PhÇn tù chän 3 ®iÓm Thí sinh chỉ đợc chọn một trong hai phần: Theo chơng trình Chuẩn hoặc Nâng cao 1.. Trêng thpt KonTum.[r]
(1)Së GD & §T KonTum Trêng THPT Ngọc Hồi *** §Ò thi kiÓm tra chÊt lîng häc k× I N¨m häc 2010- 2011 M«n : To¸n 12 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề -*** I PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7 ®iÓm) C©u I (3 ®iÓm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=x −5 x +4 Tìm m để phơng trình |x −5 x 2+ 4|=m có nghiệm phân biệt C©u II (1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2(log2 x+ 1)log 4|x|+log =0 Câu III (3 điểm) Cho tam giác ABC cạnh a Trên đờng thẳng d qua A và vuông góc với mÆt ph¼ng (ABC) lÊy ®iÓm D cho AD = 2a TÝnh thÓ tÝch khèi chãp D.ABC TÝnh diÖn tÝch cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp D.ABC MÆt ph¼ng ®i qua B, trung ®iÓm cña AD vµ t©m cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó II PhÇn tù chän (3 ®iÓm) Thí sinh đợc chọn hai phần: Theo chơng trình Chuẩn Nâng cao Theo ch¬ng tr×nh ChuÈn C©u IVa(3 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y=√ x − 1+ √ − x+ Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: log [ log (2 x )− log x ] ≤ Tìm m để hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – có hai cực trị và hai giá trị cực trÞ cïng dÊu Theo ch¬ng tr×nh N©ng cao C©u IVb (3 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y=x + √ − x ¿ x y + y x =32 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: log ( x − y )=1+log (x + y ) ¿{ ¿ 2x (m− 2)2 − 2(m+1)2 x +2 m− 6=0 2 Tìm m để phơng trình √ ] HÕt Hä vµ tªn thÝ sinh: Trêng thpt KonTum cã nghiÖm thuéc ®o¹n [0; SBD : K× thi kiÓm tra chÊt l¬ng häc k× i N¨m häc 2010 - 2011 Híng dÉn chÊm to¸n 12 - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5 - Thí sinh làm cách khác đúng đợc điểm tối đa - Thí sinh đợc chọn làm theo hai chơng trình Chuẩn Nâng cao Nếu thí sinh nào lµm c¶ hai phÇn riªng th× kh«ng tÝnh ®iÓm phÇn riªng C©u Néi dung §iÓm I.1 Kh¶o s¸t hµm sè y=x −5 x +4 2,00 (2) 1) Tập xác định : R 2) Sù biÕn thiªn: a, Giíi h¹n : lim y =+ ∞, lim y =+ ∞ x →− ∞ 0,50 x →+∞ b, B¶ng biÕn thiªn: y’ = 4x3 - 10x, y’ = x = 0, x = ± √10 /2 - √ 10/2 x + y' + 0 + + - √ 10/ + 0,50 y -9/4 -9/4 Hàm số đồng biến trên các khoảng (- √ 10/2 ; 0) và ( √ 10/2 ; + ) Hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (- ; - √ 10/2 ) vµ (0 ; √ 10/ ) Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = Hàm số đạt cực tiểu x = ± √10 /2 , yCT = y( ± √ 10 /2 ) = - 9/4 3) §å thÞ: §å thÞ (C) cña hµm sè cã hai ®iÓm uèn U 0,50 (± √ 56 ; 1936 ) nhËn Oy lµm trục đối xứng, giao với Ox điểm ( ± 1; 0); ( ± 2; 0) (Hình 1) y (C1) y (C) 4 y=m 0,50 9/4 O -2 -1 x x O -2 -1 -9/4 (H×nh 1) Tìm m để phơng trình I.2 II |x −5 x + 4|=m (H×nh 2) (1) cã nghiÖm ph©n biÖt Gọi (C1) là đồ thị hàm số y=|x − x +4| (C1) gồm hai phần +) Phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox +) Đối xứng phần đồ thị (C) nằm dới Ox qua Ox Vẽ đồ thị (Hình 2) Số nghiệm (1) số giao điểm (C1) với đờng thẳng y = m Theo đồ thị ta đợc (1) có nghiệm phân biệt và m = và 9/4 < m < Gi¶i ph¬ng tr×nh 2(log x+ 1) log 4|x|+ log =0 (1) §iÒu kiÖn: x > (1) ⇔ (log x+1)log x −2=0 ⇔ log 22 x+ log x −2=0 1,00 0,25 0,25 0,50 1,00 0,5 (3) III.1 ⇔ log x=1 ¿ log x=−2 ¿ x=2 ¿ x=1/4 ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ TÝnh thÓ tÝch khèi chãp D.ABC d 0,5 1,00 D F N I E K A C O M B III.2 ThÓ tÝch khèi chãp 1 a2 √ a3 √ V D ABC= AD S ABC= a = 3 TÝnh diÖn tÝch cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp D.ABC Gọi O là trọng tâm tam giác ABC, gọi là đờng thẳng qua O và vuông góc với (ABC), suy // DA và là trục đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong mặt phẳng (d, ) kẻ đờng thẳng trung trực AD cắt I, đó I cách A, B, C, D nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp D.ABC Gäi M, N lµ trung ®iÓm cña BC vµ AD Tø gi¸c AOIN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn IA = ON = √ AN 2+ AO2 AN = DA=a , AO= AM= a √ = a √ 3 3 a 3 a MÆt cÇu cã b¸n kÝnh R=IA= √ a nªn nã cã IA= a2 + √ = √ 3 √ III.3 ( ) 2 diÖn tÝch S ¿ πR2 =4 π √3 a =16 πa 3 TÝnh tØ sè thÓ tÝch Gọi E = DM IN, F = BE DC đó tam giác BNF là thiết diện hình chóp c¾t bëi mÆt ph¼ng (BNI) ( 1,00 1,00 0,25 0,25 0,50 ) Do N lµ trung ®iÓm cña DA, NE // AM nªn E lµ trung ®iÓm cña DM Gọi K là trung điểm FC MK là đờng trung bình tam giác BFC MK // BF EF là đờng trung bình tam giác DMK F là trung điểm DK DC = DF SDBC = 3SDBF 1.00 0,25 0,25 (4) Gọi h là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DBC), N là trung điểm DA nên khoảng cách từ N đến (DBC) h/2 Gäi thÓ tÝch khèi chãp D.ABC lµ V, thÓ tÝch khèi chãp D.NBF lµ V1, thÓ tÝch phÇn cßn l¹i lµ V2 1h 1 Ta cã V 1= S DBF = h SDBC = V ⇒ V 2=V − V 1=V − V = V 32 6 6 Do đó ta có tỉ số thể tích: V1 = V2 hoÆc V2 =5 V1 V DN DF DB = = V DA DC DB T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y=√ x − 1+ √ − x+ Tập xác định D = [1; 9] 1 y'= − , y '=0 ⇔ √ x −1= √9 − x ⇔ x=5 √ x −1 √ 9− x 0,25 0,25 Chó ý thÝ sinh còng cã thÓ lµm theo c¸ch sau: IVa.1 IVa.2 y(1)= y(9) = √ , y(5) = ⇒ max y= y (5)=4 , y= y (1)= y (9)=2 √2 ❑ Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh log [ log 22 (2 x )− log x ] ≤ ⇔log 22 (2 x) − log x ≥ IVa.3 0,50 0,50 1,00 (®iÒu kiÖn: x > 0) 0,25 1+log x ¿ −3 log x −1 ≥ ⇔ log x − log x ≥ ⇔ ¿ log x ≥ ¿ log x ≤ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ x≥2 ¿ x ≤ VËy bÊt ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm S=¿ ∪¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Tìm m để hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – có hai cực trị cùng dấu y’ = 3x2 - 12x + 3(m +2) Điều kiện để hàm số có cực trị là y’ có hai nghiệm ph©n biÖt ⇔ Δ '=36 − 9(m+2)>0 ⇔m<2 Gọi x1, x2 là hai điểm cực trị hàm số, đó và theo định lí Viet ta có ¿ x 1+ x2=4 x x 2=m+2 ¿{ ¿ Do y= x − y ' +(m− 2)(2 x +1) vµ y’(x1) = y’(x2) = nªn 3 y (x 1)=(m −2)(2 x +1) , y (x 2)=(m −2)(2 x +1) ( 1,00 ) m− 2¿ [4 x x 2+ 2(x 1+ x )+1] m− 2¿ 2( x 1+ 1)(2 x 2+ 1)=¿ y C § y CT= y (x1 ) y (x2 )=¿ 0,50 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 (5) m−2 ¿2 ( m+17) m− 2¿ [4( m+2)+2 4+1]=¿ ¿¿ Do đó hai giá trị cực trị cùng dấu m− 2¿ (4 m+17)>0 ⇔ ¿ m ≠2 ¿ ¿ y C § y CT >0 ⇔ ¿ 17 <m< T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè 0,25 Kết hợp với điều kiện ta đợc − IVb.1 y=x + √ − x 1,00 Tập xác định: D = [- 2; 2] −x √ − x2 − x y ' =1+ = √ − x2 √ − x 0,25 y ' =0 ⇔ √ − x − x=0 ⇔ x≥0 2 − x =x ⇔ x=√ ¿{ y(-2) = - 2, y (2) = 2, y( √ 2¿=2 √ 0,25 0,25 max y= y ( √ 2)=2 √ , y= y (− 2)=−2 ¿ x IVb.2 + 0,25 y y x =32 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh log ( x − y )=1+log ( x + y ) (1) (2) 1,00 ¿{ ¿ §iÒu kiÖn: x – y > 0, x + y > 0, x ≠0, y ≠ 2 2 (2)⇔ log (x − y)+ log ( x+ y)=1 ⇔ log (x − y )=1 ⇔ x − y =3(3) (1) ⇔ ( xy + yx ) 0,25 ( xy + xy )=5 (t + )=5 ⇔ t −5 t+ 2=0 ⇔ t =25 ⇔2 t=2 ¿ ta cã t =1 /2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ +) Với t = ⇒ x=2 y vào (3) ta đợc y − y =3 ⇔ y=± Khi y =1⇒ x = ( tháa m·n) Khi y =−1 ⇒ x = -2 (lo¹i) 0,25 x §Æt t= y IVb.3 +) Víi t = 1/2 vµo ⇒ y=2 x thÕ 2 x − x =3 ⇔ x =− 1(v« nghiÖm ) VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x, y ) = (2; 1) Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc đoạn [0; 1] (3) 0,25 ta đợc 0,25 1,00 (6) 2 (m− 2)22 x − 2(m+1)2 x +2 m− 6=0 (1) §Æt t = 2x , x [0; √ 2] nªn t ∈[1;4] (1) trë thµnh (m− 2)t −2( m+1) t+2 m− 6=0 (2) 2t +2t +6 ⇔ (t −2 t+ 2) m=2 t +2 t +6 ⇔ m= =f (t) t − 2t +2 XÐt hµm sè f(t) trªn [1; 4] 2 t −2 t+2 ¿ ¿ , f '(t)=0 ⇔ −6 t − t+ 16=0⇔ ¿ t=−2( lo¹i) ¿ t=4 /3 ¿ ¿ ¿ ¿ − t − t+ 16 f '(t )= ¿ f(1)= 10, f(4) = 23/5, f(4/3) = 11 ⇒ max f (t)=f ( /3)=11 , f (t)=f ( 4)=23 /5 [ 1; 4] (1) cã nghiÖm thuéc [0; ⇔ 23 /5 ≤ m≤ 11 23 VËy: ≤ m≤ 11 0,25 0,25 0,25 [ 1; 4] √ ] ⇔ (2) cã nghiÖm thuéc [1; 4] 0,25 (7)