Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đờng tròn (O). * Gọi chân đường vuông góc hạ từ D tới BC là H.[r]
(1)ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
NĂM HỌC 2012 - 2013
Mơn thi : TỐN
Thời gian làm :150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1
(2.0 điểm ) Cho biểu thức :
1 1
4
1
a a
P a
a a a a
, (Với a > , a 1)
1 Chứng minh :
2
P a
2 Tìm giá trị a để P = a
Câu 2
(2,0 điểm )
1) Tìm tất số tự nhiên n cho n
2-10n - 312 số phơng.
2) Gi¶i hƯ:
¿
x7 + y7 = (1)
x11 + y11 = x4+y4 (2) ¿{
¿
Câu
(2.0 điểm)
1) Tồn hay không số nguyên x, y, z thỏa mãn :
x
3+ y
3+ z
3= x + y + z + 2012
2) Giải phơng trình :
x2−1=
√
x+1Câu
(3.0 điểm) Cho đường trịn (O) có đường kính AB cố định, M điểm
thuộc (O) ( M khác A B ) Các tiếp tuyến (O) A M cắt C Đường
tròn (I) qua M tiếp xúc với đường thẳng AC C Gọi CD đường kính của
(I) Chứng minh rằng:
1 Ba điểm O, M, D thẳng hàng.
2 Tam giác COD tam giác cân.
3 Đường thẳng qua D vng góc với BC qua điểm cố định khi
M di động đường tròn (O).
Câu
(1.0 điểm) Cho a,b,c dơng thoả mÃn a
2+ b
2+ c
2= 1
Chøng minh r»ng:
a b2+c2+b c2+a2+
c a2+b2≥
3
√
3-
Hết
(2)
GV: Nguyễn Văn Trường
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ KSCL
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
1
1 Chứng minh :
2
P a
1 1
4
1
a a
P a
a a a a
2
1 1 1
1
a a a a a
P
a a
a a
2 4
1
a a a a a a a
P
a a
a a
4
1
a a P
a a a a
(ĐPCM)
0.5
0.5
2 Tìm giá trị a để P = a P = a =>
2
2
2 a a a
a
Ta có + + (-2) = 0, nên phương trình có nghiệm a1 = -1 < (không thoả mãn điều kiện) - Loại
a2 =
2
c a
(Thoả mãn điều kiện) Vậy a = P = a
0.5
0.5 2 1) Đặt n2-10n-312 =k2 , k N ⇔ (n-5)2- k2= 287
⇔ (n+k-5)(n- k-5) = 287=1.287=7.41
TH1: n+k - = 287 n - k -5 = ,khi n = 149
TH2: n+k - = -1 n - k -5 = - 287 ,khi n = -139 ( loại)
TH3: n+k - = 41 n - k -5 = ,khi n = 29
TH4: n+k - = -7 n - k -5 = - 41 ,khi n = -19 (loại)
Vậy n cần tìm n = 149 n=29
2) Tõ : x ❑7 + y
❑7 =1
x7=1− y7 ¿ y7
=1− x7 ¿ ¿ ¿ ¿
(3)
Tõ: x ❑11
+y11=x4+y4
x ❑7x4+y7y4=x4+y4 (4) Thay (3) vào (4) ta đợc
x ❑4(1− y7)+y4(1− x7)=x4+y4 x ❑4y7+x7y4=0
x ❑4y4(x3+y3)=0 x =
y = y = - x
- Víi x = y =1
- Víi y = x =1
0.5 0.5
0.5
(3)- Víi y = -x Thay vµo (1) ta cã: x ❑7− x7=1 v« lý
NghiƯm cđa hƯ lµ: ¿ x=0
y=1
; ¿x=1
y=0
¿{ ¿
3
1 Ta có x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) tích số nguyên liên tiếp (với x số nguyên) Do : x3 - x chia hết cho
Tương tự y3 - y z3 - z chia hết cho Từ ta có : x3 + y3 + z3 - x - y - z chia hết cho
Vì 2012 khơng chia hết x3 + y3 + z3 - x - y - z ≠ 2012 với số nguyên x, y, z tức phương trình (5) khơng có nghiệm ngun
0.5 0.5
2 Tập xác định x+1≥0 ⇔x ≥−1 D = ¿ 0,5
Bình phơng vế ta đợc phơng trình : x( x + 1)( x2 – x – ) = 1,0
x=0
x=−1
x=1±
√
52
⇔¿
Vậy phơng trình có tập nghiệm T(x) =
{
0;−1;1±
√
52
}
1.0
4
1 2
N K
H
D I
C
O
A B
M
1 Ba điểm O, M, D thẳng hàng:
Ta có MC tiếp tuyến đường trịn (O) MC MO (1)
Xét đường tròn (I) : Ta có CMD 900 MC MD (2)
Từ (1) (2) => MO // MD MO MD trùng O, M, D thẳng hàng
1.0
2 Tam giác COD tam giác cân
CA tiếp tuyến đường tròn (O) CA AB(3)
Đờng tròn (I) tiếp xúc với AC C CA CD(4)
Từ (3) (4) CD // AB => DCO COA (*)
( Hai góc so le trong)
(4)CA, CM hai tiếp tuyến cắt (O) COA COD (**)
Từ (*) (**) DOC DCO Tam giác COD cân D
3 Đường thẳng qua D vng góc với BC ln qua điểm cố định M di động đờng trịn (O)
* Gọi chân đường vng góc hạ từ D tới BC H CHD 900 H (I) (Bài
tốn quỹ tích)
DH kéo dài cắt AB K
Gọi N giao điểm CO đường tròn (I)
=>
900
can tai D
CND
NC NO
COD
Ta có tứ giác NHOK nội tiếp
Vì có H O1DCO ( Cùng bù với góc DHN) NHO NKO 1800(5)
* Ta có : NDH NCH (Cùng chắn cung NH đường tròn (I))
CBO HND HCD
DHN COB (g.g)
HN OB
HD OC
OB OA HN ON
OC OC HD CD
OA CN ON
OC CD CD
Mà ONH CDH
NHO DHC (c.g.c)
NHO900 Mà NHO NKO 1800(5) NKO900, NK AB NK //
AC K trung điểm OA cố định (ĐPCM)
1.0
5
Câu (1.0 điểm) :
Do a2 + b2 + c2 = nªn a
b2+c2= a
1−a2= a2
a
(
1− a2)
(1) Mµ 2a2(
1− a2)
2≤[
2a2+
(
1−a2)
+(
1− a2)
3
]
3 =
(
23
)
3
Suy a2
(
1− a2)
2≤27 ⇒ a
(
1−a2
)
≤3
√
3 (2)Tõ (1) vµ (2) ⇒ a b2+c2≥
3
√
3 a2
Do đó: a b2+c2+
b c2+a2+
c a2+c2≥
3
√
3(
a2+b2
+c2
)
=32 (®pcm)
DÊu “=” x¶y ⇔
¿
2a2=1−a2
2b2
=1−b2
2c2=1−c2 ¿{ {
¿
⇔ a=b=c=