PHẦN V: SỐ HỌC 2 tiết Phép chia hết và phép chia còn dư Tính chất 1: “Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n n ≥1” Chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho[r]
(1)PHẦN I: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ (4 tiết) Các bài toán rèn luyện kĩ tính toán Bài 1: Khai triển các đẳng thức 2 3) ( 2) 1) ( 1) 2) ( 1) Bài 2: Phân tích thành các lũy thừa bậc hai 1) 15 2) 10 21 3) 24 4) ( 2) 4) 12 140 5) 14 6) 28 7) 8) 28 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) x2 − 5x + 2) x2 − 7x + 3) x2 + 9x + 20 4) x2 + 6x + 5) 2x2 + 3x − 6) 3x2 − 4x + 7) 4x2 − 7x + 8) 5x2 + 12x − 17 Bài 4: Với x ≥ Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử 1) x x 2) x x Bài 5: Giải các hệ phương trình x 2y 3 1) 2x y 1 3) x x 3x 4y 2 2) 2x 3y 7 4) x x x 7y 3) 2x y 11 5) 2x x 2x 3y 10 4) 3x 2y 2 Bài 6: Tìm giá trị x để 2) x 2x có giá trị lớn x 2x 4) x 4x có giá trị nhỏ 1) x2 − 2x + có giá trị nhỏ 2x 3) 2x có giá trị lớn Bài 7: Tìm các giá trị x Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên 1) A = x 14 2) B = 2x x 5 3) C = x Bài 8: Giải các bất phương trình 1) 5(x − 2) + > − 2(x − 1) 2) + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2) 5x 2x 12 3) 11 3x 5x 15 4) 10 Các bài toán tổng hợp Các dạng toán: 1) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức 3) Dạng giải phương trình, bất phương trình 4) Tìm cực trị biểu thức 5) Xác định giá trị nguyên biến để biểu thức có giá trị nguyên 1 : Bài 1: Cho biểu thức A = x x x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = + c) Với giá trị nào x thì A đạt giá trị nhỏ A HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ Rút gọn ta b) x 7 (2 3) : A c) A = x 4x 4) D = 2x x (1 (3 5) x) (2) A x 1 10 x 3 x x x Bài 2: Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A > HD: a) a ≠ −3, a ≠ A x 1 x b) c) A > x > x < −1 x2 C x : x 1 : x 1 x 1 x Bài 3: Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để biểu thức C xác định b) Rút gọn biểu thức C c) Tính giá trị biểu thức C x 20 d) Tìm các giá trị nguyên x để C có giá trị nguyên HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ b) C x x2 c) C d) x {−1, −3, −4, −6, 2} B Bài 4: Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức B x x1 2x x x x b) Tính giá trị B x 3 c) Với giá trị nào x thì B > 0? B< 0? B = 0? HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: B x b) x 3 ( 1) : B c) B > x > (thỏa); B < x < (Không có nghiệm đk: x > 0); B = x = (loại) x x H : x 1 x x x x x Bài 5: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức H b) Tính giá trị biểu thức H c) Tìm giá trị x để H = 16 HD: a) x > 1: H x x N a ab b Bài 6: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức N x 53 9 b) x 9 H 7 b ab a a b ab b) Tính giá trị N a 3, b a a 1 c) Chứng minh b b thì N có giá trị không đổi ab N b a HD: a) a ≠ 0, b ≠ 0, ab > 0: b) N c) H = 16 x = 26 (3) a a 1 a b 5a N c) b b b (4) PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH (4 tiết) Bài 1: Một người xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h Khi đến B, người đó nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đường AB, biết thời gian lẫn là 50 phút HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0) x x 5 Giải ta được: x = 75 (km) Ta có phương trình: 30 25 Bài 2: Một ôtô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ôtô với vận tốc đó, còn 60km thì nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, đó ôtô đến tỉnh B sớm 1giờ so với dự định Tính quãng đường AB HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120) x x x 60 : 40 60 : 50 40 2 Ta có phương trình: Giải ta được: x = 280 (km) Bài 3: Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80km, lẫn 8giờ 20phút Tính vận tốc tàu thủy nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước là 4km/h HD: Gọi vận tốc tàu thủy nước yên lặng là x km/h (x > 0) 80 80 8 x1 Giải ta được: (loại), x2 = 20 (km) Ta có phương trình: x x Bài 4: Hai canô cùng khởi hành lúc và chạy từ bến A đến bến B Canô I chạy với vận tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc cũ Tính chiều dài quãng sông AB, biết hai canô đến bến B cùng lúc HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0) x x Ta có phương trình: 20 24 Giải ta được: x = 80 (km) Bài 5: Một ca nô và bè gỗ xuất phát cùng lúc từ bến A xuôi dòng sông Sau 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ địa điểm cách A km Tính vận tốc ca nô nước yên lặng biết vận tốc dòng nước là km / h HD: Gọi vận tốc canô nước yên lặng là x km/h (x > 4) 24 16 2 Ta có phương trình: x x Giải ta x1 = (loại), x2 = 20 (km/h) Bài 6: Một người xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách 50 km Sau đó 30 phút, người xe máy từ A và đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0) 50 50 (1,5 1) x 2,5x Ta có phương trình: Giải ta được: x = 12 (thỏa mãn) Bài 7: Một đội xe cần chuyên chở 100 hàng Hôm làm việc, có hai xe điều làm nhiệm vụ nên xe phải chở thêm 2,5 Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết số hàng chở xe là nhau) HD: Gọi x (xe) là số xe đội (x > và x N) 100 100 Giải ta được: x1 = −8 (loại), x2 = 10 (thỏa mãn) Ta có phương trình: x x Bài 8: Để làm hộp hình hộp không nắp, người ta cắt hình vuông góc miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm Hỏi cạnh các hình vuông đó bao nhiêu, biết tổng diện tích hình vuông đó diện tích đáy hộp? HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh hình vuông bị cắt ( < x < 9) (5) 4x (24 2x)(18 2x) Ta có phương trình: Giải ta được: x1 = −18 (loại), x2 = (thỏa) Bài 9: Cho số có hai chữ số Tìm số đó, biết tổng hai chữ số nó nhỏ số đó lần, thêm 25 vào tích hai chữ số đó số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho HD: Gọi số phải tìm là xy (0 < x, y ≤ và x, y Z) 6(x y) 10x y Ta có hệ: xy 25 10y x x 5 y 4 Vậy số phải tìm là 54 Bài 10: Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút và vòi thứ hai 12 phút thì đầy bể Hỏi vòi chảy mình thì phải bao lâu đầy bể HD: Gọi thời gian chảy mình đầy bể vòi I, II là x, y phút (x, y > 80) 80 80 x y 1 x 120 y 240 10 12 Ta có hệ: x y 15 Bài 11: Hai người thợ cùng làm công việc 16giờ thì xong Nếu người thứ làm 3giờ và người thứ hai làm 6giờ thì họ làm 25% công việc Hỏi người làm công việc đó mình thì bao lâu hoàn thành công việc HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm mình xong công việc (x > 0, y > 16) 16 16 x y 1 1 Ta có hệ: x y x 24 y 48 (thỏa mãn điều kiện đầu bài) Bài 12: Một phòng họp có 360 ghế ngồi xếp thành dãy và số ghế dãy Nếu số dãy tăng thêm và số ghế dãy tăng thêm thì phòng có 400 ghế Hỏi phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và dãy có bao nhiêu ghế? HD: Gọi số dãy ghế phòng họp là x dãy (x Z, x > 0) 360 (x 1) 1 400 x Ta có phương trình: Giải ta được: x1 = 15, x2 = 24 ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy (6) PHẦN III: HÀM SỐ & ĐỒ THỊ − HỆ PHƯƠNG TRÌNH (3 tiết) Bài 1: Cho hai đường thẳng y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − Tìm điều kiện m để: a) Hai đường thẳng cắt b) Hai đường thẳng song song với c) Hai đường thẳng trùng HD: a) Hai đường thẳng cắt 2m + ≠ m m 2 b) Hai đường thẳng song song với c) Không xảy Bài 2: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(−1 ; 3) và B(0 ; 5) HD: Phương trình đường thẳng có dạng: y = ax + b Vì đường thẳng qua hai điểm A và B Nên (a, b) là a b 3 b nghiệm hệ: a b 5 Bài 3: Xác định hệ số a, b hàm số y = ax + b trường hợp sau: a) Đồ thị hàm số là đường thẳng có hệ số góc và qua điểm A(−1 ; 3) b) Đồ thị hàm số qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3) c) Đồ thị hàm số qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6) b) (a ; b) = (−2 ; 5) c) (a ; b) (3 ; 0) Bài 4: Cho Parabol (P): y = 2x2 và hai đường thẳng: (d1): mx − y − = và (d2): 3x + 2y − 11 = a) Tìm giao điểm M (d1) và (d2) m = b) Với giá trị nào m thì (d1) song song với (d2) c) Với giá trị nào m thì (d1) tiếp xúc với (P) x y 2 x 3 HD: a) Khi m = thì giao (d1) và (d2) là nghiệm hệ: 3x 2y 11 y 1 M(3 ; 1) m b) (d1) song song với (d2) m 4 c) (d ) tiếp xúc với (P) 2x2 − mx + = có nghiệm kép = m2 = 16 m Bài 5: Cho đường thẳng (d) y = (m − 2)x + n (m ≠ 2) Tìm các giá trị m, n trường hợp sau: a) Đường thẳng (d) qua hai điểm A(−1 ; 2) và B(3 ; −4) b) Đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ và cắt trục hoành điểm có hoành độ c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d1): −2y + x − = d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng(d2): 3x + 2y = e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng (d3): y − 2x + = m n m 1 b) ĐS: ;n 2 HD: a) ĐS: c) ĐS: (d) cắt (d1) m ≠ 2,5 và n tùy ý d) ĐS: (d) song song với (d2) m = 0,5 và n ≠ 0,5 e) ĐS: (d) ≡ (d3) m = và n = Bài 6: Tìm khoảng cách hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết: a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) b) A(−2 ; 2) và B(3 ; 5) 2 HD: a) AB (5 1) (4 1) 5 2 b) AB (3 2) (5 2) 5,83 Bài 7: Tìm giá trị m để ba đường thẳng sau đồng qui: (7) a) (d1): 5x + 11y = b) 3x + 2y = 13 HD: a) ĐS: m = (d2): 10x − 7y = 74 (d2): 2x + 3y = (d3): 4mx + (2m − 1)y = m + (d3): (d1): y = (2m − 5)x − 5m b) m = 4,8 Bài 8: Giải các hệ phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ: 1 x y 5 1 a) x y 5 15 x y 9 x y x y 8 35 b) x y c) x y x y d) 10 1 (x ; y) ; (x ; y) = ; b) c) (x ; y) = (5 ; 3) HD: a) ĐS: 2x 3y 3x y 2 21 3x y 2x 3y 2 (x ; y) ; 66 11 d) (8) PHẦN IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (3 tiết) Bài 1: Cho phương trình: x – 2mx + m + = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x = Tìm nghiệm x2 HD: m = 2, x2 = Bài 2: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = (1) a) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó có nghiệm −2 HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt b) m = m = m 2 Bài 3: Cho phương trình x 3x 0 và gọi hai nghiệm phương trình là x1, x2 Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức sau: 1 a) x1 x 2 2 1 2 c) x1 x 3 b) x x d) x1 x HD: Đưa các biểu thức dạng x1 + x2 và x1x2 sử dụng hệ thức Viét Bài 4: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − = (1) a) Chứng minh m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu HD: a) Chứng minh ' > b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu m < −1 m > Bài 5: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − = (1) a) Giải phương trình (1) m = b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với giá trị m c) gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1) Chứng minh A = x 1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị m HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x 2 2 b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 A không phụ thuộc vào m Bài 6: Gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − = a) Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức P = (x 1)2 + (x2)2 theo m b) Tìm m để P nhỏ HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10 (2m 5) 15 15 m 4 Dấu "=" xảy c) P = Bài 7: Cho phương trình x2 − 6x + m = (m là tham số) (1) a) Giải phương trình (1) với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x và x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20 HD: a) Với m = x1 = 1, x2 = b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2) Bài 8: Cho phương trình x − 4x + k = a) Giải phương trình với k = b) Tìm tất các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = b) ' = − k > k < ĐS: k {1 ; ; 3} Bài 9: Cho phương trình : x − (m + 5)x − m + = (1) a) Giải phương trình với m = b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = −2 HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = b) ĐS: m = − 20 Bài 10: Cho phương trình: (m − 1)x + 2mx + m − = (*) 1) Giải phương trình (*) m = 2) Tìm tất các giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (9) HD: a) Khi m = 1: x 2 m , m 1 b) ĐS: (10) PHẦN V: SỐ HỌC (2 tiết) (Phép chia hết và phép chia còn dư) Tính chất 1: “Trong n số nguyên liên tiếp có và số chia hết cho n (n ≥1)” Chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n thì n số dư khác đôi một, n số dư khác đôi này có số dư 0, tức là có số chia hết cho n Khái niệm: a) Số nguyên tố là số có hai ước là và chính nó b) Hai số nguyên tố cùng là hai số có ước chung lớn là Tính chất 2: a) Nếu a m, a n và (m, n) = thì: a mm b) Nếu a m, a n, a p và m, n, p là ba số đôi nguyên tố cùng thì a mnp Bài 1: Chứng minh rằng: 1) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 2) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 24 3) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 4) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 720 5) Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 6) Tích số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 HD: Dựa trên sở tính chất và để chứng minh Bài tập: Chứng minh m, n N: 1) n3 + 11n HD: n3 + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n 2) n(n + 1)(2n + 1) HD: n(n + 1)(2n + – 3) = 2n(n + 1)(n + 2) – 3n(n + 1) 3) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 HD: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4) n4 – 4n3 – 4n2 + 16n 384 (n chẵn và n > 4) HD: n = 2k và 384 = 27.3 5) n2(n2 – 1) 12 HD: n2(n2 – 1) = (n – 1)n.n(n + 1) 12 6) n2(n4 – 1) 60 HD: n4 – = (n – 1)(n + 1)(n2 – + 5) 7) 2n(16 – n4) 30 HD: 2n(16 – n4) = 32(n – n5) + 30n5 8) mn(m4 – n4) 30 HD: m4 – n4 = (m4 – 1) – (n4 – 1) 9) n3 – 13n HD: n3 – 13n = n(n – 1)(n + 1) – 12n 10) m2n2(m4 – n4) 60 HD: (Kết hợp câu và câu 8) (11) PHẦN VI: HÌNH HỌC (8 tiết) Bài 1: Cho ABC vuôn A, đường cao AH Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, d là tiếp tuyến đường tròn A Các tiếp tuyến đường tròn B và C cắt d theo thứ tự D và E E a) Tính DOE b) Chứng minh: DE = BD + CE c) Chứng minh BD.CE = R2 (R là bán kính đường tròn tâm O) d) Chứng minh BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính DE M A D E BDE D CED 900 HD: a) (Vì BD // CE) DOE 90 B H b) DE = AD + AE = BD + CE (Vì BD = AD và CE = AE) c) v.DOE đường cao OA: OA2 = AD.AE = BD.CE BD.CE = R2 d) Gọi M là trung điểm DE nối OM ta có: OM là đường trung bình hình thang BDEC OM // BD mà BD BC OM BC mà O thuộc C O đường tròn đường kính DE DOE 90 Vậy: BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính DE Bài 2: Cho c.ABC (AB = AC), các đường cao AD và BE cắt H Gọi O là tâm đường tròn ngoại BC a) Chứng minh ED = A tiếp AHE b) Chứng minh DE là tiếp tuyến đường tròn (O) c) Tính độ dài DE biết DH = 2cm, HA = 6cm O BC HD: a) v.BEC có DE là trung tuyến DE = 0 b) BDE cân E1 E B1 D 90 DEO 90 DE là tiếp tuyến BD DH BD BD DE = BD = 4cm c) BDH ADC AD DC H B 1 D E x C Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn đã cho, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By C và D Các đường thẳng AD và BC cắt N Chứng minh rằng: y a) CD = AC + BD D b) MN // AC c) CD.MN = CM.DB x M d) M vị trí nào trên nửa đường tròn đã cho thì tổng AC + BD có giá trị nhỏ nhất? D' C HD: a) CD = CM + MD = AC + BD (Vì AC = CM và BD = DM) N AC AN CM AN b) AC // BD BD ND hay: MD ND MN // AC MN CM c) MN // BD BD CD CD.MN = CM.DB A O B d) AC + BD nhỏ CD nhỏ CD = AB M là điểm nằm chính AB Bài 4: Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O, R), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn Từ điểm M trên cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P và Q a) Chứng minh điểm M chuyển động trên BC thì chu vi APQ có giá trị không đổi B b) Cho BAC 60 và R = 6cm Tính độ dài tiếp tuyến AB và diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC HD: a) Gọi chu vi APQ là p Ta có: p = AP + (BP + CQ) + AQ = AB + AC = Const P M O A D Q C (12) (Vì PQ = MP + MQ = BP + CQ BP = MP, MQ = CQ) b) BAC 60 ABC AOB là nửa tam giác nên: AB = 2.OB = 2R = 2.6 = 12 (cm) Bài 5: Cho c.ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp A , O là trung điểm IK A a) Chứng minh bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc đường tròn tâm O b) Chứng minh AC là tiếp tuyến đường tròn (O) I c) Tính bán kính đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm 1 B HD: a) KBI KCI 180 (Tính chất phân giác) BICK nội tiếp (O) b) C1 OCI C I1 90 OC AC AC là tiếp tuyến (O) 2 2 c) AH AC HC 20 12 16 (cm) OH CH 12 9 AH 16 (cm) K OH HC2 92 122 225 15 (cm) 900 A Vậy: OC = C H O Bài 6: Cho v.ABC ( ), đường cao AH Gọi HD là đường kính đường tròn (A, AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E E D a) Chứng minh BEC là tam giác cân b) Gọi I là hình chiếu A trên BE, chứng minh AI = AH c) Chứng minh BE là tiếp tuyến đường tròn (A, AH) A d) Chứng minh BE = BH + DE I HD: a) ADE = AHC (g.c.g) AE = AC mà BA CE BEC cân b) ABI = AHB (cạnh huyền, góc nhọn) AI = AH c) AI = AH I (O) mà AI BE (gt) BE là tiếp tuyến (O) d) BE = EI + BI = DE + BH B H C Bài 7: Cho v.ABC ( A 90 ) a) Nêu cách dựng đường tròn (O) qua A tiếp xúc với BC B và nêu cách dựng đường tròn (O’) qua A và tiếp xúc với BC C b) Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí nào? c) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh AM là tiếp tuyến chung hai đường tròn O' A d) Cho AB = 36cm, AC = 48cm Tính độ dài BC và các bán O H kính các đường tròn (O) và (O’) 1 HD: a) O là giao đường trung trực AB và Bx BC 2 b) A1 A3 B1 B2 90 OA AM Tương tự với O' c) BC = 60(cm).AO'H BCAO'A = 40(cm).T2: OA = 22,5(cm) B M C Bài 8: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự H và K a) Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp A B b) Tính góc CHK c) Chứng minh KC.KD = KH.KB d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BC thì điểm H chuyển động trên đường nào? HD: a) BHD BCD 90 BHCD nội tiếp 0 b) DHC DBC 45 CHK 45 H E D C K (13) c) KCH KDC (g.g) KC.KD = KH.KB d) BHD 90 Khi E chuyển động trên đoạn BC thì H chuyển động trên BC Bài 9: Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác O) Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn điểm P Chứng minh rằng: a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO là hình bình hành c) Tích CM.CN không phụ thuộc vị trí điểm M C d)* Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định HD: a) OMP ONP 90 ONMP nội tiếp b) OC // MP (cùng vuông góc với AB), MP = OD = OC Suy ra: CMPO là hình bình hành c) COM CND (g.g) Suy ra: M A O 1 CM CO CD CN CM.CN = CO.CD = Const d) ONP = ODP (c.g.c) ODP 90 Suy ra: P chạy trên đường B N E P D F thẳng cố định Vì M [AB] nên P [EF] Bài 10: Cho ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F A a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp E c) Chứng minh AE.AB = AF.AC 1 HD: a) AEHF có ba góc vuông AEHF là hình chữ nhật F b) B E1 F1 BEFC nội tiếp c) AEF ACB (g.g) AE.AB = AF.AC O1 B H O2 C Bài 11: Cho ABC vuông A, đường cao AH, đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) A d Trên đường thẳng d lấy điểm K K a) Chứng minh BC KH b) Kẻ AI là đường cao KAH Chứng minh AI (KBC) I c) Cho AB = 15cm, AC = 20cm, AK = 16cm Tính độ dài các 20 đoạn thẳng BC, KH, IH, IK và tính khoảng cách từ A đến (KBC) C HD: a) BC AH (gt), BC AK vì d (ABC) BC KH A H b) BC (AKH) BC AI, AI KH AI (KBC) 2 c) BC = AC + AB = 625 BC = 25cm AH.BC = AB.AC (= 2SABC) AH = 12cm B KH2 = AK2 + AH2 KH = 20cm IH.KH = AH2 IH = 7,2cm IK = 12,8cm Ta có: AI.KH = KA.AH (= 2SKAH) AI = 9,6cm d Bài 12: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Một S đường thẳng d vuông góc với mp (ABCD) O Lấy điểm S trên đường thẳng d, nối SA, SB, SC và SD a) Chứng minh AC (SBD) b) Chứng minh mp(SAC) mp(ABCD) và mp(SAC) mp(SBD) c) Tính SO biết AB = a và SA = a d) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp S.ABCD HD: a) AO BD (ABCD là hình vuông), SO AO vì SO (ABCD) D C E O A B (14) Suy ra: AO (SBD) hay: AC (SBD) b) SO (SAC), SO (ABCD)(SAC) (ABCD) Tương tự: (SAC) (SBD) vì AO (SAC) và AO (SBD) a AO AC SO a 10 2 2 2 SO = SA − AO c) AB a a 11 SE Sxq = 4SABC SE2 = SO2 + OE2 d) Kẻ SE BC: OE = 1 1 a 10 Sxq SE.BC a 11 V SABCD SO a a 10 3 (cm3) (cm2) (15)