LTDHHinh hoc phan 2

N là trung điểm SD.. Chứng minh V MSBC không phụ thuộc vào vị trí M.. Chứng minh V MSBC không phụ thuộc vào vị trí M.. Các mặt bên của hình chóp S.ABCD là hình gì. Các mặt bên [r]

(1)

VẤN ĐỀ II: CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ CHĨP TỨ GIÁC

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, SA⊥

(

)

1 Tính d A, BCN , d SB, CN 

(

)

(

)

2 Tính cosin góc hai mặt phẳng

(

) (

)

3 Gọi M trung điểm SA Tìm điều kiện a, b để cos CMN

= Trong trường hợp tính VS.BCNM

Giải:

Trọn hệ trục tọa độ Axyz cho:

(

) (

)

(

)

A 0; 0; , B a; 0; , C a; b; , D 0; b; , S 0; 0;2 M 0; 0; a , N 0; ; a

a ⇒  

 

1 Tính d A, BCN , d SB, CN 

(

)

(

)

(

)

(

)

n =BC, BN=ab 1; 0;1

(

)

⇒ + − =

(

)

d A, BCN

 

⇒  =

(

)

2

SB,CN SC 2ab

d SB,CN

SB,CN 5b 4a

 

 

= =

  +

 

2 Tính cosin góc hai mặt phẳng

(

) (

)

(

)

1 n =SC,SD= 0; 2a ; ab

(

)

2

n =SC,SB= −2ab; 0; ab−

z

y

x

N

M

C

A

D

B

S

1

1 2

n n b

cos

n n 20a 5b

⇒ ϕ = ⇒

+

3 Tìm điều kiện a, b

Ta có:

2

MC.MN b

cos CMN a b

MC.MN 2a b 3

= = = ⇔ =

(2)

(

)

(

)

3 MN

1 BM a

V d S, BCN BC MN

3  

=   + =

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đường cao h Mặt phẳng

( )

B', C', D'

1 Tìm điều kiện h để C' thuộc cạnh SC

2 Cho h=2a - Tính VS.AB' C' D'

- Chứng tỏ B'C' D'∆ có góc tù Giải:

Ta có: AC= B 2aA =

Gọi O tâm ABCD⇒SO⊥

(

)

(

) (

)

O 0; 0; , A a; 0; , B 0; a; , C −a; 0; , D 0; a; ,− S 0; 0;h

1 SC= −

(

) ( )

(

)

x a at SC : y t

z ht  = − +  =   = 

∈

3 2 2 2 a ah 2a h

C' ; 0;

a h a h

 − 

⇒  

+ +

 

2 C C S 2 2

2a h

C' z h h a

h SC z z

a

′< ⇔ <

+

< ⇔

⇔ >

∈

2 Cho h=2a

Ta có S 0; 0; 2a , C'

(

)

5

− 

 

 

( )

⇒ α + − =

- Tính VS.AB' C' D' Ta có: SB a 0;1; 2=

(

)

Phương trình tham số

(

)

3a a SB : y a t t B' 0; ;

4 z 2t

 =

 

 = + ⇒

  

 

 =− ∈



(

)

(3)

+

(

)

3a a SD : y a t t D' 0; ;

4 z 2t

 =

 

 = − + ⇒ −

  

  =



∈



AC'.B' D' 0= ⇒AC'⊥B' D' AB' C' '

2 D

1 3a

S AC'.B' D'

5

⇒ = =

2

S.AB'

3 C' D'

2

3a 6a 3a 3a 3a 3a

SC' V

5 5 5

5 5

5

   

= −  + −  ⇒ = =

    =

- Chứng tỏ B'C' D'∆ có góc tù

9a C' D'.C' B'

C' D'.C' B' cos C'

80 C' D'.C' B'

= − < ⇒ = <

Vậy B'C' D'∆ tù C'

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA⊥

(

)

(

)

1 Tính d SB,CM , tìm M để

(

)

(

)

2 Cho h=a tính m theo a để cos SMC

3 Chứng minh VMSBC khơng phụ thuộc vào vị trí M

4 Tính sin góc ϕ SC

(

)

Giải:

(

) (

)

(

) (

)

(4)

+ 1 Tính d SB,CM , tìm M để

(

)

(

)

d SB,CM lớn

(

)

SB,CM

 

 

=

 

 

(

)

(

)

2

2 2 2

a h

a h h a m a a m =

+ − + −

Ta có:

(

)

(

)

(

)

(

)

1 a h h a m

1 a a m ah

+ − +

≤ −

(

)

d SB,CM a

⇒ ≤

(

)

d SB,CM a m a M D

⇒ = ⇔ = ⇔ ≡

z

y

x

D

C

A

B

M

S

Cách 2:

Ta có d

(

)

2 Cho h=a tính m theo a để cos SMC

(

)

(

)(

)

cos SMC 5ma 5m m a 2a 2am m

MS.MC

= = − ⇔ − = + − +

4 24am3 11a m2 a m a3

m

12 − −

⇔ + + =

(

)

2

a a

m 3m 3am a m

2

 

⇔ −  − − = ⇔ =

 

3 Chứng minh VMSBC khơng phụ thuộc vào vị trí M

MSBC

1 a h

V MB,MC MS

6

 

=   =

4 Tính sin góc ϕ SC

(

)

(

)

SC= a;a; h−

(

)

(

)

( )

(

)(

)

SBD

2 ah n SB,SD a h; h; a sin cos SC, n

2a h 2h a

 

= = − ⇒ ϕ = =

+ +

(5)

+

vuông góc với

(

)

1 Các mặt bên hình chóp S.ABCD hình

2 Tính d D, SAC , d AB,SC ,

(

)

(

)

(

) (

)

3 Xác định tâm I bán kính R mặt cầu qua S, B, C, D Giải:

Chọn hệ trục tọa độ Dxyz cho:

(

) (

)

D 0; 0; , A a; 0; , B a;a; , C 0; 2a; , S 0; 0;a

1 Các mặt bên hình chóp S.ABCD hình

Dễ thấy SAD, SCD∆ vng D

SA.AB 0= ⇒ ∆SAB vuông A

SB.BC 0= ⇒ ∆SBC vuông B

2 Tính d D, SAC ,

(

)

(

)

d AB,SC , góc ϕ

(

) (

)

z

y

x

C

D

A

S

B

(

)

(

)

SAD : 2x y 2z 2a d D, SAC

 

+ + − = ⇒  =

(

)

d AB,SC a

AB,SC

 

 

= =

 

 

(

)

(

)

(

)

(

)

3

= = ⇒ ϕ =

3 Xác định tâm I bán kính R mặt cầu qua S, B, C, D

( )

2

a 0

a

S I 0; a;

2 a S, B, C 2a a

2 a

4a a

2 a



 α =

   



∈ ⇒ ⇒ β = ⇒

− γ = − α − β = − β

 

 

 

 γ =

 = 

(6)

+

I trung điểm SC nên

2 a R a a   = +   =  

Ví dụ 11: Cho hình chóp tứ giác cạnh đáy a ,

1 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

2 Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp

3 Tìm

( )

Giải:

Ta có AC=BD=2a Gọi SO đường cao SO=h Trọn hệ trục tọa độ Oxyz cho:

(

) (

)

O 0; 0; , A a; 0; , B 0; a; , C −a; 0; , D 0; a; , S 0; 0; h−

1 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Do hình chóp S.ABCD tứ giác nên I∈OS⇒I 0

(

)

( )

S : x +y +z −2z z d 0+ =

( )

0 d a

S A,S

h 2z h d + = −  ⇒ = ∈ +    2 d h a z 2h a = − − ⇒ =      2 h a I 0; 0;

h   ⇒     −  2 h R 2h a + ⇒ =

z

y

x

α

D

C

B

O

A

S

SA.SB h a cos

cos h

SA.SB a h cos α α = = ⇒ − α +

(

)

(

)

(

)

a cos a

R , OI

2 cos cos cos cos α −

⇒ = =

α − α α − α

2 Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp Ta có: J∈OS⇒J 0; 0; r ,

(

)

S.ABCD TP S.ABCD

r 2a h

V S , V

3

= =

(

)

XQ SAB 2

S 4S SA.SB.sin a h sin

∆

= = α = + α

(

)

TP ABCD XQ 2

S S S a h sin 2a

(7)

+

(

)

(

)

a cos cos a cos cos

r OJ r

1 sin cos sin cos

α − α α − α

⇒ = ⇒ = =

+ α − α + α − α

3 Tìm

( )

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

a cos cos a cos I J OI OJ

1 sin cos 2 cos 1 cos sin cos

sin cos sin cos 45

sin cos

α − α α −

≡ ⇔ = ⇔ =

+ α − α α − α

 α = α

⇔ α − α α − α + ⇔ ⇔ α = °

α − α + > 

Vậy I≡ ⇔ α =J 45°

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy hình vng cạnh a đường cao SO Mặt bên tạo với đáy góc 60 ° Mặt phẳng

( )

1 Tính góc AN với

(

)

2 Tính khoảng cách AN BD

3 Tính thể tích hình khối ABCDMN

Bài tập 2: Cho hình vng ABCD cạnh a tâm O Trên tia Oz⊥

(

)

(

)

1 Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung SA CD

2 Mặt phẳng

( )

(

)

Bài tập 3: Cho hình chữ nhật ABCD, AB a, AD= =b Trên tia Az vng góc

(

)

( )

1 Chứng minh tứ giác AB'C' D' có hai góc đối diện vng

2 Chứng minh

(

)

3 Chứng minh điểm A, B, C, D, B', C', D' thuộc mặt cầu cố định h thay đổi

(8)

+

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, SA⊥

(

)

( )

1 Chứng minh AH⊥SB, AK⊥SD

2 Chứng minh BD

( )

3 Chứng minh HK qua trọng tâm G SAC.∆

4 Tính VS.AHMK

Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật AB a, AD= =2a, đường cao SA=2a Trên cạnh CD lấy điểm M cho MD=x0

(

)

1 Tìm vị trí M để S∆SBM lớn nhất, nhỏ

2 Tìm vị trí M để

(

)

=

3 Cho x0 a

= Gọi K giao điểm BM AD Tính góc phẳng

(

)

(

)

Bài tập 9: Cho hình chóp S, ABCD, đáy hình chữ nhật với AB a, AD= =b, SA=2a vng góc với đáy Trên cạnh SA lấy điểm M, AM=m 0

(

)

1 Mặt phẳng

(

)

2 Tìm vị trí điểm M để diện tích thiết diện lớn

3 Tìm vị trí điểm M để

(

)

Bài tập 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SAB∆

(

) (

)

1 Tính d D, SBC , d HC, SD 

(

)

(

)

2 Mặt phẳng

( )

Bài tập 11: Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥

(

)

(

)

CM=x, CN=y x, y a < <

1 Tìm hệ thức x, y để M, AS, N  = 45 °

(9)

+

Bài tập 16: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a , đường cao SH=2a M điểm thuộc đoạn AH Mặt phẳng

( )

1 Xác định vị trí M để thiết diện IJKL tứ giác ngoại tiếp

2 Xác định vị trí M để thể thích khối đa diện DIJKLH đạt giá trị lớn

3 Mặt phẳng

( )

Bài tập 17: Trong mặt phẳng

( )

( ) (

)

( )

( ) (

)

( )

1 Chứng minh A, B, M thẳng hàng A, D, N thẳng hàng

2 Khi S di động Az chứng tỏ I thuộc đường thẳng cố định

3 Vẽ AH⊥SI H Chứng minh AH đường cao tứ diện ASMN H trực tâm SMN.∆

4 Cho OS=2, AB 1.= Tính VASMN

Bài tập 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh

(

)

a, SA⊥ ABCD SA=h Vẽ AE⊥SB E, AF⊥SD F

1 Chứng minh

(

)

2 Gọi P giao điểm SC

(

)

3 Với h tìm câu tính d BD, AEF ,

(

)

Bài tập 19: Cho hình chữ nhật ABCD, AD=2a, AB a.= Trên tia Az⊥

(

)

( )

1 Cho SA=2a, AK=k 0

(

)

- Tính SCDKL Tính k theo a để SCDKL lớn nhất, nhỏ - Chứng tỏ d KD, BC không đổi

(

)

- Tính k theo a để

( )

2 Gọi M, N trung điểm SC, SD Tìm quỹ tích giao điểm I AN, BM S di động tia Az

Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi với đường chéo AC=4a, BD=2a, chúng cắt O Đường cao hình chóp SO=h Mặt phẳng

( )

1 Xác định h để B'C' D'∆

(10)

+

Bài tập 21: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a , đường cao SO, cạnh bên a

1 Tính thể tích hình chóp Xác định tâm I bán kính R hình cầu

( )

2 Gọi M, N, P trung điểm AB, AD, SC Mặt phẳng

(

)

3 Chứng tỏ mặt phẳng

(

)

Bài tập 1:

(

)

(

)

ϕ =  β =

(

)

(

)

ABCD sin cos n , AN

13

ϕ = =

AN.BD 3 cos

AN.BD 13

β = =

(

)

d AN, BD a

22 AN, BD

 

 

= =

 

 

ABCDMN S.ABCD S.ABMN 5a

V V V

48

= − =

z

y

x

60°

K

J

M

N

I

C

B

A

O

D

S

(11)

+

y

x

z

α

M

I

C

B

A

O

D

S

Gọi I trung điểm AD ta có OIS SO OI tan a 2tan

= α ⇒ = α = α

Trọn hệ trục tọa độ Oxyz cho:

(

) (

)

O 0; 0; , A a; 0; , B 0; a; , C a; 0; ,D a 2tan

0; a; , S 0; 0; 

− − 

 α 

EF đoạn vng góc chung với E∈SA,F∈CD 2

EF a sin= α +2 sin αcos α =a sinα

(

)

(

)

(

)

1 MADC S.ABCD

1 S.ABC

3

3 D

2 2

a tan a tan

V V , V

3 tan

a tan tan V

V V V cos

V tan

α α

= = =

+ α

α + α

⇒ = − = ⇒ = α

+ α

Bài tập 3:

(

) (

)

(

)

(12)

+ 1 Ta có: AB'.BC

AB'.SB

 =

 

=



(

)

AB' SBC AB' B'C'

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Tương tự AD'⊥C' D'

2 Gọi ∆ =

(

) (

)

( )

A∈ ∆ n∆=

(

)

khơng đổi

( )

3 Gọi I tâm

( )

 

⇒  

 

( )

B' S k I ; ; , 2

 

⇒ = ⇒  

 

∈

z

y

x

D'

B'

B

C

A

S

D

C'

R= a +b , S.AB'C' D S.ABCD

V

V =9

Bài tập 5:

Ch

(

) (

)

(

)

A 0; 0; , B a; 0; , C a; a; , D 0; a; , S 0; 0; a

1 Chứng minh AH⊥SB, AK⊥SD Ta có: SC a 1;=

(

)

( )

⇒ α + − =

(

)

SB a 1;= 0;−

(

)

x a t SB : y t

z 2t  = + 

=   = − 

∈

( )

(

)

a 2a a

t ; 0;

3 3

2

 

⇒ = − ⇒ Η  

 

z

y

x

K

H

G

C

A

D

B

S

M

(

)

(13)

+

(

)

2a a SD : y a t t K 0; ;

3 z 2t  =    = + ⇒       = −    ∈

AK.SD 0= ⇒AK⊥SD

2 Chứng minh BD

( )

(

) ( )

( )

a; 0; 0 B α  ∉ α  ⇒ α  =  ,

(

)

(

)

BD a 1; 1;

3

BD HK BD HK

2a 2

HK 1; 1;  = − −  ⇒ = ⇒  = − −  

3 Chứng minh HK qua trọng tâm G SAC.∆

Cách 1:

(

)

(

) (

)

n =BD= −a 1; 1; 0− ⇒ SAC : x y− =0

(

)

x t 2a HK : y t t

3 z   =   = −    =   ∈

Gọi

( )

3

G H ∩ α ⇒  



= 



Cách 2:

Gọi G trọng tâm a a a 2; ; 3 SAC G 

 

∆ ⇒ Do HG GK⇒G∈HK

4 Tính VS.AHMK Ta có:

(

)

(

)

HK / /BD

SAC HK AM

BD SAC

 ⇒ ΗΚ ⊥ ⇒ ⊥

 ⊥



SAC

∆ vuông cân A⇒M trung điểm SC

AHMK

a a a

M ; ; S AM.HK

2 2

a   ⇒  ⇒ = =  

( )

3 AHMK 2a 2 a d

S, a V

9 1 −  α = = ⇒ =   + + −

Bài tập 6:

(

) (

)

(

)

(14)

+

SBM

S SM,SB

2

∆ =  

0 2

a x 2ax 6a

= − +

Xét y=x20−2ax0+6a2 2

SBM a a 5≤S∆ ≤ ⇒

CSBM S.ABCD

V V

3 =

(

)

2 3

0

2a a x 4a a

x

3 3

−

⇔ = ⇔ =

AI.BI cos

AI.BI

ϕ = =

z

x

K

B

C

A

S

D

M

I

Bài tập 9:

(

) (

)

(

)

A 0; 0; , B a; 0; , C a; b; , D 0; b; , S 0; 0;2a , M x ; 2a;

(

)

MBC N 0; a

S ;

N D m

2

 −

= ∩ ⇒  

 

(

)

BCNM MB

S MN BC

2

= +

2 4ab mb

a m 4a

−

= +

Ta có S

( )

(

)

= − +

Trên khoảng

(

)

( )

(

)

a 2 m

2 −

⇔ = m a 2

(

)

z

y

x

N

B

C

A

S

D

M

m

0 a 2

(

)

a 2

(

)

2a

( )

S' m − + −

( )

ab ab 71 8

(15)

+

ab 71 8

−

ab

Vậy: max

(

)

a 2 ab 71

S m

8

+ +

= ⇔ =

(

)

min

a 2 ab 71

S m

8

− −

= ⇔ =

(

)(

)

(

)

S.BCNM A

2 S BCD

4a m 2a m

V V a m a

2

− −

= ⇔ = ⇔ = −

Bài tập 10:

Ta có:

(

)

SH ABCD

SH D a

SH

 ⊥

 ⊥ Α ⇒ 

=  

Chọn hệ trục tọa độ Hxyz cho:

(

)

H 0; 0; , A ; 0; , B ; a; , C ; a; , D ; 0; , S 0; 0;

2 2

a

 

    −  − 

 

         

         

1 Tính d D, SBC , d HC, SD 

(

)

(

)

(

)

(

)

2 a

n SB,SC 0; 3; 2

 

= =

(

)

(

)

d D, SBC a

 

⇒  =

(

)

19 HC,SD

 

 

= =

 

 

2

- Chứng tỏ

( )

(

)

2

= − −

z

y

x

φ

C

B

D

H

A

S

I

N

M

( )

(16)

+

(

)

3a 6a 5a

SC : y 2t t I ; ;

1

3

6 16 16 a

z t

2   =

  

 = − ⇒ − 

  

  

 = +



∈ 

(

)

a SB 1; 2;

2

= −

(

)

SB : y 2t t a

z

3 3t 

 =  = −  

 = −



∈

Gọi

( )

M SB∩ α ⇒ Μ  



= 

 Vì xS xM xB

< < nên M thuộc cạnh SB - SD a

(

)

2

= −

(

)

x t

2 SD : y t

z 3t 

= − + 

 =   =  

∈

Gọi D

( )

S ;

N

8

= ∩ α ⇒ Ν − 

  Vì xS<xN <xS nên N thuộc cạnh SB Tính cos cos MIN

IM.IN 7

ϕ = = =

Bài tập 11:

Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho:

(

) (

)

(17)

+ 1 Tìm hệ thức x, y để

M, AS, N 45

  = °

 

(

)

M,AS, N AM, AM AS AN

 ⊥

⇒   =

 ⊥  



AM.AN cos 45

AM.AN ° =

(

)

4 2 4a 4a x y 2axy x y

⇔ − + + − =

2 Tìm hệ thức x, y để

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

SAM AMN

MN SAM SAM SMN

 ⊥

 ⇒ ⊥



⊥ 

z

y

x

B

C

A

S

D

M

N

Để

(

) (

)

Bài tập 16

Ta có H tâm hịnh vng ABCD HA a= Trọn hệ trục tọa độ Hxyz cho:

(

) (

)

H 0; 0; , A a; 0; , B 0; a; , C− −a; 0; , D 0; a; , S 0; 0;2a

1 Xác định vị trí M để thiết diện IJKL tứ giác ngoại tiếp

Gọi M m; 0; 0

(

)

( )

(

)

nα =AD,SH= −2a 1;1;

( )

⇒ α + − =

m a m a m a m a

I ; ; , J ; ;

2 2

 + −   − + 

   

   

(

)

x a t SA : y t

z 2t  = +  =   = − 

∈ Phương trình tham số

(

)

x SD : y a t t

z 2t  =

 = +

  = − 

∈

z

y

x

I

J

E

K

N

L

Q

P

B

C

D

H

A

S

M

(

) (

)

(18)

+

IJKL ngoại tiếp

(

)

(

)

KL IJ=IL+KJ m a a m m a HM

−

+ = − ⇔ =

+

⇔ + ⇔ =

2 Xác định vị trí M để thể thích khối đa diện DIJKLH đạt giá trị lớn Đặt V=VDIJKLH=VD.IJKL+VH.IJKL

Ta có: LM / /IJ SIJKL LM.LK IJ

LK / /IJ

 ⇒ = +



 IJKL

(

)

2

S a m

⇒ = −

( )

(

)

m a m a

d H, , d D, V a a m V m

2 3

1

2 a

−

 α =  α = ⇒ = − ⇒ = ⇔ =

    ≤

Vậy M≡H

3 Mặt phẳng

( )

Ta có: P a a; ; , Q a; a;

2 2

  − − 

   

   

Dễ thấy MNKL hình chữ nhật E

⇒ trung điểm MK E m m; ; a m 2

 

⇒  − 

 

Suy EP.EQ a m 2a 2m m a

= ⇔ − − + − = ⇔ =

Vậy HM a =

Bài tập 17:

Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho:

(

) (

)

A 0; 0; , B 1; 0; , C 1;1; , D 0;1; , S 0; 0; h

1 Chứng minh A, B, M thẳng hàng A, D, N thẳng hàng

(

)

1

u∆ =SB,SC= h; 0;1

(

)

2

u∆ =SC,SD= 0; h;1

( )

(

)

1

x ht : y t

z h t  = 

∆  =

 = + 

(19)

'

Phương trình tham số 2

(

)

: y ht t z h t  = 

∆  =

 = + 

∈

(

) (

)

2

 

⇒ − − ⇒ − − 

 

2 AM h AM AN h AD

 = −

 

= − 

Vậy A, M, B A, N, D thẳng hàng

2 Khi S di động Az chứng tỏ I thuộc đường thẳng cố định

(

)

AC

u =AC= 1;1;

(

)

2 A x t

h h

AC : y t t I ; ; 2 z

C

 =  

 = ⇒ − − 

  

 =  



∈ ∈

Vậy khu S di động Az I di động đường thẳng AC

3 Vẽ AH⊥SI H Chứng minh AH đường cao tứ diện ASMN H trực tâm SMN.∆

Ta có: H∈SI⊂

(

)

(

)

(

)

(

)

SMN

n =SM,SN = − h 1;1; h ,−

(

)

(

)

3 SAI h

n AS, AI 1; ;

2

 

= = − −

(

)

(

)

(

) (

)

n n SMN SAI

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Mà

(

) (

)

(

)

SMN

A MN

I H S



⇒ 

=

⊥

 ∩

⊥

Vậy AH đường cao hình chóp ASMN Ta có:

(

)

(

)

( )

2 MN h 1; 1;

MN SI MN SH h

SI h; h; 2

 = −

 ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

 = −  

(

)

(

)

(

)

( )

2 SM h ; 0; h

AN SM SM AHN SM AH

AN 0; h ;

 = −

 ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥



= −

 

Từ

( ) ( )

4 Cho OS=2, AB 1.= Tính VASMN

Với OS=2, AB 1= ta có S 0; 0; , M

(

)

(

) (

)

1 16

V AM,AN AS

6

 

(20)

+ Bài tập 18: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho:

(

) (

)

A 0; 0; , B a; 0; , C a; a; , D 0; a; , S 0; 0; h

1 Chứng minh

(

)

(

)

(

)

x a at SB : y t

z ht  = +  =   = − 

∈

(

) ( )

E a at; 0; ht SB

⇒ + − ∈

AE⊥SB⇔AE.SB 0= 2 2 2

ah a h

E ; 0;

a h a h

 

⇒  

+ +

 

Ta có SD=

(

)

z

y

x

φ

P

B

C

A

C

D

E

F

(

)

x SD : y a at t

z ht  =

 = +

  = − 

∈

2 2 2

ah a h AF SD AF.SD E 0; ;

a h a h

 

⊥ ⇔ = ⇒  

+ +

 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

AEF a h AEF

n AE, AF a; a; h SC a;a; h SC n

a h −

 

= = − ⇒ = − ⇒

 

+

Vậy

(

)

2 Tính h theo a để VP.ABCD lớn

Ta có: AP⊥SC⇒ thuộc đường trịn đường kính AC

(

)

(

)

3 P.ABCD ABCD

AC a a

V PH.S

2

PH

6

≤ = ⇒ = ≤

(

)

V PH

2

(21)

㔰΄

Vậy h=a

3 Với h tìm câu tính d BD, AEF ,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

BD.n BD AEF d BD, AEF d B, AEF

   

= ⇒ ⇒  =  =

Gọi H trực tâm ABCD H a a; ; 2

 

⇒  

 

HS BD HS.HC

SHC cos

HC BD HS.HC 2 5

 ⊥

⇒ ϕ = ⇒ ϕ = = −

 ⊥



Bài tập 19: Trọn hệ trục tọa độ Axyz cho:

(

) (

)

A 0; 0; , B a; 0; , C a; 2a; , D 0; 2a; , S 0; 0; 2a

(

)

AK= ⇒k K 0; 0;k , 0≤ ≤k 2a

(

)

nα=KC,KD=a 0; k; 2a

( )

⇒ α + − =

(

)

SB a 1; 0; 2= −

(

)

x a at SB : y t

z 2t  = +  =   = − 

∈

( )

SB L L a ; 0; k

 

∩ = ⇒  − 

 

α

1 Cho SA=2a, AK=k 0

(

)

z

y

x

L

I

B

N

M

C

A

C

D

K

- Tính SCDKL Tính k theo a để SCDKL lớn nhất, nhỏ

CDKL CKL CKD 2

1 4a k

S S S CK,CL CK,CD 4a k

2

∆ ∆     −

= + =  +  = +

 

Xét

( )

f k 4a k

4 −

= + , ta có:

( )

2 2

4ak 4a 2k

f ' k

a k

+ −

= <

k 2a

( )

f ' k −

(22)

㔰΄

( )

a2 Vậy Smax=2a2⇔ =k 0, Smin =a2 2⇔k=2a

- Chứng tỏ d KD, BC

(

)

(

)

d KD, BC a

KD, BC

 

 

= =

 

 

Vậy d KD, BC

(

)

- Tính k theo a để

( )

Ta có:

( )

k 4a −  α =

 

+

( )

(

)(

)

S.CDKL CDKL

a 2a k 4a k

V d S, S

3

− −

 

⇒ =  α  =

(

)(

)

(

)

S.ABCD A

3 CD

3 B

a 2a k 4a l

1 4a 4a

V SA.S k a

3 6

− −

= = ⇒ = ⇔ = −

2 Gọi M, N trung điểm SC, SD Tìm quỹ tích giao điểm I AN, BM S di động tia Az

(

)

S s M ; a; , N 0; a;

2 Az S 0; 0; s ,

2

   

> ⇒    

  

⇒



∈

(

)

(

)

1

BM a; 2a; s , AN 0; 2a; s

2

= − − − =

(

)

1 1 x a at BM : y 2at t

z st  = +  = −   = − 

∈

Phương trình tham số 2

(

)

x AN : y 2at t

z st  =  =   = 

∈

(

)

BM

I=AN∩ ⇒I 0; 2a; s Ta có ID=

(

)

(23)

㔰΄ Bài tập 20 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho:

(

) (

)

O 0; 0; , A 2a; 0; , B 0;a; , C −2a; 0; , D 0; a; ,− S 0; 0; h

1 Xác định h để B'C' D'∆

Cách 1:

Ta có:

( )

(

)

(

)

SC

SC BD SC BD SAC

 ⊥ α

 

⊥ ⊥



( )

BD B' D' BD

⇒ α ⇒

(

)

SC= −2a; 0; h−

(

)

x 2a 2t SC : y t

z ht  = − +  =   = 

∈

( )

3 2 2 2 8a 2ah 8a h

C ; 0;

4a h 4a h

 − 

⇒  

+ +

 

(

)

SB 0; a; h −

x

y

z

D'

B'

I

K

B

C

D

O

A

S

C'

(

)

2 2

x

ah 4a 4a SB : y a at t B' 0; ;

h h

z ht

 =  

−

 = + ⇒  

  

 = −  



∈

Gọi

( )

2 4a I OS I 0; 0;

h = ∩ α ⇒  

 

D' B' DB⇒I trung điểm D' B'

Mặt khác D' B'⊥

(

)

2 2

4

3 h 2a

4 IC' IB

a '

h h =

+

⇔ = ⇔ =

Cách 2:

Gọi K=B'C'∩BC⇒ α

( ) (

)

∆ ⇔ ∆IB'C' nửa ⇔ ∆AC'K nửa ⇔AC'=AK Mà

2 4ah

3 h 2a

4a

AC' AK 2a

h

⇒ = ⇔ =

+ ⇔

(24)

㔰΄

(

)

2 SC,SA 4ah AC' d A,SC

SC 4a h

 

 

= = =

+

2 Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp theo a h Ta có: VS.ABCD 1r.STP

3

= với STP diện tích tồn phần hình chóp 2

SAB

1 a

S SA,SB

2 4a 5h

∆ =   = +

Mà SAB∆ = ∆SBC= ∆SCD= ∆SDA nên diện tích xung quanh SXQ =2a 4a2+5h2 2 2

2 S.ABC

ABCD T D AB

P P

C

T D

2

1 4a

V h

1

S AC.BD 4a S 4a 2a 4a 5h

2

h 3V 2ah

r S

3 S 2a 4a 5h

=

= = ⇒ = + +

⇒ = =

+ +

=

Bài tập 21 Ta có AB a 2= ⇒OA a= ⇒OS=2a Trọn hệ trục tọa độ Oxyz cho:

(

) (

)

O 0; 0; , A a; 0; , B 0; a; , C −a; 0; , D 0; a; , S 0; 0;− 2a S.ABCD D

3 ABC

1 4a

V SO.S

3

= =

Ta có SXQ =4S∆SAB=6a2 TP XQ ABCD

S S S 8a

⇒ = + =

S.ABCD TP

R a

V S R

3

⇒ = ⇒ =

MNRPQ MNR MRQ PQR S =S∆ +S∆ +S∆

1

MN,MR MR,MQ

   

=   +  

2

PQ,PR a 2

 

+   =

SAMNRPQ SMNRPQ ASMN

V =V +V

S.A

BCD 4a

V

= =

z

x

y

Q

R

M

N

D

B

P

C

O

A

(25)