định hàm số b/ Khảo sát tính chẵn lẻ 7.Cho Parabol (P) : y = ax2 + bx + c a/ Xác định a, b, c biết (P) qua A(0; 2) và có đỉnh S(1; 1) b/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (P) với a, b, c tìm c/ Gọi (d) là đường thẳng có phương trình : y = 2x + m Định m để (d) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm 8.Cho y = x(|x| 1) a/ Xác định tính chẵn lẻ b/ Vẽ đồ thị hàm số 9.Cho hàm số y = x x m Định m để hàm số xác định trên toàn trục số - WWW.ToanCapBa.Net (33) WWW.ToanCapBa.Net 10.Cho (P) : y = x2 3x và (d) : y = 2x + m Định m để (P) và (d) : Có điểm chung phân biệt, tiếp xúc và không cắt - WWW.ToanCapBa.Net (34) WWW.ToanCapBa.Net Chương III PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1 Đại cương phương trình I Khái niệm phương trình Định nghĩa:(một ẩn) Cho hai h àm số : y = f(x) và y = g(x) có tập xác định Df và Dg Đặt D = Df Dg , mệnh đề chứa biến x D có dạng : f(x) = g(x) gọi là phương trình ẩn , x gọi là ẩn số phương trình D : tập xác định phương trình Nếu tồn x0 D cho f(x0) = g(x0) thì x0 gọi là nghiệm phương trình Tập hợp các x0 trên gọi là tập nghiệm phương trình Giải phương trình là tìm tập nghiệm nó Nếu tập nghiệm là tập rỗng, ta nói phương trình vô nghiệm Ví dụ : Cho hai hàm số f(x) = √ x và g(x)= √ − x Khi đó : D f ={ x ≥ 0∨x ∈ R } Dg {x 0 | x R} và √x = √− x gọi là phương trình theo ẩn số x Điều kiện phương trình là: điều kiện xác định phương trình Ví dụ: Tìm điều kiện phương trình x2 x 2 x x 3 b) x a) c) x2= x Phương trình nhiều ẩn Phương trình có từ hai ẩn trở lên gọi là phương trình nhiều ẩn Ví dụ: 2x+3y-z = 2; x2+3xy-2z = Đối với phương nhiều ẩn các khái niệm tập nghiệm ,phương trình tương tương đương ,phương trình hệ quả,… tương đương với phương trình ẩn Phương trình chứa tham số Phương trình f(x) = g(x) có chứa chữ cái ngoài các ẩn gọi là phương trình chứa tham số Ví dụ : (m+1)x + = chứa tham số m ax+2 = | x-1| chứa tham số a Việc tìm tập nghiệm phương trình chứa tham số gọi là giải và biện luận phương trình đó II Phương trình tương đương , phép biến đổi tương đương Phương trình tương đương Hai phương trình (cùng ẩn) gọi là tương đương tập nghiệm chúng (có thể là rỗng) Nếu cùng tập xác định D thì gọi là tương đương trên D Nếu hai phương trình: f1(x) = g1(x) và f2(x) = g2(x) tương đương, ta viết : f1(x) = g1(x) ⇔ f2(x) = g2(x) Ví dụ 1: phương trình 2x-5=0 và 3x 15 =0 tương đương vì cùng có nghiệm x= 2 Ví dụ 2: với x>0 thì hai phương trình x2=1 và x=1 tương đương Phép biến đổi tương đương: phép biến đổi phương trình xác định trên D thành phương trình tương đương gọi là phép biến đổi tương đương trên D (ta dùng dấu "" để tương đương các phương trình) Ví dụ: 2x-5=0 3x 15 =0 - WWW.ToanCapBa.Net (35) WWW.ToanCapBa.Net * Các phép biến đổi tương đương phương trình: Định lí : Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D h(x) xác định trên D thì phương trình: f ( x)=g ( x)⇔ f ( x)+h( x)=g( x)+h(x ) f ( x)=g ( x)⇔ f ( x)h(x )=g(x )h( x) h( x )≠ với x ∈ D Hệ : Nếu chuyển biểu thức từ vế phương trình sang vế và đổi dấu nó thì ta phương trình tương đương với phương trình đã cho * Chú ý: Nếu vế phương trình luôn cùng dấu thì bình phương hai vế nó, ta phương trình tương đương Ví dụ 1: Phương trình hệ a) Định nghĩa: f1(x)=g1(x) gọi là phương trình hệ phương trình f(x)=g(x) tập nghiệm nó chứa tập nghiệm phương trình f(x)=g(x) Khi đó ta viết: f(x)=g(x) f1(x)=g1(x) b) Phép biến đổi cho phương trình hệ : Khi bình phương hai vế phương trình ta đến phương trình hệ * Chú ý: Phương trình hệ có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai Khi đó ta phải thử lại các nghiệm để loại bỏ các nghiệm ngoại lai x x 3x Ví dụ 1: Giải phương trình x x x (1) Điều kiện pt(1) là x≠2 và x≠2 (1) (x+2)2+(x2)2= 3x+7 Hoặc: Với điều kiện x≠2 và x≠2 thì (1)(x+2)2+(x2)2= 3x+7 (???) Ví dụ 2: a) |x2|=x+1 (x2)2=(x+1)2 b) x =x x1= x2 Ví dụ 3: Giải phương trình x x (3) Giải Điều kiện x≥ Bình phương hai vế phương trình (3) x24x+4 = x x25x+4=0 (3') Phương trình (3') có nghiệm x=1 x=4 Thử lại vào phương trình (3), ta thấy x=1 không phải là nghiệm (3) và x=4 là nghiệm Vậy pt(3) có ngiệm x=4 BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Tìm điều kiện các phương trình 2x 3 x a) x 2x 1 x c) x x 3 e) x d) x4 1 x x b) x2 3 x x 2 x 1 2x x 1 f) x Đáp số c) x≥1/2 và x≠0 a) x≤ 3, x≠ ± b) Không có giá trị x thỏa f) x≥1 và x≠2 2/ Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm 3x x a) x b) d) x Re) x>1 x x 3 x 3) Giải các phương trình sau a) x x 3 x b) - x x 2 x WWW.ToanCapBa.Net (36) WWW.ToanCapBa.Net 2x2 x 1 d) x x 1 x 3 x c) x ĐS: a) x=3 4) Giải các phương trình sau a) b) Vô nghiệm c) Vô nghiệm x 1 x x 1 2 c) x b) x d) x=2 3 x x 3 2 x 3 x d) x x 4 x x 3x x4 x4 f) x2 2x x x h) 3x x e) x 3x x 3x x g) Đáp số: a) x=2 b) x=3 c) VNo d) x=2 e) VNo f) x=0 và x=2 g) x=4/3 h) x=2 5) Cho phương trình (x+1)2 =0 (1) và ax2(2a+1)x+a=0 (2) Tìm a để (1) tương đương (2) HD Giả sử (1)(2) thì x= 1 (1) là nghiệm Thế x=1 và (2) ta tìm a=1/4 Khi a=1/4 vào (2) (x+1)2=0 Vậy (1) (2) 6) Tìm m để các cặp pt sau tương đương mx 3m 0 a) x+2=0 và x b) x29=0 và 2x2+(m5)x3(m+1)=0 c) 3x2=0 và (m+3)xm+4 d) x+2=0 và m(x2+3x+2)+ m2x+2=0 Đáp số: a) m=1 b) m=5 c) m=18 d) m=1 BÀI TẬP (Đại cương phương trình) 1/ Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nĩ a) x x c) 3 x x x x b)3x x 2 x 6 d )x x x 2/ Giải các phương trình sau a ) x x 2 x x c) x x b) x x 0,5 x x d) x x 3/ Giải các phương trình sau a) x 2x x x c) ( x x 2) x 0 b) x 2x x x d ) ( x x 2) x 0 - WWW.ToanCapBa.Net (37) WWW.ToanCapBa.Net 4/ Giải các phương trình sau cch bình phương hai vế a) x x c) | x | x b) x x d ) | x |2 x 5/ Tìm nghiệm nguyên phương trình sau cách xét điều kiện a) x - = x -x b) x = 2 x + 2 6/ Giải các phương trình sau : a/ x = 1 x b/ x + x =3+ c/ x +1= d/ x + x = x e/ 4 x x = x x x 2 x2 x1 f/ x = x b/ x (x2 x 6) = x = g/ 3 x 7/ Giải các phương trình sau : x a/ x + x = x x2 x x 1 = c/ 8/ Giải các phương trình : a/ |x 1| = x + d/ |x 3| = 3x x g/ x x = x x2 x 3 2x d/ + x = x e/ x = x b/ |x + 2| = x c/ |x 3| = x + 1 x 1 x x x e/ = x 2 x h/ x = x x f/ x = x x BÀI TẬP THÊM Bài 1: Giải các phương trình sau a) x = x b) x = x +1 x e) x x c) x+ x = 2+ x - x 1 f) x x d) x (x2-x-2) = d) x+ x = 1+ x Bài 2: giải các phương trình sau a) x 2x x x x 2x x x x b) c) e) x x2 x (x2-3x+2) = f) x 1 x x 3 x 1 Bài 3: Giải các phương trình sau a) x x 1 b) - x 1 x WWW.ToanCapBa.Net x x 1 (38) WWW.ToanCapBa.Net c) d) x x e) x 2x x 2 x f) x x Bài 4: Giải các phương trình sau x a) x x b) x x x x 2 x c) x x x x d) x 2 x 1 x x §2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI I Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai Phương trình bậc Giải và biện luận phương trình dạng ax+b = b a ≠ 0: Phương trình có nghiệm x= a a = và b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm a = và b=0: Phương trình nghiệm đúng với x (vô số nghiệm) * Chú ý: + Trước giải và biện luận phương trình bậc ta phải đưa phương trình dạng ax+b = + biện luận a=0 thì thay giá trị m vừa tìm vào b + Khi a 0 thì phương trình ax+b = gọi là phương trình bậc ẩn Ví dụ Giải và biện luận phương trình : m(x - m ) = x + m - (1) Giải Phương trình (1) (m - 1)x = m2 + m – (1a) Ta xét các trường hợp sau đây : + Khi (m-1) ≠ m ≠ nên phương trình (1a) có nghiệm m2 m m = m – ;nên pt(1) có nghiệm x= +) Khi (m – 1) = m = phương trình (1a) trở thành 0x = 0; phương trình nghiệm đúng với x R; nên pt(1) đúng với x R Kết luận : m ≠ : nghiệm là x= m-2 (Tập nghiệm là S = {m - 2}) m = : đúng x R (Tập nghiệm là S = R) Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: m(x-1) = 2x+1 (2) Giải Ta có (2) mx-m = 2x+1 (m-2)x = m+1 (2a) (có dạng ax+b =0) Biện luận: x m 1 m + m-2 0 m 2 thì (2a) có nghiệm + m-2= 0 m = thì (2a) trở thành 0x=3; pt này vô nghiệm, nên (2) vô nghiệm Kết luận: m 2 thì (2) có nghiệm m=2 thì (2) vô nghiệm x m 1 m - WWW.ToanCapBa.Net (39) WWW.ToanCapBa.Net m2x+2 = 2m-2 (3) Giải Ta có: (3) m2x-x = 2m-2 (m2-1)x = 2(m-1) (3a) Biện luận: + Nếu m2-1 0 m 1 thì (3a) có nghiệm Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình 2(m 1) m m ; nên (3) có nghiệm + Nếu m2-1=0 m= 1 x - với m=1 :(3a) có dạng 0x= 0, (3a) đúng với x R (phương trình có vô số nghiệm), nên (3) có vô số nghiệm - với m=-1: (3a) có dạng 0x=-4; (3a)vô nghiệm, nên (3) vô nghiệm Kết luận: x m 1 + m≠1 và m≠ -1 thì (3) có nghiệm + m =1 thì (3) có vô số nghiệm + m= -1 thì (3) vô nghiệm Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m : mx m 1(*) x 1 Giải Với x -1 thì (*) mx-m-3 = x+1 (m-1)x = m+4 (**) Biện luận (**) với x -1 x + Nếu m 1 thì (**) có nghiệm + Nếu m=1: (**) 0x=4, vô nghiệm Kết luận : m4 m4 1 1 m m m m4 m 1 và m thì (*) có nghiệm x= m 1 m thì (*) vô nghiệm Ví dụ 5:giải và biện luận phương trình theo tham số m: mx 3x m (1) Giải mx 3 x m (2) mx -3x - m (3) Ta có (1) + giải và biện luận (2) (2) (m-3)x= m-3 m 3 thì (2) có nghịêm x=1 m=3 thì (2)0x = =>(2) có vô số nghiệm + giải và biện luận (3) (3)(m-3)x=-m+3 m 1 m -3 thì (3) có nghiệm x= m m = -3 thì (3) 0x=4, vô nghiệm Kết luận: m 1 - với m 3 và m -3 : (1) có hai nghiệm x1=1 và x2 = m - WWW.ToanCapBa.Net (40) WWW.ToanCapBa.Net - với m=3: (1) có vô số nghiệm - với m=-3:(1) có nghiệm x=1(vì thỏa phương trình (2) ) Phương trình bậc hai (nhắc lại cách giải phương trình bậc hai) Giải và biện luận phương trình dạng ax2+bx+c = a= :Trở giải và biện luận phương trình bx + c = a ≠ Lập = b2 4ac (hoặc ’=b’2-ac) Nếu > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt b b 2a 2a x= v x= b Nếu = : phương trình có nghiệm kép : x = 2a Nếu < : phương trình vô nghiệm Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình mx2-2(m+1)x+m+1 = Giải Phương trình cho đã có dạng phương trình đã học Biện luận: Nếu m = ( thay m = vào phương trình ta -2x+1= => x= Nếu m 0 , tính ' = m+1, đó : + ' < m < -1 pt vô nghiệm + ' = m = -1 pt trình có nghiệm kép x1=x2 = m 1 m 1 m + ' > m > -1 pt có hai nghiệm phân biệt x1,2 = * Kết luận: Ví dụ 2: Định m để phương trình mx2-2(m-2)x+m-3 = có nghiệm Định lí Viét Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c = (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thì tổng (S) và tích (P) hai nghiệm đó là: b a c P = x1.x1 = a S = x1+x2 = Ngược lại, hai số u, v có S=u+v; P=u.v thì u, v là nghiệm phương trình x2-Sx+P = Ví dụ 1: tìm hai số biết S =19 , P = 84 Giải Hai số cần tìm là nghiệm phương trình bậc hai x 2-19x+84 = ,pt này có hai nghiệm x1 7 x1 7 x 12 x 12 hai số cần tìm là và 12 * Chú ý: điều kiện để phương trình x -Sx+p =0 có nghiệm là S2 4P Đây là điều kiện để tồn hai số có tổng là S, tích P * Ứng dụng 2 x 1+ x ¿ − x x 2=S −2 P 2 x + x 2=¿ 1 S + = x1 x2 P x 1+ x ¿3 − x1 x 2( x + x 2)=S − PS x31 + x 32=¿ 2 2 x14 x24 x1 x2 x1 x2 =(S22P)22P2 - WWW.ToanCapBa.Net (41) WWW.ToanCapBa.Net Ví dụ 1: Cho phương trình x24x+m1= Xác định m để phương trình có hai nghiệm =10 Điều kiện pt có nghiệm '≥0 5m≥0 m≤5 S22P = 10 m =4 Ví dụ 2: Xác định m để phương trình x2-4x+m-1= có hai nghiệm x1, x2 thỏa xệ thức x13 x23 40 Giải Phương trình có nghiệm ' 0 m 5 3 Theo giả thiết x1 x2 40 S3-3PS=40 64-12(m-1)=40 m= (nhận) * Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì: x1< < x2 P < (hai nghiệm trái dấu) ¿ P>0 Δ≥0 x1 x2 < ( hai cùng âm) S< ¿{{ ¿ ¿ P>0 Δ≥ 0 < x1 x2 (hai cùng dương) S> ¿{{ ¿ Ví duï: cho phöông trình x2+5x+3m-1 = (1) a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Định m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Giaûi a) pt(1) coù hai ngheäm traùi daáu P<0 c < ⇔ m− 1< a m< b) để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ¿ 29 <m< 29 m< 12 12 ¿{ ¿ ¿ ¿ P>0 m−1> Δ >0 25 −12 m+ 4> S <0 − 5<0 ¿{{ ¿{{ ¿ ¿ m> vaäy 29 <m< 12 thì pt(1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät II Phương trình quy phương trình bậc nhất, bậc hai Phương trình trùng phương Phương trình dạng ax4 + bx2 + c =0 Cách giải: + đặt t=x2, đk: t≥ + Giải phương trình: at2 + bt + c=0 + kết hợp điều kiện x - WWW.ToanCapBa.Net x12 x22 (42) WWW.ToanCapBa.Net Ví dụ: Giải phương trình x48x29 = Ñaët y = x2 , y Khi đó: y=-1 (*) y2-8y-9 = (loại) ¿ y =9 ¿ ¿ ¿ ¿ với y = x2 = x = Ví dụ 2: Cho phương trình x4+(1-2m)x2+m2-1 = Định m để : a) Phöông trình voâ nghieäm b) Phương trình có đúng nghiệm c) Phương trình có đúng nghiệm phân biệt d) Phương trình có đúng nghiệm phân biệt e) Phương trình có đúng nghiệm phân biệt - WWW.ToanCapBa.Net ±3 (43) WWW.ToanCapBa.Net Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Cách giải: Sử dụng định nghĩa bình phương hai vế để khử (bỏ) dấu giá trị tuyệt đối Các dạng Dạng 1: |f(x)| = c (với c R) Nếu c<0 phương trình vô nghiệm Nếu v≥0 thì Ví dụ: a) 3x 3 f ( x) c f ( x) c |f(x)| = c b) x Dạng 2: |f( x )|= |g( x )| Sử dụng phép biến đổi tương đương f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x) Cách 1: |f( x )|= |g( x )| Cách 2: |f( x )|= |g( x )| [f(x)]2 = [g(x)]2 (bình phương hai vế) Ví dụ: Giải phương trình |2x+5|=|3x2| Giải Cách 1: x 7 x 3x x (3x 2) x |2x+5|=|3x2| Vậy pt đã cho có hai nghiệm x=7 và x= 3/5 Dạng 3: |f( x )|= g( x ) Cách 1: : dùng phép biến đổi tương đương g ( x ) 0 2 f ( x) g ( x) g ( x ) 0 f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x) |f( x )|= g( x ) Cách 2: Dùng định nghĩa để bỏ giá trị tuyệt đối + Nếu f( x )≥0 thì phương trình trở thành f( x )=g( x ) + Nếu f( x )<0 thì phương trình trở thành f( x )=g( x ) Ví dụ 1: Giải phương trình | x 3|= x +1 | x 3|= x x 2 x ( x 3) (2 x 1) x x x +1 Vậy nghiệm phương trình là x = Ví dụ 2: Giải pt x2-5 | x-1| -1 = (1) Giải * Nếu x-1 x thì : x 1 (nhaän) x 4 (nhaän) (1) x2-5x+5-1 = 0 (I) * Nếu x-1 < 0 x < thì: x 1 (loại) x -6 (nhaän) (1) x2+5x-6 = (II) S = (I) (II) = { -6;1;4 } Chú ý: Đưa phương trình dạng - WWW.ToanCapBa.Net x (loai) (nhan) x (44) WWW.ToanCapBa.Net Phương trình chứa ẩn dấu (phương trình vô tỉ) Cách giải: - Bình phương hai vế + đặt điều kiện để làm - Đặt ẩn phụ Các dạng Dạng 1: f ( x) g ( x) , ta sử dụng phép biến đổi tương đương f ( x ) 0 f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x) (có thể chọn điều kiện g(x)≥0) Ví dụ: Dạng 2: f ( x) g ( x ) , ta sử dụng phép biến đổi tương đương g ( x ) 0 f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x) Ví dụ: Giải phương trình x x 2x x x 0 x 4 2 x ( x 4) x 10 x 0 x 4 x 1 (loại) x - nghiệm phương trình là x = Dạng 3: f ( x) c (c ) Nếu c<0 thì phương trình vô nghiệm Nếu c≥0 thì f ( x ) c Ví dụ: Giải phương trình f(x) = c2 x 3 f ( x) g ( x) 0 f ( x) g ( x) 0 Dạng 4: * Chú ý: Biến đổi phương trình đã cho dạng (nếu được) BÀI TẬP ÁP DỤNG §2 C3 1/ Giải các phương trình a/ x4 4x2 + = b/ x4 + 10x2 = c/ x4 3x2 = d/ x4 x2 12 = e/ x4 x2 + = f/ (1 x2)(1 + x2) + = 2/ Giải và biện luận các phương trình sau a) (m+2)(x-2) + = m2 b) (x+2)(m+3) + = m2 c) (1-m3)x+1+ m + m2 = d) (m+1)x + m2-2m + = (1-m2)x -x e) x+(m-1)2 -2mx = (1-m)2 + mx f) x +m2x+2 = m + 3/ Cho phương trình (m2 - 3m)x + m2 - 4m +3 = , định m để : a) Phương trình có nghiệm b) Phương có nghiệm x = c) Phương trình vô nghiệm d) Phương trình có vô số nghiệm 4/ Cho phương trình (-x+m)m + 2m +1 = (m+1)2 - m2x ,định m để : a) Phương trình có nghiệm b) Phương trình có vô số nghiệm - WWW.ToanCapBa.Net (45) WWW.ToanCapBa.Net c) Phương trình vô nghiệm 5/ Cho phương trình mx+m2+1 = (x+2)m ,định m để : a) Phương trình vô nghiệm b) Phương trình có nghiệm c) Phương trình có vô số nghiệm 6/ Tìm hai số có: a) Tổng là 19, tích là 84 b) Tổng là 5, tích là -24 c) Tổng là -10, tích là 16 7/ Cho phương trình x2+(2m3)x+m22m=0 a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Với giá trị nào m thì phương trình có hai nghiệm và tích chúng 8? Tìm các nghiệm trường hợp đó x1,2 7 Đáp số: a) m<9/4; b) m=2; 8/ Cho phương trình mx2+(m23)x+m = a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó b) Với giá trị nào m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 13 x1 x2 Đáp số: a) m= ± 1; m= ± 3; b) m=4; m=3/4 (câu b tìm m xong vào kiểm tra lại) 9/ Cho phương trình x2+(2m-3)x+m2-2m = a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để phương trình vô nghiệm c) Xác định m để phương trình kép d) Với giá trị m thì phương trình có hai nghiệm và tích chúng 8? Tìm các nghiệm trường hợp đó Đáp số: a) m< 9 b) m> c) m= d) m= -2; x 1,2= ± √ 17 10/ Cho phương trình mx2+(m2-3)x+m = a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó b) Với giá trị nào m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x 1+ x 2= 14 Đáp số: a) m=1 m= -3 x= 1; m= -1 m=3 x= -1 11/ Cho pt: x2 – 2(m – 1)x + m2 -3m + = (x2 – 2(m – 1)x - 4m + = 0) a Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt b Tìm m để pt có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó c Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 cho: i) x1 + x2 = ii) x1 x2 = Tính các nghiệm trường hợp đó 12/ Cho pt: x2 – (m + 1)x + m -3 = a CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với m b Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu c Tìm m để pt có hai nghiệm dương phân biệt 13/ Cho phương trình: (m + 1)x2 – 2(m –1)x + m –2 = ( m là tham số) a Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt b Tìm m để pt có nghiệm Tính nghiệm c Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 cho: 4(x1 + x2 ) = 7x1.x2 (ĐS: m = 1) 14/ a Cho phương trình: x2 + (m –1)x + m + = ( m là tham số).Tìm m để pt có 2 hai nghiệm x1 và x2 cho: x1 x2 10 (ĐS: m = -3) b Cho phương trình: x2 – 2mx + 3m-2 = ( m là tham số).Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 cho: x12 x22 x1 x2 (ĐS: m = v m = ¼) - WWW.ToanCapBa.Net (46) WWW.ToanCapBa.Net c Cho phương trình: x2 - 3x + m -2 = ( m là tham số).Tìm m để pt có hai x x3 9 nghiệm x1 và x2 cho: (ĐS: m = 4) 15/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm x1 và x2 thỏa: x1 = 3x2 : a x2 - 2(m –2)x + 4m + = (ĐS: m = 10 v m = -2/3) b mx2 - 2(m + 3)x + m - = (ĐS: m = -1 v m = 27) 16/ Giải các phương trình sau a) |2x3|= x5 b) |2x+5| = |3x2| c) |4x+1| = x2 + 2x4 d) |x3|=|2x1| e) |3x+2|=x+1 f) |3x5|= 2x2+x3 | x 1| | x | g)* x | 5x | | x | h)* x Đáp số:a) Vô nghiệm b) x=7; x=3/5 c)) x 1 6; x e) x= 1/2;3/4 f) x= g) x= 5; x=1; x= 2 17/ Giải các phương trình sau a) 3x - 4 = x + c) 5x + 1 = 2x - 3 e) x2 + 2 x - = x2 4x g) h) x 2 6; 17 b) x + 3 = x2 – 4x +3 d) x2 - 4x - 5 = 2x2 – 3x -5 f) x2 -3 x - 2 + = x 16 3x x x x k) m) x + 1 + x - 2 = 18/ Giải các phương trình sau a) x x 5 l) b) x x g) 3x x x Đáp số:a) 6 2 x x 10 3 x e) x x 2 x d) x 5x 1 h) x 1 2x x x 1 x x x2 2x b) x=1 d) x= (9 29) / g) x= 1; c) 2x x f) x x x c) Vô nghiệm e) (1 7) / f) Vô nghiệm 19/ Giải các phương trình sau : a/ |3x + 4| = |x 2| b/ |3x2 2| = |6 x2| c/ |3x 1| = |2x + 3| d/ |x2 2x| = |2x2 x 2| e/ |x2 2x| = |x2 5x + 6| f/ |x + 3| = 2x + g/ |x 2| = 3x x h/ |x2 5x + 4| = x + i/ |2x2 3x 5| = 5x + j/ |x2 4x + 5| = 4x 17 20/ Giải các phương trình chứa thức : a/ 3x x = x c/ 3x = 2x e/ x 3x = 2x f/ x = x g/ 6x x = x + h/ b/ d/ x 3x = 2(x 1) 2x = x x = 3x + - WWW.ToanCapBa.Net d) x=2; 4/3 (47) WWW.ToanCapBa.Net i/ 4x = 3x 21/ Giải các phương trình sau a) j/ x x 13 x c) x x 4 2x = b x 10 8 x d x x x f) 3x x x g) x x 5 h) x 12 2 k) x x x x 0 22/ Giải các phương trình : l) x x 12 x x e) a/ x x x x 3x = x2 3x b/ x2 6x + = x x c/ x x = x2 + 7x + e/ x2 + x2 x = x + x 2 d/ x2 + x + f/ x2 x = x 12x = x2 2x g/ x2 + 11 = x h/ x2 4x = x 8x 12 i/ (x + 1)(x + 4) = x 5x 2 j/ x2 3x 13 = x 3x 23/ Giải và biện luận các phương trình sau a) |4x-3m|=2x+m c) e) |2x+m| = |x-2m+2| g) b) |3x-m| = |2x+m+1| (m+3) x +2(3 m+1) =(2 m−1)x +2 x +1 d) |3x+2m| = x-m f) mx2+(2m-1)x+m-2 = √ x − =m−1 x −1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN 1/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m : a/ 2mx + = m x b/ (m 1)(x + 2) + = m2 c/ (m 1)x = m + d/ (m + m)x = m2 2 e/ m x + 3mx + = m 2x f/ m2(x + 1) = x + m g/ (2m2 + 3)x 4m = x + h/ m2(1 x) = x + 3m 2 i/ m (x 1) + 3mx = (m + 3)x j/ (m + 1)2x = (2x + 1)m +5x + 2/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số a, b : a/ (a 2)(x 1) = a2 b/ a(x + 2) = a(a + x + 1) c/ ax + b3 = bx + a3 d/ a(ax + 2b2) a2 = b2(x + a) Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m : mx m x2 a/ =3 c/ x = m x m x e/ x + x m = 2( m 4) b/ (m 2) x = m 1 m d/ x = x x m x 3 f/ x + x = - WWW.ToanCapBa.Net (48) WWW.ToanCapBa.Net x m x2 g/ x = x x m x 3 i/ x = x mx m x m h/ =2 x m x j/ x + x = 3/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m : a/ |x + m| = |x m + 2| b/ |x m| = |x + 1| c/ |mx + 1| = |x 1| d/ |1 mx| = |x + m| 4/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm a/ m(2x 1) + + x = b/ m2x 2m2x = m5 + 3m4 + 8mx x2 x 1 c/ x m = x 5/ Tìm m để phương trình sau vô nghiệm a/ m2(x 1) + 2mx = 3(m + x) b/ (m2 m)x = 12(x + 2) + m2 10 c/ (m + 1)2x + m = (7m 5)x xm x d/ x + x = 6/ Tìm m để phương trình sau có tập hợp nghiệm là R a/ m2(x 1) 4mx = 5m + b/ 3m2(x 1) 2mx = 5x 11m + 10 c/ m2x = 9x + m2 4m + d/ m3x = mx + m2 m PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Giải và biện luận phương trình bậc : a/ x2 (2m + 1)x + m = b/ mx2 2(m + 3)x + m + = c/ (m 1)x2 + (2 m)x = d/ (m 2)x2 2mx + m + = e/ (m 3)x2 2mx + m = f/ (m 2)x2 2(m + 1)x + m = g/ (4m 1)x2 4mx + m = h/ (m2 1)x2 2(m 2)x + = Định m để phương trình có nghiệm phân biệt a/ x2 2mx + m2 2m + = b/ x2 2(m 3)x + m + = c/ mx2 (2m + 1)x + m = d/ (m 3)x2 + 2(3 m)x + m + = e/ (m + 1)x2 2mx + m = f/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m = g/ (m 2)x2 2mx + m + = h/ (3 m)x2 2mx + m = Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó a/ x2 (2m + 3)x + m2 = b/ (m 1)x2 2mx + m = c/ (2 m)x2 2(m + 1)x + m = d/ mx2 2(m 1)x + m + = e/ x2 2(m + 1)x + m + = f/ (m 1)x2 3(m 1)x + 2m = g/ (m + 2)x2 + 2(3m 2)x + m + = h/ (2m 1)x2 + (3 + 2m)x + m = Tìm m để phương trình có nghiệm a/ x2 (m + 2)x + m + = b/ x2 + 2(m + 1)x + m2 4m + = - WWW.ToanCapBa.Net (49) WWW.ToanCapBa.Net c/ (2 m)x2 + (m 2)x + m + = d/ (m + 1)x2 2(m 3)x + m + = Định m để phương trình có nghiệm a/ x2 (m 1)x + = b/ x2 2(m 1)x + m2 3m + = c/ (3 m)x2 + 2(m + 1)x + m = d/ (m + 2)x2 (4 + m)x + 6m + = B ĐỊNH LÝ VIÉT Định m để phương trình có nghiệm cho trước Tính nghiệm còn lại a/ 2x2 (m + 3)x + m = ; x1 = b/ mx2 (m + 2)x + m = ; x1 = c/ (m + 3)x2 + 2(3m + 1)x + m + = ; x1 = 2 d/ (4 m)x + mx + m = ; x1 = e/ (2m 1)x2 4x + 4m = ; x1 = 1 f/ (m 4)x2 + x + m2 4m + = ; x1 = 1 g/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m = ; x1 = h/ x2 2(m 1)x + m2 3m = ; x1 = Định m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện : a/ x2 + (m 1)x + m + = đk : x12 + x22 = 10 b/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m = đk : x12 + x22 = c/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m = đk : 4(x1 + x2) = 7x1x2 d/ x2 2(m 1)x + m2 3m + = đk : x12 + x22 = 20 e/ x2 (m 2)x + m(m 3) = đk : x1 + 2x2 = f/ x2 (m + 3)x + 2(m + 2) = đk : x1 = 2x2 1 x x đk : + = g/ 2x2 (m + 3)x + m = h/ x2 4x + m + = Tìm hệ thức độc lập m : a/ mx2 (2m 1)x + m + = b/ (m + 2)x2 2(4m 1)x 2m + = đk : x1 x2 = 3m c/ (m + 2)x (2m + 1)x + = d/ 3(m 1)x2 4mx 2m + = e/ mx2 + (m + 4)x + m = f/ (m 1)x2 + 2(m + 2)x + m = C DẤU CÁC NGHIỆM SỐ Định m để phương trình có nghiệm trái dấu a/ x2 + 5x + 3m = b/ mx2 2(m 2)x + m = c/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + = d/ (m + 2)x2 2(m 1)x + m = e/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m = Định m để phương trình có nghiệm phân biệt âm a/ x2 2(m + 1)x + m + = b/ x2 + 5x + 3m = c/ mx2 + 2(m + 3)x + m = d/ (m 2)x2 2(m + 1)x + m = e/ x2 + 2x + m + = Định m để phương trình có nghiệm phân biệt dương a/ mx2 2(m 2)x + m = b/ x2 6x + m = 2 c/ x 2x + m = d/ 3x 10x 3m + = e/ (m + 2)x2 2(m 1)x + m = Định m để phương trình có nghiệm phân biệt cùng dấu a/ (m 1)x2 + 2(m + 1)x + m = - WWW.ToanCapBa.Net (50) WWW.ToanCapBa.Net b/ (m 1)x2 + 2(m + 2)x + m = c/ mx2 + 2(m + 3)x + m = d/ (m + 1)x2 2mx + m = e/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + = Bài toán lập phương trình: Tìm tuổi học sinh, biết sau năm nửa tuổi em bình phương sồ tuổi em cách đây năm (ĐS: tuổi) Tuổi anh gấp đôi tuổi em, biết sau 48 năm tuổi anh bình phương số tuổi em Hỏi tuổi em nay? (ĐS: tuổi) Tìm độ dài ba cạnh tam giác vuông biết cạnh dài cạnh thứ hai là 2m và cạnh thứ hai cạnh ngắn là 23m (ĐS: 12m ; 35m ; 37m) Chu vi hình thoi 34cm , hiệu hai đường chéo 7cm Tính độ dài hai đường chéo? (ĐS: 8cm ; 15cm) Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Nếu tăng chiều rộng thêm 3m và chiều dài tăng 4m thì diện tích miếng đất tăng gấp đôi Hỏi kích thước miếng đất lúc đầu? (ĐS: 6m ; 12m) Một miếng đất hình vuông Nếu tăng cạnh thêm 30m thì miếng đất hình chữ nhật có diện tích gấp lần diện tích lúc đầu Hỏi cạnh miếng đất lúc đầu? (ĐS: 15m) Tìm độ dài ba cạnh tam giác vuông có chu vi 30m, biết hai cạnh góc vuông kém 7m? (ĐS: 5m ; 12m ; 13m) Tìm độ dài ba cạnh tam giác vuông biết chu vi và diện tích tam giác 120m và 480m2 (ĐS: 20m ; 48m ; 52m) - WWW.ToanCapBa.Net (51) WWW.ToanCapBa.Net PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 1/ Phương trình bậc hai ẩn Dạng : ax by c + Trong đó x, y gọi là ẩn số ; a, b, c R a và b là hệ số và a2+b2 0 ; c gọi là số phương trình + Nếu tồn cặp số thực x0, y0 cho ax0 + by0 = c thì (x0, y0) gọi là nghiệm phương trình *Giải và biện luận phương trình a) a 0 và b 0 : Ta có : y ax by c a,b không đồng thời không nên có trường hợp: c ax c by x b (x R) a (y R) x R y c ax b Vậy nghiệm phương trình là : b) a = và b 0 : phương trình có dạng 0.x by c x R y c b Vậy nghiệm phương trình là : c) a 0 và b = : phương trình có dạng : ax y c c by x a y R c x a y R Vậy nghiệm phương trình là : Vậy phương trình ax+by=c có vô số nghiệm * Chú ý: Nếu a = b = thì phương trình có dạng 0x+0y = c, đó: + c 0 phương trình vô nghiệm + c = phương trình có vô số nghiệm Hệ phương trình bậc hai ẩn (CB không giải và biện luận) Định nghĩa: Hệ phương trình bậc hai ẩn số có dạng : ax by c (5) a x b y c (6) Trong đó : x , y gọi là ẩn số a và b ; a/ và b/ không đồng thời Nếu tồn cặp số thực (x , y0) nghiệm đúng đồng thời hai phương trình hệ trên thì (x , y0) gọi là nghiệm hệ phương trình Giải phương trình là tìm tập nghiệm phương trình đó Các khái niệm hệ phương trình tương đương, hệ phương trình hệ tương tự phương trình * Giải và biện luận hệ phương trình bậc hai ẩn số : ax by c a x b y c với a và b ; a/ và b/ không đồng thời Cho hệ phương trình : a b c b a c a b = ab/ - a/b c b = cb/ - c/b a c = ac/ - a/c Lập các biểu thức : D = Dx = Dy = Nếu D 0 : Hệ phương trình có nghiệm (x , y) với : Dy D x x y D và D Nếu D = : + Nếu Dx 0 Dy 0 thì hệ phương trình vô nghiệm + Nếu Dx = Dy = thì tập nghiệm hệ phương trình là nghiệm phương trình bậc ax + by = c * Chú ý : Các biểu thức để tìm D ; Dx ; Dy gọi là công thức Cramer * Chú ý : Trường hợp = a/ = b = b/ = - WWW.ToanCapBa.Net (52) WWW.ToanCapBa.Net x y c x y c Hệ phương trình có dạng : + Nếu c = c/ = thì hệ phương trình có nghiệm với x , y tùy ý + Nếu c 0 c/ 0 thì hệ phương trình vô nghiệm * Chú ý 1: (5) cắt (6) D≠0 (5) //(6) D=0 và Dx≠0 (hoặc Dy≠0) (5) trùng (6) D=Dx =Dy=0 * Chú ý 2: Nếu a=b=0 a'=b'=0 thì ta có các hệ phương trình đặc biệt : 0x 0y c ax by c 0x 0y c V V a' x b' y c' 0x 0y c' 0 x y c ' 2 x y 13 x y 2 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình Giải D Ta có Dx -3 8 ( 21) 29 0 13 -3 58 Dy hệ có nghiệm nhất: 13 87 Dx 58 x D 29 2 y Dy 87 D 29 mx y m x my 2 Ví dụ 2: giải và biện luận hệ phương trình sau: Giải D Ta tính: D, Dx, D m m (m 1)( m 1) m m 1 m m (m 1)(m 2) m m m 1 Dy m 1 Dx Biện luận: + Nếu D 0 m -1 và m 1 Hệ có nghiệm với: ( m 1)(m 2) m x (m 1)(m 1) m m 1 y (m 1)(m 1) m + Nếu D= m=-1 m=1 với m=-1 => Dx=-2 0 => hệ vô nghiệm với m=1 => Dx=Dy = => hệ có vô số nghiệm với x y y 2 x x 2 y - WWW.ToanCapBa.Net (53) WWW.ToanCapBa.Net Kết luận: m2 ;y x m 1 m 1 + Với m 1 hệ có nghiệm + Với m= 1 hệ vô nghiệm x y 2 x + Với m=1 hệ có vô số nghiệm, tính theo công thức - WWW.ToanCapBa.Net (54) WWW.ToanCapBa.Net Hệ phương trình bậc ẩn * Phương trình bậc ẩn là phương trình có dạng ax+by+cz=d, đó x, y, z là ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời * Hệ phương trình bậc ẩn a1x+b1 y+c1 =d1 a x+b y+c =d a x+b y+c =d 3 Mỗi (x0;y0;z0) nghiệm đúng ba phương trình hệ gọi là nghiệm hệ Ví dụ: Giải hệ phương trình a) x y z 3 x y z 9 x y z 15 b) x y z x y 3z 6 x y z Đáp án: x=2; y=3; z=1 Đáp án: x=1; y=2; z=2 BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1/ Giải các hệ phương trình sau: x y 1 2x 3y 22 b 2 x y 3 2 x y d 5 x y 19 x y 18 a 5( x x) 4( y y ) 11 2( x x) 7( y y ) 13 c x y 1 5 x y 14 x y 7 x y 11 f e 3 x y x y 12 g h/ a c x y z 4 3x y z 7 x y z ĐS: a (1;3;2) { 3 ; d ĐS: a (3;-2) b (-6;12) e (1; 1),(-3; 1) f VN 2/ Giải các hệ phương trình sau: x y z 0 3 x y z 17 x y z 22 x +3 y =7 2 x + y =3 c (1; 1),(-3; 1) g (-3; 2), (-3; 0), (-1; 2), (-1; 0) b (-1;2;3) b x y z 3 x y z 6 x y z 7 d x y z 2 x y z 6 x y 3z 2 c - d (x,y,z) tùy ý WWW.ToanCapBa.Net (55) WWW.ToanCapBa.Net ax by 6a bx y 4 9a có nghiệm (-3; 2) 3/ Tìm a và b để hệ phương trình - WWW.ToanCapBa.Net (56) WWW.ToanCapBa.Net 4/ Giải và biện luận các hệ phương trình sau : x my 3m mx y 2m a/ (m 2) x my 2m (m 1) x my m b/ (m 1) x my 2 2mx y m c/ x)1m(2y 1m(x3y) d/ mx y m x y m e/ mx y m mx y m f/ (m 1) x 8y 4m mx (m 3) y 3m g/ mx y m x my m h/ mx y x my 0 i/ x my 1 mx 3my 2m j/ 5/ Giải và biện luận hệ phương trình ax by a bx ay b a/ c/ ax y a bx y b b/ ax by a b bx ay 2ab d/ ax by a b bx b y 4b 7/ Định m để hệ phương trình có nghiệm mx y m x my 2 a/ mx (m 5) y m 0 2mx my 3m b/ (m 1) x 8y 4m mx (m 3) y 3m c/ 6mx (2 m) y 3 (m 1) x my 2 d/ 8/ Định m để hệ phương trình vô nghiệm 2m x 3(m 1) y 3 m ( x y ) y 0 a/ (m 1) x my 2m (3m 3) x (m 1) y 3m b/ mx y 2m (m 1) x 6 y c/ 3x 2my 1 3(m 1) x my 1 d/ 9/ Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm mx y m x my 4 a/ 4x my 1 m ( m 6) x y m b/ 3x my 3 mx 3y 3 c/ 2x my m (m 1) x 2my 2m d/ 10/ Định m để hệ có nghiệm là nghiệm nguyên - WWW.ToanCapBa.Net (57) WWW.ToanCapBa.Net (m 1) x y m m x y m 2m a/ mx y 0 x my 2m 0 b/ mx y m (m 1) x y m c/ x y 2 mx y m d/ 11/ Định m để hệ x y 4 m (2 x y 3m có nghiệm (x, y) thoả x2 +y2 nhỏ Bài toán lập hệ phương trình: Tìm hai số biết tổng chúng 188 và lấy số lớn chia cho số nhỏ ta thương và số dư 2 Số công nhân hai xí nghiệp tỉ lệ với và Nếu số công nhân xí nghiệp I tăng 80 người và số công nhân xí nghiệp II tăng 40 người thì số công nhân hai xí nghiệp tỉ lệ với và Hỏi số công nhân lúc đầu xí nghiệp? Tìm số gồm hai chữ số biết: đem số đó chia cho tổng số hai chữ số đó ta thương là 6; đem cộng tích hai chữ số đó với 25 ta số đảo lại Hai công nhân phải làm số dụng cụ cùng thời gian Người I làm tăng dụng cụ nên công việc hoàn thành trước Người II làm tăng dụng cụ nên công việc hoàn thành trước và còn làm thêm dụng cụ Tính số dụng cụ công nhân phải làm và thời gian phải hoàn thành công việc? BÀI TẬP THÊM Bài : Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số m Khi hệ có nghiệm (x;y), tìm hệ thức x và y độc lập với m a) mx y 2 x my 0 b) mx (m 2) y 2 x my m DD := m 2m 2 Dx := m Dy := m 22 c) 4 x my 4 mx y 2m DD := 16 m Dx := 16 m 2 m Dy := m 12 d) (m 1) x 2my 2mx (m 1) y m DD := m 22 m1 Dx := 22 m Dy := m 22 m1 ; ; DD := m 21 Dx := m2 Dy := m1 ; ; ; ; ; ; ( m 1 ) m { x , y } m 1 m 1 e) mx y 0 { y , x } 4 x my 6 DD := m 4 Dx := m6 Dy := m 12 m2 m2 ; f) 4 x my m 0 (2m 6) x y 2m 0 DD := 4 m 2 m Dx := m 4 m2 ; ; - WWW.ToanCapBa.Net ; (58) WWW.ToanCapBa.Net Dy := 10 m 282 m ; m 1 m 7 { x , y } m m g) mx y 1 x my DD := m 22 Dx := m4 Dy := m1 h) mx y 0 m1 { x , y } 2 x m my y DD := m m 2 Dx := m 1 Dy := m 1 m2 m2 ; ; i) mx (m 2) y 2 2m x 3(m 1) y 3 DD := m 23 m 2 m Dx := m Dy := m 4 m j) 3 4m { y , x } m 2m m m2 m( x y ) x y 4 4 x y m(1 y ) DD := m2 m 222 Dx := 269 m2 m Dy := m 24 m12 k) l) m) ; ; ; ; ; ; ; ; ; m4 ( m 1) { x , y } m2 m 2 n) o) mx 2(m 1) y 2 2 x my m DD := m 24 m4 Dx := m2 m Dy := m 24 ; ; m 2m { y , x } m 2 m 2 mx (m 1) y 0 (m 1) x my 2m DD := m Dx := ( m3 ) ( m1 ) Dy := m ( m 3 ) ; ; p) ; m 13 m { x , y } m 11 m 11 (m 1) x 2my 2mx (m 1) y m DD := m 22 m 1 Dx := 22 m Dy := m 22 m1 ; ; ( m 1 ) m { x , y } m 1 m1 (m 1) x y 2 m x ( m 1) y 2 DD := m Dx := m m Dy := m ; ; m 3 { x , y } m m ( m 1) x my 2 6mx ( m 2) y 3(1 m) DD := m 23 m2 Dx := m m Dy := m3 m 23 m x (2 m) y 4 m mx (2m 1) y m DD := m 32 m Dx := m 3 m Dy := m 33 m 24 m ; - WWW.ToanCapBa.Net ; (59) WWW.ToanCapBa.Net m4 { y , x } ( m 1 ) ( m 1 ) q) 2m x 3(m 1) y 3 m( x y ) y 2 DD := m 37 m 2 m Dx := m Dy := m 23 m ; ; m 3 { y , x } 2 m 7 m m 7 m r) 6mx (m 2) y 3 ( m 1) x my 2 DD := m 23 m 2 Dx := m 4 Dy := m3 ; ; m x (m 2) y 2 m( x y ) y 1 DD := m 32 m Dx := m Dy := m 22 m Bài : Cho hệ phương trình ; ; a) Định m để hệ phương trình có ngiệm b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm c) Định m để hệ phương trình vô nghiệm HD: + Hệ có nghiệm D0 + Hệ vô nghiệm D=0 và Dx0 (hoặc Dy 0) + Hệ vô số nghiệm D=Dx=Dy =0 mx ( m 1) y m mx 3m ( y 1)m y Bài : Cho hệ phương trình 2m DD := Dx := m 23 m2 Dy := m 2 ; a) Định m để hệ phương trình có nghiệm b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm c) Định m để hệ phương trình vô nghiệm ; 3 x (m 1) y 8 x my Bài : Cho hệ phương trình DD := m Dx := m2 Dy := 10 ; ; a) Định m để hệ phương trình có nghiệm b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm c) Định m để hệ phương trình vô nghiệm HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN (Nâng cao) (1) : pt baäc nhaát (2) : pt baäc hai 1/ Dạng *Cách giải : từ phương trình bậc ta rút ẩn theo ẩn còn lại vào phương trình bậc hai x y 8 (1) x y 4 (2) Ví dụ: Giải hệ Giải Từ pt(2) => x = 4-2y vào pt(1) ta (4-2y) 2+4y2 = 16-16y+4y2+4y2= 8y2-16y+8 = y -2y+1 = y = => x = nghiệm hệ là (2;1) 2/ Hệ pt bậc hai đối xứng x và y *Định nghĩa: hệ phương trình bậc hai đối xứng với x và y là hệ mà phương trình không thay đổi ta thay x = y và ngược lại - WWW.ToanCapBa.Net (60) WWW.ToanCapBa.Net 2 x xy y 4 x y xy 2 Ví dụ : *Cách giải: để giải hệ phương trình dạng này ta thực hiện: - dùng phép thay ẩn S = x+y ; P = x.y - sau tìm S,P thì x,y là nghiệm phương trình x2-Sx+P = x y 4 x y 28 Ví dụ 1: giải hệ (I) Giải x y 4 ( x y ) xy 28 (I) (II) Đặt S = x+y ; P = x.y thay vào hệ (II) ta hệ P 4 S P 28 S 6 P 4 S -6 P 4 + Với S = ; P = thì x, y là nghiệm phương trình x2-6x+4 = x1 3 x 3 (3 ;3 ) (3 ;3 ) nghiệm hệ là + Với S =-6 ; P = thì x,y là nghiệm phương trình x2+6x+4 = x1 x2 hệ có hai cặp nghiệm Vậy hệ đã cho có cặp nghiệm x xy y 11 x y xy 2( x y ) 31 Ví dụ 2: Giải hệ HD: hệ VN Ví dụ 3: x y 164 x y 2 Giải hệ HD: đặt t =-y ; nghiệm (10;8) , (-8;10) Ví dụ 4: x y 9 x y 90 Giải hệ HD: đặt t =-y ; nghiệm (15;6) , (-6;-15) BÀI TẬP Bài 1: Giải các hệ phương trình sau x y 8 a) x y 4 x -xy 24 b) 2x-3y 1 x xy y x y 0 c) 2 x y 3 ( x y ) 49 d) 3x y 84 Đáp số: a) (2;1)b) (-9;-19/3); (8;5) Bài 2: Giải các hệ phương trình sau c) (2;1); (3;3) - d) (16;9); (8;15) WWW.ToanCapBa.Net (61) WWW.ToanCapBa.Net x xy y 11 a) 2 x y xy 2( x y ) 31 xy 4 c) 2 x y 28 Đáp số: a) VNob) (1;3); (3;1) d) (1;2); (2;1) Bài 3: Giải các hệ phương trình sau x y 9 a) xy 90 xy x y c) 2 x y x y xy 6 Đáp số: a) (15;6); (-6;-15) x y 4 b) 2 x xy y 13 xy x y 5 d) 2 x y x y 8 c) (3 5;3 5);( 5; 5) x y 164 b) x-y 2 x y x y 4 d) x( x y 1) y ( y 1) 2 b) (10;8); (-8;-10) c) (0;-3); (3;0) d) ( 2; 2);(1; 2);( 2; 1) Bài Giải các hệ phương trình : 2 x 3y 1 x xy 24 a/ 3x y 36 ( x 2)( y 3) 18 b/ x y 2 xy x y 0 c/ x y 4 x x y 5 d/ x y 5 x xy y 7 e/ x y 8 x y 4 f/ Bài Giải các hệ phương trình : x y 5 x y 53 a/ xy 5 x y 26 b/ x y 1 x y3 61 c/ x xy y 13 x y d/ x y xy 5 x y xy 7 e/ x y 2( xy 2) x y 6 f/ Bài Giải các hệ phương trình x y 4 xy 21 a/ x y 2 x xy y 4 b/ x y 2 xy x y 0 c/ x y x y 2 xy x y d/ Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC Định nghĩa Số thực a gọi là lớn b, kí hiệu a > b ab > Khi đó ta kí hiệu b<a (b nhỏ a) - WWW.ToanCapBa.Net (62) WWW.ToanCapBa.Net a > b a-b > (ba<0) a b a-b (ba≤0) Định nghĩa 2: Các mệnh đề "a > b"; "a b"; "a < b" ; "a b" gọi là các bất đẳng thức + a gọi là vế trái, b gọi là vế phải bất đẳng thức; + a>b và c>d (hoặc a<b và c<d) là hai bất đẳng thức cùng chiều; + a>b và c<d là hai bất đẳng thức trái chiều; + Cho hai bất đẳng thức "a>b" và "c>d" Nếu "a>b c>d" thì "c>d" là hệ "a>b" "a>b c>d" thì "c>d" là tương đương "a>b" Các tính chất a, b, c, d R ta có : 1) a > b a+c > b+c a > b+ c ac > b (cộng vế bất đẳng thức cùng số) (chuyển vế) ac bc neáu c ac bc neáu c 3) a > b a b ac bd cd 4) (nhân hai vế cùng số) a b ac bd c d 5) a > b a2n+1 > b2n+1 a > b>0 a2n > b2n 6) Với n nguyên dương: 7) Nếu b>0 thì a>b a b ; 3 a>b a b a b ac b c 8) (bắc cầu) 1 a b neáu ab neáu ab 9) a > b a b ( n N 10) a > b > an > bn 11) a > b > n n ) a b ( n N ) Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều - WWW.ToanCapBa.Net (63) WWW.ToanCapBa.Net PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp chung: Một số đảng thức: (ab)2= a2 2ab +b2 (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (ab)3= a3 3a2b+3ab2 b3 a2 b2 = (ab)(a+b) a3b3= (ab)(a2 +ab +b2) a3b3= (a+b)(a2 ab +b2) Ví dụ: Chứng minh a) Nếu a,b 0 thì a+b ab b) Chứng minh a2+b2-ab Khi nào thì đẳng thức xảy Giải a) Cách 1: ta có a+b ab a+b- ab 0 ( a Cách 2: ta đã biết b )2 0 đúng với a,b 0 Dấu '=' xảy a = b b )2 0 a, b 0 a+b- ab 0 a+b ab đpcm b 3b 2 a b b ab ) 0 a, b R 4 b) Ta có: a2+b2-ab = = (a- + ( a b a 0 3b 0 dấu '=' xảy a 0 b 0 đpcm Bất đẳng thức Côsi a b ab a/ Định lý: Nếu a 0, b 0 thì hay a+b ab Dấu '=' xảy a=b b/ Các hệ quả: b.1 Nế a 0,b 0 có a+b=const (hằng số) thì a.b max a = b b.2 Nếu a 0,b 0 có a.b = const thì a + b là a = b a1 a a n n a1 a a3 a n n b.3 Nếu a1, a2, a3,… ,an 0 thì: a 2 a b.4 ,a>0 * Ý nghĩa hình học: + Trong tất các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn + Trong tất các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ c Ví dụ: a b 2 Ví dụ 1: cho hai số a, b> Chứng minh b a Giải a b , 0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương b a ,ta có: - WWW.ToanCapBa.Net (64) WWW.ToanCapBa.Net a b a b a b 2 2 2 b a b a b a => đpcm Ví dụ 2: Chứng minh với a,b>0 thì (a+b)(ab+1) 4ab Giải Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có: a+b 2 ab (1) Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab,1>0 ta có: ab + 2 ab (2) Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1) 4ab => đpcm Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối Định nghĩa: |x| = x neáu x 0 - x neáu x a, b R ta có a b a b a b a b a b a b a b a b ; , dấu '=' xảy a.b , dấu '=' xảy a.b 0 a.b 0 a.b 0 Ví dụ: chứng minh | x-y | + | y-z | | x- z| Giải Ta có |x-y|+|y-z| |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho số thực a, b, c, d thì: (ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2) ab cd (a c )(b d ) Chứng minh: Ta có (ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2) a2b2+c2d2+2abcd a2b2+a2d2+b2c2+c2d2 a2d2+b2c2-2abcd 0 (ad-bc)2 0 đúng a, b, c, d R => đpcm Ví dụ 1: cho x2+y2=1,chứng minh x y Giải Ap dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có: (1.x+1.y)2 (12+12)(x2+y2) (x+y)2 2 => đpcm x y Ví dụ 2: Cho x+2y = , chứng minh x2+y2 Giải Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y BÀI TẬP ÁP DỤNG - WWW.ToanCapBa.Net (65) WWW.ToanCapBa.Net 2 1/ Với số thực x, y, z Chứng minh rằng: xyz x y z HD: Đưa đẳng thức 2/ Chứng minh rằng: a 1 a a , a 1 Giải a a 1 a a 1 a 1 a 1 (a 1) (a 1) a a 2a Vì 2a nên a a a 1 4(a 1) 2a đúng a a a a , a 1 Vậy a đpcm 1 3/ Tìm Giá trị nhỏ hàm số y= x x với 0<x<1 1 Vì x >0, x >0 nên Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương ta được: 1 1 2 2 x 1 x x (1 x ) y= x + x x (1 x ) 1 x (1 x ) x (1 x ) x (1 x ) mà 1 1 2 2 2 4 x 1 x x (1 x ) 1 x (1 x ) y= x + x 1 1 x 1 x x 1 x (0;1) x x y= + Dấu "=" xảy 1 Vậy giá trị nhỏ hàm số y= x + x x = BÀI TẬP 1/ Cho a, b, c, d là số dương; x, y, z là số thực tùy ý Chứng minh rằng: 4 3 a) x y x y xy Giải 4 (a) x x y y y x 0 x ( x y ) y3 ( y x) 0 x ( x y ) y ( x y ) 0 ( x y)( x y ) 0 y 3y2 ( x y ) ( x xy y ) 0 ( x y) x 0 ñúng 2 4 3 Vậy x y x y xy đpcm 2 2 - WWW.ToanCapBa.Net (66) WWW.ToanCapBa.Net 2 b) x 4y 3z 14 x 12 y z Giải 2 (b) x x 4y 2.2 y.3 z 3.z ( x 1) (2 y 3) ( 3.z 3) đúng 2 Vậy x 4y z 14 x 12 y z đpcm a b a b a c)* b Giải (c ) a a b b b a a a b b b a ( a b )(a a b b) b a ( a b ) ( a b )(a a b b) ( a b )(a a b b a b b a ( a b ) 0 b a ) 0 ( a b )(a a b b) 0 ( a b )( a đpcm b ) 0 1 d) a b a b Giải Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b: a b 2 ab (1) 1 1 , : 2 a b ab (2) Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a b 1 1 (a b)( ) 4 a b a b a b đpcm Lấy (1) nhân (2) ta được: a b c d abcd e)* (bđt Cô-si cho số) Giải a b 2 ab a b c d 2( ab cd ) 2.2 c d 2 cd a b c d abcd 1 1 16 f) a b c d a b c d ab cd 4 abcd Giải Áp dụng bđt Cô-si cho số dương a, b, c, d ta được: a b c d 4 abcd (1) 1 1 , , , Áp dụng bđt Cô-si cho số dương a b c d ta được; 1 1 4 a b c d abcd (2) 1 1 (a b c d )( ) 16 a b c d Nhân (1) với (2) ta được: - WWW.ToanCapBa.Net (67) WWW.ToanCapBa.Net 1 1 16 Vậy a b c d a b c d a 2b 2 a b g) Áp dụng bđt Cô-si cho số dương a2b, 1/b h) ( a b)(b c)(c a) 8abc Áp dụng bđt Cô-si cho a, b và b, c và c, a i) a b 2 2(a b ) ab Khai triển đẳng thức áp dụng bđt Cô-si cho (a b) và ab 1 j) a b c a b c Giải Áp dụng bđt Cô-si cho số dương a, b, c ta được: a b c 3 abcd (1) 1 , , Áp dụng bđt Cô-si cho số dương a b c ta được; 1 1 3 a b c abc (2) 1 (a b c)( ) 9 a b c Nhân (1) với (2) ta được: 1 Vậy a b c a b c 2/ Chứng minh các bất đẳng thức sau x4 a) Với x>3 Chứng minh x 3 2 HD: x 2 x Áp dụng bđt Cô-si cho và x+3 x2 y2 1 b) Với Chứng minh |x.y|≤3 x y2 HD: Áp dụng bđt Cô-si cho , c)* Với a, b, c0 và a+b+c=1 Chứng minh: b+c 16abc HD: b+c bc (b+c)2 4bc (1) a (b c) a+(b+c) 1 4a(b+c) (2) lấy (1)x(2) ta được đpcm d) Cho a, b, c, d Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1) 32abcd HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và a b c (1 )(1 )(1 ) 8 b c a e) Cho a,b,c >0 CMR : a b c 1, ; 1, ; 1, c a HD: Áp dụng bđt Cô-si cho b f) Với a,b,c,d không âm CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) 16abcd HD: - WWW.ToanCapBa.Net (68) WWW.ToanCapBa.Net b ca 2 ab c g) Cho a,b,c > CMR : HD: 1 h) Cho a,b,c > CMR : (a+b+c)( a b c ) HD: 1 k) Cho a,b > CMR : (a+b)( a b ) HD: a bc ab l) Cho a,b,c > CMR : 2c a bc a 2 ab bc 2 ab c c HD: 1 (1 )(1 )(1 ) 64 a b c m) Cho a,b,c > và a+b+c =1 CMR : HD: a 1 n) Cho a > CMR : HD: bình phươn vế a 1 1 1 ab bc ac o) Cho a,b,c >0 CMR : a b c 3/ Chứng minh bất đẳng thức 1 a) Chứng minh a > b > thì b a 2 b) a b c ab bc ca, a,b,c Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra? 2 c) a b ab 0, a, b Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.? d) (a+b+c)2 3(a2+b2+c2) với a,b,c e) a2b+ab2 a3+b3 , với a, b dương Đẳng thức xảy xảy nào ? 4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với x 5 Xác định x cho f(x) đạt giá trị lớn nhất? 5/ Tìm già trị nhỏ các hàm số sau a) f(x)= x với x x b) f(x)= x x với x > 2*/ Tìm giá trị nhỏ hàm số y= x x với 0<x<1 Giải 4( x x) 9( x x) y x 1 x x 1 x 4(1 x) x 4(1 x) x 4 13 25 x 1 x x 1 x y 25 ,x (0;1) - WWW.ToanCapBa.Net (69) WWW.ToanCapBa.Net 9x 4(1 x) 6 x 1 x x x (0;1) Đẳng thức xảy 3*/ Tìm giá trị lớn hàm số y= 4x3 x4 với 0≤ x ≤ Giải x x x 12 x y 27 x 3 x 12 x 0 x 4 - WWW.ToanCapBa.Net (70) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC I CMR a2 – 3a + > , aR a2 + b2 2ab , a, bR a2 +3a +3 > aR a2 + b2 + ab + 2(a +b) , a, bR a2+ b2 + c2 + d2 + e2 a(b +c + d + e) , a, b, c, d, eR a2 a2 b2 , a R 1 4 a Suy a b , a, bR 2 2 a b c a b c 3 , a, b, cR a3 + b3 ab(a+b) , a, b a3b + ab3 a4 + b4 , a, bR a4 + 16 2a3 + 8a , aR 10 11 12 13 (a b)(c d ) ac bd , a, b, c, d > a b a b b a , a, b > a ab b a b , a, bR a a 1 a , a a b2 c a b c c a 14 b , a, b, c > 15 a4 + 2a3 +3a2 -12a +19 > , aR x5 ( x3 1) x( x 1) 1 neáu x 1 8 x x (1 x ) (1 x) neáu x < 16 x – x + x – x + > , xR Hd: BĐT II.CMR a/ Cho a > 0, b > 0, c > CMR: a a a c thì b b c ii Nếu b a b c 1 2 a b b c c a b/ Cho a > 0, b > 0, c > CMR: a thì i Nếu b a a c b bc Cho a , b , c là độ dài ba cạnh tam giác CMR: a a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca) b abc (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > Cho a + b = CMR: a + b Cho x + y + z = CMR: CMR: a b x2 y z x x 7 , xR x y x y 6 , x, yR III.CMR a b c d abcd (a, b , c, d 0) - WWW.ToanCapBa.Net (71) WWW.ToanCapBa.Net a b c abc (a, b , c 0) 1 a b c a b c (a, b , c > 0) a b c 1 bc ca ab a b c (a, b , c > 0) ab bc ca a b c c a b (a, b , c > 0) 1 x y 2( x y ) x y (x , y > 0) (a + b)(b+c)(c+a) 8abc (a, b , c 0) c a b 8 b c a (a, b , c > 0) (a + 2)(b + 8) (a + b) 32ab (a, b 0) 10 (1 –a)(1 – b)(1 – c) 8abc với a + b + c = và a, b, c 9 x y 11 với x+y =1 và x , y > 12 (a + 2) (b + 8) 36 với ab = và a, b > 13 a b b a ab a, b 1 4a 4b 4c với a + b + c = và a, b, c - 14 IV.CMR: (ab +by)2 (a2 + b2)(x2 +y2) ,a, b, x, yR Dấu xảy nào? x y 13 với x2 + y2 = 3x y với 9x2 + 4y2 = x y 35 với 2x2 + 3y2 = biết 4x + 6y = Dấu xảy nào? 4x2 y biết 4x - 3y = Dấu xảy nào? 4x2 y2 V.Tìm GTLN hàm số sau: y = (x + 5)(7 – x) với -5 x (maxy = 36 x = 1) 10 x y = (2x - 3)(10 – 3x) với x y = x với x 4 y = x + x VI.Tìm GTNN hàm số sau: x 5 x với x > -5 y = x x với x > 2 y = (maxy = x = 8) (maxy = x = 2) (miny = x = -1) (miny = x = 5) - WWW.ToanCapBa.Net (72) WWW.ToanCapBa.Net x2 x với x y = x 1 y = x với x (4 x )(1 x) x y = với x > x x (miny = x = ) (miny = x = 1) (miny = x = 2) y = (miny = < x < 4) VII Tìm GTLN và GTNN biểu thức S = xy + yz + zx biết x + y2 + z2 = - WWW.ToanCapBa.Net (73) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Dùng định nghĩa:Chứng minh các bất đẳng thức sau 1/ Cho a,b,c,d > a) a < b thì < b) a > b thì > c) < < d) < < 2/ Cho < và b,d > 0, Chứng minh < < 3/ Chứng minh a , b ,c a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + ≥ 6a c) a2 + > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 2 e) 2abc a + b c f) (a + b)2 ≥ 4ab 2 g) a + ab + b ≥ h) a + b4 ≥ a3b + ab3 2 2 i) 4ab(a – b) (a – b ) j) a2 + 2b2 + 2ab + b + > 2 k) ≥ l) + a (1 + b ) ≥ 2a(1 + b) m) n) ( )2 o) ≥ ( )2 p) + b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc 4 q) a + b + c + ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) r) a4 + b4 + c2 + ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac t) a2 + ab + b2 ≥ (a + b)2 u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b + 2a v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 4/ Cho a ,b [– 1;1] Chứng minh : |a + b| |1 + ab| a)Chứng minh rằng: x ≥ y ≥ thì ≥ b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có ≤ + 5/ Cho a ≥ , b ≥ Chứng minh : ab ≥ a + b 6/ Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – + x – + > 7/ Cho ba số a ,b ,c [0;1],chứng minh : a + b + c – ab – bc – ca 8/ Cho < a b c Chứng minh : b() + (a + c) ()(a + c) 9/ Cho a > b > và c ≥ Chứng minh ≥ 10/ Cho a + b + c Chứng minh : ≥ 11/ Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh : + + 12/ Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ Chứng minh : a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2 13/ a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh : ≥ b) Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh : ≥ c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh : ≥ 14/ a,b,c,d chứng minh a) ≥ b) < < 15/ Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh tam giác ,chứng minh : a) <1 b) abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) c) a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3 *d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < *e) (a + b + c)2 9bc với a b c *f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc 16/ Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ ,chứng minh : a4 + b4 ≥ a3 + b3 17/ Cho a ,b ,c ≥ , chứng minh : a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 18*/ Cho a ,b ,c là độ dài cạnh tam giác,với a b c Chứng minh : (a + b + c)2 9bc - WWW.ToanCapBa.Net (74) WWW.ToanCapBa.Net 19*/ Cho tam giác ABC,chứng minh : ≥ 20*/ Cho a ,b ,c [0;2] Chứng minh : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) 21/ Chứng minh : + + + …+ < n N 22/ Chứng minh : + + + …+ < n N n ≥ 23/ Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = Chứng minh : a+b+c 24/ Cho số a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a) a2 + b2 + c2 ≥ b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) 1/ Cho hai số a ≥ , b ≥ Chứng minh : a) ≥ a , b > b) a2b + ≥ 2a b > c) ≥ d) a + b3 ≥ ab(a + b) e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 h) i) ≥ j) + ≥ + + j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 h) ≥ k) ≥ 3a2b3 – 16 l) ≥ m) ≥ 2/ Cho a > , chứng minh : (1 + a)2≥ 16 3/ Cho số a ,b ,c > tùy ý Chứng minh rằng: a) a2b + ≥ 2a b) a + b + c ≤ ( a2b + b2c + c2a + + + ) 4/ Cho < a < b , chứng minh rằng: a < < < 5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ , chứng minh : a + b ab 6/ Cho các số a,b,c ≥ Chứng minh : a) ab + ≥ (b 0) b) a + b + c ≥ c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc d) ( + )2 ≥ e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac f) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc h) a2 + b2 + ≥ ab + a + b i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – 3 i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + √ abc )3 7/ Chứng minh x (0; /2) ta có: cosx + sinx + tgx + cotgx + + > 8/ Cho số a ,b ,c thoả a + b + c = Chứng minh : a4 + b4 + c4 ≥ abc 9/ Cho số a,b,c không âm,Chứng minh : a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b) ≥ a + b + c c)()( )() ≥ d) ()()( ) ≥ e) (a + b + c)() ≥ f) (a + b + c)() ≥ g) ≥ h) ≥ i) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 j) 3a + 2b + 4c ≥ + + k) ≥ + + 10/ Cho số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh : a) (ab + cd)( + ) ≥ b) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d) c) + ≥ d) (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2 - WWW.ToanCapBa.Net (75) WWW.ToanCapBa.Net e) ≥ √ abcd f) + + ≥ g) + + + ≥ h) ≥ 3a2b3 – 16 i) (abc + 1)( + + )( + + ) ≥ a + b + c + 11/ Cho hai số dương a và b Chứng minh rằng: (1 + )n + (1 + )n ≥ 2n+1 n N 12/ Cho a + b = 1,Chứng minh : a) ab b)a2 + b2 ≥ 4 b) c)a + b ≥ d)a3 + b3 ≥ 13/*.Cho a > b và ab = ,chứng minh : ≥ 14/* Chứng minh – 15/ a) Chứng minh b > , c > thì : ≥ b)Sử dụng kết trên chứng minh a ,b ,c là ba số không âm có tổng a + b + c = thì b + c ≥ 16abc 16/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: ()() ≥ 17/ Cho a,b,c > và a + b + c = Chứng minh : a) ()()( ) ≥ 64 b) (a + b)(b + c)(c + a)abc 18*.Cho số a ,b ,c ,d > thoả mãn + + + ≥ Chứng minh abcd 19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác ,chứng minh : a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) c) (p – a)(p – b)(p – c) d) ≥ 2( ) e) < + + < 20/.Cho số a ,b ,c ≥ ,thoả mãn a.b.c = Chứng minh : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 21/ Cho số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = Chứng minh – ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ + 23/ Cho n số dương a1 ,a2 ,….,an Chứng minh a) ≥ n b) (a1 + a2 + … + an)() ≥ n2 c) (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n với a1.a2….an = 24/ Cho n số a1 ,a2 ,….,an [0;1] ,chứng minh : (1 + a1 + a2 + …+ an)2 ≥ 4(a12 + a22 + …+ an2) 25/ Cho a > b > , chứng minh : a + ≥ Khi nào xảy dấu = 26/ Cho hai số a ≥ ; b ≥ Chứng minh : a) + 3≥ b) √ a+12 12√ b ≥17 17√ ab c) ≥ 3a2b3 – 16 27/ Chứng minh 1.3.5….(2n – 1) < nn 28*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh : a + b + c ≥ m+ n+k√ am bn c k + m +n+k√ an b k c m + m +n+k√ a k b m cn 29*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,….,an và b1 ,b2 ,….,bn Chứng minh : 30/ Chứng minh : ≤ a ≥ – , b ≥ – , c ≥ ,d > 31/* n N chứng minh : a) < n+1 ( ) n (n +1) b) 1.22.33.44…nn < m ( 2n+ ) n(n+1 ) n 32/*.Cho m,n N ;m > n Chứng minh : ( + ) > ( + ) 33/*.Cho x1,x2,…xn > và x1 + x2 + ….+ xn = Chứng minh ()()…( ) ≥ (n + 1)n 34/*.Cho các số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22 Chứng minh : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2 35/*.Cho số a ,b ,c (0;1) Chứng minh bất đẳng thức sau phải có bất đẳng thức sai: - WWW.ToanCapBa.Net (76) WWW.ToanCapBa.Net a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3) 36/*.Cho số a,b,c > Chứng minh : + + 37/** Cho x ,y ,z [0;1] ,chứng minh : (2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z) (ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên) 38/*.Cho a , b , c > Chứng minh : a) b) ≥ 39/ Cho a ,b ,c > 0,chứng minh : a) ≥ b) ≥ c) ≥ d) ≥ ab + bc + ca e) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc f) ≥ a + b + c g) ≥ ≥ 40/ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý Chứng minh : a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc 41/ Cho a ,b ,c > thoả : Chứng minh : ≥ 42/ Cho số a, b, c thoả a + b + c ≤ Chứng minh : a) + + ≥ b) + + ≥ 43/ Cho a ,b ,c > thoả a + b + c k Chứng minh : )≥3 44/ Cho ba số a ,b ,c Chứng minh : ≥ 45/ Cho tam giác ABC,Chứng minh : a) + hb + hc ≥ 9r b) < Dùng tam thức bậc hai 1/ x , y R Chứng minh : a) x2 + 5y2 – 4xy + 2x – 6y + > a) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z b) 5x2 + 3y2 + 4xy – 2x + 8y + ≥ c) 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + ≥ d) x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy3 e) (x + y)2 – xy + ≥ (x + y) f) + 10 ≥ g) (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z) 2/ Cho số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh : (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd) 3/ Chứng minh : (1 + 2x + 3x)2 < + 3.4x + 32x+1 4/ Cho ax + by ≥ , x,y > Chứng minh : ab ≥ 1/4 5*/ Cho – x và – < y < ,chứng minh : x2 + 3xy + > 6**/ Cho a3 > 36 và abc = 1.Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc + a) Chứng minh : f(x) > x b) Chứng minh rằng: + b2 + c2 > ab + bc + ca 7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x y Chứng minh x3 – 3x y3 – 3y + Tìm Giá trị nhỏ các hàm số : a) y = x2 + b) y = x + + với x > – c) y = x + với x > d) y = với x > – e) y = với x > f) y = + với x (0;1) 8/ Tìm giá trị lớn các hàm số sau: y = x(2 – x) 0 x y = (2x – 3)(5 – 2x) x y = (3x – 2)(1 – x) x y = (2x – 1)(4 – 3x) x - WWW.ToanCapBa.Net (77) WWW.ToanCapBa.Net y = 4x3 – x4 với x [0;4] 11/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox và Oy lấy các điểm A và B thay đổi cho đường thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = Xác định tọa độ A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ 12/*.Cho a ≥ ; b ≥ ; c ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức A= 13/* Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y = + - WWW.ToanCapBa.Net (78) WWW.ToanCapBa.Net §2 Bất phương trình bậc I Khái niệm bất phương trình ẩn Định nghĩa Cho hai hàm số f(x),g(x) cócác tập xác định D f,Dg Đặt Df Dg=D, mệnh đề chứa biến x D dạng f(x)>g(x) gọi là bất phương trình ẩn Ví dụ: 2x+3>3x+6; 2x2+3x < 2x+5; 3x3+6x 5x+3 Tập hợp nghiệm Tập hợp nghiệm bất phương trình f(x) > g(x) là tập hợp tất các giá trị Điều kiện bất phương trình Là điều kiện ẩn x cho f(x) và g(x) có nghĩa x0 D : f ( x ) g ( x0 ) Ví dụ: Điều kiện bất phương trình x x x là 3x0 và x+10 Bất phương trình chứa tham số Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn Ví dụ: mx+2>5 (tham số m) Hệ bất phương trình ẩn Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc ẩn Để giải hệ bất phương trình ta giải bất phương trình lấy giao các tập nghiệm đó 3 x 0 x 0 Ví dụ: Giải hệ III Bất phương trình tương đương Định nghĩa: hai bất phương trình gọi là tương đương chúng có cùng tập nghiệm Định lý 2.1 Định lý (phép cộng, trừ): Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D Nếu h(x) xác định trên D thì: f(x) > g(x) f(x) + h(x) > g(x) + h(x) * Hệ quả: Nếu chuyển biểu thức từ vế này sang vế phương trình và đổi dấu thì ta bất phương trình tương đương với phương trình đã cho 2.2 Định lý (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định trên D + Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với x D thì bất phương trình: f(x) > g(x) f(x).h(x) > g(x).h(x) + Nếu h(x) xác định trên D và h(x)<0 với x D thì bất phương trình: f(x) > g(x)f(x).h(x) < g(x).h(x) 2.3 Định lí (bình phương): Nếu f(x) 0, g(x) thì f(x) > g(x) f2(x) > g2(x) * Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau + Đặt điều kiện (nếu có) trước biến đổi bất phương trình + Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, biểu thức đó mang hai giá trị âm và dương + Khi qui đồng mẫu số bất phương trình: biết chắn mẫu dương thì không đổi dấu + Nếu f(x)<0, g(x)<0 thì f(x) <g(x) f(x) > g(x) Khi đó ta có thể bình phương vế * Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau a) 2x+3 > x+7 x > => tập nghiệm là T=(4; ) b) 2x-10 3x-2 -x 8 x => T=( ; 8] * Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau a) ( x 2)(2 x 1) x ( x 1)( x 3) Đáp án: x≤1 x x 1 x x 2 x 1 b) x Đáp án: x<1 - WWW.ToanCapBa.Net (79) WWW.ToanCapBa.Net 2 c) x x x x * Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau Đáp án: x> ¼ 5x x x 4 3 x 1 4 a) 1 b) x x2 Đáp án: 1/3<x≤3 Đáp án: 1<x≤2 17 x c) Chú ý: Các dạng bất phương trình thức: √ A <√ B ⇔ A≥0 A< B ¿{ √ A <B ⇔ A≥0 B>0 A<B2 ¿{{ √ A >B ⇔ ¿ A≥0 B<0 ¿ ¿ ¿ B≥0 ¿ ¿ A>B2 ¿ ¿ ¿ √3 A < √3 B ⇔ A <B Đáp án: x<4 √ A ≤ √B ⇔ A≥0 A≤B ¿{ √A≤ B⇔ A≥0 B≥0 A ≤ B2 ¿{ { √A≥ B⇔ ¿ A≥0 B≤0 ¿ ¿ ¿ B≥0 ¿ ¿ A ≥ B2 ¿ ¿ ¿ ; ; ; IV Bất phương trình ax+b > Từ bất phương trình ax+b > ax > -b (1) Biện luận: + Nếu a = => (1) 0x > -b b > => bpt VSN b < => bpt VN b = => bpt VN b + Nếu a > => bpt có nghiệm x > a b + Nếu a < => bpt có nghiệm x < a Ví dụ : giải và biện luận bất phương trình (m-1)x -2+3m > (1) Giải (1) (m-1)x > 2-3m (2) Nếu m-1= m=1 (2) 0x > -1 => bpt VSN 3m x> m Nếu m-1> m > => bpt có nghiệm - WWW.ToanCapBa.Net (80) WWW.ToanCapBa.Net 3m x< m Nếu m-1 < m < => bpt có nghiệm Kết luận: m =1 bpt VN 3m m > bpt có nghiệm x > m 3m m < bpt có nghiệm x < m - WWW.ToanCapBa.Net (81) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP 1/ Giải các bất phương trình sau a) x x (2 x 3)( x 1) c) ( x 4)2 ( x 1) f) ( x 2) ( x 2) x2 x x x 3 h) l) ( x 2) x x g) x(7x)+6(x1)<x(2x) k) ( x 2) x x 0 ( x 1) ( x 2) 0 ( x 2)2 ( x 3) d) x 3 3 e) 2(x1)+x > m) Đáp số: a) S= [0;3) b) ( x 3)(2 x 5) x n) x x 21 b) S= (;5) c) S=(1;4) (4;+) d) S= (3;+) e) S=(9/4;+); f) S=(; / ); g) (;6/11); h) S=[5;+); k) S=[3;2] l) S=(;4) (3;2) m) S={1}[2;;+) n) S=[21/4;13/2) 2/ Giải các hệ bất phương trình sau: 3x x x 3x a) 2 x 3x x 8 x d) 6x 2x 6x 4x g) x 8 x x 12 x b) x 3x 15 8 x 6 x 2 x x 5 x x 5x x c) e) f) 3(2 x 7) x x 5(3 x 1) 2 h) x x 1 x 2 x x 3x x x x 3 x x i) Đáp số: h) S=(4/13;19/10); i) S=(;13/27] 3/ Tìm điều kiện các bất phương trình sau: x 1 x 1 x 4 ( x 1) a b x 5 x x 3x 4/ CMR các bất phương trình sau vô nghiệm: a/ x x b/ x x c/ 5/Giải các bất phương trình sau: 4 x x x ( x 1)( x 3) ( x 3) x 5 x a 1 d x x 1 d/ b x2 > x c x x 6/ Giải và biện luận bất phương trình sau: a mx + > 2x – m b m(x-1) ≤ x + 3m 7/ Tìm k để hai bất phương trình sau tương đương: a/ 3x + > x – và 4x + k > 2x – b/ 2x +3 ≤ x + và 5x – ≤ 3x + x 4 x (1 m) x 4m 8/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm: (ĐS: m<1) - WWW.ToanCapBa.Net 2 x 1 (82) WWW.ToanCapBa.Net 9/ Tìm m để hệ bpt sau vô nghiệm: x 4m 3x x a 2 x x mx 3m b x m 3 x x 3x m 10/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm : - (ĐS: m= ) WWW.ToanCapBa.Net (83) WWW.ToanCapBa.Net §3 Dấu nhị thức bậc Định nghĩa: Nhị thức bậc là biểu thức biến đổi dạng f(x) = ax+b (a 0) Định lý : Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a x f(x ) tra ùid a áua b a 3 0c u øn g d a áua * Ví dụ : xét dấu f(x) = 2x+3 Giải Đặt f(x)=0 2x+3= x = x f(x ) + 3/ Xét dấu biểu thức quy tích thương các nhị thức bậc Phương pháp: ta xét dấu nhị thức bậc trên cùng bảng xét dấu,sau đó tổng hợp dấu lại ta dấu biểu thức * Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức A=(x-2)(5-3x) Giải Đặt x-2=0 x= 5-3x= 0 x lập bảng xét dấu: x x-2 5-3x + A - 53 0 + + - 5 x ( ; ) (2;) x ( ;2) 3 Vậy A<0 ; A >0 ; A= x=2; 5/3 (2 x 1)(3 x) x 17 * Ví dụ 2: xét dấu biểu thức B = 4/ Giải bất phương trình (có ẩn mẫu số) quy tích, thương các nhị thứ bậc Để giải phương trình dạng này ta xét dấu biểu thức dạng tích thương các nhị thức bậc đó Sau đó kết hợp với chiều củ bất phương trình ta tìm tập nghiệm củ bất phương trình đó ( phần nào không lấy thì gạch bỏ) Ví dụ : Giải cácbất phương trình sau 3x 1 a) x b) x x Giải a) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho 3x 3x 2x 1 10 0 x x x đặt 2x-2 = x=1 x 2x-2 + x-2 f(x) + - // + + + x-2 = x = - WWW.ToanCapBa.Net (84) WWW.ToanCapBa.Net 2x xét dấu biểu thức f(x)= x S= ( ;1) (2;) b) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho x 11 0 ( x )( x ) 0 x x 3x x 11 x -5x-11 + 3x+1 + + 2-x + + + f(x) + // - // + 11 Đặt -5x-11 = x = x 0 x x 11 Xét dấu biểu thức f(x)= (3 x 1)(2 x ) x 0 x ( ; 11 ) ( ;2) 15 Vậy S = 5/ Phương trình, bất phương trình chứa trị tuyệt đối Định nghĩa: là phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối biến x phương trình Phương pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình Nếu có từ hai biểu thức trị tuyệt đối trở lên ta phải lập bảng xét biểu thức trên cùng bảng, sau đó vào bảng xét dấu để giải * Chú ý 1: Các dạng bpt chứa trị tuyệt đối | f ( x ) | | g ( x) | ( f (x) g(x) )( f(x) g(x) ) f ( x) g ( x) |f(x)| g(x) f ( x) g ( x) f(x)> g(x) |f(x) | g(x) f(x) g(x) Ví dụ 3.1 Ví dụ 1: giải phương trình | x-1| + | 2x-4 | = (1) Giải Ta xét dấu các biểu thức x-1;2x-4 x x-1 2x-4 - + - + + nhìn vào bảng xét dấu ta có: * x ( ;1) thì (1) -(x-1)-(2x-4)=3 -3x = -2 x = (nhận) - WWW.ToanCapBa.Net (85) WWW.ToanCapBa.Net * x [1;2) thì (1) x-1-(2x-4) = x = [1;2) (loại) * x [2;) thì (1) x-1+2x-4 = 3x=8 x = (nhận) 2 8 ; Vậy S = 3 3.2 Ví dụ 2: giải các bất phương trình sau: a) | x-2 | > x+1 b) | 2x+1 | < x Tóm tắt lý thuyết Giải và biện luận phương trình bậc dạng ax + b >0ax > -b (1) Biện luận: + Nếu a = thì (1) 0.x > -b - b > thì bất phương trình có vô số nghiệm - b thì bất phương trình vô nghiệm b + Nếu a > thì bpt có nghiệm x > a b a + Nếu a < thì bpt có nghiệm x Kết luận Xét dấu nhị thức bậc f(x) = ax+b (a 0) x - -b/a + f(x) Trái dấu a Cùng dấu a * Chú ý : Xét biểu thức dạng tích thương các nhị thức bậc (ax b)(cx d ) (ex f ) ( gx h)(kx m) ( ví dụ : (ax+b)(cx+d)…(fx+k); …) ta xét dấu tất các nhị thứ bậc trên cùng bảng xét dấu * Các bước xét dấu biểu thức : B1 : Đưa biểu thức đã cho dạng ax+b dạng tích thương các nhị thức bậc B2 : Tìm nghiệm các nhị thức bậc B3 : Xét dấu tất các nhị thức trên cùng bảng xét dấu B4 : Tổng hợp => kết luận Giải bất phương trình bậc B1 : Đưa bất phương trình dạng f(x)>0 f(x)<0 f(x) 0 f(x) B2 : Xét dấu biểu thức f(x) B3 : Kết hợp với chiều bất phương trình => tập nghiệm Giải hệ gồm bất phương trình bậc dạng Baát pt (1) Baát pt (2) (I) B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1 B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2 B3 : Tập nghiệm S hệ (I) là S = S1 S2 BÀI TẬP 1/ Xét dấu các biểu thức sau: a) f(x)= (2x1)(x+3) b) f(x)= (3x3)(x+2)(x+3) - WWW.ToanCapBa.Net (86) WWW.ToanCapBa.Net 4 c) f(x)= 3x x d) f(x)= 4x21 2/ Giải các bất phương trình sau x 2x b) c) x x 4 x 3 d) a) Đáp số: 1 x ( x 1) x 3x 1 x2 a) S=(1/2;1) [3;+) c) S= (12;4) (3;0) b) S= (;1) (0;1) (1;3) d) S= (;5) (1;1) (1;+) 3/ Giải bất phương trình 5 10 x b) x a) |5x4| c) |2x1|≤ x+2 c) |x1|≤ 2+x4|+x2 Đáp số: a) S= (;2/5) [2;+) b) S= (;5) (1;1) (1;+) c) S= [1/3;3] d) S= [5/4; +) 4/ Xét dấu các biểu thức sau a) f(x)= (2x+3)(x2)(x+4) 2x b) f(x)= ( x 1)( x 2) c) f(x)= x x d) f(x)= (4x1)(x+2)(3x5)(2x+7) 5/ Giải các bất phương trình sau x2 x 1 b) x 1 a) x 1 c) x x x d) |x3| > 1 e) |58x|≤ 11 f) |x+2|+|2x+1| ≤ x+1 Đáp số: a) S= (;1) (2;+) b) S= (2;1] (2;+) c) S= (2;0) (1;2) (4;+) d) S= R e) S= [3/4;2] f) Vô nghiệm 6*/ Lập bảng xét dấu các biểu thức sau 3x 2x 1 x( x 3) D= ( x 5)(1 x) A B=1 2 x 3x E x x 3x G=(3x1)(x+2) H= x 2x 2 3x L= M= 9x2 1 F= 2x (2 3) x K= (x+1)(x+2)(3x+1) N= x3+7x6 1 Q= x x O= x3+x25x+3 P=x2x 2 x2 6x R= x x C x( x 2) (3 x) x2 x 4 S= x x | x 1 | T= x x 7/ Giải các bất phương trình sau - WWW.ToanCapBa.Net (87) WWW.ToanCapBa.Net (3 x)( x 2) a) 0 x 1 c) | x | | x | x e) ( x+2)(x+1)(2x3)>0 Đáp số: a) S=(1;2] [3;+) x 2x 1 d) | ( 3) x | 4x 1 f) 3x b) b) S=(;1/2) [2/11;1) d) [52 2; 5+2 ] c) S= (;1) e) S=(;1) ( ;3/2) 8/ Giải và biện luận bất phương trình a) mx+4>2x+m2 d) x(m21) < m41 9/ Giải các bất phương trình sau f) S=[4/5;1/3) b) 2mx+1 x+4m2 e) 2(m+1)x ≤ (m+1)2(x1) 2x 0 (3 x 1)( x 4) x2 x d) 3x x a ) ( x 2)( x 1)(4 x 5) c) b) 3x 2x 1 Đáp số: a) S=(;1) ( /3;5/4) c) S= [3;1/2) 10/ Giải hệ bất phương trình b) S=(1/3;3/2) hop (4;+) d) S=(;1/3)[0;1/2)[8;+) ( x 3)( x ) a) x x 3 Đáp số: a) S= ( ;3) b) x x | x | 6 x x a) x x 25 15 x x b) 2( x 4) 3x 14 b) S=(1;1/2) 11/ Tìm nghiệm nguyên hệ bất phương trình Đáp số: a) S={4;5;6;7;8;9;10;11} 12/ Giải các phương trình và bất phương trình sau a) |x+1|+|x1|=4 d) |x25x+6|=x25x+6 b) S={1} | 2x | b) ( x 1)( x 2) c) |5+x|+|x3|=8 f) |x+2|+|x1|=5 e) |2x1|= x+2 2 x 2 x h) g) |3x5|<2 k) |x2|>2x3 l) |x+1|≤ |x|x+2 Đáp số: a) S={2;2} b) S= (4;1)(2;5) c) S=[5;3] d) S= x≤2 x>3 e) S={1/3;3} f) S={3;2} g) S=(1;7/3) h) S=(4;1)(1;0] k) S=(;5/3) l)S=(;1] 13 Giải bất phương trình (chứa giá trị tuyệt đối) : a / |x − 1|− x <0 ; b / |2 x +5|≥|7− x|; c / |5 −4 x|> x −1 ; x −4x d / − x+|3 x −6 x|<2 x −6 ; e/ ≥1 x +3 x+ | | 14 Giải bất phương trình (chứa thức) : - WWW.ToanCapBa.Net (88) WWW.ToanCapBa.Net a / √ x+18< 2− x ; b / x ≥ √ 24 −5 x ; c / − √ 13− x2 >2 x ; d / √ 5− x 2> x −2 ; e / √ x −3 x +2 ≥ √ x − f / √ −2 −3 x − x 2< √ x +1 15/* Giải và biện luận phương trình 3 x 0 b) x 2m a) (2x )(xm)>0 16/* Giải và biện luận hệ phương trình x 2x x m 0 b) ( x 5)( x) x m 0 a) - WWW.ToanCapBa.Net (89) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m a) m(x-m) x-1 b) mx+6 > 2x+3m c) (m+1)x + m < 3x+4 Bài 2: Giải các bất phương trình sau: 3x 1 a) x 2 c) x x 2x b) x d) x x Đáp số: a) S=(;1) (2;+) b) S=(2;3] c) S=(1/2;1) [3;+) d) S=(;11/5)(1/3;2) Bài 3: Giải các bất phương trình sau: a) | 2x-5 | x+1 b) | 2x+1 | < x c) | x-2 | > x+1 d) | x+2 | x+1 Đáp số:a) S=[4/3;6] b) Vô nghiệm c) S=(;1/2) d) S=R Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) | 2x-1 | = x+m b) | x-1 | =x+m Bài 5: Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: a) m2x+4m-3 < x+m2 b) m2x+1 m+(3m-2)x Bài 6: Giải các hệ bất phương trình sau 15 x 2(2 x 3) x a) Đáp số: a) Vô nghiệm 4x x 3 3x x b) b) S=(26/3;28/5) Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên hệ các bất phương trình sau: 6 x x x x 25 a) 15 x x 2( x 4) x 14 b) Đáp số: a) S={4;5;…;11} b) S= {1} Bài 8: Tìm số nguyên lớn thoả mãn hệ bất phương trình: 3x 3x 3( x 2) 1 3 x x x 18 12 Đáp số: S= {4} - WWW.ToanCapBa.Net (90) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP 1/ Giải và biện luận các bất phương trình sau a) (m +1)2x > 2mx + m b) (m2+m)x - m2 - 2m 0 c) (m+1)x 2m(x+1)+2+x d) m x-1 > x+m mx mx m m 1 e) m - 2/ Giải bất phương trình a) 2x2 - 5x + > x-1 x 1 (m 2)x m 1 m 1 m -1 c) -4 + x2 b) (x-2)2(x-4) < 10 0 e) 16x2 + 40x + 25 < f) x( x 1) 25 x 1 2x 1 0 1 h) 18 k) ( x 2)( x 2) 0 x x 3 1 x 2 m) n) x x d) 25(x+10)(-x+1) 5x g) x x x l) x x x 1 x2 x x 1 f) x o) 3/ Giải các hệ bất phương trình sau 2x x 1 ( x 2)(2 x 4) 0 x b) 3 x 2 x 4 x x 19 a) x 1 x 0 x x x c) x 1 x x x x 3x x x e) (4 x x)(1 x) 0 2x (4 x )(3 x ) 0 x g) d) x x 2 (5 x 19) ( x 23) f) ( x )( x )( x ) ( x 1)(3 x)( x 2) 0 2 x 2x x 1 x x x3 3x (1 x ) 0 h) x (5 x 1)(9 25 x ) x x 2( x 1) x i) Đáp số: a) S = [6 ; 8) b) S =(- ; -4] (1;2] c) - S = (- ;-1] (- ;+ ) WWW.ToanCapBa.Net (91) WWW.ToanCapBa.Net d) S = (-1;2) e) S = (- 4; - ) f) S = (-2;- ) [-1; ) [ ;+ ) 1 g) S = (- ; -3) ( ;- ) (0; ) ( ;3) [4;+ ) h) S = (-1 ; - ) (0;1) i) S = (- ; -3 ] [0 ; ) 4/ Giải các hệ bất phương trình sau a) ( x 2) ( x 3) 2 x x b) x 3x x x ( x 1) ( x 2) ( x 6) 0 ( x 7) ( x 2) e) x2 2x x x 1 x2 x d) x x x 2x x x 1 x2 x4 g) x x Đáp số: x x x x 4 f) 2x x 1 x 5x ( x 2)(2 x 4) 1 0 x x h) i) b) Vô nghiệm c) S = (-2;- ) (1; ) a) Vô nghiệm 1 d) S = (- ;0) ( ;8) g) Vô nghiệm ( x 1) 0 ( x 1)( x 2) x 1 2x 2x 1 x x 3 x x x c) e) S = [1;2) f) S = (-2;-1) h) S = [0; ] [ ;+ ) - i) S = (- ;-4] (1;2] WWW.ToanCapBa.Net (92) WWW.ToanCapBa.Net §4 Bất phương trình bậc hai ẩn I/ Bất phương trình bậc hai ẩn Định nghĩa: là bất phương trình có dạng ax+by+c > ; ax+by+c < ,trong đó a,b,c R , a2+b2 0 Cách giải : để giải bpt ax+by+c > ta vẽ đồ thị đường thẳng ax+by+c = Khi đó: + Nếu đường thẳng không qua gốc toạ độ thì ta thay góc toạ độ (0;0) vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm + Nếu đường thẳng qua góc toạ độ thì ta lấy điểm bất kì mặt phẳng thay vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm * Ví dụ: Giải các bất phưng trình sau: a) x-3y < -3 x-3y+3 < (1) Vẽ đường thẳng x-3y+3= y x-3y+3=0 -3 x Thay O(0;0) vào (1) 3<0 O(0;0) không thỏa (1) ta gạch bỏ phần chứa gốc toạ độ Miền không gạch là miền nghiệm b) x-2y > vẽ đồ thị đường thẳ x-2y = , thay (0;1) vào vế trái ta VT= -2 > (!) => miền chứa (0;1) không phải là miền nghiệm y 1/2 x II Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Định nghĩa: là hệ có từ hai bất phương trình bậc hai ẩn trở lên Cách giải: để giải hệ bất phương trình bậc hai ẩn ta giải bất phương trình hệ biểu diễn chúng lên cùng hệ trục toạ độ, miền còn trống là miền nghiệm hệ bất phương trình Ví dụ 1: giải hệ (1) x y x y (2) x y (3) Giải Ta vẽ các đường thẳng (d1): x-y= (d2): x-3y+3= (d3): x+y-5= - WWW.ToanCapBa.Net (93) WWW.ToanCapBa.Net (d3) (d1) -3 (d2) I x Miền I là miền nghiệm Ví dụ 2: x y x y Giải hệ Giải Vẽ các đường thẳng : (d1): x= (d2): y= (d3): x+y= y S -1 - WWW.ToanCapBa.Net x (94) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP Bài 1: Giải các bất phương trình bậc hai ẩn a) x+3 +2(2y+5) < 2(1-x) c) 2x-y≤ e) 2x-1<0 g) 2x+y> k) 2x-3y+5 ≥ Bài 2: Giải các hệ bất phương trình hai ẩn a) x y 0 3y 4 2( x 1) x 0 b) x y x y x y 3 x y 9 x y 2 y 8 x y 6 d) b) 4(x-1) + 5(y-3) > 2x-9 d) 3+2y >0 f) x-5y < h) -3x+y+2 ≤ 3 y 2x 3y e) Bài 3: Gọi S là tập hợp các điểm mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình: x y x y 2 x y 5 x 0 Tìm các điểm S làm cho biểu thức F = y-x đạt giá trị nhỏ Bài 4: Gọi S là tập hợp các điểm mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình: x y 0 x y 0 2 x y 0 Tìm các điểm S làm cho biểu thức F =2x+3y đạt giá trị max, - WWW.ToanCapBa.Net (95) WWW.ToanCapBa.Net §5 DẤU TAM THỨC BẬC HAI I/ Tam thức bậc hai Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax 2+bx+c (a 0) Định lý (về dấu tam thức bậc hai) Cho tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c (a 0) và = b2-4ac + Nếu < thì f(x) cùng dấu với hệ số a với x b 2a + Nếu = thì f(x) cùng dấu với hệ số a với + Nếu > thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ( giả sử x1< x2) : x x + x D a áu c u ûa C u øn g d a áu T r a ùid a áu C u øn g d a áu f ( x ) h e äs o áa h e äs o áa h e äs o áa 0 * Chú ý : ta có thể thay ' Ví dụ 1: xét dấu các tam thức sau a) f(x) = 3x2-2x+1 b) f(x) = -4x2+12x-9 Giải ' a) cho f(x) = 3x -2x+1 = tính = -2 < f(x) > x b) cho f(x) = -4x2+12x-9 = tính ' = x c) f(x) = x2-4x-5 f(x) < c) cho f(x)= 0 x2-4x-5 = tính ' = => x1=-1 ;x2 = x f ( x ) + _ + f(x) > x ( ; 1) (5;) f(x) < x ( 1;5) f(x) = x= -1 , x = Ví dụ 2: Xét dấu các biểu thức sau a) A = (2x2+9x+7)(x2+x-6) x2 5x b) B = x x 10 Giải x1 x a) Đặt 2x2+9x+7 = x1 2 x x2+x-6 = - + WWW.ToanCapBa.Net (96) WWW.ToanCapBa.Net x - - x + x + + x+ x -6 + + A -3 -1 + - 0+ + +0 -0+ - + - 0+ II/ Bất phương trình bậc hai Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có các dạng sau: ax2+bx+c > ; ax2+bx+c < ; ax2+bx+c ax2+bx+c ( a 0) Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai ta xét dấu tam thức bậc hai đó , kết hợp với chiều bất phương trình ta tìm nghiệm bất phương trình Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau a) 3x2+2x+5 > S=R b) -2x2+3x+5> S=(-1;5/2) c) -3x2+7x-4 < S=(-;1) (4/3;+) d) 4x -3x+1<0 Vô nghiệm e) 9x2-24x+16 < S=R\{4/3} Ví dụ Giải các bất phương trình sau x2 5x a) A = (2x2+9x+7)(x2+x-6) > b) B = x x 10 < Ví dụ Xác định m để phương trình x +2(m+2)x-2m-1=0 có nghiệm HD: ' =m2+6m+5 m≤5 m1 * Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax2+bx+c không đổi dấu (>0, <0, 0, ≤0) trên R + Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số) a f ( x) 0, x R 0 + Nếu a0 thì: ; a f ( x) 0, x R 0 III/ Hệ bất phương trình bậc hai (10NC) Định nghĩa : Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc hai trở lên Cách giải: - Giải bất phương trình (1) tìm S1 - Giải bất phương trình (2) tìm S2 Giải bất phương trình (n) tìm Sn Khi đó tập nghiệm hệ là: S = S1 S2 … Sn Ví dụ Giải các hệ bất phương trình sau 2 x x x x a) Giải ( ; ) ( 1;) Giải bpt(1) S1 = ; Giải bpt(2) dược S2 = (-3;2) 1989 Vậy nghiệm hệ là S = S1 S2= (-1;2) 2 x x x 11x 18 b) Ví dụ Tìm m thì bpt phương trình sau (2m+1)x2+3(m+1)x+m+1 < (*) vô nghiệm Giải + với a = 0 m= 1 x 0 x (*) 2 m = không thoả - WWW.ToanCapBa.Net (97) WWW.ToanCapBa.Net + với a 0 m đó phương trình đã cho vô nghiệm Mức thu nhập (triệu đồng) Tần số 4,0 2m m a S 4,5 m 0 5,09(m 1) 4(2m 1)(m 31) 0 không có giá trị 5,5 nào m để phương trình vô 5nghiệm 6,0 6.5 7,0 13,0 Cộng 31 - WWW.ToanCapBa.Net (98) WWW.ToanCapBa.Net * Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax2+bx+c không đổi dấu (>0, <0, 0, ≤0) trên R + Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số) + Nếu a0 thì: a f ( x) 0, x R 0 a f ( x ) 0, x R * Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì: x1< < x2 P < (hai nghiệm trái dấu) ¿ P>0 Δ≥0 x1 x2 < ( hai cùng âm) S< ¿{{ ¿ ¿ P>0 Δ≥ 0 < x1 x2 (hai cùng dương) S> ¿{{ ¿ BÀI TẬP 1/ Xét dấu các tam thức bậc hai sau a) 2x2 +5x+2 b) 4x2 3x1 2/ Giải các bất phương trình sau a) x2 2x+3>0 b) x2 +9>6x x x 14 0 e) x x 14 x 1 x 2 x h) x c) 3x2 +5x+1 d) 3x2 +x+5 c) 6x2 x20 d) x2 +3x+6<0 10 x x2 0 2 f) x x 10 g) x i) x x x Đáp số: a) e) S=(;7)(2;2][7;+) 3/ Cho phương trình mx22(m1)x+4m1=0 Tìm m để phương trình có: a) Hai nghiệm phân biệt b) Hai nghiệm trái dấu c) Hai nghiệm dương d) Hai nghiệm âm ' = 12 m 4 m m 13 HD: =0 4/ Tìm m để các phương trình sau nghiệm đúng với x a) mx24(m1)x+m5≤ b) 5x2x+m> c) mx210x5<0 x mx 1 d) x x 16 = 12 m 12 m = 20m+1 = 5m+25 Vì x 3x >0 với x nên qui dồng bỏ mẫu - WWW.ToanCapBa.Net (99) WWW.ToanCapBa.Net m7 = m 2 = 4m 16m e) m(m+2)x +2mx+2>0 Đáp số: a) không có m b) m> 1/20 c) m< 5 d) 7<m<1 5/ Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm a) 5x2x+m ≤0 mx210x50 6/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt a) (m2+m+1)x2+(2m3)x+m5=0 b) x26mx+22m+9m2=0 Đáp số: a) không có m b) 0<m<1 e) m<4 m0 BÀI TẬP Bài 1: Xét dấu các tam thức bậc hai a) 3x2-2x+1 b) -x2+4x+5 c) -4x2+12x-9 d) 3x2-2x-8 Bài 2: Giải các bất phương trình sau a) 2x2-5x+2 < b) -5x2+4x+12 < 2 c) 16x +40x+25 > d) -2x +3x-7 > e) 3x -4x+4 f) x2-x-6 Bài 3: Tìm các giá trị m để các phương trình sau có nghiệm a) (m-5)x2-4mx+m-2 = b) (m-2)x2+2(2m-3)x+5m-6 = c) (3-m)x2-2(m+3)x+m+2 = Bài 4: Xác định m để các tam thức sau dương với x a) 3x2+2(m-1)x+m+4 b) x2+(m+1)x+2m+7 c) 2x2+(m-2)x-m+4 = m 20 m44 =0 m= = m 6 m27 =0 m=9;3 m28 24 , 24 = m =0m= Bài 5: Giải các bất phương trình sau 1 a) x x 1 b) x x ; Kq2: 2<x<2 ; Kq2: 1≤x≤2 Bài 6: Tìm m để a) (m+2)x22(m1)x+m2<0, x R = 8m+20 b) (m2m6)x2+2(m+2)x+1>0, x R = 20m+40 BÀI TẬP THÊM Bài : Giải các phương trình sau : a) b) c) d) e) f) g) h) 69 69 , 2 2 x 0 x2 ; x = ; -2 2 | -3x + 4x + | = | -x | ; x = -1; ; | -2x + 3| - |-4x + | = - | 2x + | ; x = x 3/2 | x-1 | + | x - | = ; x = ; | 3|x-2| - | = ; x = ; ; | 3x - | + x = 11 ; x = 13/4 ; -9/2 |x|-|x-2|=2 ; x 2 | x - | + 2| x - | = ; x = ; 1/3 17 409 i) | x2 - 4x + | = 5x +16 ; x = x 3x j) ; x = - WWW.ToanCapBa.Net (100) WWW.ToanCapBa.Net k) x2 2x x ; x = -1 ; -2 l) 2x x x ; x = m) 15 x x 6 ; x = -1 n) x 12 ; x = -1 o) p) x x x 16 ; x = -4 ; x x x ; x = q) 3x x 2 x 1 ; x = 11 x x 2 r) ; x = Bài : Giải các bất phương trình sau : a) | - x2 | (1+x)2 ; x = -1 x 0 2 b) | x - x +1 | | 3x - - x | ; x 3/2 c) | x2-3x+2 | > | x2 + 3x + | ; x < 53 77 ; 2 ;S=( ) d) | x2 + 6x -7 | < x + e) | x+1 | > x + ; x < -2 x > 1 f) 21 21 ; 2 ; S =( ) 57 57 ( ; )( ;) 2 ; S= | x2 + x | - < g) x2 - | 5x + | > h) x2 + | 3x + | - 7x ; S = i) j) | x | x 1 x2 | x +1 | + | x - | > x2 6x x 1 l) x x 12 x m) x x 12 x n) x x 10 x 2 o) x x 4x 2x 1 q) x2 2x 2x 19 ] [ ;) ; S = (-5 ; -2 ) ; x < -2 x > k) p) ( ; r) x 1 x x s) 7 x (-1 ; + ) ; x < 1/8 ; S = (-169/25 ; -1] [0;+ ) ; x -3 < x < 61/13 ; S = R ; x / < x ; < x < 1/4 ;x>3 22 ; ;S=( ) x x ; x < -2 14 x 9 x 1 ; x 5 t) Bài : Giải các phương trình,bất phương trình sau ( Đặt ẩn số phụ ) - WWW.ToanCapBa.Net (101) WWW.ToanCapBa.Net a) x2 - 4x = x x 12 b) c) ;x=2 x x 15 x x 7 ; x = ; -1/3 x x x x 3x 3x 19 ; x = -2;1 x 5x d) (x + 1)(x + 4) - =6 ; x = -7 ; 2 e) x2 + x 3x 11 3 x f) (x + 5)(x - 2) + g) 3x 5x x( x 3) ; x [1;2] >0 ; x < -4 x >1 x x 1 ; x [-2;-1] [-2/3;1/3] - WWW.ToanCapBa.Net (102) WWW.ToanCapBa.Net Chương V: THỐNG KÊ § BẢNG PHÂN BỐ TẦN SUẤT VÀ TẦN SỐ 1/ Số liệu thống kê Khi thực điều tra thông kê (theo mục đích định trước), cần xác định tập hợp các đơn vị điều tra, dấu hiệu điều tra và thu thập các số liệu Ví dụ: Số liệu thông kê điểm kiểm tra 15' lớp 10CB sau 5 6 4 3 4 6 5 6 7 2/ Tần số-Tần suất Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác ( k≤ n) Gọi xi là giá trị bất kì k giá trị đó, ta có: * Tần số: số lần xuất giá trị xi dãy số liệu đã cho gọi là tần số giá trị đó, kí hiệu là ni Ví dụ: Trong bảng số liệu trên ta thấy có giá trị khác là x1= 2, x2= 3, x3= 4, x4= 5, x5= 6, x6= 7, x7= x1=2 xuất lần n1= (tần số x1 là 2) * Tần suất: n fi i n gọi là tần suất giá tri xi (tỉ lệ ni, tỉ lệ phần trăm) Số Ví dụ: x1 có tần số là 2, đó: f1 40 hay f1 = 5% * Bảng phân bố tần suất và tần số Tên liệu Tần số Tần suất (%) x1 x2 xk n1 n2 nk f1 f2 fk Cộng n1+…+nk 100 % Ví dụ: Bảng phân bố tần số và tần suất điểm kiểm tra 15’ môn toán 10CB Điểm15’ toán Tần số 10 10 Tần suất ( %) 15 25 17,5 25 10 2,5 Cộng 40 100% * Chú ý: Nếu bỏ cột tầng số thì ta bảng phân bố tần suất; bỏ cột tần suất thì ta bảng phân bố tần số 3/ Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp Giả sử n dãy số liệu thông kê đã cho phân vào k lớp (k < n) Xét lớp thứ i k lớp đó, ta có: + Số ni các số liệu thông kê thuộc lớp thứ i tần số lớp đó n fi i n gọi là tần số lớp thứ i + Số Ví dụ: Theo bảng thông kê trên ta có thể phân thành lớp [2;5), [5;7), [7;8] - WWW.ToanCapBa.Net (103) WWW.ToanCapBa.Net Lớp điểm 15’ toán [2;5) [5;7) [7;8] Tần số Tần suất ( %) 18 17 45,0 42,5 12,5 Cộng 40 100% * Bảng này gọi là bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp Nếu bỏ cột tần số thì ta bảng phân bố tần suất ghép lớp; Nếu bỏ cột tần suất thì ta bảng phân bố tần số ghép lớp Ví dụ: Cho các số liệu thống kê ghi theo bảng sau ( thành tích chạy 50m học sinh lớp 10A, đơn vị tính bằng: giây) 6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1 7,2 8,3 8,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5 7,5 7,6 8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất lớp ghép với các lớp: [6,0;6,5); [6,5;7,0);[7,0;7,5);[7,5;8,0);[8,0;8,5);[8,5;9,0] b) Trong lớp 10A số học sinh chạy 50m hết từ giây đến 8,5 giây chiếm bao nhiêu phần trăm? - WWW.ToanCapBa.Net (104) WWW.ToanCapBa.Net §2 BIỂU ĐỒ I/ Biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất Cách vẽ biểu đồ tần suất, tần số hình cột Để mô tả bảng phấn bố tần suất ghép lớp và trình bày các số liệu thống kê, có thể vẽ biễu đồ tần suất hình cột sau: + Chọn hệ trục Oxf với đơn vị trên trục hoành Ox là đơn vị dấu hiệu X nghiên cứu; đơn vị trục tung Of là 1% + Để đồ thị cân đối, đôi phải cất bỏ đoạn náo đó trên trục hoành (hoặc trục tung), dùng dấu "…" để biểu diễn phần bị cắt bỏ + Trên trục hành, đặt các khoảng có các mút biểu diễn cho các mút các lớp bảng phân bố tần suất ( độ dái các khoảng bề rộng các lớp) Ta gọi các khoảng và các lớp này tương ứng Lấy các khoảng đó làm cạnh đáy, vẽ các hình chữ nhật có độ dài các đường cao tần suất các lớp tương ứng và nằm phía chiều dương trục tung Ví dụ: xem SGK * Cách vẽ biểu đồ tần số hình cột: tương tự, thay trục tần suất cột tần số Cách vẽ đường gấp khúc tần suất, tần số + Trong bảng phân bố ghép lớp ta lấy giá trị trung bình cộng hai mút lớp thứ i làm giá trị đại diện lớp đó, kí hiệu là ci + Trên mặt phẳng tọa độ Oxf, xác định điểm (ci;fi), i=1;2;3; ;k + Vẽ đoạn thẳng nối điểm (ci;fi) với điểm (ci+1;fi+1) Ví dụ: xem SGK II Biểu đồ hình quạt + Toàn hình tròn biểu diễn cho 100% + Mỗi hình quạt biểu diễn số phần trăm bảng cấu + Số đo độ (và độ dài ) các cung tròn tương ứng với các hình quạt tỉ lệ với số phần trăm các nhóm bảng cấu - WWW.ToanCapBa.Net (105) WWW.ToanCapBa.Net §3 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG, SỐ TRUNG VỊ, MỐT Để thu thông tin quan trọng từ các số liệu thống kê, người ta sử dụng số đặc trưng như: số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai, dộ lệch chuẩn Các số đạc trưng này phản ánh khía cạnh khác dấu hiệu điều tra 1/ Số trung bình cộng ( x ) * Bảng phân bố tần suất và tần số Tên liệu Tần số x1 x2 xk n1 n2 nk x a) Tính số trung Tần suất (%)bình cộng b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn f1 f2 fk Cộng n=n1+…+nk 100 % Trung bình cộng các số liệu thống kê tính theo công thức; x (n x n x n x ) f x f x f x 11 2 k k k k n 11 2 * Trường hợp Bảng phân bố tần suất và tần số ghép lớp x (n c n c n c ) f c f c f c 11 2 k k k k n 11 2 ci , fi , ni là giá trị đại diện lớp thứ i Ý nghĩa so trung bình: Số trung bình mẫu số liệu dùng làm đại diện cho các số liệu mẫu Nó là số đặc trưng quan trọng mẫu số liệu Ví dụ 1: Một nhà thực vật học đo chiều dài 74 lá cây và thu số liệu sau ( đơn vị mm) Lớp [5,45 ; 5,85) [5,85 ; 6,25) [6,25 ; 6,65) [6,65 ; 7,05) [7,05 ; 7,45) [7,45 ; 7,85) [7,85 ; 8,25) Giá trị đại diện 5,65 6,05 6,45 6,85 7,25 7,65 8,05 Tần số 15 19 16 N = 74 Khi đó chiều dài trung bình 74 lá này là : x 5.5,65 9.6,05 8.7,65 2.8,05 74 6,80 (mm) Ví dụ : Một nhóm 11 học sinh tham gia kì thi Số điểm thi 11 học sinh đó xếp từ thấp đến cao sau: (thang điểm 100): ; ; 63 ; 65 ; 69 ; 70 ; 72 ; 78 ; 81 ; 85 ; 89 Điểm trung bình là: 63 85 89 x= 11 61,09 Quan sát dãy điểm trên, ta thấy hầu hết (9 em) nhóm có số điểm vượt điểm trung bình Như vậy, điểm trung bình này không phản ứng đúng trình độ trung bình nhóm - WWW.ToanCapBa.Net (106) WWW.ToanCapBa.Net 2/ Số trung vị (Me) Khi các số liệu mẫu có chênh lệnh lớn thì số trung bình khó có thể đại diện cho các số liệu mẫu Có số khác thích hợp trường hợp này Đó là số trung vị Định nghĩa: Giả sử ta có dãy n số liệu xếp thành dãy không giảm (hoặc không tăng) Khi đó, số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu là Me là : + số đứng dãy số phần tử n lẻ ; (= n+1 ) + trung bình cộng hai số đứng dãy số phần tử n chẵn n n 1 (=trung bình cộng số hạng thứ và ) Ví dụ 1: Điểm thi toán học sinh sau: 1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10 Ta có Me= Ví dụ 2: Số điểm thi toán học sinh sau: 1; 2,5; 8; 9,5 2,5 5, 25 Ta có Me= 3/ Mốt (MO) Mốt bảng phân bố tần số là giá trị (xi) có tần số (ni ) lớn và kí hiệu là MO Chú ý: Có hai giá trị tần số và lớn tần số các giá trị khác thì ta nói trường hợp này có hai M (1) , M (2) O Mốt, kí hiệu O Ví dụ : Một cửa hàng bán loại quạt với giá tiền là 100, 150, 300, 350, 400, 500 (nghìn đồng) Số quạt cửa hàng bán mùa hè vừa qua thống kê bảng tần số sau: Giá tiền 100 150 300 350 400 500 Số quạt bán 256 353 534 300 534 175 Nhận xét và tìm mốt ? 4/ Chọn đại diện cho các số liệu thống kê: a) Trường hợp các số liệu thông kê cùng loại và số lượng thống kê đủ lớn (n 30) thì ta ưu tiên chọn số trung bình làm đại diện cho các số liệu thống kê ( quy mô và độ lớn) b) Trường hợp không tính giá trị trung bình thì ta chọn số trung vị mốt làm đại diện cho các số liệu thống kê ( quy mô và độ lớn) c) Không nên dùng số trung bình để đại diện cho các số liệu thống kê các trường hợp sau (có thể dùng số trung vị mốt): + Số các số liệu thống kê quá ít (n ≤ 10) + Giữa các số liệu thống kê có chênh lệc quá lớn + Đường gấp khúc tần suất không đối xứng, (và nhiều trường hợp khác) - WWW.ToanCapBa.Net (107) WWW.ToanCapBa.Net §4 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN I PHƯƠNG SAI: s2 Phương sai, kí hiệu là x + Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất sx2 n1 ( x1 x) n2 ( x2 x) nk ( xk x) n f1 ( x1 x )2 f ( x2 x ) f k ( xk x ) + Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp sx2 n1 (c1 x)2 n2 (c2 x ) nk (ck x) n f1 (c1 x) f (c2 x) f k (ck x) + Có thể tính theo công thức sau: sx2 x x n1 x12 n2 x22 nk xk2 f1 x12 f x22 f k xk2 x n Trong đó = (đối với bảng phân bố tần số, tần suất) n1c12 n2 c22 nk ck2 f1c12 f c22 f k ck2 x = n (đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp) *Ý nghĩa phương sai + Phương sai sử dụng để đánh giá mức độ phân tán các số liệu thống kê (so với số trung bình) + Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình xấp xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) các số liệu thống kê càng bé II ĐỘ LỆCH CHUẨN: Khi chú ý đơn vị đo ta thấy phương sai sx2 có đơn vị đo là bình phương đơn vị đo nghiên cứu s2 ( đơn vị đo nghiên cứu là cm thì x là cm2), để tránh tình trạng này ta dùng bậc hai phương sai gọi là độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn, kí hiệu là sx sx sx2 * Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn dùng đánh giá mức độ phân tán các số liệu thống kê (so với số trung bình) Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn để đánh giá vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đó với dấu hiệu X nghiên cứu Ví dụ :Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) 40 ruộng thí nghiệm có cùng diện tích trình bày bảng tần số sau đây: Sản lượng 20 21 22 23 24 (x) N= Tần số (n) 11 10 40 a) Tìm sản lượng trung bình 40 ruộng b) Tính phương sai và độ lệnh chuẩn Giải: a) Sản lượng trung bình 40 ruộng là x 884 40 = 22,1 (tạ) 19598 884 40 = 1,54 ; Độ lệch chuẩn là s = 1,54 1,24 (tạ) b) s2 = 40 - WWW.ToanCapBa.Net (108) WWW.ToanCapBa.Net Ví dụ 2: Điểm trung bình môn học hai học sinh An và Bình năm học vừa qua sau: Môn Điểm TBcủa An Điểm TB Bình Toán Vật lí 7,5 Hóa học 7,8 Sinh học 8,3 Văn học Lịch sử Địa lí 8,2 Anh văn Thể dục Công nghệ 8,3 GDCD a) Tính phương sai, độ lệch chuẩn An , Bình b) Nêu nhận xét a) Từ số liệu cột điểm An ta có 725,91 89,1 S A = 11 - 11 8,5 9,5 9,5 8,5 5,5 9 8,5 10 0,3091 ;SA 0,556 Từ số liệu cột điểm Bình ta có 705,5 89 S B = 11 - 11 2,764; SB 1,663 b) Phương sai điểm các môn học Bình gấp gần lần phương sai điểm các môn học An Điều đó chứng tỏ Bình học lệch An - WWW.ToanCapBa.Net (109) WWW.ToanCapBa.Net THỰC HÀNH GIẢI TOÁN THỐNG KÊ LỚP 10 BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO Sử dụng máy Casio fx - 570 ES (Stat MODE ) Sử dụng máy Casio fx - 500 ES (Stat: MODE ) B(0; 1) + O A(1; 0) A'(-1 ; 0) B'(0; -1) - WWW.ToanCapBa.Net (110) WWW.ToanCapBa.Net Sử dụng máy Casio fx - 570 ES.lus Sử dụng máy Casio fx - 570 MS MODE MODE (SD) Sử dụng máy Casio fx - 500 MS - WWW.ToanCapBa.Net (111) WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP Bài 1/ Cho các số liệu thống kê ghi theo bảng sau (thời gian hoàn thành giản phẩm nhóm công nhân, đơn vị tính: phút) 42 42 42 42 44 44 44 44 44 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 54 54 54 50 50 50 50 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 50 50 50 50 a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất b) Trong 50 công nhân khảo sát, công nhân có thời gian hoàn thành sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm Bài 2/ Cho số liệu thống kê chiều cao 120 học sinh lớp 11, đơn vị tính : cm Như sau Nam Nữ 175 163 146 150 172 141 155 150 176 162 147 151 172 142 156 154 176 161 149 152 172 142 157 152 177 165 148 153 175 150 158 152 176 169 152 155 175 154 159 153 170 144 168 160 170 150 144 160 170 143 167 160 170 152 144 165 170 142 166 160 170 152 143 159 165 141 174 161 170 160 143 165 166 144 173 162 170 160 140 159 175 156 161 172 175 160 145 168 175 157 162 171 176 161 146 159 B 176 160 158 170 176 162 147 168 M2 176 164 159 170 175 164 148 159M 175 163 160 170 176 165 149 168 a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp cho nam và nữ với các lớp: A' O A [135;145); [145;155); [155;165); [165;175); [175;185] y b) Trong số các học sinh chiều cao chưa đến 155cm (của 120 hs khảo sát), học sinh nam đông hay M3 M1 B học sinh nữ đông hơn? B' Bài 3/ Cho số liệu thống kê thời gian từ nhà đến trường bạn A 35 ngày (thời gian tính: phút) sau: 21 22 24 19 23 26 25 M 22 19 23 20 23 27 26 22 20 24 21 24 28 25 A' O A x 21 20 23 22 23 29 26 23 21 26 21 24 28 25 a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: [19;21),[21;23),[23;25),[25;27),[27;29] B' b) Thời gian đến trường từ 21 phút đến 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm? Bài 4/ Cho bảng phân bố ghép lớp ( kết đo 55 hs, đo tổng các góc tứ giác lồi) Lớp số đo (độ) Tần số [535;537) [537;539) 10 [539;541) 25 [541;543) [543;545] Cộng 55 a) Bổ sung thêm cột tần suất b) Nêu nhận xét kết đo 55 học sinh trên Bài 5/ Cho các số liệu thông kê nhiệt độ trung bình (0C) tháng địa phươ A thừ 1961 đến 1990 sau: 27,1 26,9 28,5 27,4 29,1 27,0 27,1 27,4 28,0 28,6 28,1 27,4 27,4 26,5 27,8 28,2 27,6 28,7 27,3 26,8 26,8 26,7 29,0 28,4 28,3 27,4 27,0 27,0 28,3 25,9 - WWW.ToanCapBa.Net (112) WWW.ToanCapBa.Net a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp [25;26), [26;27), [27;28); [28;29), [29;30] b) Trong 30 năm khảo sát, năm có nhiệt độ trung bình tháng (ở địa phương A) từ 28 0C đến 300C chiếm bao nhiêu phần trăm? Bài 6/ a) Mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp đã lập bài tập số cách vẽ biểu đồ tần số hình cột, vẽ đường gấp khúc tần số b) Mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập bài tập số cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột, vẽ đường gấp khúc tần suất c) Dựa vào biểu đồ tần suất hình cột đã vẽ câu b) nêu nhận xét thời gian bạn A từ nhà tới trường 35 ngày khảo sát Bài 7/ a) Trong cùng hệ trục tọa độ hãy vẽ: Đường gấp khúc tần suất mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập bài tập số theo chiều cao học sinh nam; Đường gấp khúc tần suất mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập bài tập số theo chiều cao học sinh nữ; b) Dựa vào các đường gấp khúc tần suất đã vẽ câu a) hãy so sánh các phân bố theo chiều cao học sinh nam và nữ Bài 8/ Cho bảng phân bố tần số ghép lớp: Tình hình tham gia hoạt động ngoài lên lớp 73 học sinh lớp 10 trương THPT B ( thời gian tháng) Bài 9/ Cho các biểu đồ hình quạt Cơ cầu chi tiêu người dân Việt Nam, phân theo các khoản chi (%) Dựa vào các biểu đồ hình quạt đã cho, lập bảng trình bày cấu chi tiêu nhân dân Việt Nam năm 1975 và 1989 1989 Bài 10/ a) Bằng hai cách khác nhau, tính số trung bình dãy số liệu chiều cao học sinh nam và nữ cho bảng bài tập b) So sánh chiều cao học sinh nam và nữ nhóm học sinh khảo sát c) Tính chiều cao trung bình tất các học sinh khảo sát Bài 11/ a) Tính số trung bình các số liệu thống kê cho các bài tập 3,4,5 b) Nêu ý nghĩa các số trung bình tính Bài 12/ Cho bảng phân bố tần số - WWW.ToanCapBa.Net (113) WWW.ToanCapBa.Net Mức thu nhập năm 2000 31 gia đình vùng núi cao Mức thu nhập (triệu đồng) Tần số 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6.5 7,0 13,0 31liệu thống kê đã cho a) Tính số trungCộng bình, số trung vị, mốt các số b) Chọn giá trị đại diện cho các số liệu thống kê đã cho Bài 13/ Cho bảng xếp loại lao động học sinh lớp 10A năm học 2000-2001 Loại lao động A B C D Tần số 10 16 16 Cộng 49 a) Tính số trung bình, số trung vị, mốt bảng tính b) Chọn giá trị đại diện cho các giá trị thống kê đã cho quy mô và độ lớn Bài 14/Tính a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn dãy số liệu chiều cao các học sinh nam và học sinh nữ cho bài tập b) Giả sử trường THPT M còn có nhóm học sinh nam lớp 10 chuyên Toán (kí hiệu là nhóm T) có chiều cao trung bình là 163cm, có độ lệch chuẩn là sx=13 So sánh chiều cao ba nhóm học sinh đã cho (nhóm nam, nữ và nhóm T) - WWW.ToanCapBa.Net (114) WWW.ToanCapBa.Net Bài 15/ Hai xạ thủ cùng tập bắn, người đã bắn 30 viên đạn vào bia Kết ghi lại bảng sau: Điểm số A: 10 10 10 10 Điểm số B: 8 10 10 9 9 8 9 10 10 8 9 10 10 y 10 10 B 10 7S 9 8M K a) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn các số liệu thống kê cho bảng trên b) Xét xem lần tập bắn này, xạ thủ nào bắm chụm O H A x Bài 16/ Người ta điều tra sản phẩm hai tổ đóng gói các túi đường (có khối lượng quy định là 2kg) Kết điều tra cho các số liệu thống kê ghi bảng sau: Khối lượng 40 túi đường đóng gói tổ A (đơn vị làB'kg) 1.95 1.94 2.02 1.94 2.09 2.05 1.94 2.01 1.91 2.02 1.92 1.99 1.99 1.97 1.97 1.95 1.93 1.91 2.00 2.03 2.07 1.95 2.02 2.06 5.15 2.05 2.04 1.91 1.96 2.04 2.05 2.14 1.93 2.03 2.02 1.90 1.94 2.00 2.02 2.25 Khối lượng 40 túi đường đóng gói tổ B (đơn vị là kg) 1.77 1.79 1.80 1.69 1.76 1.69 1.69 1.93 1.94 1.98 2.07 1.98 1.96 1.97 2.06 1.96 1.96 1.91 1.93 2.06 1.97 2.07 2.06 2.08 1.91 1.95 2.05 1.93 1.94 2.02 2.22 2.31 1.80 2.30 2.30 2.23 2.31 2.25 2.24 2.23 a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo sản phẩm tổ A với các lớp: [1.90;1.98); [1.98;2.06);[2.06;2.14);[2.14;2.22);[2.22;2.30) b) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo sản phẩm tổ B với các lớp: [1.5;1.7);[1.7;1.9); [1.9;2.1);[2.1;2.3);[2.3;2.5) c) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn các số liệu thống kê cho bảng bảng trên Từ đó xét xem lần điều tra này, sản phẩm tổ nào có khối lượng đồng Bài 17: Số liệu sau đây cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng cửa hàng năm 2005 Đơn vị là triệu đồng T 10 11 12 L 12 15 18 a) Tìm số trung bình, số trung vị b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn Đáp số: a) x 15.67 triệu đồng; 13 13 16 18 14 15 17 20 17 M e 15.5 triệu đồng b) s 5.39; s 2.32 triệu đồng Bài 18 Một cửa hàng vật liệu xây dựng thống kê số bao xi măng bán 23 ngày cuối năm 2005 Kết sau: 47 ; 54 ; 43 ; 50 ; 61 ; 36 ; 65 ; 54 ; 50 ; 43 ; 62 ; 59 ; 36 ; 45 ; 45 ; 33 ; 53 ; 67 ; 21 ; 45 ; 50 ; 36 ; 58 a) Tìm số trung bình, số trung vị b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn - WWW.ToanCapBa.Net (115)