Vì trong bài này các biến a, b, c độc lập với nhau nên ta sẽ cố gắng đánh giá để làm giảm số biến đi.[r]
(1)INEQUALITIES Problems and Solutions
Vol 1 Cauchy-Schwarz inequality
(2)1 Một số kĩ thuật bản
Problem 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng:
a a+2bc+
b b+2ca+
c
c+2ab≥1
Solution:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: VT= a
2
a(a+2bc)+
b2 b(b+2ca)+
c2 c(c+2ab)≥
(a+b+c)2
a2+b2+c2+6abc
Ta cần phải chứng minh:
(a+b+c)2≥ a2+b2+c2+6abc
⟺a b+bc+ca ≥3abc
⟺(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9abc (1)
Bất đẳng thức (1) theo AM-GM Vậy toán chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b = c =
Problem 2: Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: a
b+c+
b c+d+
c d+a+
d a+b≥2
Solution: Ta có:
VT= a
2
a(b+c)+
b2 b(c+d)+
c2 c(d+a)+
d2 d(a+b)≥
(a+b+c+d)2 (a+c)(b+d)+2ac+2bd
Mặt khác, theo AM-GM ta có:
(a+c) (b+d)+2ac+2bd ≤(a+c)(b+d)+(a+c)
2 +
(b+d)2
2 =
(a+b+c+d)2
(3)Từ suy điều cần chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = c b = d.
Problem 3: Chứng minh với a, b, c dương ta có: a3
a+2b+
b3
b+2c+
c3
c+2a≥
a2
+b2+c2
3 .
Solution:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
VT ≥ (a
2
+b2+c2)2
(a2+2ab)+(b2+2bc)+(c2+2ca)
Ta cần chứng minh:
a2
+b2+c2≥ ab+bc+ca
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên Bài toán chứng minh xong Dấu đẳng thức xảy a = b = c
Problem 4:Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng:
1
a+
4
b+
9
c≥
36
a+b+c
Solution:
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:
1
a+
4
b+
9
c=
12
a+
22
b+
32
c ≥
(1+2+3)2
a+b+c =
36
a+b+c
Dấu đẳng thức xảy 1a=2
b=
3
c
Problem 5(Nessbitt Inequality)Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:
a b+c+
b c+a+
c a+b≥
3
(4)Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: VT= a
2
ab+ac+
b2 bc+ba+
c2 ca+cb≥
(a+b+c)2
2(ab+bc+ca)
Ta cần chứng minh:
(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)
Đây bất đẳng thức quen thuộc Bài toán chứng minh xong
Dấu đẳng thức xảy a = b = c
Problem 6:Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng
1
b+c−a+
1
(c+a−b)+
1
a+b−c≥
1
a+
1
b+
1
c Solution:
Ở ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz khơng giống hồn tồn trước Để ý rằng:
(b+c−a)+(c+a−b)=2c (c+a−b)+(a+b−c)=2a (a+b−c)+(b+c−a)=2b
Như vậy, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz sau: Ta có:
1
b+c−a+
1
c+a−b≥
2
c
Cộng bất đẳng thức tương tự lại ta thu điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b = c
Problem 7: Giả sử a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a
(b+c)2+
b
(c+a)2+
c
(a+b)2≥
(5)Solution:
Bất đẳng thức cho tương đương với:
(a+b+c)[ a (b+c)2+
b
(c+a)2+
c
(a+b)2]≥
9
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
(a+b+c)[ a (b+c)2+
b
(c+a)2+
c
(a+b)2]≥(
a b+c+
b c+a+
c a+b)
2
≥9
4
Bài toán chứng minh xong
Dấu đẳng thức xảy a = b = c Problem 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức
3a b+c+
4b c+a+
5c a+b
Với a, b, c số thực dương tùy ý Solution:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
3a b+c+
4b c+a+
5c
a+b+3+4+5=
1
2(a+b+b+c+c+a)[ 3a b+c+
4b c+a+
5c a+b]≥
(√3+√4+√5)2
2
Vậy giá trị nhỏ biểu thức (√3+√4+√5)
2
2 −12
b+c
√3 =
c+a
2 =
a+b
√5
Problem 9:Chứng minh a, b, c ≥ abc = thì:
1
a+2+
1
b+2+
1
c+2≤1
Solution:
(6)a
2+a+
b
2+b+
c
2+c≥1
Do abc = nên tồn số thực dương x, y, z cho a=x
y, b= y z , c=
z x. Khi đó, bất đẳng thức cho viết lại thành:
x x+2y+
y y+2z+
z z+2x≥1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: x
x+2y+
y y+2z+
z z+2x≥
(x+y+z)2
x2
+y2+z2+2(xy+yz+zx)=1
Bài tốn chứng minh hồn tồn
Dấu đẳng thức xảy a = b = c =
Problem 10:Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2+b2+1+
1
b2+c2+1+
1
c2+a2+1≥1
Chứng minh rằng: ab+bc+ca≤3
Solution:
Tiếp cận toán Chúng ta thấy vế trái BDT biểu thức gồm phân số , với mẫu số có bậc 2.Vậy mong muốn hạ bậc để tốn đơn giản hơn.Điều gợi nhớ cho nghĩ tới bđt Cauchy_schawrz
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
(a2
+b2+1)(1+1+c2)≥(a+b+c)2
Suy ra:
1
a2+b2+1≤
2+c2 (a+b+c)2
(7)∑
a2+b2+1≤
6+a2+b2+c2 (a+b+c)2
⟺(a+b+c)2≤6+a2+b2+c2⟺ab+bc+ca ≤3
Bài toán chứng minh xong
Chú ý: Những tốn có mẫu dạng a2k+b2k+1 ta thường dùng
Cauhcy-Schwarz để đưa dạng (a+b+c)2k
Problem 11: Cho a, b, c dương thỏa mãn 1+1a+b+
1+b+c+
1
1+c+a≥1 CMR:
a+b+c ≥ ab+bc+ca
Solution:
Tương tự trước, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:
(1+a+b)(c2+a+b)≥(a+b+c)2
Suy ra:
1 1+a+b≤
c2
+a+b (a+b+c)2
Cộng bất đẳng thức tương tự lại ta thu điều phải chứng minh Problem 12: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng:
a2 a+2b2+
b2 b+2c2+
c2 c+2a2≥1
Solution:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
VT ≥ (a
2
+b2+c2)2
a3+b3+c3+2(a2b2+b2c2+c2a2)
Ta cần chứng minh:
(8)⟺a4
+b4+c4≥a3+b3+c3(¿)
Bất đẳng thức (*) chứng minh AM-GM với lưu ý a + b + c = xin dành việc cho bạn đọc
Problem 13: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2+b2+c2=1 Tìm GTNN
của biểu thức: P= a
b2+c2+
b c2+a2+
c a2+b2
Solution:
Ta nhận thấy tổng mẫu số P 2(a2
+b2+c2)=2 nên ta cố gắng áp
dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để khử mẫu Thực sau: Biểu thức cho tương đương với:
a
1−a2+
b
1−b2+
c
1−c2(¿)
Ta có bất đẳng thức sau: (x−
√3)
≥0 Từ ta suy được: 1−x2≤−
√3x+
Như vậy:
(¿)≥ a
−2
√3 a+
+ b
−2
√3 b+
+ c
−2
√3 c+
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
a
−2
√3 a+
+ b
−2
√3b+
+ c
−2
√3c+
= a
2
−2
√3a +4 3a + b −2
√3 b +4 3b + c −2
√3 c
+4
3c
≥ (a+b+c)
2
−2
√3(a
+b2+c2)+4
3(a+b+c)
= (a+b+c)
2
−2
√3+
3(a+b+c)
Ta cần chứng minh:
(a+b+c)2
−2
√3+
3(a+b+c)
≥3√3
(9)Tuy nhiên, bất đẳng thức lại tương đương với bất đẳng thức sau:
(a+b+c−√3)2≥0
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a=b=c=1/√3
Problem 14: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:
(a2+2) (b2+2)(c2+2)≥3(a+b+c)2
Solution:
Cũng giống tốn trước, ta tìm cách sử dụng Cauchy-Schwarz để đưa toán dạng đơn giản Vì biến a, b, c độc lập với nên ta cố gắng đánh giá để làm giảm số biến Sự xuất a2+2 gợi
cho ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz sau:
(a+b+c)2≤(a2+2)[1+(b+c)
2 ]
Đến ta phải chứng minh bất đẳng thức hai biến sau:
(b2+2) (c2+2)≥3[1+(b+c)
2 ](¿)
Bất đẳng thức (*) tương đương với: b2+c2
2 +b
c2−3bc+1≥0
Bất đẳng thức vì: b2+c2
2 +b
c2−3bc+1≥bc+b2c2−3bc+1=(bc−1)2≥0
Bài toán chứng minh xong
Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Problem 15: Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn
(10)Chứng minh bất đẳng thức sau:
−3≤ ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd ≤5
(Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu) Solution:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
(ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd−1)2≤16
⟺[a(b+c+d−bcd)+(bc+cd+db−1)]2≤16
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
[a(b+c+d−bcd)+(bc+cd+db−1)]2≤(a2
+1)[(b+c+d−bcd)2+(bc+cd+db−1)2]
Ta cần chứng minh
(b+c+d−bcd)2+(bc+cd+db−1)2≤(b2
+1) (c2+1)(d2+1)
Thế đẳng thức Bài toán chứng minh xong
Problem 16: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: √a(b+1)+√b(c+1)+√c(a+1)≤3
2√(a+1)(b+1)(c+1)
Solution:
(11)