ĐẶT VẤN ĐỀ: Xuất phát từ yêu cầu của Bộ GD- ĐT, từ thực tiễn dạy học môn toán ở trường THCS Đức Hòa nhóm toán trường chúng tôi đã bàn bạc, thảo luận biên soạn chủ đề: “Tìm giá trị lớn nh[r]
(1)A ĐẶT VẤN ĐỀ: Xuất phát từ yêu cầu Bộ GD- ĐT, từ thực tiễn dạy học môn toán trường THCS Đức Hòa nhóm toán trường chúng tôi đã bàn bạc, thảo luận biên soạn chủ đề: “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số”, nhằm dạy cho đối tượng học sinh khá giỏi và dạy tự chọn phục vụ cho việc giảng dạy học tập ngày Đây là mảng kiến thức khó toán học phổ thông sở mà các em thường gặp số ít sách giáo khoa Khi gặp các bài tập dạng này, học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu phải giải nào? Với mong muốn giúp các em làm quen và nắm cách giải toán dạng này, tôi biên soạn thành chuyên đề để các em tham khảo và có kĩ định giải toán dạng này B CƠ SỞ KHOA HỌC: - Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: a b ab ; Dấu “=” xảy và a = b” ac bd + Bất đẳng thức: + a b c d (BĐT: Bunhiacopxki); a b Dấu “=” xảy và c d a b a b ; Dấu “=” xảy và ab + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nếu y a f ( x) thì y = a f(x) = Nếu y a f ( x) thì max y = a f(x) = + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách ví dụ dạng 2) ……………………………………………………… (2) C NỘI DUNG: CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài toán 1: Tìm GTNN các biểu thức: a) A 4 x x 11 b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) 2 c) C x x y y Giải: 2 a) A 4 x x 11 4 x x 10 x 1 10 10 Min A = 10 x b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36 Min B = -36 x = x = -5 2 c) C x x y y = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 + Min C = x = 1; y = Bài toán 2: Tìm GTLN các biểu thức: a) A = – 8x – x2 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y Giải: a) A = – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 21 Max A = 21 x = -4 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + = -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + (3) Max B = x = 1, y Bài toán 3: Tìm GTNN của: a) M x x x x b) N x 1 x 2 Giải: a) M x x x x Ta có: x x x x x x 3 Dấu “=” xảy và (x – 1)(4 – x) hay x 4 x x x x x x 1 Dấu “=” xảy và (x – 2)(3 – x) hay x 3 Vậy Min M = + = x 3 b) N x 1 x x x Đặt t 2x thì t 1 N 4 Do đó N = t – 3t + = 3 t 0 t Dấu “=” xảy và 2x 3 t 2x 2 x N Do đó Vậy N (t 32 ) x 4 x x x 4 hay Bài toán 4: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3 Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 x2 y x2 y2 y x xy (x y2 ) 2 2 2 M ( x2 y ) 2 (4) Ngoài ra: x + y = x2 + y2 + 2xy = 2(x2 + y2) – (x – y)2 = => 2(x2 + y2) ≥ 1 1 x2 y x y và 2 Do đó 1 1 M ( x2 y2 ) ( x2 y ) M 2 2 Ta có: và 1 M x y và dấu “=” xảy Do đó 1 M x y Vậy GTNN x2 y Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = Tìm GTLN và GTNN biểu thức x2 + y2 Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = x4 + 2x2 + + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + = x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + = -4x2 (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + = -4x2 Suy ra: t2 – 3t + ≤ t .t 0 4 5 3 t t 2 2 5 t 2 3 3 t 2 Vì t = x2 + y2 nên : 3 GTLN x + y = 2 (5) 3 GTNN x2 + y2 = Bài toán 6: Cho ≤ a, b, c ≤ Tìm GTLN và GTNN biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) (vì a, b, c 1 ) Dấu “=” có thể xảy chẳng hạn: a = b = c = Vậy GTNN P = Theo giả thiết ta có: – a 0; – b 0; – c 0; (1-a)(1-b)(1-c) = + ab + bc + ca – a – b – c – abc P = a + b + c – ab – bc – ac 1 abc 1 Dấu “=” có thể xảy chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý 0;1 Vậy GTLN P = Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN và GTNN x + y Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2 2(x2 + y2) (x + y)2 Mà x2 + y2 = (x + y)2 x y x y - Xét x y x y x y Dấu “=” xảy x y - Xét x y x y x y Dấu “=” xảy x y x y Vậy x + y đạt GTNN là (6) Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 27 Tìm GTLN và GTNN biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx Giải: Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) 3(x2 + y2 + z2) 81 x + y + z (1) Mà xy + yz + zx x2 + y2 + z2 27 (2) Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx 36 Vậy max P = 36 x = y = z = Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2 A2 B ( A 1) B B 1 2 2 B 1 -14 P -14 Vì B 27 x y z 2 Vậy P = -14 x y z 27 P A Hay x 13; y 13; z Bài toán 9: Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị x và y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN Tìm GTNN Giải: Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + Đặt t = xy thì: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + = t4 + 2t2 – 40t + 101 = (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45 P 45 và dấu “=” xảy x + y = 10 và xy = Vậy GTNN P = 45 x + y = 10 và xy = Bài toán 10: (7) Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Giải: Ta có: x + y = y = – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + – 4x + x2 = 2x2 – 4x + = 2( x2 – 2x) + = 2(x – 1)2 + Vậy GTNN A là x = y = Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của: y 4x x2 1 Giải: * Cách 1: 4x ax x a y a x 1 x2 1 Ta cần tìm a để ax x a là bình phương nhị thức a ' 4 a(3 a) 0 a 4 Ta phải có: - Với a = -1 ta có: 4x x2 4x ( x 2) y x 1 x2 1 x 1 y Dấu “=” xảy x = -2 Vậy GTNN y = -1 x = -2 - Với a = ta có: 4x -4x x (2 x 1) 4 4 x 1 x 1 x2 1 Dấu “=” xảy x = y (8) Vậy GTLN y = x = * Cách 2: Vì x2 + 0 nên: y 4x yx x y 0 x2 1 (1) y là giá trị hàm số (1) có nghiệm - Nếu y = thì (1) x ' 4 y( y 3) 0 ( y 1)( y 4) 0 - Nếu y 0 thì (1) có nghiệm y 0 y 0 y 0 y 0 y 4 Vậy GTNN y = -1 x = -2 Vậy GTLN y = x = Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: A x2 x 1 x2 x 1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a và phương trình ẩn x sau đây có nghiệm: a x x 1 x x (1) 1 x 0 Do x2 + x + = x2 + 2 x + 4 Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2) Trường hợp 1: Nếu a = thì (2) có nghiệm x = Trường hợp 2: Nếu a thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là 0 , tức là: (a 1) 4( a 1)(a 1) 0 (a 2a 2)( a 2a 2) 0 (3a 1)(a 3) 0 a 3( a 1) (a 1) a 1 x a 2(a 1) 2(1 a ) a = thì nghiệm (2) là Với (9) Với a thì x = Với a = thì x = -1 Kết luận: gộp trường hợp và 2, ta có: GTNN A và x = GTLN A = và x = -1 Bài toán 3: a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = Tìm GTNN biểu thức: A (a b 1)(a b ) a b 1 b) Cho m, n là các số nguyên thỏa 2m n Tìm GTLN B = mn Giải: a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2 a b 2 a 2b 2ab 2 (vì ab = 1) 4 A (a b 1)(a b2 ) 2(a b 1) 2 (a b ) ( a b) a b ab a b Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và a b 4 2 ( a b) 4 a b a b Ta có: (a + b) + Mặt khác: a b 2 ab 2 Suy ra: A 2 (a b ) (a b) 2 8 a b Với a = b = thì A = Vậy GTNN A là a = b = 1 1 b) Vì 2m n nên hai số m, n phải có ít số dương Nếu có hai số là âm thì B < Vì ta tìm GTLN B = mn nên ta xét trường hợp hai số m, n cùng dương 1 3(2m n) 2mn (2m 3)( n 3) 9 Ta có: 2m n Vì m, n N* nên n – -2 và 2m – -1 (10) Ta có: =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra: 2m 1 n + 2m 1 n + m 2 n 12 và B = mn = 2.12 = 24 m 3 n 6 và B = mn = 3.6 = 18 2m 9 + n 1 m 6 n 4 và B = mn = 6.4 = 24 m 2 m 6 Vậy GTLN B = 24 n 12 hay n 4 Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = Tìm GTNN biểu thức: A x2 y2 x y Giải: Ta có thể viết: A x y x xy y xy ( x y )2 xy x y x y x y Do x > y và xy = nên: 2 A ( x y ) xy x y x y x y x y x y x y Vì x > y x – y > nên áp dụng bất đẳng thức côsi với số không âm, ta có: x y x y x y x y ( x y ) 4 ( x y ) 2 x y Dấu “=” xảy (Do x – y > 0) A 2 Từ đó: A 2 3 Vậy GTNN A là x y 2 xy 1 x 1 x 1 y hay y Thỏa điều kiện xy = 1 y x x 1 Bài toán 5: Tìm GTLN hàm số: Giải: Ta có thể viết: 1 y x x 1 1 x 2 (11) 1 3 y x x Dấu “=” xảy Vì 4 Do đó ta có: 1 y x Vậy: GTLN f (t ) t 4t Bài toán 6: Cho t > Tìm GTNN biểu thức: Giải: f (t ) t Ta có thể viết: 4t (2t 1) 4t (2t 1) 1 4t 4t 4t 4t Vì t > nên ta có: f (t ) 1 2t 0 t Dấu “=” xảy Vậy f(t) đạt GTNN là t 2 Bài toán 7: Tìm GTNN biểu thức: g (t ) t2 t 1 Giải: Ta có thể viết: g (t ) t 1 1 2 t 1 t 1 g(t) đạt GTNN biểu thức t đạt GTLN Nghĩa là t2 + đạt GTNN Ta có: t2 + (t2 + 1) = t = g(t) = – = -1 Vậy GTNN g(x) là -1 t = Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = Tìm GTNN biểu thức: E 1 x ( y z ) y ( z x) z ( x y) Giải: 1 1 a ; b ; c abc 1 x y z xyz Đặt 1 a b x y (a b).xy x y c(a b) x y Do đó: Tương tự: y + z = a(b + c) (12) z + x = b(c + a) E 1 1 1 3 x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) 1 a2 b2 c2 3 a b c a (b c) b (c a ) c ( a b) b c c a a b a b c Ta có: b c c a a b (1) Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z x yz yz x zx y xy z a ;b ;c 2 a b c yz x zx y x y z VT b c c a a b 2x 2y 2z a b c Khi đó, 1 y x 1 z x 1 z y 3 1 2 x y 2 x z 2 y z 2 Nhân hai vế (1) với a + b + c > Ta có: a ( a b c ) b( a b c ) c ( a b c ) ( a b c) b c ca a b 2 2 a b c a b c abc 3 E b c c a a b 2 2 GTNN E là a = b = c = Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = (*) 2x 3y a 2x y Tìm GTLN, GTNN biểu thức: Giải: 2x 3y a 2x y Từ a(2x+y+z) = 2x+3y 2ax + ay + 2a – 2x +3y = 2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số (2x; y) và (a – 1; a – 3) Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2] => 4a ( a 1) (a 3) (vì 4x2+y2 = 1) (13) 2 2 Do đó ta có: 4a (a 1) (a 3) a 2a a 6a 2a 8a 10 0 a 4a 0 a 0 (a 1)(a 5) 0 a 0 (Vì a + > a – 1) a 5 * Thay a = vào (1) ta được: -2y = -2 y = Thay y = vào (*) ta có: x = (x; y) = (0;1) * Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5) 12 x y 10 x y y 6x 6x 4x 1 Thay vào (*) ta được: 100 x 60 x 0 x ( x; y ) ; y 10 10 Vậy GTLN a là x = 0; y = x GTNN a là -5 ; y 10 Bài toán 10: Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = Hãy tìm gái trị nhỏ cảu biểu thức: 1 1 x y y M = x Giải: 2 1 1 x y y Ta có: M = x 1 x2 y x y = x2 y 4 x y 2 2 x y = + x + y2 + x y Vì x, y > nên ta có thể viết: x y 0 x y 2 xy 2 xy Mà x + y = nên 1 2 2 16 x y xy (1) (14) Dấu “=” xảy và x y Ngoài ta có: ( x y ) 0 x y 2 xy 2( x y ) 2 xy x y 2( x y ) ( x y )2 2( x y ) 1 (vì x + y = 1) x2 y2 (2) x y Dấu “=” xảy và Từ (1) và (2) cho ta: M 4 ( x y )(1 Do đó: M 1 25 ) 4 (1 16) x y 2 25 Dấu “=” xảy và đồng thời (1) và (2) cùng xảy dấu “=” nghĩa là x y Vậy GTNN M 25 x y và * Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN hàm số: y x x Giải: * Cách 1: x 0 x 4(*) x Điều kiện: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) a b Dấu “=” xảy và c d Chọn a x 2; c 1; b x ; d 1 với x 4 Ta có: (15) x y x x y 4 y 2 y2 x 4 x x 12 12 Vì y > nên ta có: y 2 Dấu “=” xảy x x x 4 x x 3 (Thỏa mãn (*)) Vậy GTLN y là x = * Cách 2: Ta có: y x x x 0 x 4 Điều kiện: 4 x 0 Vì y > nên y đạt GTLN và y2 đạt GTLN 2 Ta có: y x x ( x 2)(4 x) y 2 ( x 2)(4 x) x 0 x 4 4 x 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm Do ( x 2)(4 x) ( x 2) (4 x) 2 cho ta: Do đó y 2 4 Dấu “=” xảy x 4 x x 3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTLN hàm số y là x = Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y 3 x x (1 x 5) Giải: a) GTLN: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số: (3; 4) và ( ( x 1; x ) ta có: y (3 x x ) (32 ) x x 100 <=> y 100 => y 10 Dấu “=” xảy <= x 5 x x 5 x 16 hay (16) 61 => x = 25 (thỏa mãn điều kiện) 61 Vậy GTLN y là10 x = 25 * b) Gía trị nhỏ nhất: Ta có: y = x x 3 x x x = x 1 5 x 5 x x 1 x Đặt: A = x x thì t2 = + 4 => A 2 và dấu “=” xảy x = x = Vậy y 3 + = Dấu “=” xảy x = Do đó GTNN y là x = Bài toán 3: GTNN y là x = x 1994 Tìm GTNN biểu thức: M = ( x 1995) Giải: x 1994 M= ( x 1995) Áp dụng bất đẳng thức: M= = x 1994 x 1995 a b a b ta có: x 1994 x 1995 x 1994 1995 x => M x 1994 1995 x 1 Dấu “=” xảy và (x – 1994) (1995 – x) <=> 1994 x 1995 Vậy GTNN M = 1994 x 1995 Bài toán 4: Tìm GTNN B = 3a + a với -1 a 1 Giải: 16 a 5 a a 25 B = 3a + Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta (17) 3 16 1 a a 16 5 a a 5 25 25 2 2 25a 41 25a 5 5 25 => B => Do đó B 5 và dấu “=” xảy và a 16 1 a 25 <=> a = Vậy GTNN B = <=> a = Bài toán 5: Tìm GTNN biểu thức: A = 2x x Giải: x x 0 x x 1 0 Điều kiện: 2 <=> -(x-1) + 0 x 1 8 2 x 2 2 x 2 Với điều kiện này ta viết: 2 x x x 1 8 x x 2 2 x x 2 2 2 => + 1 Do đó: 2 2x x Vậy A 3 1 21 21 và dấu “=” xảy <=> x -1 = <=> x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTNN A = Bài toán 6: x 1 (18) 3x Tìm GTNN biểu thức: A = x Giải: Điều kiện: – x2 > <=> x2 < <=> - < x < => A > => GTNN A A2 đạt GTNN 3x Ta có: A2 = x2 2 25 30 x x x 16 16 x2 x2 Vậy GTNN A = x Bài toán 7: Cho x > ; y = thỏa mãn x + y 1 Tìm GTNN biểu thức: A = x x2 Giải: Điều kiện: – x2 0 x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 0 và – x2 0 Ta có: x + – x <=> 2 x x 2 x x 2 A A 2 Vậy GTLN A = x = hay x = Bài toán 8: Tìm GTLN biểu thức: y = x 1996 1998 x Giải: Biểu thức có nghĩa 1996 x 1998 Vì y 0 với x thỏa mãn điều kiện 1996 x 1998 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x 1996 1998 x ( x 1996) (1998 x) 2 (19) Dấu “=” xảy và x – 1996 = 1998 – x <=> x = 1997 Do đó y2 4 y 2 Vậy GTLN y là x = 1997 Bài toán 9: 21 x Cho x 1 Tìm GTLN biểu thức y = x + Giải: Ta có: y x 1 x =x+2 1 x Vì x 1 nên – x 0 Áp dụng bất đẳng thức Cô si số: và (1 – x) cho ta: 1 y x x x x 2 1 1 x x Dấu “=” xảy <=> Vậy GTLN y là x = Bài toán 10: Cho M = a a a 15 a Tìm TGNN M Giải: M = a a a 15 a = a a a a 16 a 1 a 1 = Điều kiện để M xác định là a – 0 a 1 M a 1 a 1 Ta có: Đặt x = a điều kiện x 0 x x Do đó: M = Ta xét ba trường hợp sau: (20) x x 2 x 1) Khi x 2 thì x x 4 x Và => M = – x + – x = – 2x 6 2.2 2 Vậy x < thì M 2 2) Khi x 4 thì x x và ¿ x-4 ¿ =x-4 => M = x x 2 x 2 4 2 Vậy x > thì M 2 3) Khi < x < thì x x và x 4 x => M = x – + – x = (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp này thì: a <=> a 16 <=> a 17 Cả ba trường hợp cho ta kết luận: GTNN M = tương ứng với: a 17 D CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: A = (2x – 3)2 – với x x 3 Gợi ý: - Xét trường hợp: x ≥ và x ≤ -1 - Kết luận: Min A = <=> x = 3 Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – Xảy đẳng thức và x = giá trị không thỏa mãn x , không thỏa mãn x 3 Do đó không thể kết luận GTNN A – Bài 2: Gọi x1; x2 là các nghiệm phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = 2 Tìm các giá trị m để x1 x2 có giá trị nhỏ (21) Gợi ý: = 4(m - ) + > Phương trình đã cho có nghiệm với m theo hệ thức Vi- ét, ta có: x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 (2m 1) 2(m 2) 4m 6m 11 11 2m 2 4 = x12 x22 114 => Min ( với m = Bài toán 3: Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Gợi ý: Rút x theo y và vào E Bài toán 4: Tìm GTLN và GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Biết x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = Gợi ý: Từ x2 + y2 – xy = <=> 2x2 + 2y2 – 2xy = <=> A + (x – y)2 = <=> Max A = x = y Mặt khác: 2x2 + 2y2 = + 2xy <=> 3A = + (x + y)2 8 8 => A A = x = - y Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN và GTNN biểu thức: M = x + 2y Giải: (22) Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki 2 (x +2y)2 ( x y ) (12 + 12) = 50 <=> x y 50 50 M 50 5 ;y 2 Vậy Max M = 50 x = 5 Min M = -5 x = - ; y = - 2 Bài tóan 6: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = Tìm GTLN biểu thức: x y 2 A= x y x y Gợi ý: 2 Từ (x2 – y)2 0 x y 2 x y x x => x y x y y y x Tương tự: => A 1 x2 y y x x y 1 xy 1 => Max A = Bài tóan 7: Tìm GTNN biểu thức: A= x x 1 x x 1 Gợi ý: B= x 1 1 x Min B = - x 0 Bài toán 8: Tìm GTNN biểu thức: B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước Gợi ý: (23) a b c a b c 2 x a b c 3 Biểu diễn B = a b c => GTNN B = (a2 + b2 + c2) - 2 Bài toán 9: Tìm GTNN biểu thức: P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 Gợi ý: Biểu diễn P = (x – – y)2 + 5(y – 1)2 + Vậy Min P = y = ; x = Bài toán 10: Tìm GTLN biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – Gợi ý: Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – (y – 2)2 => GTLN E = 10 y = ; x = Bài toán 11: Tìm GTLN biểu thức: P = x y z Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Max P = 65 x y z = = ⇔ √5 26 x= 52 ¿ y= ❑ ❑ 13 √ ¿z= {}{|} {} Bài toán 12: Tìm GTNN biểu thức sau: (24) x2 1 a) A = x 8 b) B = 3x x2 c) C = x Với x 0 Với x Với x Gợi ý: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta: 2 A = (x + 2) + x 8 1 ) 2 b) B = 3x (vì 3x 2 2x 1 x 1 c) C = Min C = - x = Bài toán 13: x x 2000 ;( x 0) x2 Tìm GTNN biểu thức A = Gợi ý: 2000 x 2000 x 20002 ( x 2000)2 1999 x 2000 x 2000 x A= ( x 2000)2 1999 1999 2000 2000 = 2000 x 1999 Vậy Min A = 2000 Khi x = 2000 Bài toán 14: Tìm GTNN biểu thức: x 16 x 56 x 80 x 356 x2 2x P= Gợi ý: Biểu diễn P = ( x x 5) 256 64 x 2x (áp dụng BĐT Côsi) => Min P = 64 x = x = -3 Bài toán 15: (25) x2 x x Tìm GTNN A = x2 B = x với x > với x > x x2 C= x x 1 1 (1 x) x D= x E = 1 x x x F = x với x > với < x < với x > Gợi ý: 4 2 x 8 x A = x+ x (vì x > 0) => Min A = x = x2 1 2 ( x 1) 2 4 x B = x (vì x > 1) => Min B = <=> x = ( x x 1) C= x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2 1 4 2 x x D = (1 + x) x (vì x > 0) 51 x x 5x 5x x x 51 x 2 2 x 1 x x 1 x x E = 1 x x 11 x x 2 x x 2 x F= 2 = => Min F = x = Bài 16: Tìm GTLN và GTNN biểu thức: x xy 2 P= x y Gợi ý: (26) ( y 3x )2 2 x y P=9( x y )2 9 2 x y P=9- Bài 17: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 1 Tìm GTNN biểu thức S = x y x y 10 1 + x(10 x) Gợi ý: S = x y = xy S có GTNN <=> x(10-x) có GTLN <=> x = => GTNN S = x = y = Bài 18: Tìm GTNN biểu thức: 2 E = x x 1 x x 1 Gợi ý: Ta có E > với x Xét E2 = (x2 + + x x 1) 4 => Min E = x = Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a 3 ; a + b 5 Tìm GTNN biểu thức S = a2 + b2 Gợi ý: a+ b 5 2a 2b 10 3a 2b 13 (vì a 3) => 13 3a 2b 13 a b => Min S = 13 Bài 20: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – = (27) Tìm m x1 x2 đạt GTNN Gợi ý: ' (2m 1)2 phương trình luôn có nghiệm phân biệt x ; x Theo định lý vi-ét ta có: x1 x2 2m x1.x2 3m 4m 2 Do đó x1 x2 4m 2 GTNN x1 x2 m R là m = Bài 21: Tìm giá trị nhỏ của: y= x x x 1998 Gợi ý: y= Ta có: 1x x 1998 x x 1997 + …+ x 998 x 999 x x 1998 1;1998 nhỏ 1997 x x x 1997 2;1997 nhỏ 1995 x x 998 x 1999 999;1000 nhỏ x Vậy y đạt GTNN + + …+ 1997 Số các số hạng + + … + 1997 là (1997 – 1) : + = 999 Vậy Min y = 9992 999 x 1000 Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ M và các giá trị tương ứng x, y, z, t Biết rằng: 2 x y t 21 2 x y z 101 Gợi ý: Theo giả thiết: x2 – y2 + t2 = 21 x2 + 3y2 + 4z2 = 101 (1) (2) (28) => 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122 => 2M = 122 + t2 Do đó 2M 122 M 61 Vậy Min M = 61 t = Từ (1) => x > y 0 x y x y 0 Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3 Từ (2) => 3y2 101 y 33 y 5 Ta chọn x = ; y = => z = Vậy Min M = 61 x = ; y = ; z = 4; t = Bài 23: Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = (1) Tìm giá trị a để nghiệm phương trình đó: a) Đạt GTNN b) Đạt gía trị lớn Gợi ý: Gọi m là nghiệm phương trình (1) thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + = (2) Viết (2) dạng phương trình bậc hai ẩn a a2 + (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = ' Để tồn a thì 0 Giải điều kiện này m4 - m2 0 <=> m(m – 1) 0 m 1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTNN là với a = -1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTLN là với a = -2 x2 x 2 Bài 24: Tìm GTNN, GTLN t = x Gợi ý: Vì x2 + > với x x2 x 2 Đặt a = x => (a – 1) x2 – x +a – = (1) (29) a là giá trị hàm số <=> (1) có nghiệm 1 - Nếu a = thì (1) <=> x = ' - Nếu a 1 thì (1) có nghiệm <=> 0 3 Min A = 1 3+ ; Max A = 2 với x = với x = 51 Bài 25: x xy y 2 Tìm GTNN, GTLN A = x xy y Gợi ý: Viết A dạng sau với y 0 A ( x x 1 y y x x 1 y y a a 1 a a 1 x a (đặt y ) A 3 Giải tương tự bài 24 được: Còn với y = thì A = 1 Do đó: Min A = với x = y ; max A = với x = - y Bài 26: Cho a + b = Tìm GTNN biểu thức: Q = a3 + b3 + ab Gợi ý: a b 3ab ab Với Q dạng Q = (a + b) = – 2ab = – 2a (1 – a) => Q = 2a – 2a + 1 Do đó: Min Q = a = b = 2 Kết luận: Trên đây là bài toán thân tôi thu thập quá trình giảng dạy, với mong muốn giúp cho các em rèn luyện kỹ giải bài tập dạng này (30) Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý chân thành quí thầy cô và bạn đọc để tài liệu hoàn thiện Đức Hòa, ngày 20 tháng 10 năm 2008 NGƯỜI VIẾT Huỳnh Trung Kiên (31)