Lý thuyết và các dạng bài toán về cung và các góc lượng giác toán 10

Chương CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC §1 CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC I Tóm tắt lí thuyết Khái niệm cung góc lượng giác Định nghĩa Đường tròn định hướng đường trịn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại gọi chiều âm Quy ước: chiều dương chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ + A − Định nghĩa Trên đường tròn định hướng, cho hai điểm A B Một điểm M di chuyển đường tròn theo chiều (dương âm) từ A đến B tạo nên cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối B ! Với hai điểm A, B cho đường tròn định hướng, ta có vơ số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Mỗi cung kí hiệu AB ! Trên đường tròn định hướng, lấy hai điểm A B ı cung hình học (cung lớn cung bé) hồn tồn xác định • Kí hiệu AB • Kí hiệu AB cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Định nghĩa Trên đường tròn định hướng, cho cung lượng giác CD Một điểm M chuyển động đường tròn từ C đến D tạo nên cung lượng giác CD nói Khi đó, tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến vị trí OD Ta nói ta OM tạo góc lượng giác có tia đầu OC, tia cuối OD Kí hiệu: (OC, OD) D M O C 395 396 CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Định nghĩa Trong mặt phẳn tọa độ Oxy, vẽ đường trịn định hướng tâm O bán kính R = Đường tròn cắt hai trục tọa độ bốn điểm A(1; 0), A (−1; 0), B(0; 1), B (0; −1) Ta lấy A làm điểm gốc đường trịn Đường trịn xác định gọi đường tròn lượng giác (gốc A) y B x O A A B Số đo cung góc lượng giác Định nghĩa Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bán kính gọi cung co số đo rad Å ã 180 ◦ π ◦ rad rad = Liên hệ độ rad: = 180 π ! Khi viết số đo góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số π π đo Chẳng hạn cung hiểu cung rad 2 Bảng chuyển đổi thông dụng: Độ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ Rađian π π π π 2π 3π 5π π Định nghĩa Số đo cung lượng giác AM (A = M) số thực, âm hay dương Kí hiệu số đo cung AM sđ AM Ghi nhớ: sđ AM = α + k2π, k ∈ Z sđ AM = a◦ + k360◦ , k ∈ Z Định nghĩa Số đo góc lượng giác (OA, OC) số đo cung lượng giác AC tương ứng Số đo cung lượng giác Số đo cung lượng giác AM (A = M) số thực, âm hay dương Kí hiệu số đo cung AM sđ AM Ghi nhớ sđ AM = α + k2π, k ∈ Z sđ AM = a◦ + k360◦ , k ∈ Z Số đo góc lượng giác Số đo góc lượng giác (OA, OC) số đo cung lượng giác AC tương ứng Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 397 y Điểm M đường trịn lượng giác cho góc lượng giác (OA, OM)) = α điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo α B M A α x O B II Các dạng toán Dạng Liên hệ độ rađian Sử dụng cộng thức chuyển đổi số đo độ số đo rađian: 1◦ Å ã π 180 ◦ = rad rad = 180 π Ví dụ Đổi số đo góc sau rađian: 72◦ ; 600◦ ; −37◦ 45 30 π rad nên Lời giải Vì 1◦ = 180 π 2π 72◦ = 72 · = ; 180 10π π = ; 600◦ = 600 · 180 Å ã◦ Å ã◦ Å ã 45 30 4531 ◦ 4531 π ◦ ◦ −37 45 30 = −37 − − = = · ≈ 0, 6587 60 60 · 60 120 120 180 Ví dụ Đổi số đo góc sau độ: 5π 3π ; ; −4 18 ã 180 ◦ nên Lời giải Vì rad = π Å ã◦ 5π 5π 180 = · = 50◦ ; 18 Å 18 π ã 3π 3π 180 ◦ = · = 108◦ ; 5 π Å ã 180 ◦ −4 = − · ≈ −2260◦ 48 π Å BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Đổi số đo góc sau rađian: 54◦ ; 30◦ 45 ; −60◦ ; −210◦ π 3π Lời giải 54◦ = 54 · = ; 180 10 Å ã Å ã 45 ◦ 123 ◦ 123 π 41π ◦ ◦ 30 45 = 30 + = = · = ≈ 0, 5367; 60 4 180 240 π π −60◦ = −60 · =− ; 180 π 7π −210◦ = −210 · =− 180 A 398 CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC π 5π 4π Bài Đổi số đo góc sau độ: ; − ; ; 3, 56π Å ã π π 180 ◦ Lời giải = · = 36◦ ; 5Å ãπ 5π 5π 180 ◦ − =− · = 150◦ ; Å ãπ 4π 180 ◦ 4π = · = 240◦ ; 3Å π ã 180 ◦ 3, 56π = 3, 56π · ≈ 640◦ 48 π Dạng Độ dài cung lượng giác Cung trịn bán kính R có số đo α (0 ≤ α ≤ 2π), có số đo a◦ (0 ≤ a ≤ 360) có độ dài l thì: l = Rα = Å 180 Đặc biệt: rad = π ã◦ , 1◦ = πa α a R = 180 π 180 π rad 180 Ví dụ Một đường trịn có bán kính 36 m Tìm độ dài cung đường trịn có số đo 3π a) b) 51◦ c) πa Lời giải Theo công thức tính độ dài cung trịn ta có l = Rα = R nên 180 3π a) Ta có l = Rα = 36 = 27π ≈ 84, 8m πa π51 51π b) Ta có l = R = 36 = ≈ 32, 04 m 180 180 c) Ta có l = Rα = 36 = 12 m Å ã◦ Ví dụ Một hải lí độ dài cung trịn xích đạo có số đo = Biết độ dài xích đạo 40.000 60 km, hỏi hải lí dài km? Lời giải Một hải lí dài 40000 ≈ 1, 852 km 360 60 Ví dụ Cho hình vuông A0 , A1 , A2 , A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh xếp theo chiều ngược chiều quay kim đồng hồ) Tính A1 số đo cung lượng giác A0 Ai , Ai A j (i, j = 0, 1, 2, 3, 4, i = j) A2 O A3 ÷ Lời giải Ta có A OA0 = nên sđA0 A0 = k2π, k ∈ Z π π ÷ A nên sđA0 A1 = + k2π, k ∈ Z OA1 = 2 A0 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 399 ÷ A OA2 = π nên sđA0 A1 = π + k2π, k ∈ Z π π 3π ÷ A nên sđA0 A3 = 2π − + k2π = + k2π, k ∈ Z OA3 = 2 iπ Như sđA0 Ai = + k2π, i = 0, 1, 2, 3, k ∈ Z π Theo hệ thức salơ ta có sđ Ai A j =sđA0 A j − sđA0 Ai +k2π = ( j − i) + k2π, k ∈ Z BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tính độ dài cung trịn trường hợp sau: a) Bán kính R = 5, có số đo 72◦ b) Bán kính R = 18, có số đo 150◦ π.72 = 2π Lời giải a) l = 180 π.150 b) l = 18 = 15π 180 Bài Cho đường trịn có đường kính R = 20 cm Hãy tính độ dài cung trịn có số đo: π ; 1, 5; 37◦ 15 Lời giải • l= π 20 ≈ 4, 19 cm 15 • l = 1, 5.20 ≈ 30 cm • l= 37.π 20 ≈ 12, 91 cm 180 Bài Bánh xe người xe đạp quay 11 vịng giây a) Tính góc (theo độ rađian) mà bánh xe quay giây b) Tính quãng đường mà người xe phút, biết đường kính bánh xe đạp 680 mm 11 22π Lời giải a) Trong giây, bánh xe quay vòng, tức quay góc (rad) hay 792◦ 5 22π 60 ≈ 281, 990 (mm) ≈ 282 m b) Trong phút, bánh xe lăn l = 340 Bài Cho lục giác A0 A1 A2 A4 A5 A6 nội tiếp đường tròn tâm O(các đỉnh xếp theo chiều ngược chiều quay kim đồng hồ) Tính số đo cung lượng giác A0 Ai , Ai A j (i, j = 0, 1, 2, 3, 4, 5, i = j) iπ Lời giải sđ A0 Ai = + k2π, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, k ∈ Z π sđ Ai A j =sđA0 A j − sđA0 Ai +k2π = ( j − i) + k2π, i, j = 0, 1, 2, 3, 4, 5, i = j, k ∈ Z π π Bài Trên đường tròn lượng giác gốc A Cho điểm M, N cho sđAM = , sđAN = − Các điểm 5 M , N điểm đối xứng M, N qua tâm đường trịn Tìm số đo cung AM , AN M N Lời giải π 6π sđAM = + π + k2π = + k2π, k ∈ Z 5 M π 4π N sđAN = − + π + k2π = + k2π, k ∈ Z 5 Theo hệ thức Saclơ ta có A 2π O sđM N =sđAN − sđAM + k2π = − + k2π, k ∈ Z N M 400 CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Dạng Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác, ta thường sử dụng kết sau: • Cung có số đo α (a◦ ) cung có số đo α + k2π (a◦ + k360◦ ) có điểm biểu diễn đường tròn lượng giác k2π • Số điểm đường tròn lượng giác biểu diễn cung lượng giác có số đo dạng α + (hay m k360◦ a◦ + ) (với k số nguyên m số nguyên dương) m điểm Từ để biểu diễn m cung lượng giác đó, ta cho k chạy từ đến m − biểu diễn cung Ví dụ Biểu diễn cung lượng giác đường trịn lượng giác có số đo 9π Lời giải π 9π 9π = + · 2π Do điểm biểu diễn cung lượng giác trùng với Ta có 4 π điểm biểu diễn cung lượng giác 9π Vậy điểm cuối cung điểm M cung nhỏ AB A y B M A x O B Ví dụ Biểu diễn cung lượng giác đường trịn lượng giác có số đo −765◦ Lời giải Ta có −765◦ = −45◦ − · 360◦ Do điểm biểu diễn cung lượng giác −765◦ 45 trùng với điểm biểu diễn cung lượng giác −45◦ Lại có = Ta chia 360 đường tròn thành phần Khi điểm M biểu diễn góc có số đo −765◦ A y B A x O M B Ví dụ Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = kπ với k số nguyên tùy ý Lời giải CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Ta có x = kπ = 401 k2π Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo kπ y B • Với k = 0, x = 0, biểu diễn điểm A • Với k = 1, x = π, biểu diễn điểm A A A x O B Ví dụ Cho cung lượng giác có số đo x = thỏa mãn x ∈ [2π; 5π]? π + kπ với k số nguyên tùy ý Có giá trị k   π    + kπ > 2π k > Lời giải Giải hệ bất phương trình π4 ⇔    + kπ < 5π k < 19 4 19 Từ đó, để x ∈ [2π; 5π] < k < Vì k số nguyên nên có giá trị k, 2, 3, 4, thỏa mãn ycbt 4 π kπ với k số ngun tùy ý Có giá trị Ví dụ 10 Cho cung lượng giác có số đo x = − + Å ò 3π k thỏa mãn x ∈ − ; 4π ?   π kπ 3π 16   − + k > − >− ⇔ 15 Lời giải Giải hệ bất phương trình    − π + kπ ≤ 4π k ≤ 52 3 Å ị 3π 16 52 Từ đó, để x ∈ − ; 4π − < k ≤ Vì k số ngun nên có 19 giá trị k (−1, 0, 16, 17) 15 thỏa ycbt π kπ Ví dụ 11 Cho cung lượng giác có số đo x = − + với số k tùy ý Có giá trị k thỏa −π mãn x ∈ ; 2π ?   π kπ −π   − + k > − >− ⇔ Lời giải Giải hệ bất phương trình 27 π kπ   − + k ≤ ≤ 2π −π 27 Từ đó, để x ∈ ; 2π − < k ≤ Vì k số nguyên nên có 14 giá trị k (0, 1, 12, 13) thỏa 2 ycbt Ví dụ 12 Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = Lời giải kπ với k số nguyên tùy ý 402 Ta có x = CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC kπ k2π π = Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo k y B • Với k = 0, x1 = 0, biểu diễn điểm A • Với k = 1, x2 = π , biểu diễn điểm B A A x O • Với k = 2, x3 = π, biểu diễn điểm A • Với k = 3, x4 = 3π , biểu diễn điểm B B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = Lời giải Ta có x = kπ với k số nguyên tùy ý kπ k2π kπ = Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo y M3 • Với k = 0, x1 = 0, biểu diễn điểm M1 • Với k = 1, x2 = • Với k = 2, x3 = π , biểu diễn điểm M2 M2 M4 2π , biểu diễn điểm M3 M1 x O M5 M6 • Với k = 3, x4 = π, biểu diễn điểm M4 • Với k = 4, x5 = 4π , biểu diễn điểm M5 • Với k = 5, x6 = 5π , biểu diễn điểm M6 Bài Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = −750◦ Lời giải Ta có x = −750◦ = −30 − · 360◦ Vậy điểm diễn góc −750◦ trùng với điểm biểu diễn cung lượng giác −30◦ 30 = Ta chia đường tròn thành 12 phần Lại có 360 12 Chú ý góc −30◦ nằm trục Ox A Khi điểm M biểu diễn cung lượng giác −750◦ y B A x O M B Bài 10 Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = − Lời giải 2π CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC 403 2π Ta có: = Ta chia đường tròn thành phần 2π 2π Khi điểm M biểu diễn cung lượng giác x = − y B M A A x O B Bài 11 Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = π + kπ với k số nguyên tùy ý Lời giải π π k2π Ta có x = + kπ = + Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số 3 π đo x = + kπ π • Với k = 0, x1 = , biểu diễn điểm M1 A • Với k = 1, x2 = 4π , biểu diễn điểm M2 y B M1 A x O M2 B π kπ với k số nguyên tùy ý Bài 12 Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = − + Lời giải π kπ π k2π Ta có x = − + =− + Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác 4 có số đo x M3 π • Với k = 0, x1 = − , biểu diễn điểm M1 A π • Với k = 1, x2 = , biểu diễn điểm M2 M4 3π , biểu diễn điểm M3 • Với k = 2, x3 = • Với k = 3, x4 = 5π , biểu diễn điểm M4 π kπ Bài 13 Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = − + với k số nguyên tùy ý Lời giải y B M2 A x O M1 B 404 CHƯƠNG CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC π kπ π k2π Ta có x = − + =− + Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác 6 có số đo x π M3 • Với k = 0, x1 = − , biểu diễn điểm M1 A π • Với k = 1, x2 = , biểu diễn điểm M2 M4 π • Với k = 2, x3 = , biểu diễn điểm B • Với k = 3, x4 = 5π , biểu diễn điểm M3 • Với k = 4, x5 = 7π , biểu diễn điểm M4 • Với k = 5, x6 = 3π , biểu diễn điểm B y B M2 A x O M1 B Bài 14 Khi biểu diễn cung lượng giác có số đo x = kπ y = k2π lên đường tròn lượng giác, số điểm chung nhận bao nhiêu? Lời giải k2π y Ta có x = kπ = Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo x B • Với k = 0, x1 = 0, biểu diễn điểm A • Với k = 1, x2 = π biểu diễn điểm A A A x O Ta có y = k2π Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo y Với k = 0, y = 0, biểu diễn điểm A Vậy số điểm chung nhận điểm chung B Bài 15 Khi biểu diễn cung lượng giác có số đo x = π π + kπ y = + k2π lên đường tròn lượng giác, 2 số điểm chung nhận bao nhiêu? Lời giải π k2π Ta có x = kπ = + Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo x 2 π • Với k = 0, x1 = , biểu diễn điểm B • Với k = 1, x2 = y B A 3π biểu diễn điểm B A x O π + k2π Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo y Với π k = 0, y = , biểu diễn điểm B Vậy số điểm chung nhận điểm chung Ta có y = Bài 16 Khi biểu diễn cung lượng giác có số đo x = số điểm chung nhận bao nhiêu? Lời giải B π kπ 5π + y = + kπ lên đường tròn lượng giác, 456 CHƯƠNG CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 52 (ĐH Đà Nẵng-1998) Chứng minh cos π 2π 3π − cos + cos = 7 Lời giải Kí hiệu T vế trái Nhân vế trái với sin π = ta π π π 2π π 3π π sin T = sin cos − cos sin + cos sin 7 Å7 ã 7Å 7 ã 2π 3π π 4π 2π = sin − sin − sin + sin − sin 7 7 π 3π 4π π = sin − sin + sin = sin 7 7 π π Như sin T = sin ⇒ T = 7 Bài 53 (ĐHQG Hà Nội-1995) Chứng minh rằng: √ tan 30◦ + tan 40◦ + tan 50◦ + tan 60◦ = cos 20◦ Lời giải Kí hiệu T vế trái đẳng thức cần chứng minh Ta có: √ √ sin 40◦ sin 50◦ + T = √ + + tan 40◦ + tan 50◦ = + cos 40◦ cos 50◦ √ sin 40◦ cos 50◦ + cos 40◦ sin 50◦ + = ◦ cos 40◦ cos 50 √ √ sin(40◦ + 50◦ ) = + + = ◦ ◦ ◦ cos 40 cos 50 cos 40 cos 50◦ √ √ 4 = + + = ◦ ◦ cos 40 sin 40 sin 80◦ Å ã √ ◦ √ √ cos 10 + √ 4 cos 10◦ + + = = = Ç cos 10◦ √ å3 cos 10◦ cos 10◦ √ √ cos 10◦ + (cos 10◦ + cos 30◦ ) = = ◦ cos 10 cos 10◦ √ √ ◦ ◦ 3.2 cos 20 cos 10 = = cos 20◦ ◦ cos 10 Ta có điều phải chứng minh ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG VI §4 I 457 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG VI Đề số 1a π Câu (1,0 điểm) Một đường trịn có bán kính 30 cm Tìm độ dài cung có số đo 15 ◦ 36 π π Lời giải Độ dài cung có số đo l1 = · 30 = 2π (cm) 15 15 π Độ dài cung có số đo 36 l3 = · 36 · 30 = 6π (cm) 180 π Câu (2,0 điểm) Cho < α < Xác định dấu giá trị lượng giác sau: a) sin(α − π); ã Å 17π +α b) cos Lời giải a) sin(α − π) = − sin α < (vì < α < Å 17π b) sin +α cos α > 0) ã = sin π nên sin α < 0); π π π + α + 8π = sin + α = cos(−α) = cos α > (vì < α < nên 2 √ 11 π Câu (3,0 điểm) Tìm sin x, cos x, cot x, sin 2x, cos 2x tan 2x biết tan x = −π < α < − √ √ 11 11 Lời giải tan x = ⇒ cot x = 44 225 π = + tan2 x = ⇒ cos x = − (vì −π < x < − ) cos x 49√ 15 11 sin x = tan x · cos x = − 15 √ 56 11 sin 2x = sin x cos x = 225 127 cos 2x = cos2 x − = − √ 225 sin 2x 56 11 tan 2x = = cos 2x 127 Câu (3,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau » a) A = sin2 x(1 + cot x) + cos2 x(1 + tan x); b) B = sin(a + b) cos(a + b) + cos(a − b) Lời giải a) Ta có » A = sin2 x(1 + cot x) + cos2 x(1 + tan x) = » = (sin x + cos x)2 = | sin x + cos x| sin2 x + sin x cos x + cos2 x 458 CHƯƠNG CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC b) Ta có sin a cos b + sin b cos a cos a cos b − sin a sin b + cos a cos b + sin a sin b sin a cos b + sin b cos a = cos a cos b = tan a + tan b B= Câu (1,0 điểm) Chứng minh tam giác ABC có ba góc A, B,C thỏa mãn sin A = cos B + cosC tam giác ABC vng Lời giải Theo đề ta có sin A = cos B + cosC B −C B +C cos ⇔ sin A = cos 2 A A A B −C ⇔ sin cos = sin cos 2 2 B −C A ⇔ cos = cos  A C−B = 2 ⇔ A B −C = ñ2 A+B =C ⇔ A +C = B Do đó, tam giác ABC vuông B vuông C II Đề số 1b Câu (1,0 điểm) a) Đổi số đo góc 18◦ sang đơn vị radian b) Đổi số đo cung 3π sang độ, phút, giây 20 c) Cho đường trịn có bán kính 15cm Tìm độ dài cung có số đo Lời giải a) 18◦ = b) π π 10 3π = 27◦ 20 c) Độ dài cung có số đo Câu (2,0 điểm) Cho − π π 5π l = · 15 = (cm) 6 π < α < Xác định dấu giá trị lượng giác sau: a) sin(α − 12π); Å ã 5π −α b) tan Lời giải a) sin(α − 12π) = sin α < 0; Å ã 5π π π b) tan − α = tan − α + 2π = tan − α = cot α < 2 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG VI Câu (3,0 điểm) b) Tính sin Lời giải a) A = a) Cho tan x = −3 Tính A = 459 sin x + cos x sin x − cos x π π − x biết cos x = − < α < π 5 tan x + 5(−3) + 11 = = tan x − 6(−3) − 25 π b) Ta có cos x = − ⇒ sin x = (do < x < π) 5 √ Å ã √ π π π 3 −4 − 3 sin − x = sin cos x − sin x cos = · − − · = 6 5 10 Câu (3,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: Å ã Å ã 2017π 2017π a) B = cos − a sin − b − sin(a − b) 2 b) C = − cos 2x + sin 2x · cot x + cos 2x + sin 2x Lời giải a) B = sin a cos b − sin a cos b + sin b cos a = sin b cos a b) Ta có sinx +2 sin x cos x cos x C= · cos2 x + sin x cos x sin x sin x(sin x + cos x) cos x · = = cos x(cos x + sin x) sin x Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc A, B,C thỏa mãn sin A sin B = + cosC Hỏi tam giác ABC tam giác gì? Lời giải Ta có sin A sin B = + cosC ⇔2 sin A sin B = − cos A cos B + sin A sin B ⇔ cos A cos B + sin A sin B = ⇔ cos(A − B) = ⇔A − B = ⇔A = B Vậy tam giác ABC cân C III Đề số 2a Å ã 3π π π 0, đó: sin α = − (cos α)2 = ; √ Å ã √ sin α 5 tan α = = : − =− ; cos α 3√ 2 cot α = =− tan α b) Ta có: √ Å ã π 25π π cos − α = cos 12π + − α = cos − α = sin α = 2 √ tan (37π + α) = tan (36π + π + α) = tan (π + α) = tan α = − Bài (3,0 điểm) Khơng sử dụng máy tính, tính: a) cos 2025◦ b) sin 11π 5π · sin 24 24 Lời giải √ a) Ta có ï Å ã Å ãò ï Å ã ò 11π 5π 11π 5π 11π 5π 2π π b) Ta có sin ·sin = − cos + + cos − = − cos − cos = 24√ 24 24 24 24 đ √24ơ 1 1+ + = 2 cos 2025◦ = cos (5 · 360◦ + 180◦ + 45◦ ) = cos (180◦ + 45◦ ) = − cos (45◦ ) = − ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG VI 465 3π sin α − cos α = Tính P = tan α − cot α ® sin α − cos α = Lời giải Ta có: sin2 α + cos2 α = 1, nên ta có hệ: sin2 α + cos2 α = 3π nên −1 < a < 0, −1 < b < Ta có hệ: Đặt a = sin α, b = cos α, π < α < ® ® a = 2b + a − 2b = ⇔ a2 + b2 = (2b + 1)2 + b2 = ® a = 2b + ⇔ 5b2 + 4b = 4 Suy a = − , b = − , hay sin α = − , cos α = − 5 5 4 Từ đó: tan α = , cot α = Do đó: P = − = 4 Bài (2,0 điểm) Cho góc α thỏa mãn: π < α < Bài (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A, B, C thỏa mãn hệ thức: √ 17 cos A sin B sinC + (sin A + cos B + cosC) = Hỏi tam giác ABC có đặc điểm gì? Lời giải Ta có: cos A sin B sinC = cos A (cos (B −C) − cos (B +C)) = − cos (B +C) cos (B −C) + cos2 A = − (cos 2B + cos 2C) + cos2 A 2 = − − sin B + − sin C + − sin2 A = sin2 B + sin2 C − sin2 A √ 17 Do đó: cos A sin B sinC + (sin A + cos B + cosC) = √ 17 2 ⇔ sin B + sin C − sin A + (sin A + cos B + cosC) = Ä ä Ä ä Ä ä 17 √ √ √ 2 ⇔ − cos B − cos B − cos C − cosC − sin B − sin B = Ç √ å2 Ç √ å2 Ç √ å2 3 ⇔ cos B − + cosC − + sin A − =0 2  √    cos B = cosC = = cos 30◦ √ ⇔    sin A = = sin 120◦ ® B = C = 30◦ ⇔ A = 120◦ Vậy, tam giác ABC cân đỉnh A góc A = 120◦ VII Đề số 4a Câu (1,0 điểm) a) Trên đường trịn lượng giác có gốc A, biểu diễn điểm M thỏa mãn cung π 2π AM có số đo + k (k ∈ Z) b) Xác định dấu biểu thức P = cos π 4π 9π 4π sin − tan cot 5 Lời giải a) Các điểm M biểu diễn đường tròn lượng giác sau: 466 CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC sin cos   π 4π 4π     < cos √ 4 Ta có : cos α = − cos2 α = ⇒ tan α = , cot α = 3 + 25 Vậy A = = − − Bài (2,0 điểm) Cho cos α = ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG VI 469 √ sin4 α − sin2 α − tan α = 2013 Bài (2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức A = + sin2 α √ 1 = = cos2 α Lời giải Với tan α = 2013 ⇒ + tan α 2014 Ta có sin2 α = − cos2 α sin4 α − sin2 α − 5(1 − cos2 α)2 − 3(1 − cos2 α) − 14093 Vậy A = = =− 2 − cos α 8110378 + sin α A B A B Bài (3,0 điểm) Cho ∆ABC thỏa mãn sin cos3 = sin cos3 2 2 Chứng minh ∆ABC cân Lời giải A B sin sin B A B A = Ta có sin cos3 = sin cos3 ⇔ B A 2 2 cos3 cos3 Å ã Å ã A A B B 2 ⇔ tan + tg = tan + tg 2 Å ã Å2 ã A B A B A B 2 ⇔ tan − + tan + tan + tan tan =0 2 2 2 A B ⇔ tan = tan ⇔ A = B ⇔ ∆ABC cân C 2 X Đề số 5b Bài (1,0 điểm) a) Trên đường trịn có bán kính 20cm Tìm độ dài cung có số đo 15◦ b) Xác định dấu biểu thức sau A = sin 50◦ cos(−30◦ ) Lời giải π π = a) Số đo cung 15◦ chuyển sang rad 15 180 12 π 5π Vậy độ dài cung là: l = R.α = 20 = cm 12 b) Ta có A = sin 50◦ cos(−30◦ ) = sin 50◦ cos 30◦ > Bài (2,0 điểm) Chứng minh 3(sin4 α + cos4 α) − 2(sin6 α + cos4 6α) = với góc α Lời giải Ta có : sin4 α + cos4 α = (sin2 α + cos2 α)2 − sin2 α cos2 α = − sin2 α cos2 α sin6 α +cos6 α = (sin2 α)3 +(cos2 α)3 = (sin2 α +cos2 α)(sin4 α +cos4 α −sin2 α cos2 α) = 1−3 sin2 α cos2 α Bài (2,0 điểm) Đưa tổng sau dạng tích S = sin2 x − sin2 2x + sin2 3x − cos 2x − + cos 4x + − cos 6x Lời giải Ta có: S = sin2 x − sin2 2x + sin2 3x = + cos 4x cos 6x + cos 2x = − 2 = cos2 2x − cos 4x cos 2x = cos 2x(cos 2x − cos 4x) = cos 2x sin 3x sin x Bài (2,0 điểm) Rút gọn A = sin2 (45◦ + α) − sin2 (30◦ + α) − sin 15◦ cos(15◦ + 2α)? Lời giải Ta có: sin2 a − sin2 b = sin2 a − sin2 a sin2 b − sin2 b + sin2 a sin2 b = sin2 a(1 − sin2 b) − sin2 b(1 − sin2 a) = sin2 a cos2 b − sin2 b cos2 a = (sin a cos b + sin b cos a)(sin a cos b − sin b cos a) = sin(a + b) sin(a − b) Tức sin2 a − sin2 b = sin(a + b) sin(a − b) 470 CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Vậy sin2 (45◦ + α) − sin2 (30◦ + α) = sin[(45◦ + α) + (30◦ + α)] sin[(45◦ + α) − (30◦ + α)] = sin 75◦ sin(15◦ + 2α) = cos 15◦ sin(15◦ + 2α) Từ ta có A = cos 15◦ sin(15◦ + 2α) − sin 15◦ cos(15◦ + 2α) = sin(15◦ + 2α − 15◦ ) = sin 2α Bài (3,0 điểm) Chứng minh ∆ABC vuông ⇔ cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 Lời giải Ta có: cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 ⇔ cos(A + B) cos(A − B) + cos2 C = ⇔ cosC[−cos(A − B) + cosC] = ⇔ cosC[cos(A − B) + cos(A + B)] = ⇔ cos A cos B cosC  = π0  A= cos A =   π  ⇔  cos B = ⇔  B = ⇔ ∆ABC vuông  cosC = π C= ... lượng giác Số đo góc lượng giác (OA, OC) số đo cung lượng giác AC tương ứng Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 397 y Điểm M đường trịn lượng giác cho góc lượng. .. CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Dạng Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác, ta thường sử dụng kết sau: • Cung có... ∈ Z f) Dấu giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM = α đường tròn lượng giác  410 CHƯƠNG CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC y B II M Giá trị lượng giác sin α cos α tan