Hình 3 Tất cả các tam giác có đáy a, chiều cao h đều có thể sắp xếp để cạnh đáy của chúng trùng với BC = a, còn đỉnh A ở trên một đường thẳng xy // BC và cách BC một khoảng bằng h.. Tron[r]
(1)PHÒNG GD & ĐT PHÚC THỌ TRƯỜNG THCS HIỆP THUẬN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC: 2009 – 2010 Môn thi: Toán Thời gian: 150 Phút Bài 1: (4điểm) Mỗi câu điểm a) Cho a, b là số tự nhiên lẻ Chứng minh rằng: a – b2 chia hết cho b) Tính tổng: P 15 35 63 399 Giải 2 a) (0,5 điểm) Ta có: a – b = (a – 1) – (b2 – 1) = (a + 1)(a – 1) – (b + 1)(b – 1) (0,5 điểm) Vì (a + 1)(a – 1) là tích số tự nhiên chẵn liên tiếp nên chia hết cho (0,5 điểm) Tương tự: (b +1)(b – 1) (0,5 điểm) Vậy: (a2 – b2 ) (đpcm) b) 2 2 P 15 35 63 399 2 2 (0,5 điểm) 3.5 5.7 7.9 19.21 (0,5 điểm) (0,5 điểm) 1 1 1 5 7 19 21 21 Bài 2: (4điểm) Mỗi câu điểm a) Cho a, b, c là các số thực khác Chứng minh rằng: b c c a a b 2 (a b)(a c ) (b c)(b a) (c a )(c b) a b b c c a b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A x 2009 2010 x (0,5 điểm) Giải a) Ta có: VT b c c a a b (a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b) 1 1 1 a b a c b c b a c a c b 1 1 1 (0,75 điểm) a b c a b c a b c a b c (0,75 điểm) 2 a b b c c a = VP b) A x 2009 2010 x (0,25 điểm) Tập xác định: D = 2009; 2010 (0,5 điểm) (0,25 điểm) Với x D thì A ≥ Do đó: A = Xét: A2 (2) (0,25 điểm) A x 2009 2010 x x 2009 2010 x 1 x 2009 2010 x Ta có: A 1 (vì x 2009 2010 x 0 với x D) <=> A ≥ với x D (0,25 điểm) Vậy: Amin = x 2009 0 x 2009 2010 x 0 x 2010 (0,25 điểm) Xét: (0,25 điểm) A 1 x 2009 2010 x 1 x 2009 2010 x (vì x 2009 2010 x x 2009 2010 x , với x D; BĐT Côsi) <=> A2 ≤ với x D <=> A với x D khi: x – 2009 = 2010 – x <=> x = 2009,5 (0,25 điểm)Vậy Amax = (0,25 điểm) Bài 3: (4 điểm) Mỗi câu điểm a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3x + 7y = 55 a c b) Cho a, b, c, d là các số dương và b d Trục thức mẫu biểu thức sau: a b c d Giải a) 3x + 7y = 55 (0,5 điểm) HS tìm nghiệm nguyên tổng quát phương trình trên: x 110 7t (t ) y 55 3t (0,5 điểm).Để: 110 t x 110 7t (t ) (t ) y 55 3t t 55 (0,5 điểm).=> t 16; 17; 18 (0,5 điểm).Vậy phương trình trên có nghiệm nguyên dương là: (2; 7); (9; 4) ; (16; 1) b) 1 a b c d ( a d ) ( b c) ( a d ) ( b c) ( a d ) ( b c ) ( a d ) ( b c ) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) a d b c a d ad (b c bc ) a d b c a d ad b c bc (3) (0,5 điểm) a d b c a d b c (vì a c => ad = bc => ad 2 bc ) b d Bài (4 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm nằm trên đoạn OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I là trung điểm đoạn MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) J a) Đường thẳng IJ là gì đường tròn (O’) ? Giải thích b) Xác định vị trí M trên đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn Giải (h.1) C J A I M O O’ B D Hình a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB CD : gt) ACMD là hình thoi AC // DM, mà AC CB (do C thuộc đường tròn đường kính AB) DM CB; MJ CB (do J thuộc đường tròn đường kính MB) D, M, J thẳng hàng 0 ˆ ˆ ˆ Ta có : IDM IMD 90 (vì DIM 90 ) ˆ ˆ Mà IJM IDM (do IC = IJ = ID : CJD vuông J có JI là trung tuyến) ˆ ' JMO ˆ ' IMD ˆ ˆ ˆ đối đỉnh) MJO (do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); JMO ' và IMD ˆ ˆ (1,5 điểm) IJM MJO ' 90 (0,5 điểm) IJ là tiếp tuyến (O’), J là tiếp điểm b) Ta có IA = IM AB IO’ = = R (R là bán kính (O)) O’M = O’B (bán kính (O’) JIO’ vuông I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 Mà IJ2 + O’J2 2IJ.O’J = 4SJIO’ R2 (1,5 điểm) Do đó SJIO’ R2 SJIO’ = IJ = O’J và JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên : R 2O’J2 = O’I2 = R2 O’J = (0,5 điểm) Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R Bài (4 điểm) a) Cho tam giác ABC Hãy tìm điểm M cho tổng độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp AMB và BCM là nhỏ (4) b) Trong tất các tam giác có đáy a, chiều cao h, tam giác nào có bán kính đường tròn nội tiếp lớn ? Giải a) (h.2) A R1 H O1 M C B R2 O2 Hình Gọi O1, R1, O2, R2 là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp AMB và BCM (h.2) Xét O1AB : O1A + O1B AB 2R1 AB (0,5 điểm) 2R1 = AB AB là đường kính (O1) và giả sử đường tròn (O1) đường ˆ = 900 (1) kính AB cắt AC H thì AHB (0,5 điểm)Tương tự với O2BC : 2R2 BC Suy R2 nhỏ BC là đường kính ˆ (O2) và giả sử đường tròn (O2) đường kính BC cắt AC H’ thì BH ' C = 900 (2) (1,0 điểm) Từ (1) và (2) suy H’ H Vậy điểm M phải tìm là chân đường cao kẻ từ C’ đỉnh B b) (h.3) (2,0 điểm) Lí luận đúng A x A1 y h B a C Hình Tất các tam giác có đáy a, chiều cao h có thể xếp để cạnh đáy chúng trùng với BC = a, còn đỉnh A trên đường thẳng xy // BC và cách BC khoảng h Trong các tam giác này, ta cần tìm tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn Ta có SABC = ah (5) Mặt khác, r là bán kính đường tròn nội tiếp thì S ABC = r(AB + BC + CA) ah r = AB BC CA Do a, h, BC không đổi nên r có giá trị lớn AB + AC có giá trị nhỏ Gọi C’ là điểm đối xứng C qua xy thì AB + AC = AB + AC’ C’B Khi đó : AB + AC = C’B A A1 ABC cân A (6)