I, Phơng trình vô định dạng a.x+by=c+dxy và bài toán về chia hết... VIII, Dùa vµo nguyªn lý kÑp n2..[r]
(1)Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn – c¸ch gi¶i I, Phơng trình vô định dạng a.x+by=c+dxy và bài toán chia hết C¸ch gi¶i: Sö dông tÝnh chÊt chia hÕt VÝ dô1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh xy-2x-3y+1=0 HD: c¸ch1: ViÕt y=2+ ∈ Z ⇒ x − ∈ { ± 1; ± } x −3 C¸ch 2: ViÕt (x-2)(y-3)=5 =1.5=-1.(-5) VÝ dô2: T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn (x;y) tho¶ m·n y(x-1)=x2+2 HD : ViÕt y=x+1+ ∈ Z ⇒ x − 1∈ { ±1 ; ±3 } x −1 VÝ dô3: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 2x-3y+5xy=39 x − 39 HD : ViÕt y= ∈ Z ⇒ |2 x −39|≥|3 −5 x|⇒−12 ≤ x ≤6 −5 x VÝ dô4: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 5x-3y=2xy-11 HD : ViÕt y=2+ x +5 ∈ Z ⇒|x +5|≥|2 x +3|⇒ miÒn giíi h¹n cña x x +3 VÝ dô5: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh y= x 2− x+ x + x +1 HD: ViÕt thµnh (y-1)x2+(y+1)x+y-1=0 1, Víi y=1 th× x=0 2, Víi y 1⇒ Δ x ≥ ⇒ ≤ y ≤ ⇒ y ∈ { ; ; 2; } VÝ dô6: T×m c¸c cÆp sè nguyªn d¬ng (x;y) tho¶ m·n A= x + x+ lµ sè nguyªn xy −1 x + y +1 HD: yA=x+1+ ∈ Z ⇒ x+ y+ 1≥ xy −1 ⇒ ( x − )( y −1 ) ≤3 xy −1 VÝ dô 7: T×m c¸c sè nguyªn d¬ng x,y,z tho¶ m·n 2(y+z)=x(yz-1) HD: Lµm t¬ng tù vÝ dô6 VÝ dô8: T×m c¸c cÆp sè nguyªn d¬ng cho a2 − ∈Z ab+2 Mét sè bµi luyÖn tËp Bµi1: T×m nghiÑm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh x2-y2=2003 Bµi2: Cã tån t¹i hay kh«ng hai sè nguyªn x vµ y tho¶ m·n 3x2+7y2=2002 Bµi3: Gi¶ sö x,y,z tho¶ m·n x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x) CMR xyz ⋮ 27 Bµi4: Cho x,y,z lµ ba sè tho¶ m·n x2+y2=z2 1, Chøng minh cã Ýt nhÊt mét hai sè x,y chia hÕt cho 2, Chøng minh tÝch xy ⋮12 (2) Bµi 5: Cã tån t¹i c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n x3+y3+z3=x+y+z+2006 kh«ng? Bµi6: T×m c¸c cÆp sè tù nhiªn (x;y) tho¶ m·n x2+3y=3026 Bµi7: Chøng minh ph¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn x2-2y=2005 Bµi8: T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã c¸c c¹nh lµ sè nguyªn vµ sè ®o diÖn tÝch = chu vi II, H¹n chÕ tËp hîp chøa nghÖm dùa vµo ®iÒu kiÖn cña Èn VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh √ x+ √ y= √50 HD : y=50+x-10 √ x ( ≤ x ≤50 ) ⇒ x=4 k ⇒ k ≤25 ⇒ k ∈ { 0,1,2,3,4,5 } VÝ dô2: T×m nghiÖm tù nhiªn cña ph¬ng tr×nh √ x+ √ y= √1989 III, H¹n chÕ tËp hîp chøa nghiÖm b»ng c¸ch s¾p thø tù Èn (¸p dông cho vai trß cña c¸c Èn nh nhau) VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh x2+y2+z2+xyz=20 HD: Gi¶ sö x ≤ y ≤ z ⇒ VT ≥ x ⇒ x ≤2 VÝ dô2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh 1 + + =1 x y z HD : Gi¶ sö x ≤ y ≤ z ⇒ 1≤ ⇒ x ≤ 3⇒ x ∈ {2,3 } x Ví dụ3: Tìm các số nguyên dơng a,b,c đôi khác thoả mãn Y= + + + + + ∈ Z a b c ab ac bc HD : chøng minh a,b,c cïng tÝnh chÊt ch½n lÎ vµ gi¶ sö a<b<c Sau đó làm nh ví dụ2 VÝ dô4: T×m ngiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh x+y+z+9=xyz IV, Gi¶n íc cho íc sè chung VÝ dô1: T×m nghiÖm nguyen d¬ng cña ph¬ng tr×nh x4+4y4=2(z4+4t4) HD: Gi¶ sö (x0,y0,z0,t0) lµ nghiÖm §Æt (x0,y0,z0,t0) =d ta cã x0=dx1;y0=dy1;z0=dz1;t0=dt1 víi (x1;y1;z1;t1)=1 dÉn tíi x1=2x2;y1=2y2;z1=2z2;t1=2t2 v« lý! VÝ dô 2: T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2+y2+z2=x2y2 HD : Dựa vào tính chẵn lẻ để giải Phơng trình có nghiệm x=y=z=0 VÝ dô 3: T×m nghÞªm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2-2y2=5 (3) HD: Dựa vào tính chẵn lẻ để giải VÝ dô4:T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2-5y2=0 HD: Gi¶ sö (x0;y0) lµ nghiÖm ⇒ x 0=5 x ; y =5 y ⇒ ( x0 y0 ; 5k 5k ) lµ nghiÖm nguyªn nªn chØ cã thÓ x0=y0=0 tho¶ m·n V, §a vÒ d¹ng tæng A2+B2=m2+n2 (m;n lµ c¸c sè tù nhiªn) VÝ dô1 : T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2+y2-x-y=8 HD : viÕt |2 x −1|2+|2 y −1|2 =32+ 52 VÝ dô2: T×m nghiÖm tù nhiªn cña ph¬ng tr×nh m2+n2=9m+13n-20 2 HD : 4m -36m+81+4n -52n+169=170 => (2m-9)2+(2n-13)2=112+72=… VI, XÐt ch÷ sè tËn cïng VÝ dô1: T×m c¸c sè nguyªn d¬ng tho¶ m·n ph¬ng tr×nh 1!+2!+…+x!=y2 HD: Xét x=1,2,3,4 ta đợc nghiệm (1;1) và(3;3) Víi x>4 th× y2 cã tËn cïng b»ng ⇒ y ∉ Z VÝ dô2: T×m x,y nguyªn d¬ng tho¶ m·n x2+x-1=32y+1 HD: Cho x =0,1,…,9 => VT =1,5,9 nhng VF cã sè tËn cïng lµ hoÆc VII, Sö dông tÝnh chÊt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 3x2+y2+4xy+4x+2y+5=0 HD: XÐt Δ y =x − 4=n2 , ( n ∈ Z ) ⇒ x=± VÝ dô2: T×m nghiÑm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2-(y+5)x+5y+2=0 HD: Theo Vi-Ðt cã ¿ x1 + x 2= y +5 x1 x2 =5 y+ ⇔ ( x − ) ( x − )=2=1 2=− ( −2 ) ¿{ ¿ VIII, Dùa vµo nguyªn lý kÑp n2<A<(n+1) th× A kh«ng chÝnh ph¬ng (n nguyªn) Ví dụ1: Tìm tất các số nguyên tố p để tổng tất các ớc tự nhiên cña p4 lµ sè chÝnh ph¬ng HD: Ta có 1+p+p +p +p4=m2 biến đổi dẫn tới (2p2+p)2<4m2<(2p2+p+2)2 V©y 4m2=(2p2+p+1)2 => p=3 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguþªn x2+x=y4+y3+y2+y (4) HD: Biến đổi ( y 2+ y )2+ y + y +1=( x+ )2=( y 2+ y+1 ) 2+2 y − y Ví dụ3: Tìm tất các số nguyên n để A=n4+2n3+2n2+n+7 lµ sè chÝnh ph¬ng IX,§a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch Ví dụ1: Hãy tìm các số có chữ số Biết số đó là số chính phơng và số đó giảm chữ số hàng nghìn đơn vị còn tăng lên chữ số hàng đơn vị thì nhận đợc số chính phơng (Thi HSG TØnh VP 05-06) HD: Gi¶ sö xyzt =a2 vµ (x-3)yz(t+3)=b2 Suy (a+b)(a-b)=2997=34.37 víi 60<a+b<200 Kết (a+b)(a-b)=111.37=81.37 ta tìm đợc số thoả mãn Ví dụ 2:Tìm số có chữ số ,biết số đó là số chính phơng và tăng Mỗi chữ số số đó thêm đơn vị thì đợc số chính phơng VÝ dô3: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn n cho n2+n+1 lµ mét sè chÝnh ph¬ng X, §a vÒ trêng hîp riªng VÝdô: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn √ x+ √ x + + √ x= y (cã n dÊu c¨n) √ x= y ⇒ x=t HD : Víi n=1 cã y=t (t ∈ N ) ¿{ Víi n=2 cã √ x+ √ x= y ⇒ √ x= y − x ⇒ t +t= y ⇒ t2 < y < ( t+ )2 ChØ cã nghiÖm (0;0) Víi n>2.Luü thõa liªn tiÕp dÉn tíi √ x+ √ x= y n − − x §a vÒ trêng hîp trªn XI, Dùng bất đẳng thức VÝ dô1: T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2-xy+y2=5 HD: ViÕt l¹i trë thµnh (2x-y)2=20-3y2 ⇒ y ≤ 20 ⇒ y 2=0 ;1 ; Sö dông tÝnh ch½n lÎ gi¶i to¸n sè häc I, TÝnh chÊt: 1, Tæng (hoÆc hiÖu) cña mét sè ch½n vµ mét sè lÎ lµ mét sè lÎ 2, Tæng hoÆc hiÖu cña hai sè ch½n ,hoÆc hai sè lÎ ,lµ mét sè ch½n 3, TÝch cña c¸c sè lÎ lµ mét sè lÎ 4, Tích các số ,trong đó có ít số chẵn là số chẵn 5, Trong hai sè nguyªn liªn tiÕp cã mét sè ch½n vµ mét sè lÎ II, TÝnh ch½n lÎ c¸c bµi to¸n vÒ chia hÕt Bài1: Cho bảy số nguyên (i=1,2,…,7).Viết các số nguyên đó theo thứ tự khác đợc bi(i=1,2,…7) Chứng minh tÝch (a1-b1)(a2-b2)…(a7-b7)chia hÕt cho2 HD:§Æt ci=ai-bi cã ∑ c i=0⇒ c j=2k ( k ∈ Z ) 1≤ j ≤7 (5) Bài2: Số 3n+2003, đó n là số nguyên dơng ,có chia hết cho184không? HD: ThÊy 32m-1 chia hÕt cho 32-1=8 NÕu n=2m th× 32m+2003=32m-1+250.8+4 kh«ng chia hÕt cho NÕu n=2m+1 th× 32m+1+2003=3(32m-1)+250.8+6 kh«ng chia hÕt cho V©y víi mäi sè nguyªn n sè 3n+2003 kh«ng chia hÕt cho 8.23=184 Bµi tù gi¶i 1, Cho n>3,n N Chøng minh nÕu 2n=10a+b víi 0<b<9 th× tÝch ab chia hÕt cho 2, Cho c¸c sè nguyªn d¬ng x,y,z tho¶ m·n x2+y2=2z2.Chøng minh r»ng x2-y2 chia hÕt cho 48 3, Cho c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n x2+y2=z2 Chøng minh r»ng x.y.z chia hÕt cho 60 4, BiÕt a lµ sè nguyªn d¬ng a, NÕu a+1 vµ 2a+1 lµ c¸c sè chÝnh ph¬ng th× a cã chia hÕt cho 24 kh«ng ? b, NÕu 2a+1 vµ 3a+1 lµ sè chÝnh ph¬ng th× a cã chia hÕt cho 40 kh«ng ? III, TÝnh ch½n lÎ víi c¸c ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn VÝ dô : T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña hÖ ph¬ng tr×nh ¿ xy + y − x !=1 yz + z − y !=1 x −2 y +2 x − y=2 ¿{{ ¿ HD: Tõ PT cuèi vµ ph¬ng tr×nh ®Çu suy x ch½n y lÎ Tõ PT thø hai cã y! lÎ nªn y=1.KÕt qu¶ nghiÖm cña hÖ (x,y,z) b»ng (2,1,1) VÝ dô2: Chøng minh kh«ng cã sè nguyªn nµo tho¶ m·n 30 19x +5 y +1980 z=1975 +1983 VÝ dô3: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh x3+2y3=4z3 IV, TÝnh ch½n lÎ c¸c bµi to¸n sè häc kh¸c VÝ dô1: Chøng minh r»ng mét PT bËc hai víi c¸c hÖ sè nguyªn lÎ th× kh«ng cã nghiÖm h÷u tû HD: Giả sử x=p/q (p,q)=1 thay vào PT a.x2+bx+c=0 đợc ap2+bpq+cq2=0 (*) NhËn thÊy VT (*) lÎ cßn VP (*) ch½n dÉn tíi (®pcm) Ví dụ2: Tìm số nguyên dơng n để n− 37 là bình phơng số hữu tỷ n+ 43 HD: G/S n− 37 p = n+ 43 q () víi (p,q)=1.Ta cã n-37=kq2 vµ n+43=kp2 (k +¿ Z¿ ) Từ đó k(p-q)(p+q)=80=24.5.1 TH1 p,q cã mét sè ch½n mét sè lÎ Tõ (*) suy p+q=5; p-q=1;k=16=>p=3,q=2,n=101 TH2 Cả hai p,q lẻ Đặt p=2a-1;q=2b-1 (a,b thuộc Z+) suy k(a-b)(a+b-1)=20=22.5.1;do a+b-1>a-b vµ a+b-1 kh¸c tÝnh ch½n lÎ víi a-b Cho cÆp (a-b,a+b-1) lÇn lît b»ng (1,2);(1,4);(1,20); (5,20);(2,5);(4,5) Sẽ có đợc n 38;47;55;82;199;398 VÝ dô 3: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè a,b,c tho¶ m·n ab+ba=c HD: c>2 vµ lÎ nªn a,b ph¶i kh¸c tÝnh ch½n lÎ Do vai trß a,b nh nªn gi¶ sö a lÎ, b ch½n th× b=2 nªn cã a2+2a=c NÕu a=3 th× tho¶ m·n c=17 (6) Nếu a khác thì a2=3n+1(n nguyên dơng ) ,2a=(3-1)a=3t-1 vì a lẻ Từ đó c=a2+2a=3n+1+3t-1=3(n+t) lµ hîp sè Bµi to¸n cã hai nghiÖm (3,2,17) vµ (2,3,17) Mét sè bµi tù gi¶i Bài 1: Biết p=a+bc,q=b+ca,r=c+ab là số nguyên tố ,và a,b,c là các số nguyªn d¬ng CMR ba sè cã Ýt nhÊt hai sè b»ng Bµi2: Cho c¸c sè a=2n+3n vµ b=2n+2+3n+2 víi n nguyªn d¬ng T×m ¦CLN(a,b)=? Bµi3: Chøng minh 3n+4 kh«ng thÎ lµ sè chÝnh ph¬ng víi n nguyªn d¬ng Bài4: Tìm các số nguyên dơng m,n >1 để 2m+3n là số chính phơng Bài5: Tìm các số nguyên dơng n để n2+2002 là số chính phơng ? C¸c bµi tËp luyÖn tËp tæng hîp Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau 1, 5x2-4xy+y2=169 2, 4y+1=3x 3, x6+3x3+1=y4 4, 5x+12x=13x Bµi 2: Chøng minh ph¬ng tr×nh 25t=2t5+1997 kh«ng cã nghiÖm nguyªn Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 1, x3-3y3-9z3=0 2, 2x2+2y2-2xy+x+y-10=0 3, x+y+z=xyz 4, x2-4xy=23 5, 3x-3y+2=0 6, 19x2+28y2=729 7, 3x2+8y2+10xy=96 Bµi 4: T×m c¸c cÆp (x;y) nguyªn d¬ng tho¶ m·n mét c¸c ph¬ng tr×nh sau 1, 4xy-3(x+y)=59 2, 5(xy+yz+xz)=4xyz 3, xy + yz + xz =3 z x y 1 1 + + = x y z 1995 4, Bµi 5: gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn (x+2004)(x+1980)=3y-81 Bài6: Tìm tất các số nguyên n để n4+6n3+11n+6n là số chính phơng Bài7: Tìm tất các số nguyên n để (n+5)(n+6) chia hết cho 6n Bµi8: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 1, x2+(x+1)2=y4+(y+1)4 2, x +2003x+2004y2+y=xy+2004xy2+2005 Bµi9: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh 1, xy=3(y-x) 2, (n+1)(2n+1)=10m2 3, xy+yz+zx=2(x+y+z) Bµi10: T×m mäi cÆp sè nguyen d¬ng cho ph©n thøc Gi¸ trÞ nguyªn x +2 x y+ lu«n nhËn (7) Bµi11, T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè pi (i=1,2,…,8) cho ∑ pi = p 2 Bµi12: T×m sè d phÐp chia (1995+1)(1995+2)…(1995+3990) cho31995 Bµi 13, Ph©n tÝch sè 20032004 thµnh tÝch cña hai sè d¬ng a,b Hái a+b Cã chia hÕt cho 2004 kh«ng? Bµi14: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n |x − 3|+|x −10|+| x+10|+|x+ 990|+|x +1000|=2004 Bµi 15, t×m c¸c sè nguyªn x cho x3-2x2+7x-7 chia hÕt cho x2+3 Bµi16, T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n x y z y z x + + = + + =x + y + z=3 y z x x y z Bµi17: ViÕt sè 20032004 thµnh tæng cña c¸c sè nguyªn d¬ng Đem tổng lập phơng tất các số hạng đó đem chia cho thì đợc số d là bao nhiêu? Bµi18: T×m mäi nghiÖm nguyªn cña hÖ ¿ x − x 2+ x −2= y y3 −7 y +8 y −2= z 2 z −7 z + z −2=x ¿{{ ¿ Bµi19: T×m c¸c cÆp sè (x;y) nguyªn d¬ng cho +¿ x +x ∈ Z¿ xy −1 Bµi20: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn 3x+4y=7z Bµi21: XÐt d·y sè a1=1;a2=3 vµ an+2=2an+1-an+1 víi mäi n nguyªn d¬ng Chøng minh sè A=4an.an+2+1 lµ sè chÝnh ph¬ng Bµi 22: BiÓu diÔn sè 1/2díi d¹ng tæng cña ba ph©n sè d¬ng cã tö b»ng Hãy tìm tất các cách đó Bµi23: Chøng minh ph¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn x,y 36x2+144y2-276x-120y+25=0 Bµi24: T×m c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT x2+y2=2011 ❑1995 +1 ( 10− z ) Bài25: Tìm các số tự nhiên m và n để A=3 ❑3 m +6 n −61 +4 là số nguyên tố Bµi26: T×m sè cã ch÷ sè abcd cho 1, ab,cd lµ sè nguyªn tè 2, db +c = b2+d k Bµi 26: T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ ¿ x + y=z x 3+ y3 =z ¿{ ¿ Bµi27: T×m c¸c bé sè nguyªn d¬ng tho¶ m·n x+2y+2z=xyz Bµi 28: T×m nghiÖm nguyªn cña PT: 3(x2+xy+y2)=x+8y Bµi 29: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x4-y4+z4+2x2z2+3x2+4z2+1=0 Bµi30: Gi¶i c¸c PT nghiÖm nguyªn sau 1, x3-x2y+3x-2y-5=0 (8) 2, x6+8x3+11x2+28x+12+3y2=0 3, 4y2=2+ √ 199− x2 −2 x 4, x(1+x+x2)=4y(y+1) Bµi 31: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT 5x+2.5y+5z=4500 víi x<y<z Bµi 32: T×m c¸c sè a,b,c d¬ng tho¶ m·n abbc=ab.ac.7 Bµi33: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn 2(x2-y2)2=x2+y2+2z2 Bµi35: Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n Chøng minh PT x2+y2+z2=4p2+1 lu«n cã nghiÖm d¬ng (x0,y0,z0) Bµi36: T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè d¬ng (a,b) cho a+b2 chia hÕt cho a2b-1 Bµi 37: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng N cã ba ch÷ sè cho cộng các chữ số N với N và với số đợc viết các chữ số N theo thứ tự ngợc lại ta đợc số chính phơng Bµi 38: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT 3x+1=(y+1)2 Bµi39: T×m mäi nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT 10(2x-1)=x(13x-3) Bài 40: Tìm tất các số hữu tỷ x và y cho x+y và + nguyên x y Bµi 41: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x2002+y2002=20032001(x3+y3) Bµi42: T×m c¸c sè tù nhiªn n cho 28+211+2n lµ sè chÝnh ph¬ng Bµi43: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p vµ q tho¶ m·n p3-q5=(p+q)2 Bµi 44: T×m sè ®o c¸c c¹nh cña tÊt c¶ c¸c tam gi¸c biÕt chóng lµ c¸c sè nguyên và số đo diện tích chu vi tam giác đó Bµi45: Chøng minh r»ng nÕu a,b,c lµ c¸c sè nguyªn kh¸c kh«ng tho¶ m·n a b c + + =3 th× tÝch abc =n3 víi n lµ sè nguyªn b c a Bµi47: T×m tÊt c¶ c¸c bé sè nguyªn (a,b,c,d) tho¶ m·n ¿ a +3 b=c b3 +3 a=d ¿{ ¿ đồng thời các điều kiện Bµi48: T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn (x,y) cho x2+xy+y2+14x+14y+2018 chia hÕt cho 101 Bµi49: T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn cña PT 3|3 x −4 y|+4 |4 x −3 y| =√ 1201 2 √x + y Bµi50: T×m mäi sè nguyªn n tho¶ m·n (n+5)2=(4(n-2))3 Bµi51: T×m tÊt c¶ c¸c GT h÷u tû x cho biÓu thøc x 2+2 x+3 ∈ Z x − x +1 Bµi52: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x +8=7 √ x +1 Bµi53: T×m nghiÖm nguyªn cña PT x2(y-5)-xy=x-y-1 Bµi54: T×m c¸c sè nguyªn a,b,c ,d tho¶ m·n ¿ ac − bd=4 ad+ bc=3 ¿{ ¿ (9) Bµi 55: Chøng minh r»ng nÕu +¿ p , q ∈ Z¿ p 1 1 =1 − + − + − + ;¿ q 1334 1335 p ⋮ 2003 th× Bµi56: T×m mäi nghiÖm nguyªn cña PT (2x-y-2)2=7(x-2y-y2-1) Chó ý : Sö dông Δ y ≥ Bµi 57: Ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm nguyªn d¬ng kh«ng ? x2005+y2005=20072005 Bµi 58: T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn kh«ng (x,y) tho¶ m·n x-y=x2+xy+y2 Bµi59: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn x − =3 y − =2 z − =xyz − ( y ) ( z ) ( x) xyz Chú ý : đặt các tỷ số k Bµi60: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT x3+y3+4(x2+y2)+4(x+y)=16xy HD: ViÕt x(x-2)2+y(y-2)2+8(x-y)2=0 Bµi61: T×m c¸c nghiÖm kh«ng ©m cña PT y2(x+1)=1576+x2 HD : ViÕt (x+1)(y2-x+1)=1577=19.83 Bµi62: Cho P=(a+b)(b+c)(c+a)-abc víi a,b,c lµ sè nguyªn Chøng minh r»ng nÕu a+b+c chia hÕt cho th× P còng chia hÕt cho4 Bµi 63: Chøng minh r»ng (20052+22005;2005)=1 Bµi 64: T×m mäi nghiÖm nguyªn cña PT x2+2003x+2004y2+y=xy+2004xy2+2005 HD: ViÕt (x-1)(x+2004-2004y2-y)=1 Bµi 65: T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x,y) tho¶ m·n 2x-5y+5xy=14 Bµi 66: T×m sè chÝnh ph¬ng cã ch÷ sè biÕt r»ng t¨ng thªm mçi ch÷ sè Một đơn vị thì số đợc tạo thành là số chính phơng (Thi vµo líp 10 chuyªn Lª Hång Phong TP.HCM n¨m 05-06) Bµi kh¶o s¸t sè phÇn sè häc C©u1(2.4 ®iÓm): Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau 1, 4y2= √ 899− x −2 x 2, ( x 2+ y 2+1 ) −5 x − y −5=0 3, x2-xy+7y-38=0 4, (x+2006)(x+1982)=3y-81 C©u2: T×m mét sè cã ch÷ sè abcd tho¶ m·n c¸c ®k ¿ ab ; cd ∈ P db+c =b2 +d ¿{ ¿ (10) Bản quyền thuộc http://NgocHung.name.vn (11)