Dap an HSG mon Toan Tinh Hai Duong nam 20122013

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Nội dung 3.[r]

Câu I1: (1,0) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Nội dung điểm 1) Cho hàm số y = x - 3x + mx + Tìm m để hàm số đồng biến trên (2;+  ) 0,25 TXĐ:D=  y’=3x2-6x+m 0,25 y”=6x-6; y”=0<=>x=1 bảng biến thiên x + y" + + + y' m Từ bảng biến thiên =>nếu hàm số đông biến trên (2;+  ) =>y’ 0x   m 0 ngược lại ta thấy m 0  y '  0x   hàm số đồng biến trên (2;+  ) 0,25 0,25 KL: m 0 I2:(1,0)  y  3sin x  cosx  mx 2) Cho hàm số Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x= TXĐ:D=  y’= 3cosx+4sinx+m( x )   Nếu hàm số đạt cực tiểu x = => y’( ) = 0<=>m=-4  Ngược lại: m = - => y’ = 3cosx + 4sinx – 4; y’( ) = 0;y’’= -3sinx + 4cosx   =>y’’( )=-3<0 nên hàm số đạt cực đại x= => m=-4 loại II1:(1,0) 1) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y cos x  sin 0,25 0,25 0,25 0,25 3x 3x cosx   sin 4 với trục hoành 0,25 3x 3x cosx   sin 4 với trục Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số 3x 3x cos x  sin cosx   sin 0 4 hoành là nghiệm phương trình y cos x  sin 3x 3x (1  cosx) 0  (1  cosx)(cosx-1-sin ) 0 4 TH1: cos x  -1  x   k 2 (k  Z )  cos x-1-sin 0,25 cosx 1x cosx=1+sin 3x     (2)  3x  sin 1x   cosx 1    3x  sin   TH2: Do  x k 2   4l  x 4m  x  (m   ) KL: Ak (  k 2 ;0), Bm (m4 ;0) (k , m  ) II2:(1,0) III1:(1,0)  x  3x  ( y  1)3  9( y  1) (1)  (2) 1  x   y  2) Giải hệ phương trình   y   0  y 2 Điều kiện : x, y 1 ;Từ (2) (1)  x  3x ( y  1)3  y  (3) Xét hàm số f(x)=3x2-3 0x 1; f ( x ) 0  x 1  [1;+) => f(x) đồng biến trên [1;+) mà 0,25 0,25 0, 25 0,25  f ( x)  f ( y  1)  x, y   [1;+) (3)  x  y  (3) có  nên 0,25  x 1  x 2   , x y y    y 5 Với thay vào (2) giải x=1và x=2 1) Rút gọn biểu thức 2011 2012 A C2012  22 C2012  3.22 C2012  4.23 C2012   2011.22010 C2012  2012.22011 C2012 0,25 1 x III2:(1,0) cosx=1   3x sin 0 2012 k 2012 C2012  xC2012  x 2C2012   x k C2012   x 2012C2012 (1) (x ) 0,25 Đạo hàm vế (1) ta có 2011 k 2012 2012   x  C2012  xC2012   kx k  1C2012   2012 x 2011C2012 (2) (x) 0,25 Chọn x=-2 thay vào (2) 2011 k 2012 2012    C2012  2( 2)C2012   k ( 2) k  C2012   2012( 2) 2011 C2012 (2) 0,25 2011 2012   2012 C2012  22 C2012  3.2 C2012  4.23 C2012   2011.22010 C2012  2012.2 2011 C2012  A  2012 0,25  s inx    x   0;     cos x  2 Chứng minh bất đẳng thức:  x  với   s inx   x  (0; )   cosx   cosx  cos x    cosx x  (0; ) (1) 2 Ta chứng minh  x    (1)  sin x.cos  x  x3 x  (0; )  sin x.cos  x  x  x  (0; ) 2  f ( x) sin x.cos  x  x ( x  [0; )) 2 2 ; f '( x) 3sin x  cos x sin x  3x Xét 0,25 0,25 f ''( x) 3sin x  2cos  x sin x  4cos  x sin x  x  f '''( x) 6sin x  6cos  x sin x  14cos  x sin x 0x; f '''( x) 0  x 0  [0; )   x  [0; ) ta có f ''( x )  f ''(0) 0 =>f’’(x) đồng biến trên [0; ) nên 0,25 IV1:(1,5)   x  [0; ) ta có f '( x)  f '(0) 0 =>f’(x) đồng biến trên [0; ) nên   x  (0; ) ta có f ( x)  f (0) 0 =>f(x) đồng biến trên [0; ) nên   sin x.cos  x  x3  x  (0; ) Gọi I là trung điểm SE => DI là đường trung bình tam S giác SAE =>DI//AE và DI=AE/2 BD  AE nên BD  DI I D 0,25 0,25 E a C A H x B Đăt x=AB theo công thức đường trung tuyến tam giác SAB ta có SB  AB SA2 x a x2 a 2 2 BD      AE BE  DI  (  ) 4 4 2 9a x BI   16 Tương tự  BI BD  DI  x  0,25 a Do BD  DI => tam giác BDI vuông D Gọi H là tâm tam giác ABC, S.ABC là tam giác nên SH  (ABC)=>SH là đường cao x2 a2 S ABC  AB AC.sin 600   hình chóp; diện tích tam giác ABC là BC x a a  AH    SH  SA2  AH  sin 60 3 3 a 21 VSABC  SH S ABC  54 Thể tích khối chóp S.ABC là AH  0,25 0,25 0,25 IV2:(1,5) 2)Gọi J là giao điểm SG và BC => J là trung điểm BC=> SABJ S ACJ  S ABC V  VS ABJ VS ACJ  VS ABC  2 S N 0,25 G A C M J B VS AMG SA SM SG x V 2x SM SN    VS AMG  ,y ( x, y  (0;1]) VS ABJ SA SB SJ 3 SB SC Đặt 2y V V VS AGN   V1 VS AMG  VS AGN  ( y  x) 3 Tương tự (1) V1 SA SM SN  xy  V1 Vxy (2) V SA SB SC Từ (1) và (2)=>x+y=3xy (*) 0,25 x  y 2 xy Theo bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân ta có Dấu “=” xảy và x=y xy 2 xy  xy  ; Dấu “=” xảy và x=y= Từ (*) ta có V V   V1 xy dấu “=” xảy x=y= => giá trị lớn V1 0,25 x V:(1,0 ) Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 b2 c2 P   (a  b) (b  c) (c  a ) 1 P    x, y , z  b c a b c a x  , y  ,z    (1  ) (1  ) (1  ) a b c  xyz=1 a b c đặt  P 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1   2 (1  x) (1  y ) (1  z )2 Giả sử x=max{x;y;z}   xyz  x  x 1 Ta chứng minh 0,25 1   y, z  2 (1  y ) (1  z )  yz  (1  zy )(2  z  y  z  y ) (1  zy  z  y )  2( z  y )(1  zy )   zy  (1  zy )( y  z )  zy (1  yz ) (1  zy )  2( z  y )(1  zy )  ( z  y )  (1  zy )( y  z )   yz  y z  (1  yz )  ( y  z )2  yz 0  yz ( y  z )  (1  yz ) 0 dấu “=” xẩy z=y=1 1 1 1 x2  x 1  P        (1  x)2 (1  y ) (1  z ) (1  x)2  zy (1  x)  (1  x) x 2 x  x 1 x 1 f ( x)  ( x  [1;+)); f'(x)= 0x 1; f '( x) 0  x 1  [1;+) (1  x ) ( x  1) Xét =>f(x)  f ( x )  f (1)  x 1 đồng biến trên [1;+  ) 3 P  f ( x)  a=b=c thì P= nên GTNN P => 0,25 0,25