Với mỗi tam giác sau, viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.. Viết phương trình mặt phẳng ABC.[r]
(1)ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phần 1: Hệ toạ độ không gian A Lý thuyết cần nhớ Diện tích hình bình hành ABCD [ S = AB, AD B ] u Diện tích tam giác ABD S = AB, AD Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ [ D' C A' A ] [ [ ] u, v vµ w đồng phẳng ⇔ [u , v ].w = z A + z B + zC D A(xA, yA, zA) I Toạ độ trọng tâm tam giác và trung điểm đoạn thẳng zG = C ] u ⊥ v ⇔ u.v = u vµ v cùng phương ⇔ u , v = G B' A ] x + x B + xC xG = A y A + y B + yC yG = B D v 3’ Thể tích tứ diện ABCD V = AB, AD AA ' V = AB, AD AA' Một số tính chất tích vô hướng và tích có hướng [ C' xI = I xA + xB G B C y A + yB z + zB zI = A yI = B Bài tập Cho ba vectơ a = (2;−5;3); b = (0;2;−1); c = (1;7;2) Tìm toạ độ các vectơ sau đây: d = 4a − b + 3c và e = a − 4b − 2c Tìm toạ độ vectơ x biết a) a + x = và a = (1;−2;1) b) a + x = 4a và a = (0;−2;1) c) a + x = b và a = (5;4;−1) ; b = (2;−5;3) a) Cho điểm không thẳng hàng: A( x A ; y A ; z A ) ; B( x B ; y B ; z B ) ; C ( xC ; yC ; zC ) Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC b) Cho điểm không đồng phẳng A( x A ; y A ; z A ) ; B( x B ; y B ; z B ) ; C ( xC ; yC ; zC ) ; D( x D ; y D ; z D ) Tìm toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD Cho điểm M có toạ độ (x; y; z) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc M: a) Trên các mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz b) Trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz c) Tìm toạ độ điểm đối xứng với điểm M qua gốc toạ độ O (M1), qua trục Ox (M2), qua trục Oy (M3), qua trục Oz (M4), qua mặt phẳng Oxy(M5), qua mặt phẳng Oxz(M6), qua mặt phẳng Oyz (M7) Trong hai ba điểm sau, ba điểm nào thẳng hàng: A(1;3;1) ; B(0;1;2) ; C (0;0;1) và A' (1;1;1) ; B' (−4;3;1) ; C (−9;5;1) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(1;0;1) ; B(2;1;2) ; D(1;−1;1) ; C ' (4;5;−5) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại Tương tự A( x1 ; y1 ; z1 ) ; C ( x3 ; y3 ; z3 ) ; B' ( x2' ; y 2' ; z 2' ) ; D ' ( x4' ; y 4' ; z 4' ) Cho bốn điểm A(5;2;−1) ; B(1;−3;4) ; C (−2;1;3) ; D (2;6;−2) Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (2) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI a) Chứng minh ABCD là hình bình hành b) Tính AB, AD và diện tích hình bình hành ABCD Cho điểm: A(1;−1;2) ; B(5;−6;2) ; C (1;3;−1) a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC b) Tìm toạ độ trung điểm AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC Cho tam giác ABC với A(0;−2;1) ; B(3;2;2) ; C (4;1;−2) a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC b) Tìm toạ độ trung điểm AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC c) Tìm chân D đường phân giác AD góc A 10 Cho ba vectơ: a = (1;−1;1) ; b = (4;0;−1) ; c = (3;2;−1) Tìm: 2 2 a) ( a b ) c b) a ( b c ) c) a b + b c + c a d) a -2( a b ) b + c b 11 Tìm góc hai vectơ sau: e) a c + b -5 c a) a = (4;3;1) ; b = (−1;2;3) b) a = (2;5;4) ; b = (6;0;3) c) a = (1;−1;1) ; b = (0;1;3) 12 a) Trên trục Oy, tìm điểm cách hai điểm: A(3;1;0) ; B(−2;4;1) b) Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách ba điểm: A(1;1;1) ; B(−1;1;0) ; C (3;1;−1) 13 Xét đồng phẳng ba vectơ sau: a) a = (1;−1;1) ; b = (0;1;2) ; c = (4;2;3) b) a = (4;3;4) ; b = (2;−1;2) ; c = (1;2;1) c) a = (4;2;5) ; b = (3;1;3) ; c = (2;0;1) d) a = (−3;1;−2) ; b = (1;1;1) ; c = (−2;2;1) e) p = (b + c, bc − 1, (b + 1)(c + 1)) ; q = (c + a, ca − 1, (c + 1)(a + 1)) ; r = (a + b, ab − 1, (a + 1)(b + 1)) 14 Cho điểm A(1;0;0) ; B(0;0;1) ; C (2;1;1) a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác (Chứng minh A, B, C không thẳng hàng) b) Tính chu vi và diện tích tam giác c) Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành d) Tính độ dài đường cao tam giác ABC hạ từ đỉnh A e) Tính các góc tam giác ABC f) Tìm tọa độ chân D1 đường phân giác AD1 và chân D2 đường phân giác ngoài AD2 ∆ABC 15 Cho bốn điểm: A(1;0;0) ; B (0;1;0) ; C (0;0;1) ; D (−2;1;−1) a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh tứ diện b) Tính góc tạo các cạnh đối tứ diện ABCD c) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A 16 Cho tam giác ABC biết: A(2;−1;3) ; B ( 4;0;1) ; C (−10;5;3) Tìm độ dài các đường phân giác 17 Chứng minh các tính chất tích có hướng hai vectơ sau: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] a) a, b = − b, a b) λ a, b = a, λ b = λ a, b , λ ∈ R c) c, a + b = c, a + c, b 18 Cho tam giác ABC với: A(1;−1;2) ; B (−1;0;3) ; C (0;2;1) a) Tính chu vi và diện tích tam giác b) Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành c) Tính độ dài đường cao tam giác ABC hạ từ đỉnh A d) Tính các góc tam giác ABC e) Tìm tọa độ chân D1 đường phân giác AD1 và chân D2 đường phân giác ngoài AD2 ∆ABC 19 Cho bốn điểm: A( 2;3;1) ; B ( 4;1;−2) ; C (6;3;7) ; D( −5;−4;8) a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh tứ diện (Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng) b) Tính góc tạo các cạnh đối tứ diện ABCD c) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A d) Tìm toạ độ tâm hình tứ diện ABCD e) Tìm tọa độ điểm I cách bốn điểm A, B, C, D f) Tìm toạ độ hình chiếu K D lên mặt phẳng (ABC) 20 Cho ba điểm: A(1;2;1) ; B (5;3;4) ; C (8;−3;2) a) Chứng minh ABC là tam giác vuông b) Tìm toạ độ chân đường phân giác tam giác xuất phát từ B c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC 21 Cho bốn điểm: A(1;−1;1) ; B (3;1;−2) ; C (−1;2;4) ; D (5;−6;9) Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (3) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI a) Chứng tỏ D nằm ngoài mặt phẳng (ABC) b) Tìm toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD c) Tính diện tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A 22 Cho bốn điểm: A(5;7;−2) ; B (3;1;−1) ; C (9;4;−4) ; D(1;5;0) a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng mặt phẳng b) Tìm toạ độ giao điểm I AC và BD 23 Cho tam giác CDE với: C (0;−4;1) ; D( −1;1;−3) ; E (1;−2;3) Tính độ dài đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác xuất phát từ đỉnh E tam giác 24 Cho tứ bốn điểm P (1,−2,1) ; A( 2,4,1) ; B (−1,0,1) ; C (−1,4,2) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H P lên mặt phẳng ABC 25 Cho bốn điểm: A(−3,2,4) ; B ( 2,5,−2) ; C (1,−2,2) ; D (4,2,3) a) Tính cosin góc tạo AB và CD b) Tính diện tích tam giác BCD c) Tính độ dài đường cao hình tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A Phần 2: Phương trình mặt cầu A Kiến thức cần nhớ Phương trình mặt cầu tâm I ( x0 ; y0 ; z0 ) , bán kính R: Dạng chính tắc: ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z ) = R Dạng khai triển: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = (Với a + b + c − d > ) - Tâm: I ( −a;−b;−c) - Bán kính: R = a + b + c − d Một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu thiết diện là đường tròn C tâm I’, bán kính r: C(I’,r) - d là khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt phẳng P: d ( I , ( P )) - Tâm I’ là giao điểm đường thẳng (d) (qua tâm I mặt cầu và vuông góc với mặt phẳng (P)) và mặt phẳng (P) - Bán kính: r = R − d * Nếu (P) qua tâm I mặt cầu thì: I ≡ I’ và R=r Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I, R): d ( I , ( P)) = Aa + Bb + Cc A2 + B + C B Bài tập: Phương trình mặt cầu Tìm tâm và bán kính các mặt cầu sau: a) x + y + z − x + y + = b) x + y + z + x + y − z − = b) 3x + y + 3z + x − y + 15 z − = c) x + y + z − x + y − z − 86 = e) x + y + z − 12 x + y − z + 24 = f) x + y + z − x − 12 y + 12 z + 72 = g) x + y + z − x + y + z − = h) x + y + z − 3x + y = i) x + y + z − z − = j) x + y + z − x − y + z = Viết phương trình mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ: a) A( −1,−3,1) ; B (−3,1,5) b) A(6,2,−5) ; B (−4;0;7) 2 Cho hai mặt cầu: ( S1 ) : x + y + z − 64 = và ( S ) : x + y + z − x − 12 y + 12 z + 72 = Chứng minh (S1) và (S2) cắt theo đường tròn Xác định tâm và bán kính nó Cho bốn điểm A(0;1;0) ; B ( 2,3,1) ; C (−2,2,2) ; D(1,−1,2) a) Chứng minh ABCD là tứ diện có ba mặt vuông A b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCO với A(a;0;0) ; B (0, b,0) ; C (0,0, c) ; O (0;0;0) Cho S (−3;1;−4) ; A(−3;1;0) ; B (1;3;0) ; C (3;−1;0) ; D( −1;−3;0) a) Chứng minh ABCD là hình vuông và SA là đường cao hình chóp S.ABCD b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (4) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Cho hai mặt cầu ( S1 ) : x + y + z − = và ( S ) : x + y + z − x − 12 y + 12 z + 72 = Tìm phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường nối tâm mặt cầu trên, tiếp xúc với hai mặt cầu trên và có bán kính lớn Mặt cầu qua các điểm Viết phương trình mặt cầu biết: a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính R = b) Tâm I(5; -3; 7) bán kính R = c) Tâm I(3; -2; 1) và qua điểm A(2; 1; -3) d) Tâm I(4; -4; -2) và qua gốc toạ độ e) Tâm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4) f) Hai đầu đường kính là A(4; -3; -3) và B(2; 1; 5) g) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3) h) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; -5) và B(-4; 0; 7) i) Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2) j) Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0) k) Qua ba điểm: A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz) Cho các điểm: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) đó a, b, c là các số dương a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC c) Tìm toạ độ O’ đối xứng với O qua mặt phẳng (ABC) 5x - 4y + 3z + 20 = 10 Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng (d): 3x - 4y + z - = hai điểm A, B cho AB = 16 11 Cho các điểm: A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4) a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Xác định tâm I và bán kính R mặt cầu đó b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Viết phương trình tham số đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu 12 Xét vị trí tương đối mặt cầu và mặt phẳng sau: a) x + y + z − x + y + z + = , x + 2y + z -1 = b) x + y + z − x + y − z + 10 = , x + 2y + 2z = c) x + y + z + x + y − z − = , x + y -z - 10 = d) x + y + z − x + y − 16 z + 22 = , z - = e) x + y + z + x − y − z + 14 = , y - = f) x + y + z − x + y − z − = , x- = g) x + y + z − x − y − 20 = , x + 2y - z - = h) x + y + z − z − = , x - 2y - z + = i) x + y + z − x − = , x - 2y - = j) ( x − 1) + y + z = , x - = k) x + y + z − x − y − z − m = , 2x - 4y - 2z + = l) ( x − 1) + y + ( z − 2) = , 2x + y - z + m = m) x + y + z + x − z − m = , x + y - z - = 13 Cho điểm D(-3; 1; 2) và mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8) a) Viết phương trình đường thẳng AC b) Viết phương trình mặt phẳng (P) c) Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R = Chứng minh mặt cầu này cắt AC d) Xét vị trí tương đối mặt phẳng (P) và mặt cầu tâm D bán kính R R thay đổi Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng 14 Viết phương trình mặt cầu: a) Tâm I(3; -5; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x - y -3z + = b) Tâm I(1; 4; 7) và tiếp xúc với mặt phẳng 6x +6y -7z +42 = Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (5) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI c) Tâm I(1; 1; 2) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y + 2z + = d) Tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng: x + 2y - 2z + = e) Bán kính R = và tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + = điểm M(1; 1; -3) f) Tiếp xúc với các mp: 6x -3y -2z -35 = 0, 6x -3y -2z+63 = và với mp M(5; -1; -1) g) Tâm I nằm trên (d): 2x + 4y -z - = và tiếp xúc với mp (P): x+2y-2z-2=0, (Q): x +2y-2z+4= 4x +5y +z - = h) Tâm I nằm trên (d): y = x - 4, z = 2x - và tiếp xúc với mặt phẳng Oxy và Oyz 15 Cho điểm: A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD là tứ diện b) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) Tìm toạ độ tiếp điểm 16 Cho điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1) và D(5; 3; -1) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C b) Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mp(P) c) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mp(P) 17 Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + 6z - 18 = cắt Ox A, Oy B, Oz C Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp diện) 18 Viết phương trình mặt phẳng: a) Tiếp xúc với mặt cầu: ( x − 3) + ( y − 1) + ( z + 2) = 24 điểm M(-1; 3; 0) b) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − x − y + z + = M(4; 3; 0) c) Tiếp xúc với mặt cầu: ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2) = 49 M(7; -1; 5) d) Tiếp xúc với mặt cầu: ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R và song song với mp: Ax+By+Cz+D=0 e) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − x − y − z − 22 = và song song với mp: 3x-2y+6z+14=0 f) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − x + y + z − 11 = và song song với mp: 4x +3z -17 = g) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − x − y + z = và song song với mp: x +2y +2z +5 = h) Chứa đường thẳng: x=4t+4, y=3t+1, z=t+1 và tiếp xúc với mc: x + y + z − x + y + z + = i) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp ABCD A với A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0) j) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − 10 x + y + 26 z − 113 = và song song với đường thẳng: x + y − z + 13 x + y + z − ; = = = = −3 −2 8x - 11y + 8z - 30 = k) Chứa đường thẳng (d): và tx với mc: x + y + z + x − y + z − 15 = x - y - 2z = l) Tiếp xúc với mặt cầu x + y + z − x − y + z + = và vuông góc với đường thẳng (d): x - 2y - z + = 2x - 4y + z - = 19 Với giá trị nào a thì mặt phẳng x +y +z +a = tiếp xúc với mặt cầu x + y + z = 12 Xác định tiếp điểm 20 Cho mặt cầu (S): ( x + 2) + ( y − 1) + z = 26 và đường thẳng (d): x = 1, y = -5t, z = -4 +5t a) Tìm giao điểm A, B đường thẳng và mặt cầu Tính khoảng cách từ tâm (S) đến (d) b) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu A, B 21 Cho mặt cầu (S): x + y + z + x − y − z + = Viết phương trình tiếp diện (S): a) Đi qua T(1; 1; 1) b) Đi qua đường thẳng: 2x - y - = z-1=0 x y −1 z = = −4 x − y +1 z − d) Vuông góc với đường thẳng: = = −2 c) Đi qua đường thẳng: Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (6) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Vị trí tương đối đường thẳng và mặt cầu 22.Cho mặt cầu (S): x + y + z − x − y + z − = Xét vị trí tương đối (S) với (d): a) (d): (x = - 2t; y = + t; z = t + 3) b) (d): (x = - t; y = - t; z = 4) x −1 y − z − c) (d): = = −2 23 Tìm vị trí tương đối đường thẳng (d) với mặt cầu (S) sau: x - 2y - z - = x+y+2=0 a) (S): x + y + z − x + y − 14 = b) (S): x + y + z + x − y − 10 z − = c) (S): ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 1) = 25 x - 2y - z + m = 24 Tuỳ theo m, xét vị trí tương đối (d): x + y + = với mặt cầu (S): 2 ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 1) = 25 Tìm vị trí tương đối mặt cầu và đường thẳng sau: x y −1 z − a) x + y + z − x + z + = , = = −1 b) ( x − 1) + ( y − 2) + z = 16 , 2x + y - z - = x - 2z - = c) x + y + z − x − y + z − = , (x = -2 - t; y = t; z = - t) d) x + y + z − x + z + = , (x = - t; y = m + t; z = + t) e) x + y + z + x − y + z + m = , x - 2y - = 2x + z - = Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp tuyến) 26 Cho mặt cầu (S), tâm I(2; 1; 3), bán kính R = a) Chứng minh T(0, 0, 5) nằm trên mặt cầu (S) b) Viết phương trình tiếp tuyến (S) T, biết tiếp tuyến đó: - có vectơ phương là: a = (1;2;2) - vuông góc với mặt phẳng: (α ) : x − y + z + = - Song song với đường thẳng (d’): x - 2y + 3z - = x+y-z=0 27) Cho mặt cầu (S): x + y + z − x − y + z − = Viết phương trình tiếp tuyến (S): a) Có vectơ phương a = (4;1;1) và qua A(-4; 3; m) b) Đi qua A(-2; 1; 3) và B(-4; -2; n) 28 Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; -1) tiếp xúc với đường thẳng: a) x = - t; y = 2; z = 2t x −1 y z−2 = = b) −1 c) x - 2y - 1=0 z-1=0 Vị trí tương đối hai mặt cầu 29 Xét vị trí tương đối hai mặt cầu (S1) và (S2) sau: a) x + y + z − x + z + = , x + y + z − x − y − z + = b) x + y + z − x − y + z − = , x + y + z − x + y − z + = c) x + y + z − x − y + z − = , x + y + z − x − y + z − = d) x + y + z − x + y − 14 = , x + y + z − x − y − z + 10 = e) x + y + z + x − y − 10 z − = , x + y + z − y − z − = f) x + y + z + x − y + z − 15 = , x + y + z − x − y − = Đường tròn không gian Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (7) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ( x − a) + ( y − b) + ( z − c ) = R ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R Ax + By + Cz + D = ( x − a' ) + ( y − b' ) + ( z − c' ) = R'2 Điều kiện: (Aa + Bb + Cc)2 < R2(A2 + B2 + C2) hay (R- R’)2 <(a- a’)2 + (b- b’)2 + (c- c’)2< (R+ R’)2 30 Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau: ( x − 4) + ( y − 7) + ( z + 1) = 16 x + y + z − 2( x + y + z ) − 22 = a) b) 3x + y − z − = x − y + z + 14 = 2 x + y + z − x + y − z + 10 = x + y + z − 12 x + y − z + 24 = c) d) x + y − 2z + = 2x + y + z + = 2 ( x − 2) + ( y + 3) + ( z + 3) = x + y + z − x + y − z + 10 = e) f) x − y − 2z + = x − y + 2z + = 2 x + y + z − x + y − z − 86 = ( x − 3) + ( y + 2) + ( z − 11) = 100 g) h) 2x − y − z + = 2x − y − z + = 31 Cho ba điểm A(2; 4; 1), B(-1; 4; 0), C(0; 0; -3) a)Định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ đó viết phương trình đường tròn b)Cho (d): x = - 5t, y = + 2t, z = Chứng minh (d) cắt đường tròn đã cho điểm Tìm toạ độ 32.Cho đường tròn (C) có phương trình: ( x − 1) + ( y − 2) + ( z + 2) = 49 Viết phương trình mặt cầu chứa (C) và qua gốc O 2x + y − z + = 33 Cho đường tròn (C) và đường thẳng (d) có phương trình là: x=0 x + y − Rx = (C): (d): y=z z=0 Tìm phương trình đường thẳng (d) tựa trên (C), cắt (d) và vuông góc với (d) 34.Cho đường tròn (C) xác định bởi: x + y + z − x + y + z + 17 = (C): x − y + 2z + = a) Tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn (C) b) Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn (C) và có tâm thuộc mặt phẳng x + y + z + = Phương trình: Phần 3: Phương trình mặt phẳng I Phương trình mặt phẳng A Kiến thức cần nhớ a) Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = với A + B + C ≠ , n = ( A; B; C ) là vtpt mp b) Phương trình mặt phẳng qua M (x0 ; y0 ; z ) và có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) có dạng: A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = x y z c) Phương trình mp theo đoạn chắn, qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng: + + = a b c d) Mặt phẳng qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có cặp vectơ phương u1 = (a, b, c) và u = (a ' , b' , c' ) thì có bc ca ab bc ca ab và phương trình: vectơ pháp tuyến n = ; ; ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) = b' c' c' a ' a ' b' b' c ' c ' a ' a ' b' e) Phương trình pháp dạng mặt phẳng: A0 x + B0 y + C0 z + D = với A02 + B02 + C02 = B Bài tập Mặt phẳng (P) có phương trình 3x - 5y+ z - 15 = a) Tìm vectơ pháp mặt phẳng đó b) Tìm toạ độ giao điểm mặt phẳng với các trục toạ độ Mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 3y + 5z - = a) Tìm toạ độ vetcơ pháp mặt phẳng đó b) Tìm toạ độ giao điểm mặt phẳng với các trục toạ độ Ox, Oy, Oz Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (8) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Viết phương trình mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) và phương trình mặt phẳng qua M(2; -1; 3) và song song với các mặt phẳng toạ độ đó Viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua điểm M(3; 2; -5) và có vectơ pháp tuyến n = (−3;4;1) b) Đi qua M(1; -3; 7) và có vectơ pháp n = (3;2;0) c) Đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx) d) Đi qua M(1; 3; -2) và vuông góc với trục Oy e) Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng M1M2 với M1(0; 2; -3) và M2(1; -4; 1) f) Đi qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + = g) Qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z - 1= h) Qua các hình chiếu A(2; 3; 4) lên các trục toạ độ i) Qua M(2; -1; 2) song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z + = j) Qua P(2; -1; 3), Q(3; 1; 2) và song song với vectơ a = (3;−1;−4) k) Qua A(3; 4; -5) và song song với vectơ u = (3;1;−1) và v = (1;−2;1) l) Qua P(8; -3; 1), Q(4; 7; 2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 5y - 7z - 21 = m) Qua I(3; -1; 5) và vuông góc với MN, đó M(4; 2; -1), N(1 ; -2, 3) n) Qua K(-1; -2; 5) đồng thời vuông góc với mp (P1):x + 2y - 3z + = và (P2):2x - 3y + z + = o) Qua A(-1; 1; 2) và vuông góc với BC, đó B(3; -1; 0), C(2; 1; 1) p) Qua M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng x - 3y + 2z + 13 = q) Qua M(1; 0; -2) và vuông góc với 2mp (P1): 2x + y - z - = và (P2): x - y - z - = r) Qua A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y - 5z - = s) Qua A( 1; 0; 2), song song với a = (2;3;1) và vuông góc với mặt phẳng 2x - y - 5z = t) Qua M(2; -1; 4) và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz P, Q, R cho OR = 2OP = 2OQ u) Qua các hình chiếu vuông góc M(2; 3; -5) lên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx) v) Qua AB và song song với CD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) w) Qua A(2; 0; 0), B(1; 2; 0), C(2; 1; -2) x) Qua A(1; 2; 1), B(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng x - 2y + z + = y) Chứa Oz và qua R(2; 1; 0) z) Qua M(1; 0; 0), N(0; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng x + y - z = Viết phương trình mặt phẳng trung trực các đoạn thẳng sau: a) PQ với P(3; -1; -2), Q(-3; 1; 2) b) MN với M(1; 3; 2), N(-3; 5; 6) c) EF với E(1; 2; -4), F(5; 4; 2) d) IJ với I(0; 0; 1), J(0; 0; -1) e) M1M2 với M1(2; 3; -4), M2(4; -1; 0) f) AB với A(-1; 2; 3), B(0; 3; -1) Với tam giác sau, viết phương trình mặt phẳng qua đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện a) Tam giác ABC với A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C(0; -3; 7) b) Tam giác MNP với M(-3; 5; 7), N(0; -1; 1), P(3; 1; -2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Với: a) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6) b) A(3; -1; 5), B(4; 2; -1), C(1 ; -2, 3) c) A(-1; 1; 2), B(3; -1; 0), C(2; 1; 1) d) A(2; 1; 3), B(-1; -2; 4), C(4; 2; 1) e) A(2; -3; 1), B(-2; 0; 5), C(3; 2; 0) f) A(2; -4; 0), B(5; 1; 7), C(-1; -1; -1) g)A(1; -1; 2), B(-3; 0; 4), C(1; 1; 0) h) A( 5; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; -5) 8.a) Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M(-4; -9; 12), A(2; 0; 0) và cắt Oy, Oz B và C cho OB = + OC (B, C không trùng với gốc O) b) Tìm phương trình mp(Q) qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz A0, B0, C0 cho: OC0 = OA0 + OB0 1 = + OC0 OA0 OB0 Cho tứ diện ABCD với các đỉnh A(7; 9; 1), B(-2; -3; 2), C(1; 5; 5), D(-6; 2; 5) G là trọng tâm tứ diện, I là điểm cách đỉnh tứ diện Tìm phương trình mặt phẳng qua ba điểm B, G, I Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (9) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 10 Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; -2; 1), C(-4; 1; 1), D(1; 1; -3) Gọi I là điểm cách đỉnh tứ diện, U, V, R là hình chiếu vuông góc I lên các trục Ox, Oy, Oz Tìm phương trình mặt phẳng (UVR) 11 Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b) Xác định toạ độ hình chiếu H O lên mặt phẳng (ABC) Tính OH c) Tính diện tích S tam giác ABC d) Giả sử a, b, c thay đổi thoả mãn a + b + c = k không đổi Khi nào S đạt giác trị lớn nhất? Chứng tỏ đó OH lớn 12 Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) a) Viết phương trình các mặt tứ diện b) Viết phương trình mặt phẳng qua CD và song song với AB 13 Tìm phương trình mp(P) biết phương trình pháp dạng nó là: A0 x + B0 y + C0 z − = và A0, A B C B0, C0 thoả mãn điều kiện: = = −1 II Vị trí tương đối hai mặt phẳng - chùm mặt phẳng A Lý thuyết cần nhớ Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = A B C D A B C D ( P ) ≡ (Q) ⇔ = = ( P) //(Q ) ⇔ = = ≠ = A' B' C ' D' A' B' C ' D' A B B C A C ( P) ∩ (Q ) ⇔ ≠ ≠ ≠ (P) ⊥ (Q) ⇔ AA' + BB' + CC' = A' B' B' C ' A' C ' Chùm mặt phẳng là tập hợp tất các mặt phẳng cùng qua đường thẳng Có dạng: α ( Ax + By + Cz + D) + β ( A' x + B' y + C ' z + D' ) = với α + β ≠ B Bài tập Xác định m, n, λ để các cặp đường thẳng sau song song với nhau: a) 3x + my - 2z - = 0; nx + 7y - 6z + = b) 5x - 2y + mz - 11 = 0; 3x + ny + z - = c) 2x + my + 3z - = 0; nx - 6y - 6z + = d) 3x - y + mz - =0; 2x + ny + 2z - = e) 2x + λ y + 3z - = 0; mx - 6y - 6z - = f) ( λ -2)x + ( λ +1)y+ λ z+ λ =0; x+my+ λ (m+ λ )z+1=0 g) 3x - 5y + mz - = 0; 2x + λ y - 3z + = h) mx + 3y - 2z - = 0; 2x - 5y - λ z = Viết phương trình mặt phẳng: a) Qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x + 2y - 5z + = b) Qua gốc toạ độ và song song với mặt phẳng 6x - 5y + z - = c) Qua M(2; -3; 1) và song song với mặt phẳng (Oyz) d) Qua M(1; 3; -2) và vuông góc với mp x - 3y + 2z + = 0; 3x - 2y + 5z + = e) Qua M(3; -3; 1) và vuông góc với mp 3y - 2z + 11 = 0; z = f) Qua M(3; -2; -7) và song song với mặt phẳng 2x + y - 3z + = g) Qua M(1; 4; -2) và song song với mp (Oxz) h) Qua M (3; -1; -5) và vuông góc với mp: 3x - 2y + 2z + = 0; 5x - 4y + 3z + = i) Qua A(2; -1; 1) và vuông góc với mp: 2x - z + = 0; y = Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc: a) 2x - 7y + mz + 2; 3x + y - 2z + 15 b) 4x - 3y - 3z = 0; mx + 2y - 7z - = c) 3x - 5y + mz - = 0; x + 3y + 2z + = d) 7x - 2y - z = 0; mx + y - 3z - = Cho ba mp:(P):(4 - λ )x- ( λ -5)+ λ z+ λ = 0,(Q):2x + 3y + mz + = 0,(R): x + ly + λ (l − λ ) z + l = b) Định l , λ để (P)//(R) a) Định m, λ để (P)//(Q) Xét vị trí tương đối các cặp mặt phẳng có phương trình sau: a) x + 2y - z + = 0; 2x + 3y - 7z - = b) x - 2y + z + = 0; 2x - y + 4z - = c) x + y + z - = 0; 2x + 2y - 2z + = d) 3x - 2y -3z + = 0; 9x - 6y -9z - = e) x - y + 2z + = 0; 10x - 10y + 20z + 40 = f) 5x + 6y - 3z + = 0; -5x + 6y - 12 = g) 2x - 2y - 4z + = 0; 5x - 5y - 10z + 25/2 = h) 3x - 4y + 3z + = 0; 3x - 2y + 5z - = Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x - my + 3z - = 0; (m+3)x - 2y + (5m+1)z - 10 = Với giá trị nào m thì hai mặt phẳng đó: a) Song song? b) Trùng nhau? c) Cắt nhau? Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (10) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Tương tự với hai mặt phẳng: 3x - (m-3)y + 2z - = 0; (m+2)x - 2y + mz - 10 = Viết phương trình mặt phẳng các trường hợp sau đây: a) Đi qua điểm M(1; 2; -3) và qua giao tuyến hai mặt phẳng 2x - 3y + z - = 0; 3x - 2y + 5z - = b) Qua giao tuyến hai mp: 2x + 3y - = 0; 2y - 3z - = và vuông góc với mp: 2x + y - 3z - = c) Đi qua trục Oz và điểm M(2; 3; -1) d) Đi qua giao tuyến hai mp: x - 4y +2z - = 0; y + 4z- = và song song với mp: 2x - y+ 19 = e) Đi qua M(2; 1; -1) và qua giao tuyến hai mặt phẳng sau: x - y + z - = 0; 3x - y + z - = f) Qua giao tuyến hai mp: y + 2z - 4; x + y - z + và vuông góc với mp: x + y + z - = g) Đi qua trục Oy và điểm M(1; 1; -1) h) Qua giao tuyến hai mp: 3x- y+ z- = 0; x + 4y - = và song song với hai mp: 2x - z + = i) Qua M(0; 0; 1) và qua giao tuyến hai mặt phẳng: 5x - 3y + 2z - = 0; 2x - y - z - = j) Qua M(3; 4; 1) và qua giao tuyến hai mặt phẳng: 19x - 6y - 4z + 27 = 0; 42x - 8y + 3z + 11 = k) Qua giao tuyến 2mp: x +2y - z - = 0; 2x +y +z + = và vuông góc với mp: x- 2y- 3z+ = Xác định m, n để mp: 5x + ny + 4z + m = thuộc chùm α (3 x − y + z − 3) + β ( x − y − z + 5) = Gọi (d) là giao tuyến hai mặt phẳng: x + 2y - 3z + = và 2x - 3y + z + = a) Với m cho trước lập phương trình mặt phẳng (P) qua (d) và song song với vectơ a = (m;2;−3) b) Xác định m để có mặt phẳng (Q) qua (d) và vuông góc với a = (m;2;−3) 10 Cho ba mặt phẳng có phương trình: (P): (1+m)x - y + mz - m = (Q): x + 2y - mz + = (R): (m+2)x + y = Với giá trị nào m thì ba mặt phẳng đó cùng qua đường thẳng 11 Với giác trị nào m, l để ba mặt phẳng sau đây cùng qua đường thẳng (Q): 3x - 7y + z - = (R): x - 9y - 2z + = (P): x + ly + z + m = 12 Tìm điểm chung ba mặt phẳng: x + 2y - z -6 = 2x - y + 3z + 13 = 3x - 2y + 3z + 16 = 13 a, b, c là ba số khác a) Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua điểm (1; 1; 1) và chứa trục Ox b) Tìm phương trình (S) qua điểm (a; b; c) và chứa trục Oy c) Tìm phương trình mặt phẳng (Q) qua ba điểm (0; b; c), (a; 0; c), (a; b; 0) 1− a d) Tìm phương trình mặt phẳng (R) qua điểm (a; 0; ) và có vectơ pháp tuyến n = (a; b; c) c e) Giả sử b + c ≠ và a ≠ bc , tìm điểm chung ba mặt phẳng (P), (Q), (R) 14 Cho hình tứ diện ABCD với các đỉnh A(3; 2; 1), B(1; 3; 2), C(1; -2; 3), D(-1; 2; 2) a) Tìm phương trình mặt phẳng (ABC) b) Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua C và có cặp vectơ phương v1 = CD , v2 = (λ ; λ + 1;2λ ) c) Với giá trị nào λ thì ( P ) ⊥ ( ABC ) d) Định λ , l để (P) song song với mặt phẳng x + y + lz + = 15 Chứng tỏ bốn mặt phẳng sau đây là bốn mặt bên hình hộp chữ nhật: 7x + 4y - 4z + 30 = 0, 36x - 51y + 12z + 17 = 14x + 8y - 8z - 12 = 0, 12x - 17y + 4z - = 16 Cho mặt phẳng (P) qua (-1; ; 0) có vectơ pháp tuyến n = (2;3; m) và mặt phẳng (Q) qua điểm (-3; 2; 1), (1; 3; -4), (3; -1; λ ) a) Tìm phương trình tổng quát (P) và (Q) b) Định λ , m để (P)//(Q) c) Tìm hệ thức λ , m để ( P) ⊥ (Q ) III Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai mặt phẳng song song A Kiến thức cần nhớ Khoảng cách từ M ( x0 ; y ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) có phương trình Ax + by + Cz + D = là: 10 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (11) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Ax0 + By0 + Cz + D A2 + B + C 2 Khoảng cách hai mp // là khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng Vị trí hai điểm A( x A ; y A ; z A ) và B( xB ; y B ; z B ) mặt phẳng (α ) : - Nếu ( Ax A + By A + Cz A + D).( AxB + By B + Cz B + D ) > thì A và B nằm cùng phía (α ) - Nếu ( Ax A + By A + Cz A + D).( AxB + ByB + Cz B + D ) < thì A và B nằm hai phía (α ) B Bài tập Cho bốn điểm A(-1; -2; 4), B(-4; -2;0), C(3; -2; 1), D(1; 1; 1) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh D tứ diện ABCD Cho hình hộp chữ nhật với các đỉnh A(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và D là đỉnh đối diện với O Xác định toạ độ đỉnh D Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (ABD) Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (ABD) Tìm quỹ tích các điểm cách hai mặt phẳng: a) x - 2y + 3z + =0 và 2x - y + 3z + = b) 6x - 2y + z + = và 6x - 2y + z - = c) 2x - y + 4z + = và 3x + 5y - z - = d) 4x - y + 8z + và 4x - y + 8z + = e) 2x - y + 4z + = và 3x + 5y - z - = f) 3x + 6y - 3z + và x + 2y - z + = a) Tìm điểm M trên trục Oz cách điểm (1; 2; -2) và mặt phẳng 2x + 2y + z - = b) Tìm M trên trục Oy và cách hai mặt phẳng: x + y - z + = và x - y + z - = c) Tìm M trên trục Oz cách điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = d) Tính khoảng cách hai mặt phẳng: 7x - 5y + 11z - = và 7x - 5y + 11z - e) Tính khoảng cách hai mặt phẳng: 5x - 2y + 3z = và 5x - 2y + 3z - 11 = f) Tính khoảng cách hai mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = và Ax + By + Cz + D’ = g)Tính khoảng cách từ các điểm M1(1; -1; 2), M2(3; 4;1), M3(-1;4; 3) đến mặt phẳng x +2y +2z -10= h) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P): 2x + y - z - = i) Tính khoảng cách từ S(1; 3; -2) đến qua điểm A(3; 6; -7) B(-5; 2; 3), C(4; -7; -2) Tính VSABC j) Tìm khoảng cách từ M(-1; 1; -2) đến mặt phẳng qua ba điểm A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) k) Tính khoảng cách hai mặt phẳng 2x - y + 2z + = và 4x - 2y + 4z - 21 = Cho phương trình họ mặt phẳng (Pm): 2x + y + z -1 + m(x + y + z + 1) = ( m là tham số) a) Chứng minh với m, mặt phẳng (Pm) luôn qua đường thẳng cố định b) Tìm m để (Pm) vuông góc với mặt phẳng (P0)có phương trình 2x + y + z - = Tính d (O, (d )) Cho mặt phẳng (α ) qua các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c >0 a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (α ) 1 1 b) Chứng minh hệ thức: = + + 2 OH OA OB OC Cho mặt phẳng (α ) : 2x - 3y + z - = và các điểm M(0; 2; -1), N(2; 1; 8), P(-1; -3; 0) a) Hai điểm nào cùng phía (α ) b) Hai điểm nào khác phía (α ) Xét xem các cặp điểm sau đây cùng phía hay khác phía mặt phẳng (α ) a) M(2; 1; -3), N(2; 3; -1), mp (α ) : 2x - y - z + = d(M,(P)) = b) M(2; 0; 1), N(-1; 2; 0), mp (α ) qua P(1; 3; 2) và có cặp vectơ phương a = (1;3;4) ; b = (−2;1;2) Mặt phẳng (α ) chia đoạn MN và MP theo tỷ số nào: a) M(1; -2; 1), N(2; 0; 3), P(3; 2; -1) và mp (α ) : x - 2y - z - = b) M(2; 3; 0), N(1; 2; 3), P(0; 1; 3) và mp (α ) : 2x - 2y - 3z + = 10 Cho mặt phẳng (α ) có phương trình: 3x - 2y - z + = và điểm M(2; -1; 3) a) Lập phương trình mặt phẳng ( β ) qua M và vuông góc với mặt phẳng (α ) theo giao tuyến (d) b)Viết phương trình tham số (d) c)Tính khoảng cách từ M đến (d) Chứng tỏ đó là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α ) d) Tính lại kết đó cách áp dụng công thức tính khoảng cách từ M đến (α ) IV Góc hai mặt phẳng A Kiến thức cần nhớ 11 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (12) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Góc hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0, (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = ký hiệu: AA' + BB' + CC' 0o ≤ α = (( P), (Q)) ≤ 90o , xác định hệ thức: cos α = A2 + B + C A' + B' + C' Đặc biệt: ( P ) ⊥ (Q) ⇔ AA'+ BB'+CC ' = B Bài tập Tính cosin góc tạo các vectơ sau: a) a = (1;2;−1) ; b = (0;−1;2) c) a = (2;2;3) ; b = (3;−2;−2) b) a = (2;1;3) ; b = (1;2;−1) d) a = (2;1;−1) ; b = (3;−2;−2) Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng : a) x - 2y - z - = 0, 2x + y + 2z + 10 = b) 3y - z - = 0, 2y + z = c) x + 2y + 2z - = 0, 16x + 12y - 15z - = d) x - y + z - = 0, x + y - z + = e) 6x + 3y - 2z = 0, x + 2y + 6z - 12 = f) x + 2y + z + = 0, -x +y + 2z + = g) y + z + = , x − y − z + = h) x + z = , x + z = g) (HIK) và (Oxy) với H(1/2; 0; 0), I(0;1/2; 0), K(1; 1;1/3) a) Tìm m để góc hai mặt phẳng: (α ) : 3y - z - = 0, ( β ) 2y + mz = 45o b) Tìm phương trình mặt phẳng qua hai điểm (0; 2; 0), (2; 0; 0) và tạo với mp(Oyz) góc 60o Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) a) Tìm cosin góc tạo các cặp vectơ: AB và CD , AC và BD b) Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông đỉnh O Gọi α , β , γ là góc hợp các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC) Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng: a) Tam giác ABC có ba góc nhọn b) cos α + cos β + cos γ = V Chân đường vuông góc - Điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng A Lý thuyết cần nhớ Tìm toạ độ chân đường vuông góc hạ từ điểm xuống mặt phẳng H(x; y; z) là chân đường vuông góc hạ từ A( x A ; y A ; z A ) xuống mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Khi đó số (x; y; z) là nghiệm hệ phương trình sau: x − xA y − yA z − z A AA' // n(α ) ⇔ = = A B C Ax + By + Cz + D = Tìm toạ độ điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng Cho điểm A( x A ; y A ; z A ) và A’(x; y; z) đối xứng với qua mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Khi đó số (x; y; z) là nghiệm hệ phương trình sau: x − xA y − yA z − z A AA' // n(α ) ⇔ = = A B C x + xA y + yA z + zA A +B +C +D=0 2 Cách khác: Tìm chân đường vuông góc H áp dụng công thức trung điểm tìm A’ B Bài tập Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với: a) A(2; 3; -1) qua mặt phẳng 2x - y - z - = b) A(-2; 1; 3) qua mặt phẳng 2x + y - z - = c) M(2; -3; 1) qua mặt phẳng x + 3y - z + = d) M( 2; 4; 6) qua mặt phẳng 2x - 2y + 3z + 10 = Tìm hình chiếu H của: a) M(1; -1; 2) lên mặt phẳng 2x - y + 2z + 12 = b) A( 2; 4; 6) lên mặt phẳng 2x - 2y + 3z + 10 = c) B(3; 1; 4) lên mặt phẳng 3x - 2y + 2z + = VI Đường thẳng, mặt phẳng đối xứng qua mặt phẳng A Lý thuyết cần nhớ Tìm phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với (d) qua mặt phẳng (α ) : - Tìm M(x; y; z) nằm trên đường thẳng (d) 12 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (13) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - Tìm M’ đối xứng M qua mặt phẳng (α ) - Tìm giao điểm I đường thẳng (d) với mặt phẳng (α ) - (d’) là đường thẳng qua I và M Tìm phương trình mặt phẳng (P’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng (α ) - Tìm M(x; y; z) nằm trên mặt phẳng (P) - Tìm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α ) - (P’) là mặt phẳng thuộc chùm (P), (α ) và qua M’ B Bài tập Tìm phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với (d) qua mặt phẳng (α ) với: a) (d): x = t, y = - t, z = + 2t và (α ) : 2x + y - 2z + = x− y− z −3= b) (d): và (α ) : 2x + y - 3z - = x+ y−5= Tìm phương trình mặt phẳng (P’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng (α ) với: a) (P): 2x - y - z - = và (α ) : 2x - 3y + z - = b) (P): x - 2y - z - = và (α ) : 3x - 2y - z + = VII Tổng khoảng cách nhỏ - Hiệu khoảng cách lớn A Lý thuyết cần nhớ Cho hai điểm A( x A ; y A ; z A ) và B( xB ; y B ; z B ) và mp (α ) Tìm M ∈ (α ) cho MA + MB nhỏ a) Nếu A và B khác phía với (α ) thì M là giao điểm đường thẳng AB với mp (α ) b) Nếu A và B cùng phía thì M là giao điểm đường thẳng AB’ với mp (α ) , B’đối xứng B qua (α ) Tìm N ∈ (α ) cho |NA - NB| lớn a) Nếu A và B khác phía thì N là giao điểm đường thẳng AB’ với mp (α ) , B’ đối xứng B qua (α ) b) Nếu A và B cùng phía thì N là giao điểm đường thẳng AB với mp (α ) B Bài tập Tìm M , N ∈ (α ) cho MA + MB nhỏ với: a) A(1; 1; 2), B(2; 1; -3) và mp (α ) : 2x + y - 3z - = b) A(-7; 4; 4), B(-6; 2; 3) và mp (α ) : 3x - y - 2z + 19 = c) A(1; 0; 2), B(2; -1; 3) và mp (α ) : x - 2y + z - = d) A(1; 1; 0), B(0; -1; 1) và mp (α ) : x - 2y + z - = e) A(0; 1; 2), B(1; 2; -1) và mp (α ) : x - 2y + z - = f) A(0; -1; -1), B(1; -1; 0) và mp (α ) : x - 2y + z - = Phần 4: Phương trình đường thẳng I Phương trình đường thẳng A Lý thuyết cần nhớ Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = ( P) là giao tuyến hai mp(P) và (Q) có vectơ phương: u = n( P ) ; n(Q ) A' x + B ' y + C ' z + D ' = (Q) Phương trình tham số: x = x0 + at [ ] y = y0 + bt là đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ phương u = (a; b; c) z = z0 + ct Phương trình chính tắc: x − x0 y − y z − z0 = = là đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ phương u = (a; b; c) a b c B Bài tập Cho A(1; 4; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 4) Viết phương trình tham số, chính tắc và tổng quát các đường thẳng AB, BC, CA 13 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (14) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Cho mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8) và điểm D(-3; 1; 2) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) a) Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát đường thẳng AC b) Viết phương trình qua D và vuông góc với mặt phẳng (P) Cho điểm A(-2; 4; 3) và mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = a) Viết phương trình mp(Q) chứa điểm A và song song với mp(P) Tính d (( P ), (Q)) b) Tìm chân đường vuông góc H hạ từ A xuống mp(P) cách viết phương trình đường thẳng Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát đường thẳng các trường hợp sau: a) Qua (2; 0; -1) và có vectơ phương a = (−1;3;5) b) Qua (-2; 0; 5) và có vectơ phương a = (0;1;4) c) Qua hai điểm A(2; 3; -1) và B(1; 2; 4) d) Qua hai điểm A(3; 1; -5) và B(2; 1; -1) e) Qua hai điểm A(1; 2; -7) và B(1; 2; 4) f) Qua (3; 4; 1) và song song với đường thẳng (d): x = + 25t, y = -4t, z = + 3t x −1 y + z − g) Qua (2; 0; -5) và song song với đường thẳng (d): = = −2 h) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Ox i) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oy j) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oz k) Qua hai điểm A(1; -1; 0) và B(0; 1; 2) l) Qua A(1; 3; -1) và có vectơ phương a = (1;2;−1) m) Qua A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2) n) Qua A(2; 3; 5) và vuông góc với mặt phẳng toạ độ o) Qua hai điểm A(-2; 1; 3) và B(4; 2; -2) 6x + y + 2z + = p) Qua A(1; 4; -2) và song song với đường thẳng 3x − y − z − = x − 2z − = giao tuyến mp và đt q) Nằm mp x + 3y - z + =0 và vuông góc với đt y − 2z = x y z+3 r) Qua điểm (3; 2; 1) và vuông góc với đường thẳng = = và cắt đường thẳng đó x +1 y + z − x − y +1 z −1 s) Qua điểm (-4; -5; 3) và cắt hai đường thẳng: = = ; = = −2 −1 −5 x+ y =0 x −1 y + z + t) Qua (2; 1; -1) và tựa trên hai đường thẳng: = = ; 2y − z = x+ y−z+2=0 x −1 y + z u) Qua (0; 1; 1), vuông góc với đt: = = và cắt đt: 1 x +1 = v) Qua (3; -1; -4) cắt trục Oy và song song với mặt phẳng 2x + y = x− z −3= w) Qua (1; 1; 1) cắt trục Oz và cắt đường thẳng y + z −1 = x + y + z −1 = x) Qua (1; -1; 1) và cắt hai đường thẳng x = + 2t, y = t, z = - t; y + 2z − = y) Nằm mp y + 2z = và cắt hai đường thẳng: x = 1-t, y = t, z = 4t; x = 2- t, y = + 2t, z = x − y + z − x − y + 4z − = z) Song song với đt x = 3t, y = - t, z = 5+ t và cắt đt = = ; 2 x − y − z + = Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1) Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của: a) Các cạnh tứ diện ABCD b) Đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABD) c) Đường thẳng qua A và qua trọng tâm tam giác BCD 14 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (15) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8) Hãy viết pt tham số, chính tắc, tổng quát của: a) Đường thẳng AG với G là trọng tâm tam giác ACD b) Đường cao AH tứ diện Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và hai trung tuyến: x −3 y −6 z −3 x−4 y−2 z−2 ( d1 ) : = = ; (d ) : = = 1 −2 −4 a) Viết phương trình tham số và chính tắc các cạnh tam giác b) Viết phương trình chính tắc đường phân giác góc A Viết phương trình tham số và chính tắc đường thẳng: x − y + 3z − = 3x + y − z + = a) b) x + 2y − z + = x + y + 2z − = 2x + y − z + = x− y + z −5 = c) d) x + y + z −1 = x − 3y + = x + z −1 = 2x + y + z − = e) f) y−2=0 x + z −1 = Cho hai mặt phẳng (P): 2x - y + z + = 0, (Q): x + y + 2z - = a) Chứng minh hai mặt phẳng trên cắt b) Viết phương trình tham số giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) c) Tính góc hai mặt phẳng (P) và (Q) II Vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng A Lý thuyết cần nhớ Cho mp (α ) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) đường thẳng (d) có vectơ phương u = (a; b; c) (d) ⊂ (α ) ⇔ n.u = Aa + Bb + Cc = và ∀M ∈ (d ) → M ∈ (α ) (d) // (α ) ⇔ n.u = Aa + Bb + Cc = và ∀M ∈ (d ) → M ∉ (α ) (d ) ∩ (α ) ⇔ n.u = Aa + Bb + Cc ≠ Cách khác: Giải hệ phương trình đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) Hệ vô nghiệm ⇔ (d ) //( P) Hệ có nghiệm ⇔ (d ) ∩ (α ) Hệ có vô số nghiệm ⇔ (d ) ⊂ (α ) B Bài tập Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) và mặt phẳng (P): x − 12 y − z − a) (d): = = ; (P): 3x + 5y - z - = x + 11 y − z = ; (P): 3x - 3y + 2z - = b) (d): = x − 13 y − z − c) (d): = = ; (P): x + 2y - 4z + = d) (d): x = 2t, y = - t, z = + t; (P): x + y + z - 10 = x −7 y −4 z −5 e) (d): = = ; (P): 3x - y + 2z - = x + y + z + 16 = f) (d): ; (P): 5x - z - = 2x − y + z − = x + y + z − 10 = g) (d): ; (P): y + 4z + 17 = x+ y+ z+5=0 h) (d): x = 2t, y = - t, z = + t; (P): x + y + z - 10 = x + 4mz − 3m = Cho đường thẳng (dm): ( m ≠ 0) (1 − m) x − my = a) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (dm) luôn qua điểm cố định 15 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (16) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI b) Chứng minh đường thẳng (dm) luôn nằm trên mặt phẳng (P) cố định c) Tính tích khối tứ diện giới hạn mặt phẳng (P) và các mặt phẳng toạ độ x = 0; y = 0; z = III Vị trí tương đối đường thẳng và đường thẳng A Lý thuyết cần nhớ Cho hai đường thẳng: (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ phương u = (a; b; c) (d’) qua điểm M ' ( x0' ; y0' ; z0' ) và có vectơ phương u ' = (a ' ; b' ; c' ) [ ] Hai đường thẳng không đồng phẳng (chéo nhau) ⇔ u; u ' MM ' ≠ [ ] Hai đường thẳng đồng phẳng ⇔ u; u ' MM ' = a b b c c a ≠ ≠ a) Hai đường thẳng cắt (d ) ∩ (d ' ) ⇔ ≠ a ' b' b' c' c' a' ' x0 − x0 y0 − y0' y0 − y0' z0 − z 0' a b c b) Hai đường thẳng song song (d ) //( d ' ) ⇔ = = và ≠ = a ' b' c ' a b b c ' ' z −z x − x0 0 = ( a : b : c = a' : b' : c' ≠ ( x0 − x0' ) : ( y0 − y0' ) : ( z − z0' ) ) c a x − x0' y − y0' z0 − z0' a b c c) Hai đường thẳng trùng (d ) ≡ (d ' ) ⇔ = = và = = a ' b' c ' a b c ' ' ' ( a : b : c = a ' : b ' : c ' = ( x0 − x0 ) : ( y − y ) : ( z − z ) ) Cách khác: Xét hệ phương trình hai đường thẳng: u và u ' cùng phương a) (d ) ≡ (d ' ) ⇔ A ∈ (d ) ⇒ A ∈ (d ' ) b) (d ) //( d ' ) ⇔ A ∈ (d ) ⇒ A ∉ (d ' ) u và u ' cùng phương a) (d ) ∩ (d ' ) ⇔ hệ phương trình có nghiệm b) (d) chéo ( d ' ) ⇔ hệ phương trình vô nghiệm * Hai đường thẳng vuông góc ⇔ aa'+bb'+cc' = Cách khác: Xét các tích có hướng và tích vô hướng sau: u; u ' , u; MM ' ; u ; u ' MM [u; u'] = [u; MM '] = [u; u'] = Hai đường thẳng song song ⇔ [u; MM '] ≠ [u; u'] ≠ Hai đường thẳng cắt ⇔ [u; u'].MM ' = Hai đường thẳng chéo ⇔ [u; u '].MM ' ≠ [ ][ ][ ] ' Hai đường thẳng trùng ⇔ B Bài tập Xét vị trí tương đối hai đường thẳng (d1) và (d2) sau: x + y + 2z = a) ; x = -2 + 2t, y = -t, z = + t x − y + z +1 = x −1 y + z − b) = = ; x = t - 1, y = -t, z = 3t - −2 c) x = + 2t, y = - t, z = - t; x = + 2t’, y = - - t’, z = - t’ x −1 y − z − x − y − z − d) = = ; = = 6 x −1 y + z − x − y +1 z + e) = = ; = = x −1 y − z x y+5 z−4 f) = = ; = = −2 −2 16 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (17) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI x−2 y z +1 x − y − z ; = = = = −6 −8 −6 12 x − y − 3z − = h) x = 9t, y = 5t, z = - + t; x − 2y + z − = x − y + = x + 2z − = i) ; 2x + 3y = x + z −8 = j) x = + 2t, y = -1 + t, z = 1; x = 1, y = + t, z = - t x − y − z − x − y −1 z −1 k) = = ; = = 2 −1 −7 2x + y + = l) x = t, y = + 2t, z = + 5t; x − y + z −1 = IV Giao điểm đường thẳng và mặt phẳng - đường thẳng và đường thẳng A Lý thuyết cần nhớ 1.Giao điểm đường thẳng và mặt phẳng là nghiệm hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng 2.Giao điểm đường thẳng và đường thẳng là nghiệm hệ đường thẳng và đường thẳng B Bài tập Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng: a) x = 2t - 1, y = t + 2, z = t = 3; x - y + z - = x + y − 2z + = ; 3x + y - z + =0 b) 3x + y − z = c) x = + 3t, y = 2t, z = -25 - 2t; 2x + 3y + z + = 2x − y − z − = d) ; x - 3y + z - = x + y − 2z + = Tìm m để đường thẳng và mặt phẳng cắt a) Đường thẳng x = m + t, y = - t, z = 3t cắt mặt phẳng 2x - y + z - = điểm có tung độ x − 2y − = b) Đưởng thẳng cắt mặt phẳng 2x + y + 2z - 2m = điểm có cao độ -1 y + 2z + = x + 2y − = c) Mặt phẳng x + y + z + m = cắt đường thẳng 3x − z − = Tìm giao điểm hai đường thẳng: a) x = 3t, y = - 2t, z = + t; x = + t, y = 2t, z = + t x − 2y − z − = x − z − = b) ; 2x + y + z + = y + 2z + = 2x + y + = 3x + y − z + = c) ; x − y + z − = 2x − y + = x+ y+ z+3=0 d) ; x = + t, y = -2 + t, z = - t 2x − y + = Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau, tìm toạ độ giao điểm: a) x = + mt, y = t, z = -1 + 2t; x = - t, y = + 2t, z =3 - t 2x + y − z − = x + y + mz − = b) ; x+ y −3= 2x + y + z − = c) x = - t, y = + 2t, z = m + t; x = + t’, y = + t’, z = - 3t’ V Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - khoảng cách hai đường thẳng A Lý thuyết cần nhớ g) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng qua điểm Mo có vectơ phương u d (M , d ) = [M M ; u] u 17 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (18) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Khoảng cách hai đường thẳng song song là khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: (d) qua điểm M và có vectơ phương u và (d’) qua điểm M’ và có vectơ phương u ' là: d (d , d ' ) = [u; u'].MM ' [u; u'] Khoảng cách từ đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng B Bài tập x y −1 z + Cho điểm A(1; 2; 1) và đường thẳng (d) có phương trình: = = a) Viết phương trình mặt phẳng qua A và chứa đường thẳng (d) b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) Tính khoảng cách: x − y −1 z a) Từ điểm A(1; 0; 0) đến đường thẳng (d): = = x + y −1 z +1 b) Từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng = = −2 x + y −1 z +1 = = c) Từ điểm M(1; -1; 1) đến đường thẳng −2 x + y − 2z − = d) Từ điểm M(2; 3; -1) đến đường thẳng x + 3y + 2z + = e) Giữa hai đường thẳng chéo nhau: x = + 2t, y = -1 + t, z = 1; x = 1, y = + t, z = - t x − z + 23 = y − z − = f) Giữa hai đường thẳng chéo nhau: ; y − z + 10 y + 2z + = g) Giữa hai đường thẳng chéo nhau: x = 1, y = -4 + 2t, z = + t; x = -3u, y = + 2u, z = -2 h) Giữa hai đường thẳng song song: x = + 2t, y = + 3t, z = + t; x = + 4t, y = + 6t, z = + 2t i) Giữa đường thẳng x = - 2t, y = t, z = + 2t và mặt phẳng x + z + = x −9 y + z x y+7 z−2 j) Giữa hai đường thẳng = = và = = −3 −2 Chứng minh hai đường thẳng sau song song và tìm khoảng cách chúng: x + y − z − 10 = x +7 y −5 z −9 ( ∆1 ) : ; (∆ ) : = = x − y − z − 22 = −1 VI Góc hai đường thẳng, góc đường thẳng và mặt phẳng A Lý thuyết cần nhớ Góc hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ phương u = (a; b; c) và u ' = (a ' ; b' ; c' ) aa '+bb'+cc' cos ϕ = (0o ≤ ϕ ≤ 90o ) 2 2 2 a + b + c a ' + b' + c ' Đặc biệt: (d ) ⊥ (d ' ) ⇔ aa '+bb'+ cc' = Góc đường thẳng (d) có vectơ phương u = (a; b; c) và mp (α ) có vectơ pháp n = ( A; B; C ) Aa + Bb + Cc sin ϕ = (0o ≤ ϕ ≤ 90o ) 2 2 2 A + B +C a +b +c Đặc biệt: (d ) //(α ) (d ) ⊂ (α ) ⇔ Aa + Bb + Cc = B Bài tập Tính góc hợp các cặp đường thẳng sau: x − y − 3z − = a) x = 9t, y = 5t, z = -3 + t; x − 2y + z + = 18 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (19) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2x − z + = ; x = + 3t, y = -1, z = - t x − y + z − 17 = x + y −1 z − c) và các trục toạ độ = = 1 d) x = + 2t, y = -1 + t, z = + 4t; x = - t, y = -1 + 3t, z = + 2t x −1 y + z + x + 2y − z −1 = e) = = ; x + 3z − = x − y + 3z − = x − y + z − = f) ; x+ y+z =0 2x − y + z + = b) g) x− y 2+z−4=0 x+ y − z+5=0 ; 3x − z − = 2y + z = h) x = + t, y = -2 -t, z = 1+ 2t ; x− y−5= x − z −5= x − y + 3z − = x + y − z + = i) ; 3x + y − z + = x − y + 3z + = x −1 y + z − x + y − z + j) = = ; = = −1 −2 Tính góc hợp đường thẳng và mặt phẳng sau: x −1 y −1 z + a) ; 2x - y - 2z - 10 = = = −2 b) x = + t, y = - t ; x + y -z - = x + y − 2z + = c) ; 3x + y - z + = 3x + y − z = x + 2y − z + = d) ; 3x - 4y + 2z - = x − y + 3z + = e) x = 1, y = + t , z = + t; x + z + = Cho mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - = và ba đường thẳng: x − y +1 = x − 3y − = x +1 y −1 z − (d1): (d2): (d3): = = y − z − 10 = −2 x − 3z + = a) Tìm góc ba cặp đường thẳng b) Tìm góc ba đường thẳng và mặt phẳng (P) c) Tìm giao điểm (d3) và (P) Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: x − z − 15 = x− y− z−7 =0 y + z + 34 = x − y − 11 = Tìm m để góc hai đt sau đây 60o: x=-1+ t, y= -t , z = + t; x=2+ t, y=1+t , z=2+ mt VII Hình chiếu điểm lên đường thẳng, điểm đối xứng qua đường thẳng A Lý thuyết cần nhớ Hình chiếu H(x; y; z) điểm M ( xM ; y M ; z M ) lên đt (d) qua M ( x0 ; y0 ; z ) và có vtcp u = (a; b; c) x = x0 + at Vậy y = y0 + bt → MH ⊥ u ⇔ a (at + x0 − xM ) + b(bt + y0 − y M ) + c(ct + z0 − z M ) = z = z0 + ct a ( x M − x0 ) + b ( y M − y ) + c ( z M − z ) a + b2 + c2 Điểm đối xứng M’(x; y; z) với M ( xM ; y M ; z M ) qua đt (d) qua M ( x0 ; y0 ; z ) và có vtcp u = (a; b; c) - Tìm H là hình chiếu M lên đường thẳng (d) → Giải ta t = 19 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (20) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - Áp dụng công thức trung điểm tìm (x; y; z) x + xM y + y M z + z M Cách khác: Toạ độ trung điểm MM’ là H ( ; ; ) nằm trên đường thẳng (d) Ta có: 2 x + xM y + yM = x0 + at; = y0 + bt 2 z +z M = z0 + ct; a( x − xM ) + b( y − y M ) + c( z − z M ) = B Bài tập Tìm A’ đối xứng với A qua (d) với: x − y −1 z a) A(1; 2; -1) và đường thẳng (d): = = −1 x − 2y − z = b) A(2; 1; -3) và đường thẳng (d): 2x + y − z − = c) A(2; 1; -3) và đường thẳng (d): x = 2t, y = - t, z = -1 + 2t x −1 y − z + d) A(2; 1; -3) và đường thẳng (d): = = −1 x y+7 z−2 e) A(2; -1; 3) và đường thẳng (d): = = x+2 y+2 z f) A(4; -3; 2) và đường thẳng (d): = = −1 y+ z−4=0 g) A(2; -1; 1) và đường thẳng (d): 2x − y − z + = 2x − y − 2z − = h) A(3; -1; 2) và đường thẳng (d): x − y − z − 17 = Cho đường thẳng (d): x = + 2t, y = - t, z = 3t và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + = a) Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm đó đến (P) b) Gọi K là điểm đối xứng điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng (d) Hãy xác định toạ độ điểm K x+3 y−2 z−2 Cho M(1; 2; -1) và đt (d): = = N là điểm đối xứng M qua (d) Tính MN −2 2x + y + = Cho (d1): và (d2): x = t, y = + 2t, z = + 5t B và C là điểm đối xứng x − y + z −1 = A(1; 0; 0) qua (d1) và (d2) Tính diện tích tam giác ABC VIII Hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng A Kiến thức cần nhớ Hình chiếu đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P): - Tìm mặt phẳng (Q) qua (d) và vuông góc với mặt phẳng (P) - Hình chiếu chính là giao điểm mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) B Bài tập Tìm phương trình hình chiếu đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) với: x − y + z −1 a) (d): = = ; (P): x + 2y + 3z + = 5x − y − 2z − = b) (d): ; (P): 2x - y + z - = x + 2z − = x − y − z −1 = c) (d): ; (P): x + 2y -z - = x + 2z − = x −1 y − z d) (d): = = ; (P): 2x - y - 3z + = −2 −1 x − my + z − m = Trong không gian cho đường thẳng (d) có phương trình: mx + y − mz − = 20 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (21) ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI a) Viết phương trình hình chiếu (d’) (d) lên mp(Oxy) b) Chứng minh m thay đổi, (d’) luôn tiếp xúc với đường tròn cố định IX Đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo A Lý thuyết cần nhớ Viết phương trình đường vuông góc chung (d) hai đường thẳng chéo (d1) và (d2): - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua (d2) và song song với (d1) - Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d1) và vuông góc với (P) - Đường vuông góc chung chính là giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) B Bài tập Chứng tỏ các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau, tìm đường vuông góc chung chúng a) x = - 2t, y = + t, z = -2 - 3t; x = 2t, y = + t, z = - 2t x+ y− z +5= b) ; x = + t, y = -2 + t, z = - t 2x − y + = x + 3y − = x − 2y − z = c) ; 2y − z −1 = 2x + z = d) x = + 2t, y = - 2t, z = -t; x = 2t, y = - 3t, z = x − y +1 z x y −1 z +1 e) = = ; = = −2 x − y − z − = 2y − z − = f) ; x − 3y + = x − y + 5z − = x − y − z − x − y −1 z −1 = = ; = = g) −1 −7 2 » - « 21 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 (22)