Chứng minh rằng : AB = CD 10.Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm O.Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành cắt AB và DC tại M và N, cắt AD v[r]
(1)1.Rút gọn biểu thức sau:
a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD b)AB+ MN – CB+ PQ+ CA+ NM
c) KM+ DF+ AC– KF+ CD– AP+ MP Chứng minh
a) AB+ CD= AD+ CB b) AC+ BD= AD+ BC c) AB+ CD+ EA= ED+ CB
d) AD+ BE+ CF= AE+ BF+ CD = AF+ BD+ CE e) AB+ CD+ EF+ GA= CB+ ED+ GF
3.Cho hình bình hành ABCD điểm M tùy ý Chứng minh : MA + MC = MB + MD
4.Cho tam giác ABC, Bên ngồi tam giác ta vẽ hình bình hành ABIJ ,BCPQ ,CARS Chứng minh : RJ + IQ + PS =
5.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM.Trên cạnh AC lấy hai điểm E F cho AE = EF = FC Gọi N giao điểm AM BE.Tính tổng
AE+ AF + AN +MN
6.Cho tam giác ABC cạnh a.Tính độ dài vectơ AB+ BC , AB + AC , AB – BC
7.Cho hai vectơ a b 0.Tìm điều kiện a b để: a) a + b = a + b b) a + b = a – b
8.Cho điểm O,A,B khơng thẳng hàng.Với điều kiện vectơ OA+ OBnằm đường phân giác góc AOB
trung điểm hai đoạn thẳng AD BC trùng nhau9 Chứng minh : AB = CD 10.Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm O.Qua O kẻ đường thẳng song song với cạnh hình bình hành cắt AB DC M N, cắt AD BC E F Chứng minh :
a) OA + OC = OB + OD b) BD = ME + FN
11.Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm O a)Hãy xác định điểm M ,N ,P cho:
OM = OA + OB ; ON = OB + OC ; OP = OC + OA b)Chứng minh OA + OB + OC =
12.Cho tam giác ABC Gọi A’ điểm đối xứng với B qua A ;B’ điểm đối xứng với C qua B ;C’ điểm đối xứng với A qua C Chứng minh với điểm O ta có : OA+ OB+ OC = OA'+ OB'+ OC'
13.Cho n điểm mặt phẳng Bạn An ký hiệu chúng A1, A2, …, An Bạn Bình ký hiệu chúng B1, B2, …, Bn
Chứng minh : A1B1+A2B2+ +AnBn=0
14.Cho tứ giác ABCD, gọi I J trung điểm AC BD a)Chứng minh AB + CD = 2IJ
b)Xác định điểm M cho MA+ MB+ 2MC= c)Xác định điểm N cho NA+NB+NC+ND=
15.Cho hai hình bình hành ABCD A’B’C’D’ Gọi M ,N ,P ,Q trung điểm AA’,BB’ ,CC’ ,DD’ Chứng minh MNPQ hình bình hành
(2)MA + MB = MA – MB 17.Cho tam giác ABC
a)Xác định điểm I cho : IA + 2IB = b)Xác định điểm K cho : KA + 2KB = CB 18.Cho tam giác ABC
a)Tìm điểm M thoả mãn :AM – MB+ MC = b)Tìm điểm N thoả mãn :BN = AN+NC + BD c)Tìm điểm K thoả mãn :BK+ BA+ KA + CK = d)Tìm điểm M thoả mãn :MA+ MB– 2MC = e)Tìm điểm N thoả mãn :NA+ NB+ 2NC = f)Tìm điểm P thoả mãn :PA – PB + 2PC =
19.Cho hình bình hành ABCD Tìm điểm M thoả mãn: 4AM= AB+ AC+ AD
20.Cho lục giác ABCDEF Tìm điểm O thoả mãn : OA+OB+OC+ OD+OE+OF =
21.Cho tam giác ABC
a)Xác định điểm D,E thoả mãn: 4DA – DB = ; EA+ 2EC= b)Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn: |4MA – MB| = |MA+ 2MC| 22.Cho hai điểm phân biệt A,B
a)Hãy xác định điểm P,Q,R thoả:
2PA + 3PB = ; – 2QA + QB = ;RA – 3RB = b)Với điểm O bất kỳ,chứng minh :
OP= 25 OA + 35 OB ;OQ = 2OA– OB ;OR= – 12 OA+ 32 OB 23.Cho tam giác ABC,xác định điểm G,P,Q,R,S cho GA+ GB+ GC= ;2PA+ PB+ PC= 0;QA+ 3QB+ 2QC = RA– RB+ RC = ; 5SA– 2SB– SC=
24.Cho hình bình hành ABCD, chứng minh MA + MC = MB + MD 25.Cho lục giác ABCDEF , M điểm tuỳ ý Chứng minh MA+ MC+ ME= MB+ MD+ MF
26.Cho tam giác ABC, Gọi M ,N ,P trung điểm BC, CA ,AB Chứng minh : AM + BN + CP =
27.Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE Gọi I J trung điểm MP NQ
Chứng minh : IJ // AE IJ = 14 AE
28.Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ a)Chứng minh : AA' + BB' + CC' = 3GG'
b)Từ suy điều kiện để hai tam giác có trọng tâm
29.Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q, R trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EA Chứng minh hai tam giác MPE NQR có trọng tâm
30.Cho hai hình bình hành ABCD AB’C’D’ có đỉnh A Chứng minh : a) BB' + C'C + DD' =
b) hai tam giác BC’D B’CD’ có trọng tâm
31.Cho tam giác ABC Gọi M ,N ,P điểm xác định sau: MB = 3MC ;NC = 3NA ;PA = 3PB
a)Chứng minh : 2OM = 3OC – OB O
(3)32.Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh : AM = 13 AB + 23 AC
33.Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm đoạn thẳng AG K điểm nằm cạnh AB cho AB = 5AK
a)Tính vectơ AI ,AK ,CI ,CK theo hai vectơ CA CB b)Chứng minh điểm C,I ,K thẳng hàng
34.Cho điểm phân biệt A, B, C
a)Chứng minh có điểm I số t cho
IA = tIB + (1 – t)IC điểm M ta có : MA = tMB + (1 – t)MCthì b)Chứng minh : IA = tIB + (1 – t)IC A, B, C thẳng hàng
35.Cho điểm O cố định đường thẳng d qua hai điểm A B cố định Chứng minh ) OBOA + (1 – cho: OM = có số d rằng điểm M
đoạn thẳng AB M Với điều kiện
Chứng minh :36.Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỉ số m, n, p
m.n.p = (định lý Mênêlauýt)a)M, N, P thẳng hàng
m.n.p = – 1(định lý Xêva)b)AN, CM, BP đồng qui song song
37.Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN
a)Chứng minh : AK = 14 AB + 16 AC
b)Gọi D trung điểm BC,chứng minh : KD = 14 AB + 13 AC 38.Cho tam giác ABC ,M điểm tuỳ ý Chứng minh vectơ v= MA– 3MB+ 2MC không phụ thuộc vào vị trí điểm M
39.Cho tam giác ABC.Trên cạnh BC ,CA ,AB lấy điểm M,N,P cho BM = 12 MC , CN = 12 NA , AP = 12 BP
a)Chứng minh : AM= 13 (2AB+ AC) ; BN= 13 (2BC+ BA) CP= 13 (2CA+ CB)
b)Chứng minh : AM + BN+ CP =
40*.Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh OA + OB + OC + OD + OE =
41*.Cho tam giác ABC Gọi M,N,P trung điểm cạnh BC ,CA ,AB Đặt BN = a ;CP = b Tính vectơ AB ;BC ;CA theo vectơ a b
42* Cho tam giác ABC Đặt CA = a ;CB = b Lấy điểm A’ B’ cho CA' = ma ; CB' = nb Gọi I giao điểm A’B B’A Hãy tính vectơ CI theo hai vectơ a b 43*.Cho tam giác ABC với cạnh AB = c, BC = a, CA = b
a)Gọi CM đường phân giác góc C Hãy tính vectơ CM theo vectơ CA CB
b)Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh : aIA + bIB + cIC =
44*.Cho tam giác ABC trung tuyến AM Một đường thẳng song song với AB cắt đoạn thẳng AM, AC, BC D, E F Một điểm G nằm cạnh AB cho FG//AC Chứng minh ED = GB Suy hai tam giác ADE BFG có diện tích
(4)46*.Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm A’, B’, C’ cho A’B = 2A’C; B’C = 2B’A; C’A = 2C’B Gọi M = AA’ BB’;
N = AA’ CC’; P = BB’ CC’
a)So sánh đoạn thẳng AM, MN, NA’ b)So sánh diện tích hai tam giác ABC MNP
47*.Cho tam giác ABC tâm O M điểm tuỳ ý bên tam giác Gọi D,E,F hình chiếu M xuống cạnh Chứng minh :
MD + ME + MF = 32MO
48*.Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý
a)Chứng minh vectơ v = MA + 2MB – 3MC khơng phụ thuộc vị trí điểm M b)Dựng điểm D cho CD = v ,CD cắt AB K Chứng minh
KA + 2KB = CD = 3CK
49*.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm tam giác , gọi D điểm đối xứng A qua tâm O
a) Chứng minh HBDC hình bình hành b) Chứng minh HA + HB + HC = 2HO OA + OB + OC = OH
c)Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh OH = 3OG Kết luận ba điểm O, H ,G
50*.Trong đường tròn (O) cho dây cung song song AA1 ,BB1 ,CC1 Chứng minh trực tâm ba tam giác ABC1 ,BCA1 ,và CAB1 thẳng hàng
51*.Cho hai điểm A B cố định, M điểm tuỳ ý P điểm xác định : MP = MA + 3MB
Chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định 52*.Cho tam giác ABC Gọi M ,N ,P điểm xác định bởi: MB = kMC ;NC = kNA ;PA = kPB 1)(k
a)Vẽ điểm M,N,P k =
b)Với k tuỳ ý khác 1,chứng minh : (k – 1)OM = kOC – OB với O điểm tuỳ ý 1,hai tam giác ABC MNP có trọng tâm k c)Chứng minh
53*.Gọi I J trung điểm đoạn AB CD ,M N điểm xác định bởiMA + kMC = ;NB + kND = – 1).Gọi O trung điểm MN(k
a)Chứng minh : OI = 12 (MA + NB) OJ = 12 (MC + ND) b)Từ chứng minh : OI + kOJ = 0.Kết luận ba điểm O , I , J ? c)Gọi P Q hai điểm xác định PA + kPD = QB + kQC =0 Chứng minh O trung điểm đoạn PQ
54.Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm điểm M d cho vectơ u = MA + MB + 2MC có độ dài nhỏ
55*.Cho tứ giác ABCD Với số k tuỳ ý,ta lấy điểm M N cho AM = kAB DN = kDC Tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN 56.Gọi G trọng tâm tam giác ABC ,chứng minh :
a) GA+ GB+ GC = b) AG = 13 (AB+ AC)
57.Cho ba vectơ OA;OB;OC có độ dài OA+ OB+ OC = Tính góc AOB ;BOC ;COA
58.Gọi G,G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ a)Chứng minh : AA'+ BB'+ CC'= 3GG'
(5)Chứng minh tam giác ABC tam giác MNP có trọng tâm
59.Cho tam giác ABC Gọi M,N,P điểm chia đoạn thẳng Chứng minh rằngAB,BC,CA theo tỉ số k hai tam giác ABC MNP có trọng tâm
60.Cho tam giác ABC hai điểm M,N thoả: 2MA+ 3MB =
và NA+ 3NC = Chứng minh đường thẳng MN qua trọng tâm G tam giác ABC
61.Cho R,lấy điểmtam giác ABC vectơ cố định u ;v ;w Với số t A’, B’ ,C’ cho AA' = tu , BB' = tv , CC' = tw Tìm quĩ tích trọng tâm G tam giác A’B’C’ t thay đổi
= và + + cho: , , điểm M ta ln ln tìm số 62.Cho tam giác ABC điểm O Chứng minh
, , OC Nếu điểm M trùng với trọng tâm tam giác ABC số OB + OA + OM = bao nhiêu?
63.Cho tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G Gọi G1,G2,G3 trọng tâm tam giác BCA’ ; CAB’ ; ABC’
Chứng minh G trọng tâm tam giác G1G2G3
64.Cho tam giác ABC, M điểm đối xứng trọng tâm G qua B Phân tích HA theo HB HC
65.Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi D E điểm xác định bởi: AD= 2AB ; 5AE = 2AC
a)Tính DEvàDG theo AB AC
b)Chứng minh điểm D,E,G thẳng hàng
c)Gọi K trung điểm DE M điểm xác định BM= xBC Tính AK;AM theo AB;AC x xác định x để A,K,M thẳng hàng
66 Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi H điểm đối xứng với G qua C K điểm đối xứng với A qua B
a)Chứng minh rằng: 3AH= 5AC – AB b)Chứng minh rằng: 3HK = 5CB + 2AB
c)Gọi M điểm xác định BM= xAC xác định x để H,K,M thẳng hàng
67.Cho tam giác ABC M điểm cho AM = 3MB ,N điểm cho BN = 3MC, L điểm cho AL = xAC Xác định x để M,N,L thẳng hàng
68.Cho tam giác ABC , M điểm thỏa mãn BM = BC – 2AB N điểm thỏa CN = xAC – BC
a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng
b)Xác định x để MN qua trung điểm I BC.Tính tỉ số IMIN
69.Cho tam giác ABC Điểm I cạnh AC cho CI = 14 CA, J điểm thỏa BJ = 12 AC – 23 AB
a)Chứng minh : BI = 34 AC – AB b)Chứng minh B ,I ,J thẳng hàng c) Dựng điểm J thỏa mãn điều kiện tốn
70.Cho hình bình hành ABCD, cạnh AB lấy điểm E cho AE = 1n AB ,F điểm cạnh AC cho AF = 1n + AC Chứng minh E,D,F thẳng hàng
71.Cho tam giác ABC có trực tâm H,các đường cao AA’ ,BB’ ,CC’ Chứng minh :
(6)b) tanA.HA + tanB.HB + tanC.HC =
72.Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M ,N thỏa 3AM = AB , 2DN = DC
a) Tính AN theo AB AC
BC ,AJ = b) Gọi I J hai điểm thỏa BI = Tính AI ,AJ theo AB, AC ,
73.Cho tam giác ABC, M điểm AC cho AM= 13 MC ,G trọng tâm tam giác ABC, MG cắt đường thẳng AB N.Tính ANAB