Tính ổn định của một số lớp hệ vi phân có trễ và ứng dụng trong các mô hình sinh thái tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— ĐỒN THÁI SƠN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MƠ HÌNH SINH THÁI Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI-2019 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện TS Trịnh Tuấn Anh Phản biện 1: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học Phản biện 2: PGS.TS Đỗ Đức Thuận, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS Cung Thế Anh, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội Vào hồi ngày tháng năm 2019 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết định tính phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định nghiệm nói riêng, hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống, góp phần giải nhiều vấn đề đặt thực tiễn ứng dụng từ học, vật lý, hóa học, cơng nghệ thơng tin đến mơ hình sinh thái học quần thể, kinh tế mơi trường Trong thực tiễn, nhiều mơ hình ứng dụng mơ tả lớp phương trình vi phân có trễ Sự xuất độ trễ ảnh hưởng đến dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ nói chung tính ổn định, tính chất phổ dụng hệ mơ hình ứng dụng, nói riêng Vì vậy, tốn nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình thực tiễn vấn đề nghiên cứu có tính thời thu hút quan tâm nhiều tác giả nước năm gần Đối với lớp hệ có cấu trúc tương đối đơn giản lớp hệ tuyến tính dừng, hệ có trễ số vv, phương pháp hàm Lyapunov công cụ quan trọng hiệu để nghiên cứu tính ổn định Bằng việc xây dựng phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii phù hợp, điều kiện ổn định hệ thiết lập thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) Khi đó, cơng cụ giải số số thuật tốn tối ưu lồi vận dụng để tìm nghiệm chấp nhận lớp điều kiện LMIs đảm bảo tính ổn định hệ Tuy nhiên, nhiều lớp hệ từ mơ hình thực tiễn nhân tạo, hệ sinh thái, thường có cấu trúc phức tạp, dạng phi tuyến không dừng Việc nghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính ổn định nói riêng, cho lớp hệ địi hỏi phải tiếp tục phát triển công cụ phương pháp nghiên cứu đặc thù Nhiều vấn đề mở hướng nghiên cứu lý thuyết định tính dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ, đặc biệt lớp phương trình mơ tả mơ hình sinh thái học, cần tiếp tục nghiên cứu phát triển Đó lí động lực chúng tơi chọn chủ đề nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình sinh thái Đối tượng nội dung nghiên cứu 2.1 Tính ổn định hữu hạn lớp phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ Mặc dù khái niệm ổn định theo Lyapunov ứng dụng thành công nhiều toán thực tiễn phát triển cách sâu rộng, khái niệm ổn định với thời gian hữu hạn (hay tính ổn định khoảng thời gian ngắn) mang ý nghĩa thực tiễn quan trọng Ra đời từ nửa sau kỉ XX, khái niệm ổn định thời gian hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt mơ hình điều khiển học Một hệ động lực gọi ổn định thời gian hữu hạn cho trước ngưỡng điều kiện đầu (chẳng hạn lân cận trạng thái cân bằng), quỹ đạo nghiệm tương ứng hệ không vượt ngưỡng cho trước khoảng thời gian xác định trước Như vậy, khác với tính ổn định theo Lyapunov (LS), khái niệm thiên định tính, xác định dáng điệu nghiệm vô hạn, ổn định hữu hạn (FTS) khái niệm có tính định lượng Hơn nữa, LS FTS hai khái niệm độc lập theo nghĩa hệ FTS không ổn định theo Lyapunov ngược lại Trong Chương luận án chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng sau n x′i (t) = − (t)xi (t) + bij (t)fj (xj (t)) j=1 (1) n cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), i ∈ [n], t > + j=1 Dựa số kĩ thuật so sánh bất đẳng thức vi phân, thiết lập điều kiện đảm bảo tính ổn định hệ (1) khoảng thời gian hữu hạn cho trước 2.2 Tính tiêu hao lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên Nhiều tốn vật lí kĩ thuật mơ tả hệ phương trình vi phân hàm có tính tiêu hao Đặc tính tiêu hao hệ thể qua tồn tập hấp thụ bị chặn mà quỹ đạo trạng thái hệ vào nguyên sau thời gian hữu hạn Các nghiên cứu tính tiêu hao hệ cho biết dáng điệu tiệm cận nghiệm, vấn đề trọng tâm nghiên cứu định tính hệ phương trình vi phân ứng dụng Trong Chương luận án chúng tơi nghiên cứu tốn phân tích tính tiêu hao lớp hệ phương trình vi phân mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ không đồng dạng sau n x′i (t) = −ai (t)xi (t) + bij (t)fj (xj (t)) j=1 n (2) cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), i ∈ [n], t > + j=1 Để phân tích tính tiêu hao hệ phương trình vi phân dạng (2), chúng tơi phát triển số kĩ thuật so sánh dựa lý thuyết M-ma trận để thiết lập điều kiện đảm bảo tồn tập hấp thụ dạng mũ suy rộng hai trường hợp: (i) hệ số tự phản hồi (tốc độ tự ức chế nơron) thỏa mãn điều kiện quy, (t) ≥ > 0, (ii) hệ số tự phản hồi suy biến, tức (t) > inf t≥0 (t) = 2.3 Sự tồn tính hút tồn cục nghiệm tuần hồn dương mơ hình Nicholson có trễ với hàm suy giảm phi tuyến Các mơ hình tốn học đóng vai trị quan trọng việc mô tả động lực mô hình thực tiễn Ví dụ, Nicholson sử dụng phương trình vi phân N ′ (t) = −αN(t) + βN(t − τ )e−γN (t−τ ) , (3) α, β , γ số dương, để mô tả sinh trưởng quần thể loài ve châu Úc Mơ hình (3) sau thường gọi mơ hình Nicholson sử dụng phổ biến lĩnh vực động lực học dân số sinh thái học quần thể Trong năm gần đây, lý thuyết định tính mơ hình Nicholson biến thể nghiên cứu phát triển cách rộng rãi Hầu hết kết cơng bố nghiên cứu cho mơ hình Nicholson với tốc độ suy giảm (mortality rate) dân số tuyến tính Một mơ hình với tốc độ suy giảm phụ thuộc tuyến tính vào mật độ thường quần thể có mật độ thấp Theo nhà hải dương học, nhiều mơ hình thủy sản khu bảo tồn biển mô tả phương trình vi phân trễ mơ hình Nicholson với tốc độ suy giảm phụ thuộc phi tuyến vào mật độ dạng N ′ (t) = −D(N(t)) + βN(t − τ )e−γN (t−τ ) , tỉ lệ tử vong D(N) có dạng D(N) = a − be−N (type-I) D(N) = aN b+N (type-II) với a, b số dương Trong Chương luận án này, nghiên cứu tồn tính hút tồn cục nghiệm tuần hồn dương mơ hình Nicholson có trễ p βk (t)N(t − τk (t))e−γk (t)N (t−τk (t)) ′ N (t) = −D(t, N(t)) + (4) k=1 với tỉ lệ tử vong phụ thuộc phi tuyến vào trạng thái, D(t, N) = a(t)−b(t)e−N Dựa số kĩ thuật so sánh bất đẳng thức vi-tích phân, trước hết chúng tơi tính bền vững tính tiêu hao mơ hình Nicholson (4) Trên sở tính tiêu hao bền vững đều, chứng minh tồn tính hút tồn cục nghiệm tuần hồn dương phương trình vi phân phi tuyến dạng (4) Áp dụng kết tổng qt cho mơ hình Nicholson với hệ số số, thu số kết tồn tại, tính hút tồn cục điểm cân dương mơ hình tương ứng Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng kết hợp công cụ giải tích cổ điển, phương trình vi phân thường, lý thuyết bất đẳng thức vi-tích phân nguyên lí so sánh, lý thuyết ổn định Lyapunov phương pháp sử dụng phiếm hàm lượng kiểu Lyapunov Đặc biệt, luận án, phát triển số kĩ thuật so sánh để thiết lập điều kiện thông qua lý thuyết M-ma trận đảm bảo tính ổn định, tính tiêu hao điều kiện cho tồn nghiệm tuần hoàn dương lớp phương trình vi phân nghiên cứu luận án Kết đạt luận án Luận án đạt kết sau đây: Thiết lập điều kiện thơng qua tính chất phổ M-ma trận đảm bảo tính ổn định hữu hạn tính đồng với tốc độ lũy thừa mơ hình mạng nơron Hopfiled với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ Chứng minh tính tiêu hao tồn cục lớp hệ phương trình vi phân mơ tả lớp mạng nơron Hopfiled hai trường hợp hệ số phản hồi thỏa mãn điều kiện quy hệ số phản hồi suy biến Chứng minh tồn toàn cục, tính bền vững tính tiêu hao nghiệm dương mơ hình Nicholson có trễ với hàm suy thoái phi tuyến Đưa điều kiện chứng minh tồn nghiệm tuần hồn dương hút tồn cục mơ hình Nicholson nói Một áp dụng với mơ hình Nicholson hệ số số chứng minh tồn điểm cân dương hút toàn cục đưa Các kết luận án công bố 03 báo tạp chí quốc tế danh mục ISI Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình cơng bố tài liệu tham khảo, luận án gồm chương Chương trình bày số kết tính ổn định hữu hạn, tính tiêu hao hệ phương trình vi phân có trễ số kết bổ trợ cho việc trình bày nội dung chương sau luận án Chương nghiên cứu tính ổn định hữu hạn lớp phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ khơng đồng Chương trình bày kết nghiên cứu tính tiêu hao tồn cục lớp phương trình vi phân mơ hình mạng nơron Hopfiled với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ Và cuối cùng, Chương nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm tuần hồn dương mơ hình Nicholson có trễ với tốc độ suy thoái phi tuyến Chương SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết bổ trợ giải tích ma trận, phương trình vi phân, lý thuyết ổn định theo Lyapunov, ổn định thời gian hữu hạn tính tiêu hao số lớp hệ phương trình vi phân có trễ 1.1 M-ma trận Trong mục này, nhắc lại khái niệm tính chất M-ma trận 1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ tính ổn định Lyapunov Xét tốn Cauchy cho phương trình vi phân hàm sau x′ (t) = f (t, xt ), t ≥ t0 , (1.1) xt0 = φ, f : D = [t0 , ∞) × C → Rn φ ∈ C = C([−r, 0], Rn ) hàm ban đầu Giả sử f (t, 0) = hàm f (t, φ) thỏa mãn điều kiện cho với t0 ∈ [0, ∞) φ ∈ C , tốn (1.1) có nghiệm xác định [t0 , ∞) Định nghĩa 1.2.1 Nghiệm x = (1.1) gọi ổn định (theo nghĩa Lyapunov) với ǫ > 0, t0 ∈ R+ , tồn δ(t0 , ǫ) > cho φ C < δ(t0 , ǫ) kéo theo x(t, φ) < ǫ với t ≥ t0 Nghiệm x = (1.1) gọi ổn định số δ nói khơng phụ thuộc t0 Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm x = (1.1) gọi ổn định tiệm cận x = ổn định tồn số δa > cho với η > tồn T = T (δa , η) > cho φ C < δa kéo theo x(t, φ) < η với t ≥ t0 + T (δa , η) Hơn nữa, số δa chọn tùy ý nghiệm x = gọi ổn định tiệm cận toàn cục Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm x = gọi ổn định mũ toàn cục (GES) tồn số dương α, β cho nghiệm x(t, φ) (1.1) thỏa mãn đánh giá mũ x(t, φ) ≤ β φ C e−α(t−t0 ) , t ≥ t0 (1.2) Định lí 1.2.1 (Định lí Lyapunov-Krasovskii) Giả sử f : R × C → Rn biến tập R × Ω, Ω tập bị chặn C , thành tập bị chặn Rn u, v, w : R+ → R+ hàm liên tục, không giảm, u(0) = 0, v(0) = u(s) > 0, v(s) > s > Nếu tồn phiếm hàm liên tục V : R × C → R+ thỏa mãn u( φ(0) ) ≤ V (t, φ) ≤ v( φ C ), ∀φ ∈ C, (1.3) đạo hàm V (t, φ) dọc theo hệ (1.1) xác định âm theo nghĩa V ′ (t, φ) ≤ −w( φ(0) ) (1.4) Khi đó, nghiệm x = (1.1) ổn định Nếu w(s) > với s > nghiệm x = (1.1) ổn định tiệm cận Hơn nữa, lims→∞ u(s) = ∞ nghiệm x = ổn định tiệm cận toàn cục 1.3 Tính ổn định thời gian hữu hạn 1.3.1 Khái niệm ổn định thời gian hữu hạn Ra đời từ nửa sau kỉ XX, khái niệm ổn định thời gian hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt mơ hình điều khiển học Một hệ ổn định thời gian hữu hạn cho trước ngưỡng điều kiện đầu, quỹ đạo nghiệm tương ứng hệ không vượt ngưỡng cho trước đoạn thời gian xác định trước Để minh họa rõ hơn, ta xét lớp hệ phương trình vi phân thường sau x′ (t) = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 , (1.5) x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái hệ Định nghĩa 1.3.1 Cho trước số dương T tập X0 , Xt Rn , hệ (1.5) gọi ổn định hữu hạn (t0 , T, X0 , Xt ) với x0 ∈ X0 , quỹ đạo nghiệm tương ứng x(t, t0 , x0 ) (1.5) thỏa mãn x(t; t0 , x0 ) ∈ Xt , ∀t ∈ [t0 , t0 + T ] Trong nhiều trường hợp, tập X0 (trạng thái đầu) Xt (tập quỹ đạo) cho dạng ellipsoid ER (ρ) = {x⊤ Rx < ρ : x ∈ Rn }, R ∈ Sn+ ma trận đối xứng xác định dương Định nghĩa 1.3.1 phát biểu dạng sau Định nghĩa 1.3.2 Cho trước cận T > (xác định khoảng thời gian), ma trận R ∈ Sn+ số dương r1 < r2 Hệ (1.5) gọi ổn định hữu hạn (t0 , T, r1 , r2 , R) với x0 ∈ ER (r1 ), quỹ đạo nghiệm tương ứng x(t) = x(t, t0 , x0 ) thỏa mãn x⊤ (t)Rx(t) < r2 với t ∈ [t0 , t0 + T ] 1.3.2 Tính ổn định thời gian hữu hạn lớp hệ tuyến tính với trễ hỗn hợp biến thiên Xét lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên sau t x′ (t) = Ax(t) + Dx(t − τ (t)) + G x(s)ds, t ≥ 0, (1.6) t−κ(t) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, φ ∈ C([−h, 0], Rn ) hàm ban đầu, A, D, G ∈ Rn×n ma trận cho trước, τ (t), k(t) hàm trễ thỏa mãn điều kiện ≤ τ1 ≤ τ (t) ≤ τ2 , τ ′ (t) ≤ µ ≤ 1, ≤ κ1 ≤ κ(t) ≤ κ2 , với µ số xác định tốc độ biến thiên trễ rời rạc τ (t), τ1 , τ2 , κ1 , κ2 cận trễ, h = max{τ2 , κ2 } Định nghĩa 1.3.3 Cho trước số số dương T, r1 , r2 , với r1 < r2 Hệ (1.6) gọi ổn định hữu hạn (r1 , r2 , T ) với φ ∈ C([−h, 0], Rn ), φ x(t, φ) ∞ ∞ ≤ r1 , ta có < r2 với t ∈ [0, T ] Định lí 1.3.1 Cho số dương T, r1 , r2 , r1 < r2 Hệ (1.6) ổn định hữu hạn (r1 , r2 , T ) tồn số dương α, ρi , i = 1, 2, 3, 4, ma trận đối xứng xác định dương P, Q, R ∈ Rn×n thỏa mãn điều kiện sau (1.7a) Π = Π0 + Π1 + Π2 < 0, ρ1 In ≤ P ≤ ρ2 In , ρ2 + τ2 eατ2 ρ3 + ρ1 Q ≤ ρ3 In , eακ2 −1 ρ4 α < (1.7b) R ≤ ρ4 In , r2 r1 (1.7c) e−αT , ei = 0n×(i−1)n In 0n×(3−i)n , i = 1, 2, 3, A = Ae1 + De2 + Ge3 , Π0 = e⊤ PA + ⊤ ατ1 e⊤ Qe Π = κ e⊤ Re − A⊤ P e1 − αe⊤ 2 1 P e1 , Π1 = e1 Qe1 − (1 − µ)e ⊤ κ2 e3 Re3 1.4 Tính tiêu hao số lớp phương trình vi phân có trễ Trong mục này, chúng tơi trình bày số kết tính tiêu hao số lớp phương trình vi phân có trễ Xét hệ phương trình vi phân có trễ sau x′ (t) = F (t, x(t), x(t − τ1 (t)), , x(t − τm (t))), x(t) = φ(t), t ∈ [0, ∞), (1.8) t ∈ [−τ, 0], τk (.) hàm trễ liên tục thỏa mãn ≤ τk (t) ≤ τ với t ≥ 0, k ∈ [m], với τ > số Hàm F : [0, ∞) × Rn × (C([−τ, ∞), Rn ))m → Rn liên tục thỏa Chương TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MƠ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN VÀ TRỄ TỈ LỆ Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định khoảng thời gian hữu hạn lớp hệ phương trình trình vi phân mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ Dựa số kĩ thuật nguyên lý so sánh, thiết lập điều kiện thơng qua tính chất phổ M-ma trận để đảm bảo quỹ đạo nghiệm hệ không vượt ngưỡng cho trước khoảng thời gian hữu hạn Nội dung trình bày chương dựa báo [1] Danh mục cơng trình cơng bố luận án 2.1 Mơ hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ Xét lớp hệ phương trình vi phân mơ tả mạng nơron dạng Hopfield với hệ số biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng n x′i (t) bij (t)fj (xj (t)) = −ai (t)xi (t) + j=1 n cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), t > 0, + (2.1) j=1 xi (0) = x0i , i ∈ [n], n số nơron mạng, xi (t) biến trạng thái nơron thứ i thời điểm t, Ii (t) tín hiệu đầu vào nơron thứ i, (t) > tốc độ tự ức chế nơron thứ i, tốc độ mà không kết nối với nơron khác khơng có tín hiệu đầu vào, nơron i tự giải phóng lượng, bij (t) cij (t) trọng số kết nối nơron, fj (.), gj (.), j ∈ [n], hàm kích hoạt nơron, qij ∈ (0, 1), i, j ∈ [n], số diễn tả độ trễ tín hiệu trạng thái x0 = (x01 , , x0n )⊤ ∈ Rn vectơ giá trị ban đầu Các hệ số bij (t), cij (t), (t) đầu vào Ii (t) giả thiết hàm liên tục R+ − + Giả thiết (A2.1): Tồn số thực lik , lik , k = 1, 2, cho − li1 ≤ fi (x) − fi (y) + ≤ li1 , x−y − li2 ≤ gi (x) − gi (y) + ≤ li2 , ∀x, y ∈ R, x = y x−y 11 (2.2) Nhận xét 2.1.1 Xét hàm F : R+ × Rn × Rn×n → Rn xác định F (t, u, v) = (Fi (t, u, v)) với u = (ui ) ∈ Rn , v = (vij ) ∈ Rn×n n n cij (t)gj (vij ) + Ii (t) bij (t)fj (uj ) + Fi (t, u, v) = −ai (t)ui + j=1 j=1 Do giả thiết (A2.1), F (t, u, v) hàm liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz R+ × Rn × Rn×n Do đó, với vectơ ban đầu x0 ∈ Rn , tồn nghiệm x(t) = x(t, x0 ) hệ (2.1) xác định [0, ∞) 2.2 Tính ổn định hữu hạn mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ không đồng Trong mục này, phát triển khái niệm ổn định với thời gian hữu hạn hệ (2.1) Định nghĩa 2.2.1 Cho trước thời điểm T > số dương r1 < r2 Một nghiệm x∗ (t) (2.1) gọi ổn định hữu hạn (r1 , r2 , T ) nghiệm x(t) (2.1) thỏa mãn x(0) − x∗ (0) ∞ ≤ r1 x(t) − x∗ (t) ∞ < r2 với t ∈ [0, T ] Hệ (2.1) gọi ổn định hữu hạn (r1 , r2 , T ) nghiệm x∗ (t) (2.1) ổn định hữu hạn (r1 , r2 , T ) Giả thiết (A2.2): Các ma trận A(t) = diag{a1 (t), a2 (t), , an (t)}, B(t) = (bij (t)) C(t) = (cij (t)) thoả mãn điều kiện sau (t) ≥ di > 0, |bij (t)| ≤ bij , |cij (t)| ≤ cij , ∀t ≥ 0, i, j ∈ [n], (2.3) , bij cij số biết trước + − + − Kí hiệu Lfi = max{li1 , −li1 }, Lgi = max{li2 , −li2 }, i ∈ [n], Lf = diag{Lf1 , Lf2 , , Lfn }, Lg = diag{Lg1 , Lg2 , , Lgn } A = diag{a1 , a2 , , an }, B = (bij ), C = (cij ), M = BLf + CLg − A Kết mục trình bày định lí Định lí 2.2.1 Giả sử giả thiết (A2.1) (A2.2) thỏa mãn Cho trước số thực < r1 < r2 thời gian T > 0, hệ (2.1) ổn định hữu hạn (r1 , r2 , T ) tồn số dương γ vectơ ξ ∈ Rn , ξ ≻ 0, thỏa mãn điều kiện sau (M − γI) ξ ≺ 0, r2 C(ξ) < e−γT , r1 −1 C(ξ) = ξ + ξ+ kí hiệu số điều kiện ξ 12 (2.4a) (2.4b) Nhận xét 2.2.1 Điều kiện (2.4a) Định lí 2.2.1 khơng đảm bảo tính ổn định tiệm cận hệ (2.1) theo nghĩa Lyapunov Hơn nữa, cần lưu ý điều kiện (2.4a) (2.4b) thỏa mãn với T > 0, r2 > r1 > 0, hệ (2.1) khơng ổn định tiệm cận 2.3 Dáng điệu tiệm cận: Sự đồng nghiệm mơ hình (2.1) Định lí 2.3.1 Giả sử giả thiết (A2.1), (A2.2) thỏa mãn −M M-ma trận không suy biến Khi đó, tồn số β > σ0 > cho hai nghiệm x(t) x∗ (t) (2.1) thỏa mãn đánh giá x(t) − x∗ (t) ∞ ≤β x(0) − x∗ (0) (1 + t)σ0 (2.5) ∞ với t ∈ [0, ∞) Nhận xét 2.3.1 Xét quỹ đạo nghiệm cố định x∗ (t) (2.1) Đánh giá (2.5) quỹ đạo nghiệm x(t) (2.1) có dáng điệu tương tự x∗ (t) thời gian đủ lớn Do đó, bó quỹ đạo nghiệm (2.1) có dáng điệu tương tự x∗ (t) t dần vô hạn Trong lý thuyết hệ thống điều khiển mạng, đặc tính thường gọi tính đồng nghiệm Nhận xét 2.3.2 Hằng số σ0 chứng minh Định lí 2.3.1 xác định tốc độ đồng kiểu lũy thừa nghiệm (2.1) Tốc độ đồng σmax cho thuật tốn sau: • Xác định vectơ ξ ∈ Rn , ξ ≻ 0, thỏa mãn Mξ ≺ 0; • Tính n η = (−Mξ)l = i∈[n] ξj bij Lfj + cij Lgj ξi − ; (2.6) j=1 • Tốc độ đồng kiểu lũy thừa σmax tính lặp n σ ln Lgj cij ξj e max σ > : Hi (σ) = σξi + qij − − η ≤ 0, ∀i ∈ [n] (2.7) j=1 2.4 Ví dụ minh họa Trong mục này, chúng tơi đưa số ví dụ so sánh mô số để minh họa cho tính hiệu điều kiện ổn định đưa mục trước 13 Chương TÍNH TIÊU HAO CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MƠ TẢ MẠNG NƠRON KHÔNG DỪNG CHỨA TRỄ TỈ LỆ Trong chương chúng tơi nghiên cứu tốn phân tích tính tiêu hao lớp hệ phương trình vi phân dạng sau n x′i (t) bij (t)fj (xj (t)) = −ai (t)xi (t) + j=1 n (3.1) cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), t > 0, i ∈ [n], + j=1 hai trường hợp: (i) hệ số tự phản hồi (tốc độ ức chế nơron) thỏa mãn điều kiện quy (t) ≥ > 0, (ii) hệ số tự phản hồi suy biến, tức (t) > inf t≥0 (t) = Như trình bày sơ Chương 1, cách tiếp cận dựa phương pháp đổi biến hay sử dụng biến thể bất đẳng thức Halanay khơng cịn phù hợp với mơ hình (3.1) cấu trúc tự nhiên Vì vậy, để phân tích tính tiêu hao hệ phương trình vi phân dạng (3.1), chúng tơi phát triển số kĩ thuật so sánh dựa lý thuyết M-ma trận để thiết lập điều kiện đảm bảo tồn tập hấp thụ dạng mũ suy rộng Nội dung chương trình bày dựa báo [2] Danh mục cơng trình cơng bố 3.1 Thiết lập sơ Xét hệ (3.1), x(t) = (xi (t)) ∈ Rn vectơ trạng thái nơron, (t) ∈ R+ , i ∈ [n], hệ số tự phản hồi hay tốc độ tự ức chế nơron, bij (t) ∈ R cij (t) ∈ R trọng số liên kết nơron t, fj (.), gj (.), j ∈ [n], hàm kích hoạt nơron, (Ii (t)) vectơ đầu vào hệ qij ∈ (0, 1), i, j ∈ [n], số biểu thị trễ tỉ lệ Điều kiện đầu hệ (3.1) cho xi (0) = x0i , i ∈ [n], (3.2) x0 = (x0i ) ∈ Rn vectơ cho trước Giả thiết (A3.1): Tồn số Lfj ≥ 0, Lgj ≥ 0, j ∈ [n], thoả mãn |fj (a) − fj (b)| ≤ Lfj |a − b|, |gj (a) − gj (b)| ≤ Lgj |a − b| với a, b ∈ R 14 (3.3) Giả thiết (A3.2): Các trọng số liên kế bij (t), cij (t), i, j ∈ [n], tín hiệu đầu vào Ii (t), i ∈ [n], hàm bị chặn, tức tồn số bij , cij I i , i, j ∈ [n], cho |bij (t)| ≤ bij , |cij (t)| ≤ cij , |Ii (t)| ≤ I i , ∀t ≥ 0, i, j ∈ [n] Định nghĩa 3.1.1 Một tập compact Ω ⊂ Rn gọi tập hút tồn cục (3.1) nghiệm x(t) = x(t, x0 ) (3.1) thỏa mãn lim sup ρ(x(t), Ω) = 0, t→∞ ρ(x, Ω) = inf y∈Ω x − y ∞ khoảng cách từ điểm x ∈ Rn đến Ω Định nghĩa 3.1.2 Tập compact Ω ⊂ Rn gọi hút mũ suy rộng (3.1) tồn hàm κ( x0 ∞) ≥ 0, hàm không giảm σ(t) ≥ 0, lim supt→∞ σ(t) = ∞, cho nghiệm x(t) = x(t, x0 ) (3.1) thỏa mãn ρ(x(t), Ω) ≤ κ( x0 −σ(t) , ∞ )e (3.4) t ≥ Nếu σ(t) = αt, α > số, Ω gọi tập hút mũ (3.1) Định nghĩa 3.1.3 Hệ (3.1) gọi tiêu hao toàn cục tồn tập bị chặn B ⊂ Rn cho với tập bị chặn B ⊂ Rn , tồn t∗ = t∗ (B) có tính chất với vectơ ban đầu x0 ∈ B , quỹ đạo nghiệm tương ứng x(t, x0 ) chứa B với t ≥ t∗ (B) Tập B gọi tập hấp thụ hệ (3.1) Nhận xét 3.1.1 Nếu tồn tập hút mũ suy rộng Ω hàm κ(.) cho (3.4) không giảm hệ (3.1) tiêu hao tồn cục Thật vậy, Ω tập hút mũ suy rộng (3.1) với tập bị chặn B ⊂ Rn , đặt r(B) = supx0 ∈B x0 ∞, ta có ρ(x(t), Ω) ≤ κ(r(B))e−σ(t), t ≥ Cho trước ǫ > Kí hiệu Bǫ = {x ∈ Rn : ρ(x, Ω) ≤ ǫ} rõ ràng Bǫ tập bị chặn chứa quỹ đạo {x(t, x0 ) : t ≥ t∗ (B), x0 ∈ B}, t∗ (B) = inf t > : σ(t) ≥ ln κ(r(B)) ǫ Do đó, Bǫ tập hấp thụ (3.1) hệ (3.1) tiêu hao toàn cục 3.2 Tính tiêu hao tồn cục mơ hình (3.1) 3.2.1 Trường hợp hệ số phản hồi quy Giả thiết (A3.3): Tồn số dương , i ∈ [n], cho (t) ≥ , ∀t ≥ 0, i ∈ [n] 15 (3.5) Kí hiệu D = diag(a1 , a2 , , an ) M = D − BLf − CLg , B = (bij ), C = (cij ), Lf = diag(Lf1 , Lf2 , , Lfn ) Lg = diag(Lg1 , Lg2 , , Lgn ) Định lí 3.2.1 Giả sử giả thiết (A3.1)-(A3.3) thỏa mãn Khi đó, M M-ma trận khơng suy biến ta có khẳng định sau: (1) Tập Ω xác định x ∈ Rn : x Ω= ≤ ∞ γ (Mχ)+ tập hút mũ suy rộng hệ (3.1), χ ∈ Rn+ thỏa mãn χ n j=1 (bij |fj (0)| + cij |gj (0)|) + I i Mχ ≻ γ = maxi∈[n] ∞ = 1, ; (2) Hệ (3.1) tiêu hao toàn cục Hệ 3.2.2 Với giả thiết (A3.1)-(A3.3), n n > bji + Lgi Lfi (3.6) cji , i ∈ [n], j=1 j=1 tập Ω= x ∈ Rn : x ∞ ≤ γ σ∗ tập hút mũ suy rộng (3.1) hệ (3.1) tiêu hao toàn cục, n n ∗ σ = i∈[n] − Lfi bji − j=1 Lgi cji j=1 3.2.2 Trường hợp hệ số phản hồi suy biến Trong mục thiết lập điều kiện đảm bảo tính tiêu hao tồn cục hệ (3.1) trường hợp hệ số phản hồi (t) không thỏa mãn điều kiện tính dương (chính quy) Giả thiết (A3.4): Tồn hàm ϕ(t) > số dương aˆi , i ∈ [n], cho t t (t) ≥ a ˆi ϕ(t), ϕ(s)ds < ∞, sup t≥0 qij t ϕ(s)ds = ∞ lim t→∞ (3.7) Giả thiết (A3.5): Tồn số ˆbij ≥ 0, cˆij ≥ Iˆi ≥ cho |bij (t)| ˆ ≤ bij , (t) |cij (t)| ≤ cˆij , (t) |Ii (t)| ≤ Iˆi , ∀i, j ∈ [n], t ≥ (t) (3.8) Nhận xét 3.2.1 Các giả thiết (A3.4) (A3.5) hiển nhiên thỏa mãn với ˆbij = bij a−1 i , cˆij = cij a−1 i , i, j ∈ [n], ϕ(t) = 1+t giả thiết (A3.2) (A3.3) thỏa mãn (trường hợp hệ số phản hồi quy) Vì vậy, (A3.4) (A3.5) điều kiện mở rộng giả thiết (A3.2) (A3.3) 16 Chúng tơi kí hiệu ma trận sau B = (ˆbij ), C = (ˆ cij ), H = En − (BLf + CLg ), đó, để phân biệt, chúng tơi kí hiệu En ma trận đơn vị Rn×n Định lí 3.2.3 Giả sử giả thiết (A3.1), (A3.4), (A3.5) thỏa mãn H M-ma trận không suy biến Khi đó, hệ (3.1) tiêu hao tồn cục hình cầu γˆ B 0, m ˆ +ǫ tập hấp thụ (3.1) với ǫ > cho trước, n m ˆ = (Hη)+ , γˆ = max i∈[n] η ∈ Rn vectơ thỏa mãn η ∞ (ˆbij |fj (0)| + cˆij |gj (0)|) Iˆi + j=1 = Hη ≻ Kết sau suy trực tiếp từ chứng minh Định lí 3.2.3 Hệ 3.2.4 Với giả thiết (A3.1), (A3.4) (A3.5), H M-ma trận khơng suy biến bó nghiệm (3.1) đồng toàn cục Cụ thêt hơn, hai nghiệm x(t) x∗ (t) (3.1) thỏa mãn đánh giá x(t) − x∗ (t) ∞ ≤ x(0) − x∗ (0) η+ η ∈ Rn vectơ thỏa mãn η ∞ −λ0 ∞e t ϕ(s)ds , t ≥ 0, (3.9) = Hη ≻ Trong phần cuối mục xét bất đẳng thức kiểu Halanay với trễ tỉ lệ dạng n + D u(t) ≤ −a(t)u(t) + bj (t)u(qj t) + d(t), t > 0, (3.10) j=1 a(t) > 0, bj (t), j ∈ [n], d(t) hàm liên tục, qj ∈ (0, 1), j ∈ [n], số Hệ 3.2.5 Cho u(t) hàm không âm thỏa mãn (3.10) Giả sử tồn số l > 0, µ0 ∈ (0, 1), µ1 ≥ 0, hàm as (t) > t0 > thỏa mãn điều kiện sau (3.11a) a(t) ≥ las (t), t ≥ t0 , t t t≥t0 as (θ)dθ = ∞, as (θ)dθ < ∞, lim sup qj t t→∞ (3.11b) n |bj (t)| − µ0 a(t) ≤ 0, |d(t)| ≤ µ1 a(t), t ≥ t0 (3.11c) j=1 Khi đó, u(t) hội tụ dạng mũ suy rộng đến ngưỡng 17 µ1 Cụ thể hơn, tồn số − µ0 dương λ˜ cho u(t) thỏa mãn đánh giá u(t) ≤ µ1 µ1 ˜ + max u(0) − , e−λ − µ0 − µ0 t as (θ)dθ , t ≥ (3.12) 3.3 Ví dụ minh họa Mục trình bày số ví dụ mơ kết phân tích lý thuyết trình bày mục trước 18 Chương TÍNH HÚT TỒN CỤC CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN DƯƠNG CỦA MỘT MƠ HÌNH NICHOLSON CĨ TRỄ Trong chương nghiên cứu tồn tính hút tồn cục nghiệm tuần hồn dương mơ hình Nicholson có trễ p βk (t)N(t − τk (t))e−γk (t)N (t−τk (t)) ′ N (t) = −D(t, N(t)) + (4.1) k=1 với tốc độ suy giảm dân số phi tuyến (nonlinear density-dependent mortality term) D(t, N) = a(t) −b(t)e−N Dựa số kĩ thuật so sánh bất đẳng thức vi-tích phân, trước hết thiết lập điều kiện bền vững (permanence) tiêu hao mơ hình Nicholson (4.1) Trên sở tính tiêu hao bền vững đều, chúng tơi chứng minh tồn tính hút toàn cục nghiệm tuần hoàn dương phương trình vi phân phi tuyến dạng (4.1) Áp dụng kết tổng qt cho mơ hình Nicholson với hệ số số, thu số kết tồn tại, tính hút tồn cục điểm cân dương mơ hình tương ứng Nội dung chương dựa báo [3] danh mục cơng trình cơng bố 4.1 Kết sơ Xét mơ hình Nicholson có trễ dạng p βk (t)N(t − τk (t))e−γk (t)N (t−τk (t)) , t ≥ t0 , ′ N (t) = −D(t, N(t)) + (4.2) k=1 (4.3) N(t) = ϕ(t), t ∈ [t0 − τM , t0 ], hàm tốc độ suy giảm dân số D(t, N) có dạng D(t, N) = a(t) − b(t)e−N (4.4) với τM = max1≤k≤p τk+ cận độ trễ Giả thiết (A): (A4.1) a, b, γk : [0, ∞) → (0, ∞), βk : [0, ∞) → [0, ∞) τk : [0, ∞) → [0, τM ] hàm liên tục bị chặn, τM số dương (A4.2) Tồn ω > cho a(.), b(.), βk (.), γk (.) τk (.) thuộc vào Pω (R+ ) 19 Điều kiện (C): (C4.1) a) b(t) ≥ a(t) ≥ a− > 0, b) θ (C4.2) lim sup t→∞ (C4.3) b− a(t) − a+ k=1 > 0, p (C4.4) p βk+ max k=1 βk (t) = σ, γk (t) a − e 1 − γk− r∗ , γk− r∗ e2 e t→∞ 1− p − ̺ lim inf k=1 < b(t) > a(t) σ > e β+ > γk− ̺b− , b+ r∗ = ln b− a+ Điều kiện (A4.1), (C4.1) Kết Tính bền vững C0+ , lim inf t→∞ N (t, t0 , ϕ) ≥ ln(θ) (A4.1), (C4.1a), (C4.2) Tính tiêu hao C0+ , lim supt→∞ N (t, t0 , ϕ) ≤ ln (A4.1), (C4.3) (A4.1), (A4.2), (C4.3) (C4.4) ln ab + ≤ lim inf t→∞ N (t, t0 , ϕ) ≤ lim supt→∞ N (t, t0 , ϕ) Tồn nghiệm ω-tuần hồn dương N ∗ (t) tính hút toàn cục N ∗ (t) C0+ − b+ a− (1− σ e) + ≤ ln b̺ Diễn giải ý nghĩa sinh học, ta thấy dân số suy thối tỉ lệ tiêu vong khơng dương (D(t, 0) ≤ 0) D(t, N) dương N > Điều dẫn đến điều kiện (C4.1) Mặt khác, hầu hết mơ hình dân số, tồn ngưỡng dân số liên quan đến sức chứa môi trường (carrying capacity) Khi dân số lớn, vượt q sức chứa mơi trường, tốc độ tiêu vong lớn tốc độ sinh cực βk (t) diễn tả tốc độ sinh cực đại mơ hình (4.2) Thêm γk (t)e nữa, N lớn D(t, N) xấp xỉ a(t) Với quan sát đặt điều kiện βk (t) p k=1 γ (t)e < a(t) Điều tiết lộ lí việc thiết lập điều kiện (C4.2) nghiên k đại Đại lượng p k=1 cứu dáng điệu tiệm cận mơ hình (C4.3) dạng điều kiện để kiểm chứng (C4.2) (C4.1a) xét đến cận hệ số tốc độ Trong điều kiện (C4.3) đảm bảo không tuyệt chủng không bùng nổ dân số, điều kiện (C4.4) tiết lộ tốc độ đẻ trứng hàng ngày cực đại bé khoảng cách tốc độ sinh tốc độ tử vong cực đại (i.e ̺ = a− − e p k=1 β+ ) dân số γk− ổn định quanh quỹ đạo tuần hồn mơi trường phát triển tuần hồn (hệ số tuần hoàn) quanh điểm cân dương (với mơ hình bất biến) 4.2 Nghiệm dương tồn cục tính bền vững 4.2.1 Sự tồn nghiệm dương tồn cục Trong mục chúng tơi nghiệm (4.2)-(4.4) xuất phát từ tập chấp nhận C0+ nghiệm dương tồn toàn cục 20 Định lí 4.2.1 Giả sử giả thiết (A4.1) thỏa mãn b(t) ≥ a(t) với t ∈ [0, ∞) Khi đó, với ϕ ∈ C0+ , nghiệm N(t, t0 , ϕ) toán (4.2)-(4.4) thỏa mãn N(t, t0 , ϕ) > 0, t ∈ [t0 , η(ϕ)), xác định toàn cục, tức là, η(ϕ) = ∞ Nhận xét 4.2.1 Để đảm tính dương nghiệm (4.2)-(4.4) với điều kiện đầu C0+ , điều kiện b(t) ≥ a(t) bỏ Để cho phản ví dụ, ta xét n = giả sử sup t≥0 t b(t) = δ ∈ [0, 1), a(t) a(s)ds → ∞, t → ∞ Khi đó, ϕ(0)− N(t, t0 , ϕ) ≤ ln e t t0 a(s)ds − +δ 1−e t t0 → ln(δ) < t → ∞ a(s)ds 4.2.2 Tính bền vững Trong mục chúng tơi đưa điều kiện chứng minh tính bền vững mơ hình (4.2) Định lí 4.2.2 Giả sử giả thiết (A4.1) thỏa mãn, b(t) ≥ a(t) ≥ a− > lim inf t→∞ b(t) ≥ eℓm > a(t) (4.5) Khi đó, với ϕ ∈ C0+ , ta có lim inf N(t, t0 , ϕ) ≥ ℓm > t→∞ Nhận xét 4.2.2 Một trường hợp đặc biệt (4.5), với hàm bị chặn a(.), b(.), b− > a+ số ℓm trrong (4.5) cho ℓm = ln b− a+ Kết sau tính tiêu hao hệ (4.2)-(4.4) C0+ theo nghĩa tồn số ℓM > cho lim supt→∞ N(t, t0 , ϕ) ≤ ℓM Định lí 4.2.3 Giả sử giả thiết (A4.1) điều kiện sau thỏa mãn (4.6) b+ ≥ b(t) ≥ a(t) ≥ a− > 0, t ∈ [0, ∞), lim sup t→+∞ a(t) p k=1 βk (t) σ = σ, − > γk (t) e (4.7) Khi đó, hệ (4.2)-(4.4) tiêu hao C0+ Cụ thể hơn, với hàm ban đầu ϕ ∈ C0+ , nghiệm tương ứng N(t, t0 , ϕ) (4.2)-(4.4) thỏa mãn lim sup N(t, t0 , ϕ) ≤ ℓM t→∞ 21 ln a− b+ 1− σ e Hệ 4.2.4 Giả sử giả thiết (A4.1) thỏa mãn, a, b, βk γk hàm bị chặn, γk− > Nếu điều kiện sau thỏa mãn ̺ a − e p βk+ > 0, (4.8a) b− − a+ > 0, (4.8b) − k=1 γk− với ϕ ∈ C0+ ta có ln b− a+ ≤ lim inf N(t, t0 , ϕ) ≤ lim sup N(t, t0 , ϕ) ≤ ln t→∞ t→+∞ b+ ̺ (4.9) 4.3 Tính hút tồn cục nghiệm tuần hoàn dương Trong mục giả sử giả thiết (A4.1), (A4.2) điều kiện (4.8a)-(4.8b) thỏa mãn Để tiện sử dụng, chúng tơi kí hiệu r∗ = ln Chu ý rằng, (4.8b), b− a+ b− a+ ∗ , r = ln b+ ̺ , νk = max 1 − γk− r∗ , e2 eγk− r∗ > r∗ > Thêm nữa, điều kiện r∗ < max γk− không áp đặt nên 1−γk− r∗ số dương, âm không Với ≤ k ≤ p mà − γk− r∗ ≤ 0, ta có νk = e2 Định lí tồn tại, tính hút tồn cục nghiệm tuần hồn dương hệ (4.2)-(4.4) Định lí 4.3.1 Giả sử giả thiết (A4.1), (A4.2), điều kiện (4.8a), (4.8b) điều kiện sau thỏa mãn inf − τk′ (t) = µ > 0, t≥0 p νk βk+ < µ k=1 ̺b− , b+ (4.10) (4.11) ̺ định nghĩa (4.8a) Khi đó, hệ (4.2)-(4.4) có nghiệm ω -tuần hoàn dương N ∗ (t) hút toàn cục C0+ Nhận xét 4.3.1 Các điều kiện (4.10) (4.11) bị ràng buộc số µ > liên quan đến tốc độ độ biến hàm τk (t) Tuy nhiên, số bỏ điều kiện (4.10), (4.11) trở thành điều kiện sau p νk βk+ < k=1 ̺b− b+ Chính xác hơn, chúng tơi phát biểu định lí 22 (4.12) Định lí 4.3.2 Với giả thiết (A4.1), (A4.2), giả sử điều kiện (4.8a), (4.8b) (4.12) thỏa mãn Khi đó, hệ (4.2)-(4.4) có nghiệm ω -tuần hoàn dương N ∗ (t) hút toàn cục C0+ 4.4 Điểm cân dương tính hút tồn cục Trong mục chúng tơi áp dụng kết tổng qt trình bày mục trước cho mơ hình Nicholson mơ tả p βk N(t − τk (t))e−γk N (t−τk (t)) , t ≥ t0 ≥ 0, ′ N (t) = −D(N(t)) + (4.13) k=1 βk ≥ 0, γk > hệ số biết trước, p k=1 βk > Hàm tốc độ suy giảm dân số cho D(N) = a − be−N với a > b > số Trễ biến thiên τk (t) hàm liên tục với giá trị đoạn [0, τM ] Đối với (4.13), điều kiện (4.8a) (4.8b) quy điều kiện kép sau e p βk < a < b γk k=1 (4.14) Mệnh đề 4.4.1 Giả sử điều kiện (4.14) thỏa mãn Khi đó, với ϕ ∈ C0+ , ta có ln b a ≤ lim inf N(t, t0 , ϕ) ≤ lim sup N(t, t0 , ϕ) ≤ ln t→+∞ t→+∞ b a− e p βk k=1 γk (4.15) Định lí 4.4.2 Giả sử q βk k=1 νˆk = max νˆk + eγk < a < b, (4.16) 1 − γk ln( ab ) , b e2 eγk ln( a ) Khi đó, mơ hình (4.13) có điểm cân N ∗ hút tồn cục C0+ 4.5 Ví dụ mơ Mục trình bày hai ví dụ để minh họa cho kết lý thuyết đưa chương 23 KẾT LUẬN CHUNG Các kết đạt Luận án đạt kết sau đây: Thiết lập số điều kiện đủ thơng qua tính chất phổ M-ma trận đảm bảo tính ổn định hữu hạn (Định lí 2.2.1) tính đồng nghiệm với tốc độ lũy thừa (Định lí 2.3.1) lớp phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ không đồng Đưa điều kiện chứng minh tính tiêu hao toàn cục hệ hai trường hợp hệ số phản hồi thỏa mãn điều kiện quy (Định lí 3.2.1) hệ số phản hồi suy biến (Định lí 3.2.3) lớp phương trình vi phân phi tuyến khơng dừng chứa đa trễ tỉ lệ Thiết lập đánh giá mũ suy rộng lớp bất đẳng thức vi phân dạng Halanay với trễ tỉ lệ (Hệ 3.2.5) Chứng minh tồn tồn cục, tính bền vững tính tiêu hao C0+ nghiệm dương mơ hình Nicholson có trễ với hàm tốc độ suy thối phi tuyến (Định lí 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Hệ 4.2.4) Chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn dương hút tồn cục mơ hình Nicholson nói (Định lí 4.3.1) Một áp dụng với mơ hình Nicholson hệ số số chứng minh tồn điểm cân dương hút toàn cục đưa (Định lí 4.4.2) Một số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở liên quan cần tiếp tục nghiên cứu như: • Tính tiêu hao, tính đồng nghiệm hệ phương trình vi phân mô tả mạng nơron khuếch tán với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ • Sự tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hồn dương mơ hình Nicholson có trễ hàm tốc độ suy thoái dạng phân thức D(t, N) = a(t)N N + b(t) 24 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN Le Van Hien, Doan Thai Son, Finite-time stability of a class of non-autonomous neural networks with heterogeneous proportional delays, Applied Mathematics and Compution 251 (2015) 14–23 (SCIE) Le Van Hien, Doan Thai Son, Hieu Trinh, On global dissipativity of nonautonomous neural networks with multiple proportional delays, IEEE Transactions on Neural Network and Learning Systems 29 (2018) 225–231 (SCI) Doan Thai Son, Le Van Hien, Trinh Tuan Anh, Global attractivity of positive periodic solution of a delayed Nicholson model with nonlinear density-dependent mortality term, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, No (2019) 1-21 (SCIE) Các kết luận án báo cáo tại: • Xemina Phương trình vi phân tích phân, Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường ĐHSP Hà Nội • Hội nghị khoa học nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội • Xemina Phịng Tối ưu Điều khiển, Viện Toán học ... chung tính ổn định, tính chất phổ dụng hệ mơ hình ứng dụng, nói riêng Vì vậy, tốn nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình thực tiễn vấn đề nghiên cứu có tính thời... e3 Re3 1.4 Tính tiêu hao số lớp phương trình vi phân có trễ Trong mục này, chúng tơi trình bày số kết tính tiêu hao số lớp phương trình vi phân có trễ Xét hệ phương trình vi phân có trễ sau x′... định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình sinh thái Đối tượng nội dung nghiên cứu 2.1 Tính ổn định hữu hạn lớp phương trình vi phân phi tuyến mơ tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến