Phương pháp số giải bài toán quy hoạch lồi và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRƯƠNG TUẤN HƯNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRƯƠNG TUẤN HƯNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC (Xác nhận) TS Vũ Vinh Quang THÁI NGUYÊN - 2018 iii Mục lục Lời cảm ơn v Bảng ký hiệu Mở đầu Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Mơ hình tổng qt tốn quy hoạch tuyến tính 1.1.1 1.1.2 1.2 1.3 Mơ hình tổng qt Phân loại toán tối ưu Bài toán quy hoạch tuyến tính Một số phương pháp giải 1.3.1 1.3.2 Thuật tốn hình học Thuật toán đơn hình 1.3.3 1.3.4 Thuật tốn đơn hình mở rộng 15 Phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát phần mềm MATLAB 16 Chương BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI, CÁC THUẬT TỐN 18 2.1 Mơ hình toán quy hoạch lồi tổng quát 18 2.2 2.1.1 Khái niệm tập lồi, hàm lồi 18 2.1.2 2.1.3 Khái niệm Gradient đạo hàm theo hướng 20 Bài toán quy hoạch lồi tổng quát, điều kiện tối ưu 21 Cực tiểu hàm lồi biến 22 2.2.1 Thuật tốn chia đơi 22 iv 2.3 2.2.2 Thuật toán mặt cắt vàng 24 Mơ hình tốn quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính 26 2.3.1 2.3.2 2.4 Mơ hình tổng qt 26 Thuật toán Frank-Wolfe 26 Mơ hình tốn quy hoạch lồi với ràng buộc phi tuyến 29 2.4.1 Mơ hình tổng qt 29 2.4.2 Thuật toán Gradient 29 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG THIẾT KẾ TỐI ƯU 3.1 3.2 32 Mô hình tốn sản xuất sản phẩm 32 Mơ hình tốn xác định thiết diện tối ưu giàn chịu lực 36 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 v Lời cảm ơn Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Vũ Vinh Quang, người thầy tận tình hướng dẫn, bảo cung cấp tài liệu hữu ích để tơi hoàn thành luận văn Xin cảm ơn lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái nguyên tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy, cô giáo giảng dạy lớp K10Y truyền đạt kiến thức, phương pháp nghiên cứu khoa học suốt năm học vừa qua Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học K10Y bạn đồng nghiệp động viên, khích lệ tơi q trình học tập, nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình, người thân, người ln động viên, khuyến khích giúp đỡ mặt để tơi hồn thành công việc nghiên cứu vi Lời cam đoan Tôi xin cam đoan: Những nội dung luận văn thực hướng dẫn trực tiếp thầy giáo hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang Mọi tham khảo dùng luận văn trích dẫn rõ ràng tác giả, tên cơng trình, thời gian, địa điểm công bố Tôi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Bảng ký hiệu R Rn Tập số thực Không gian vectơ thực n chiều X Vectơ không gian Rn f (X) → max f (X) → Bài tốn tìm cực đại Bài tốn tìm cực tiểu CT D Vectơ chuyển vị C Miền phương án ∇f |x| Vectơ đạo hàm hướng Giá trị tuyệt đối x |X| x∈D Số phần tử tập X x thuộc D x∈ /D AT x không thuộc D Ma trận chuyển vị ma trận A xopt Là điểm để hàm f (x) đạt giá trị tối ưu f val Exitf lag Giá trị hàm mục tiêu Số nguyên thông báo kết thúc tính tốn lb(lower bound) ub(upper bound) Giới hạn Giới hạn linprog bintprog Lệnh để lấy nghiệm khơng âm Lệnh để lấy nghiệm ngun có giá trị QHT T Quy hoạch tuyến tính Mở đầu Mơ hình tốn quy hoạch phi tuyến tính nói chung quy hoạch lồi nói riêng mơ hình quan trọng lớp tốn tối ưu hóa, có nhiều ứng dụng toán học vật lý Về mặt lý thuyết, có nhiều tài liệu trình bày thuật tốn lý thuyết giải mơ hình tốn mơ hình tổng qt Tuy nhiên việc nghiên cứu cài đặt chi tiết thuật tốn ứng dụng vào số mơ hình toán cụ thể học vật lý chưa nhiều người đề cập đến Nội dung luận văn nghiên cứu sở toán học thuật toán giải tốn quy hoạch lồi có ràng buộc, tìm hiểu chi tiết bước mơ tả thuật tốn, xây dựng sơ đồ khối cài đặt thuật tốn ngơn ngữ lập trình cụ thể Trên sở thuật toán nghiên cứu cài đặt, luận văn xây dựng mơ hình ứng dụng số tốn học vật lý xác định mơ hình tối ưu thiết kế Nội dung luận văn dự kiến gồm có chương, phần phụ lục cấu trúc sau: Chương 1: Trình bày số kiến thức bao gồm mơ hình tổng qt tốn quy hoạch tuyến tính, thuật tốn: Hình học, đơn hình, đơn hình mở rộng phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt phần mềm MATLAB Chương 2: Trình bày kiến thức thuật toán liên quan đến toán quy hoạch lồi bao gồm mơ hình tốn quy hoạch lồi tổng quát, thuật toán giải toán cực tiểu hàm lồi biến, mơ hình tốn quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính, thuật tốn Frank−Wolfe Mơ hình tốn quy hoạch lồi với ràng buộc phi tuyến, thuật tốn Gradient Chương 3: Trình bày số mơ hình tốn ứng dụng thực tế: Mơ hình tốn sản xuất sản phẩm mơ hình tốn xác định thiết diện tối ưu giàn chịu lực Phần phụ lục đưa số chương trình nguồn mơi trường MATLAB giải toán cực trị hàm lồi Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Trương Tuấn Hưng Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Nội dung chương trình bày mơ hình tổng qt tốn quy hoạch tuyến tính, thuật tốn: Hình học, đơn hình, đơn hình mở rộng, phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt phần mềm MATLAB Các kết kiến thức quan trọng ứng dụng chương sau luận văn Các kiến thức tham khảo tài liệu [1, 2] 1.1 Mơ hình tổng qt tốn quy hoạch tuyến tính 1.1.1 Mơ hình tổng quát Tối ưu hóa lĩnh vực quan trọng tốn học có ảnh hưởng đến hầu hết lĩnh vực khoa học, công nghệ kinh tế xã hội Việc tìm giải pháp tối ưu cho tốn thực tế chiếm vai trò quan trọng việc tiến hành lập kế hoạch sản xuất hay thiết kế hệ thống điều khiển trình Nếu sử dụng kiến thức tảng toán học để giải toán cực trị, người ta đạt hiệu kinh tế cao Điều phù hợp với mục đích vấn đề đặt thực tế Bài toán tối ưu tổng quát phát biểu sau: Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm: f (X) → max(min) 31 32 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG THIẾT KẾ TỐI ƯU Nội dung chương đưa số mơ hình tốn thực tế mơ hình hóa dạng toán quy hoach lồi tổng quát Lời giải tốn tìm từ thuật tốn trình bày chương 3.1 Mơ hình toán sản xuất sản phẩm Bài toán: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm A B với hai nguồn nguyên liệu Lượng tối đa loại nguyên liệu MA loại nguyên liệu MB đơn vị ngày Để sản xuất đơn vị A cần pA1 đơn vị nguồn pA2 đơn vị nguồn Một đơn vị B cần pB1 đơn vị nguồn pB2 đơn vị nguồn Giá đơn vị nguồn nguồn cho quan hệ tương ứng (a-bu1) (c-du2), ui số đơn vị nguồn i sử dụng Giá bán đơn vị sản phẩm A B là: sA = fa − ga xA − xB ; sB = fb − gb xA − hb xB 33 Trong xA , xB số đơn vị A B bán Hãy xây dựng phương án sản xuất cho lợi nhuận xưởng lớn nhất, giả thiết sản phẩm bán hết Xây dựng mơ hình tốn học Gọi xA , xB số đơn vị A B sản xuất ngày Yêu cầu ngày nguồn nguồn tương ứng : (pA1xA + pA2xB ); (pB1xA + pB2xB ) Khi theo điều kiện tốn, ta có hệ ràng buộc:    pA1xA + pA2xB ≤ M A;      pB1x + pB2x ≤ M B; A B   xA ≥ 0;      x ≥ 0; B Chi phí cho nguồn nguồn ngày là: (pA1xA + pA2xB ) [(a − b (pA1xA + pA2xB )] + (pB1xA + pB2xB ) [c − d (pB1xA + pB2xB )] Tiền bán sản phẩm ngày: xA (fa − ga xA − xB ) + xB (fb − gb xA − hb xB ) Lợi nhuận tổng cộng tiền bán sản phẩm trừ chi phí Hàm mục tiêu xác định công thức f (x) =(pA1xA + pA2xB ) [(a − b (pA1xA + pA2xB )] + (pB1xA + pB2xB ) [c − d (pB1xA + pB2xB )] − xA (fa − ga xA − xB ) − xB (fb − gb xA − hb xB ) → Nhận xét: Bài toán dạng tốn cực trị hàm lồi với ràng buộc tuyến tính, lời giải tốn xác định thuật toán Frank-Wolf Sau kết toán với số liệu cụ thể: 34 Bài toán: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm A B với hai nguồn nguyên liệu Lượng tối đa nguồn nguồn tương ứng 1000 250 đơn vị ngày Để sản xuất đơn vị A cần đơn vị nguồn 0,2 đơn vị nguồn Một đơn vị B cần 0,5 đơn vị nguồn 0,5 đơn vị nguồn Giá đơn vị nguồn nguồn cho quan hệ tương ứng (0,375-0,00005u1)và (0,75-0,0001u2), ui số đơn vị nguồn I sử dụng Giá bán đơn vị sản phẩm A B là: pA = 2, 00 − 0, 0005xA − 0, 00015xB ; pB = 3, 50 − 0, 0002xA − 0, 0015xB Trong xA , xB số đơn vị A B bán Hãy xây dựng phương án sản xuất cho lợi nhuận xưởng lớn nhất, giả thiêt sản phẩm bán hết Xây dựng mơ hình tốn học Gọi xA , xB số đơn vị A B sản xuất ngày Yêu cầu ngày nguồn nguồn tương ứng : (xA + 0, 5xB ) (0, 2xA + 0, 5xB ) Các ràng buộc là:    xA + 0, 5xB ≤ 1000;      0, 2x + 0, 5x ≤ 250; A B   xA ≥ 0;      x ≥ B Chi phí cho nguồn nguồn ngày là: (xA +0, 5xB [0, 375 − 0, 00005(xA + 0, 5xB )] + (0, 2xA + 0, 5xB [0, 75 − 0, 0001(0, 2xA + 0, 5xB )] Tiền bán sản phẩm ngày: xA (2, 00 − 0, 0005xA − 0, 00015xB )+xB (3, 50 − 0, 0002xA − 0, 00015xB ) Lợi nhuận tổng cộng tiền bán sản phẩm trừ chi phí 35 Hàm mục tiêu xác định công thức f (x) = (xA + 0, 5xB ) [0, 375 − 0, 00005(xA + 0, 5xB )] + (0, 2xA + 0, 5xB ) [0, 75 − 0, 0001(0, 2xA + 0, 5xB )] − xA (2, 00 − 0, 0005xA − 0, 00015xB ) − xB (3, 50 − 0, 0002xA − 0, 00015xB ) → Như ta thu toán f (xA , xB ) = c1 x2A + c2 xA xB + c3 x2B + c4 xA + c5 xB →    xA + 0, 5xB ≤ 1000;      0, 2x + 0, 5x ≤ 250; A B   xA ≥ 0;      x ≥ B Nghiệm tối ưu tốn tìm từ chương trình Frank_wolfee.m Xopt = (1000; 0); fmin = −69995 36 3.2 Mơ hình toán xác định thiết diện tối ưu giàn chịu lực Xét giàn chịu tác dụng lực P (Hình vẽ) Khoảng cách a=10 Gọi vectơ chuyển vị nút z = [z1 ; z2 ]T , Kí hiệu độ dài b1 , b2 , b3 ; b : [b1 ; b2 ; b3 ] Kí hiệu E mơđun đàn hồi, σia ứng suất cho phép i=1,2,3 Yêu cầu: xác định thiết diện ngang độ dài b1 , b2 , b3 (Các biến thiết kế) cho trọng lượng giàn nhỏ nhất, đồng thời thỏa mãn điều kiện ứng suất Mơ hình tốn học Theo lý thuyết sức bền vật liệu, trọng lượng giàn xác định theo công thức : √ √ ψ0 = ρg 10 2b1 + 10b2 + 10 2b3 Theo lý thuyết đàn hồi, phương trình trạng thái giàn có dạng: K(b)z − S = 0; (3.1) 37 Trong K(b) ma trận độ cứng Đây ma trận xác định dương S vectơ tải trọng Ma trận độ cứng vectơ trọng tải xác định công thức: √ K(b) = S= 2E (b1 + b3 ) 40 (b1 − b3 ) (b1 − b3 ) √ b1 + b3 + 2b2 P cos θ P sin θ (3.2) (3.3) Các ứng suất xác định bởi: E(z1 + z2 ) Ez2 E(z2 + z1 ) σ1 = ; σ2 = ; σ3 = 20 20 20 Như vậy, có ràng buộc ứng suất E |z1 + z2 | − σ1a ≤ 0; 20 E |z2 | − σ2a ≤ 0; g2 = 10 E g1 = |z2 − z1 | − σ3a ≤ 20 g1 = (3.4) (3.5) (3.6) Mơ hình tốn giải cách áp dụng phương pháp giải toán quy hoạch phi tuyến bị ràng buộc Để đơn giản ta xét trường hợp: b1 = b3 ; ≤ θ ≤ 900 ; P = 20000lb; σ1a = σ2a = 20000lb/in2 Khi phương trình (3.1) có dạng: √ b1 z1 10 P cos θ √ = E b1 + 2b2 z2 P sin θ Giải phương trình ta được: √ √ 10 2s1 10 2s2 √ z1 = ; z2 = b1 E b1 + 2b2 E (s1 = P cos θ; s2 = P sin θ) Khi bỏ qua đại lượng 10σg = const , ta nhận hàm mục tiêu có 38 dạng: √ ψ0 = 2b1 + b2 (3.7) Các hệ ràng buộc: √ s1 s2 √ − 2000 ≤ 0; + b1 b1 + 2b2 √ 2s2 √ g2 = − 2000 ≤ b1 + 2b2 g1 = (3.8) (3.9) Chúng ta chứng minh mơ hình tốn (3.7)-(3.9) mơ hình tốn quy hoạch lồi phi tuyến Thậy vậy: + Hàm mục tiêu ψ0 tuyến tính biến b1 , b2 hàm mục tiêu hàm lồi miền xác định + Ma trận đạo hàm cấp g1 , g2 là:   √ √ s1 √ + + 2b2 /b1 2s2   s √ √ b1 + 2b2 2 √ √ 2 2s2 √ √ 2 b1 + 2b2 Ma trận đầu xác định dương, ma trận hai bán xác định dương, hàm g1 , g2 lồi Nghiệm tối ưu toán tìm từ thuật tốn gradient Xopt = (7.8868; 4.8882); fmin = 26.3896 39 Kết luận Nội dung luận văn nghiên cứu mơ hình tốn quy hoạch tuyến tính quy hoạch lồi, kết luận văn đạt được: Trình bày thuật tốn giải mơ hình tốn quy hoạch tuyến tính bao gồm: Thuật tốn hình học, thuật tốn đơn hình Nghiên cứu mơ hình toán quy hoạch lồi tổng quát Nghiên cứu thuật tốn tìm nghiệm tối ưu hàm lồi biến số, cài đặt thuật tốn ngơn ngữ lập trình MATLAB Nghiên cứu mơ hình tốn quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính, thuật tốn Frank-Wolfe tìm nghiệm tối ưu Cài đặt thuật tốn ngơn ngữ lập trình MATLAB Nghiên cứu mơ hình toán quy hoạch lồi tổng quát, thuật toán Gradient giải toán sở phối hợp thuật toán Frank-Wolfe với thuật tốn tìm cực trị hàm biến Tìm hiểu số mơ hình tốn thực tế, xây dựng mơ hình tốn học giải toán việc sử dụng thuật tốn trình bày Hướng phát triển luận văn tiếp tục nghiên cứu mơ hình toán cực trị phi tuyến tổng quát thuật tốn tìm nghiệm tối ưu 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Bùi Minh Trí (1999), Quy hoạch toán học, NXB Khoa học Kĩ thuật [2] Nguyễn Nhật Lệ (2009), Các toán tối ưu hóa điều khiển tối ưu, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật Tiếng Anh [3] J Cea (1978), Lectures on Optimization – Theory and Algorithms Tata Institute of Fundamental Ressarch, Springer [4] R Fletcher (2000), Practical Methods of Optimization, Wiley [5] C T Kelley (1999), Iterative Methods for Optimization, SIAM [6] V J Nocedal, S J Wright (1999), Numerical Optimization, Springer 41 PHẦN PHỤ LỤC (Một số chương trình nguồn Matlab) Thuật tốn chia đơi 42 Thuật tốn mặt cắt vàng 43 Thuật toán Frank −Wolfe 44 Thuật toán Gradient 45 ...  - TRƯƠNG TUẤN HƯNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC (Xác... toán quy hoạch lồi bao gồm mơ hình tốn quy hoạch lồi tổng quát, thuật toán giải toán cực tiểu hàm lồi biến, mơ hình tốn quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính, thuật tốn Frank−Wolfe Mơ hình tốn quy. .. tương ứng Output- cho thơng tin phép tính thực 18 Chương BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI, CÁC THUẬT TỐN Nội dung chương trình bày mơ hình tốn quy hoạch lồi tổng qt, thuật toán giải số toán cực tiểu hàm lồi