Tai lieu BDT chao mung 29

Vì trong bài này các biến a, b, c độc lập với nhau nên ta sẽ cố gắng đánh giá để làm giảm số biến đi.[r]

(1)

INEQUALITIES

Problems and Solutions

Vol 1

Cauchy-Schwarz inequality

(2)

1 Một số kĩ thuật bản

Problem 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng:

a a+2bc+

b b+2ca+

c

c+2ab≥1

Solution:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: VT= a

2

a(a+2bc)+

b2 b(b+2ca)+

c2 c(c+2ab)≥

(a+b+c)2

a2+b2+c2+6abc

Ta cần phải chứng minh:

(a+b+c)2≥ a2+b2+c2+6abc

⟺a b+bc+ca ≥3abc

⟺(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9abc (1)

Bất đẳng thức (1) theo AM-GM Vậy toán chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b = c =

Problem 2: Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: a

b+c+

b c+d+

c d+a+

d a+b≥2

Solution: Ta có:

VT= a

2

a(b+c)+

b2 b(c+d)+

c2 c(d+a)+

d2 d(a+b)≥

(a+b+c+d)2 (a+c)(b+d)+2ac+2bd

Mặt khác, theo AM-GM ta có:

(a+c) (b+d)+2ac+2bd ≤(a+c)(b+d)+(a+c)

2 +

(b+d)2

2 =

(a+b+c+d)2

(3)

Từ suy điều cần chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = c b = d.

Problem 3: Chứng minh với a, b, c dương ta có: a3

a+2b+

b3

b+2c+

c3

c+2a≥

a2

+b2+c2

3 .

Solution:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

VT ≥ (a

2

+b2+c2)2

(a2+2ab)+(b2+2bc)+(c2+2ca)

Ta cần chứng minh:

a2

+b2+c2≥ ab+bc+ca

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên Bài toán chứng minh xong Dấu đẳng thức xảy a = b = c

Problem 4:Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng:

1

a+

4

b+

9

c≥

36

a+b+c

Solution:

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

1

a+

4

b+

9

c=

12

a+

22

b+

32

c ≥

(1+2+3)2

a+b+c =

36

a+b+c

Dấu đẳng thức xảy 1a=2

b=

3

c

Problem 5(Nessbitt Inequality)Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:

a b+c+

b c+a+

c a+b≥

3

(4)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: VT= a

2

ab+ac+

b2 bc+ba+

c2 ca+cb≥

(a+b+c)2

2(ab+bc+ca)

(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)

Đây bất đẳng thức quen thuộc Bài toán chứng minh xong

Dấu đẳng thức xảy a = b = c

Problem 6:Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng

1

b+c−a+

1

(c+a−b)+

1

a+b−c≥

1

a+

1

b+

1

c Solution:

Ở ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz khơng giống hồn tồn trước Để ý rằng:

(b+c−a)+(c+a−b)=2c (c+a−b)+(a+b−c)=2a (a+b−c)+(b+c−a)=2b

Như vậy, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz sau: Ta có:

1

b+c−a+

1

c+a−b≥

2

c

Cộng bất đẳng thức tương tự lại ta thu điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b = c

Problem 7: Giả sử a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a

(b+c)2+

b

(c+a)2+

c

(a+b)2≥

(5)

Solution:

Bất đẳng thức cho tương đương với:

(a+b+c)

[

a

b

c

b

(c+a)2+

c

(a+b)2

]

≥

9

(a+b+c)

[

a

b

c

b

(c+a)2+

c

(a+b)2

]

≥

(

a b+c+

b c+a+

c a+b

)

2

≥9

4

Bài toán chứng minh xong

Dấu đẳng thức xảy a = b = c Problem 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3a b+c+

4b c+a+

5c a+b

Với a, b, c số thực dương tùy ý Solution:

3a b+c+

4b c+a+

5c

a+b+3+4+5=

1

2(a+b+b+c+c+a)

[

a

b

c

4b c+a+

5c a+b

]

≥

(√3+√4+√5)2

2

Vậy giá trị nhỏ biểu thức (√3+√4+√5)

2

2 −12

b+c

√3 =

c+a

2 =

a+b

√5

Problem 9:Chứng minh a, b, c ≥ abc = thì:

1

a+2+

1

b+2+

1

c+2≤1

Solution:

(6)

a

2+a+

b

2+b+

c

2+c≥1

Do abc = nên tồn số thực dương x, y, z cho a=x

y, b= y z , c=

z x. Khi đó, bất đẳng thức cho viết lại thành:

x x+2y+

y y+2z+

z z+2x≥1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: x

x+2y+

y y+2z+

z z+2x≥

(x+y+z)2

x2

+y2+z2+2(xy+yz+zx)=1

Bài tốn chứng minh hồn tồn

Dấu đẳng thức xảy a = b = c =

Problem 10:Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2+b2+1+

1

b2+c2+1+

1

c2+a2+1≥1

Chứng minh rằng: ab+bc+ca≤3

Solution:

Tiếp cận toán Chúng ta thấy vế trái BDT biểu thức gồm phân số , với mẫu số có bậc 2.Vậy mong muốn hạ bậc để tốn đơn giản hơn.Điều gợi nhớ cho nghĩ tới bđt Cauchy_schawrz

(a2

+b2+1)(1+1+c2)≥(a+b+c)2

Suy ra:

1

a2+b2+1≤

2+c2 (a+b+c)2

(7)

∑

a2+b2+1≤

6+a2+b2+c2 (a+b+c)2

⟺(a+b+c)2≤6+a2+b2+c2⟺ab+bc+ca ≤3

Chú ý: Những tốn có mẫu dạng a2k+b2k+1 ta thường dùng

Cauhcy-Schwarz để đưa dạng (a+b+c)2k

Problem 11: Cho a, b, c dương thỏa mãn 1+1a+b+

1+b+c+

1

1+c+a≥1 CMR:

a+b+c ≥ ab+bc+ca

Solution:

Tương tự trước, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:

(1+a+b)(c2+a+b)≥(a+b+c)2

Suy ra:

1 1+a+b≤

c2

+a+b (a+b+c)2

Cộng bất đẳng thức tương tự lại ta thu điều phải chứng minh Problem 12: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng:

a2 a+2b2+

b2 b+2c2+

c2 c+2a2≥1

Solution:

VT ≥ (a

2

+b2+c2)2

a3+b3+c3+2(a2b2+b2c2+c2a2)

(8)

⟺a4

+b4+c4≥a3+b3+c3(¿)

Bất đẳng thức (*) chứng minh AM-GM với lưu ý a + b + c = xin dành việc cho bạn đọc

Problem 13: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2+b2+c2=1 Tìm GTNN

của biểu thức: P= a

b2+c2+

b c2+a2+

c a2+b2

Solution:

Ta nhận thấy tổng mẫu số P 2(a2

+b2+c2)=2 nên ta cố gắng áp

dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để khử mẫu Thực sau: Biểu thức cho tương đương với:

a

1−a2+

b

1−b2+

c

1−c2(¿)

Ta có bất đẳng thức sau:

(

x

√3

)

≥0 Từ ta suy được: 1−x2≤−

√3x+

Như vậy:

(¿)≥ a

−2

√3 a+

+ b

−2

√3 b+

+ c

−2

√3 c+

a

−2

√3 a+

+ b

−2

√3b+

+ c

−2

√3c+

= a

2

−2

√3a +4 3a + b −2

√3 b +4 3b + c −2

√3 c

+4

3c

≥ (a+b+c)

2

−2

√3(a

+b2+c2)+4

3(a+b+c)

= (a+b+c)

2

−2

√3+

3(a+b+c)

(a+b+c)2

−2

√3+

3(a+b+c)

≥3√3

(9)

Tuy nhiên, bất đẳng thức lại tương đương với bất đẳng thức sau:

(a+b+c−√3)2≥0

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a=b=c=1/√3

Problem 14: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:

(a2+2) (b2+2)(c2+2)≥3(a+b+c)2

Solution:

Cũng giống tốn trước, ta tìm cách sử dụng Cauchy-Schwarz để đưa toán dạng đơn giản Vì biến a, b, c độc lập với nên ta cố gắng đánh giá để làm giảm số biến Sự xuất a2+2 gợi

cho ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz sau:

(a+b+c)2≤(a2+2)

[

b

c

2

]

Đến ta phải chứng minh bất đẳng thức hai biến sau:

(b2+2) (c2+2)≥3

[

b

c

2

]

Bất đẳng thức (*) tương đương với: b2+c2

2 +b

c2−3bc+1≥0

Bất đẳng thức vì: b2+c2

2 +b

c2−3bc+1≥bc+b2c2−3bc+1=(bc−1)2≥0

Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Problem 15: Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn

(10)

Chứng minh bất đẳng thức sau:

−3≤ ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd ≤5

(Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu) Solution:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd−1)2≤16

⟺[a(b+c+d−bcd)+(bc+cd+db−1)]2≤16

[a(b+c+d−bcd)+(bc+cd+db−1)]2≤(a2

+1)[(b+c+d−bcd)2+(bc+cd+db−1)2]

Ta cần chứng minh

(b+c+d−bcd)2+(bc+cd+db−1)2≤(b2

+1) (c2+1)(d2+1)

Thế đẳng thức Bài toán chứng minh xong

Problem 16: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng:

√

a

b

√

b

c

√

c

a

≤

2

√

a

b

c

Solution:

(11)