Nhng sau 5 giê lµm chung Trung bËn viÖc kh¸c nªn kh«ng lµm n÷a, mét m×nh anh thµnh ph¶i lµm tiÕp trong 2 giê n÷a míi cuèc xong m¶nh vên... KÎ ®êng cao AH..[r]
(1)Đề số 1
Bài 1: (3 ®iÓm)Cho biÓu thøc A=(1 3+
3 x2−3x):(
x2 27−3x2+
1 x+3) a) Rút gọn A; b) Tìm x để A < -1
c) Víi gi¸ trị x A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm)Giải phơng trình: a)
1 3y2+
3 x2
−3x:
(27−x23x) b)
x − x 2−
3+x
2 =3−
(1−6− x )
1 2
Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lần lợt lúc giờ, giờ, vận tốc theo thứ tự 15 km/h; 35 km/h 55 km/h Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe đạp xe máy
Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB N AD) Chứng minh:
a) BD // MN b) BD MN cắt K nằm AC Bài 5: (1 điểm)Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4) Chøng minh r»ng: a + b + số phơng
Đề số 2
Câu I: (2điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2
+4x 5
b) ab(a b)ac(a+c)+bc(2a b+c) 2) Giải phơng trình
x2 +x+
1 x2+3x+2 Câu II: (2 điểm)
1) Xác định a, b để da thức f(x)=x3+2x2+ax+b chia hết cho đa thức g(x)=x2+x+1
2) T×m d phÐp chia ®a thøc P(x)=x161+x37+x13+x5+x+2006 cho ®a thøc Q(x)=x2+1
Câu III: (2 điểm)
1) Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Tính giá trị biểu thøc: P= a
2
a2−b2− c2+ b2 b2− c2− a2+
c2 c2−a2−b2
2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n a ≠ −b , b ≠ −c , c ≠ − a
CMR: a
2 −bc (a+b)(a+c)+
b2−ac (b+a)(b+c)+
c2−ab (c+a)(c+b)=0 Câu IV: (3điểm)
1) Cho đoạn thẳng AB, M điểm nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hình vuông ACDM MNPB Gọi K giao điểm CP NB CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K thẳng hàng
c) Khi M di chuyn A B khoảng cách từ K đến AB khơng đổi 2) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA”, BB’, CC’ đồng quy H
CMR: HA' AA'+
HB' BB' +
HC'
CC' b»ng mét h»ng sè
Câu V: (1 điểm): Cho hai số a, b không đồng thời Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ của biểu thức: Q=a
2
−ab+b2 a2
+ab+b2
Đề số 3
Bài 1: (2 ®iÓm)
(2)
a+b¿2(a −b) c+a¿2(c − a)+c¿
b+c¿2(b − c)+b¿
a¿
b) Cho a, b, c khác nhau, khác a+
1 b+
1 c=0 Rót gän biÓu thøc: N=
a2+2 bc+ b2
+2ca+ c2+2 ab Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M=x2+y2xy x+y+1 b) Giải phơng trình: y 5,5
4 1=0 y 4,54+
Bài 3: (2điểm)
Mt ngời xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau đợc 15 phút, ngời gặp tơ, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp ngời xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính quóng ng AB
Bài 4: (3điểm)
Cho hình vng ABCD M điểm đờng chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vng góc với b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1im)
Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 3x2+5y2=345
Đề số 4
Bài 1: (2,5điểm)Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 ;b) x4 + 4;c) x
√x - 3x + √x -2 víi x Bµi : (1,5®iĨm)Cho abc = Rót gän biĨu thøc: A= a
ab+a+2+ b bc+b+1+
2c ac+2c+2 Bài 3: (2điểm)Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a b 0.TÝnh: P=ab
4a2− b2
Bài : (3điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M cho BM CM Từ N vẽ đờng thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F
a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF BiÕt : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hình thang cân
c) TÝnh : ANB + ACB = ?
d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ABC AEMF l hỡnh vuụng
Bài 5: (1điểm)Chứng minh với số nguyên n : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23.
§Ị số 5
Bài 1: (2điểm) Cho biểu thức: M= x2−5x+6+
1 x2−7x+12+
1 x2−9x+20+
1 x2−11x+30 1) Rót gän M
2) Tìm giá trị x để M >
Bài 2: (2điểm) Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể vòi nớc chảy lng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nớc Cịn đóng vịi chảy mở vịi chảy vào sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp lần vịi chảy
1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy 2) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vịi chảy đến đáy bể
Bµi 3: (1điểm) Tìm x, y nguyên cho: x2+2 xy+x
+y2+4 y=0
Bài 4: (3điểm) Cho hình vng ABCD cố định, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển đoạn CD (E khác D) Đờng thẳng AE cắt BC F, đờng thẳng vng góc với AE A cát CD K
1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK
(3)JA = JB = JF = JI
3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài cạnh tam giác AEK theo a x 4) Hãy vị trí E cho độ dài EK ngắn
Bài 5: (1điểm)Cho x, y, z khác thoả m·n: xy+
1 yz+
1
zx=0 TÝnh N=x yz+
y2 zx+
z2 xy Đề số 6
Câu I: (5 điểm) Rút gọn phân thức sau: 1) |x 1|+|x|+x
3x2−4x+1
2)
a −1¿2+30 ¿
a −1¿4−18(a2−2a)−3 3¿
a −1¿4−11¿ ¿ ¿
C©u II: (4 điểm)
1) Cho a, b số nguyên, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d b chia cho 13 d a2
+b2 chia hÕt cho 13
2) Cho a, b, c số nguyên thoả mÃn abc = Tính giá trị biểu thức: A= a
1+a+ac+ b 1+b+bc+
c 1+c+ac 3) Giải phơng trình: x
2
+2x+1 x2+2x+2+
x2+2x+2 x2+2x+3=
7
Câu III: (4 điểm)Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đồn TNCS Hồ Chí Minh (26/3) Hai tổ công nhân lắp máy đợc giao làm khối lợng công việc Nếu hai tổ làm chung hồn thành 15 Nếu tổ I làm giờ, tổ làm làm đợc 30% cơng việc Nếu cơng việc đợc giao riêng cho tổ tổ cần thời gian để hồn thành
C©u IV: (3 điểm)Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt hình chiếu B, D lên AC; H, K lần lợt hình chiếu C AB AD
1) Tứ giác DFBE hình ? ?
2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA 3) Chứng minh AC2=AB AH+AD AK
Câu V: (2 điểm)Giải phơng trình: |x 2002|2002+|x 2003|2003=1 Đề số 7
Câu I: (2điểm)
1 Thùc hiÖn phÐp chia A=2x4
− x3− x2− x+2 cho B=x2
+1 Tìm x Z để A chia ht cho B
2 Phân tích đa thức thơng câu thành nhân tử Câu II: (2điểm)
1 So sánh A B biết: A=532
−1 vµ B=6(52
+1)(54+1)(58+1)(516+1) Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hÕt cho 44.
C©u III: (2điểm)
1 Cho tam giác có ba cạnh a, b, c thoả mÃn: a+b+c2=3(ab+bc+ca)
Hái tam
giác cho tam giác ? Cho đa thức f(x) = x100
+x99+ +x2+x+1 Tìm d phép chia đa thức f(x) cho ®a thøc x2
−1
Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi E, F lần lợt hình chiếu H lên AB AC Gọi M giao điểm BF CE
1 Tø gi¸c AEHF hình ? Tại ? Chứng minh AB CF = AC AE
3 So s¸nh diƯn tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC
Câu V : (1 điểm)Chứng minh nghiệm phơng trình sau số nguyên: x 2
2005+ x −3 2004 +
x −4 2003=
x −2005 +
x −2004 +
(4)Câu 1: (2điểm) a) Cho x2
−2 xy+2y2−2x+6y+13=0 TÝnh N=3x y −1 xy
b) Nếu a, b, c số dơng đôi khác giá trị đa thức sau số dơng A=a3+b3
+c3−3 abc
Câu 2: (2 điểm)Chứng minh a + b + c = th×: A=(a −b
c + b − c
a + c − a
b )( c a − b+
a b − c+
b c − a)=9
Câu 3: (2 điểm) Một ô tô phải quãng đờng AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đờng đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đờng sau với vận tốc vận tốc dự định km/h
Tính thời gian tơ quãng đờng AB biết ngời đến B
Câu 4: (3 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đờng thẳng vng góc vơi AE cắt đờng thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đờng thẳng song song với CD cắt AI N
a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC Câu 5: (1 điểm) Tìm nghiệm ngun phơng trình: x6
+3x2+1=y4 §Ị số 9
Bài 1: (2 điểm)
Cho M=( x+1
x)
−(x6+1 x6)−2
(x+1 x)
3
+x3+ x3 a) Rót gän M
b) Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ M Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm x biÕt :
x −3¿3
x −2¿3=¿
2x −5¿3−¿ ¿
b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 n - 65 hai số phơng Bài 3: (2 điểm)
a) Cho x y thoả mÃn: 4x2+17 xy+9y2
=5 xy4|y −2| TÝnh H=x3
+y3+xy b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a+b+c=abc
Chøng minh: a(b2−1)(c2−1)+b(a2−1)(c2−1)+c(a2−1)(b2−1)=4 abc
Bài 4: (4 điểm)Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I giao điểm AC BD Qua I vẽ đờng thẳng song song với AB cắt AD BC lần lợt M N
a) Chøng minh IM = IN b) Chøng minh:
AB+ CD=
2 MN
c) Gọi K trung điểm DC, vẽ đờng thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC lần lợt H E Chứng minh HM + HE = 2AK
d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2) Tính S(ABCD) theo a b.
Đề số 10
C
âu 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2
− x −12 ; b) x8
+x+1 ; c) (x2+3x+2)(x2+11x+30)5 Câu 2: (2 điểm)
1) So sánh A B biết: A=532 B=24(52
+1)(54+1)(58+1)(516+1) 2) Cho 3a2
+2b2=7 ab 3a>b>0 Tính giá trị biểu thức: P=2005a −2006b
(5)1) T×m giá trị nhỏ biểu thức: A2x2 9y2 6xy 6x 12y1974 2) Giải phơng trình: y2
+4x+2y −2x+1+2=0
3) Chøng minh r»ng: a8 b8 c8 d8 4a2b2c2d2
Câu Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên Biết f(1) f(2) số lẻ Chứng minh đa thức f(x) nghiệm nguyên
Đề số 11
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị cđa biĨu thøc: A=( 14+1
4)(3
+1
4) (19
+1 4) (24
+1 4)(4
4 +1
4) (20
+1 4)
b) Chøng minh r»ng: TÝch cña sè tự nhiên liên tiếp cộng với số ph-ơng
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho xyz = 2006.Chøng minh r»ng: 2006x
xy+2006x+2006+
y
yz+y+2006 + z
xz+z+1=1 b) Tìm n nguyên dơng để A = n3 + 31 chia hết cho n + 3.
c) Cho a+2b+3c ≥14 Chøng minh rằng: a2
+b2+c214 Câu 3: (2 điểm)Cho ph©n thøc: B=(3x
2 +3 x3−1 −
x −1 x2+x+1−
1 x −1)
x −1 2x2−5x+5 a) Rút gọn B
b) Tìm giá trị lớn nhÊt cđa B
C©u 4: a) Chøng minh r»ng với n N n > thì: C=1+1 23+
1 33+
1 43+
1 53 +
1 n3<2 b) Giải phơng trình: (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
Đề số 12
Câu 1: (2 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tö a) x2
−7x −6 ;b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)−24 ;c) x4 +4 2) Rót gän: A=
x2+5x+6+ x2+7x+12+
1 x2+9x+20+
1 x2+11x+30 Câu 2: (2 điểm)
1) Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x-2 d 2, f(x) chia cho x-3 d 7, f(x) chia cho x2 - 5x + đợc thơng 1-x2 cịn d.
2) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau số nguyên A=2x
3
+x2+2x+5 2x+1 Câu 3: (2 điểm)Giải phơng trình:
a) x −1 99 +
x −3 97 +
x −5 95 =
x −2 98 +
x −4 96 +
x −6 94 b) x2+x+1¿2+(x2+x+1)−12=0
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nÕu cã cđa biĨu thøc sau: B=16x
+4x+1
2x (víi x > 0)
§Ị sè 13
Câu 1: (6 điểm)Phân tích đa thức sau thành nhân tử;
a) 2x 2y x2+2 xy y2 ;b) xy+2x − y2− y ;c) x2 2xyy2 3x 3y 10 Câu (4 điểm)Cho a+b+c=0 abc0 Chứng minh rằng:
Câu (4 ®iÓm)Cho biÓu thøc Q= x
+x x2− x
+1+1−
2x2+3x+1
(6)§Ị số 14
Câu 1: (2 điểm)
a) Phân tÝch thµnh thõa sè: a+b+c¿3− a3−b3− c3
¿
b) Rót gän: 2x
−7x2−12x+45 3x3−19x2+33x −9 C©u 2: (2®iĨm)Chøng minh r»ng: n
2−7
¿2−36n
A=n3¿ chia hÕt cho 5040 víi mäi sè t/ nhiên n
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nớc giếng Nếu làm máy bơm A hút hết nớc 12 giờ, máy bơm B hút hếtnớc 15 máy bơm C hút hết nớc 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến mỏy bm B
Tính xem giếng hết nớc
b) Giải phơng trình: 2|x+a||x 2a|=3a (a số)
Đề số 15
Câu 1: (2 điểm)Cho P= a
−4a2− a+4 a3−7a2+14a −8 a) Rót gän P
b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu 2: (2 điểm)
a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phơng chúng chia hết cho
b) Tìm giá trị x để biểu thức:
P=(x −1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu 3: (2 im)
a) Giải phơng trình: x2+9x+20+
1
x2+11x+30+
1
x2+13x+42= 18 b) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chøng minh r»ng;
A= a b+c − a+
b a+c − b+
c a+b − c≥3
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho hai cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC lần lợt D
vµ E Chøng minh: a) BD CE=BC
2
b) DM, EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED
(7)Đề số 16
Bài 1: (2 điểm)
a, Giải phơng trình
6x −10¿3=0
1− x2
¿3+¿
x2−6x+9¿3+¿ ¿
b) Cho x, y tho¶ m·n: x2
+2y2+2 xy6x 2y+13=0 Tính giá trị biểu thức: H=x
2−7 xy+52 x − y Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho x
2−3y x(1−3y)=
y2−3x
y(1−3x) víi x , y ≠0 ; x , y ≠
3 ; x ≠ y Chøng minh r»ng:
x+
y=x+y+ Đề số 17
Bài 1: (2 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x8
+x7+1 ;b) (4x+1)(12x −1)(3x+2)(x+1)−4 2) Cho a+b+c=0 vµ a2
+b2+c2=1 Tính giá trị biểu thức: M=a4+b4+c4 Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức: M= x
2
(x+y)(1− y)−
y2
(x+y)(1+x)−
x2y2 (1+x)(1− y) a) Rót gän M
b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị -7
Bài 3: (2điểm)Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể vòi nớc chảy lng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nớc Cịn đóng vịi chảy mở vịi chảy vào sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp lần vòi chảy
1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy 2) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vịi chảy đến đáy bể
§Ị sè 18
Câu 1: (2 điểm)
Giải phơng trình sau: a) x4
+4x2=5 ;b) |x −1|−|2x −3|=5 C©u 2: (2 ®iĨm)Cho biĨu thøc: A=x
4 − x x2− x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x A >
Câu 3: (2 điểm) Hai anh em Trung vµ Thµnh cïng cuèc mét mảnh vờn, hoàn thành 50 Nhng sau giê lµm chung Trung bËn việc khác nên không làm nữa, anh thành phải làm tiếp cuốc xong mảnh vờn
Hỏi làm anh phải làm bao lâu?
Đề số 19
Câu 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành nh©n tư: x4 3x2 4x 12
b) TÝnh: 2003.2005
1
7
1
1
1
A
C©u 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c hai số khác khác thoả mÃn: 3a2 b2 4ab Tính giá trị biểu thức: A=a b
(8)C©u 3: Cho 13 14 3 b a b ab a
Tính giá trị :
P=a2 b2 Đề số 20
Bài 1: (2 ®iÓm)
a) Cho x > 0, y > thoả mÃn: x
22 xy=3y2
.Tính giá trị cđa biĨu thøc: x y
y x A
b) Víi |x|=1 Rót gän biĨu thøc: B=− x
+6x −5 5xn− xn+1
Bài 2: (2 điểm) Chứng minh với giá trị nguyên x biểu thức P(x)=1985.x
3
3 +1978 x2
2+5 x
6 có giá trị nguyên
Bi 3: (2 điểm) Một ngời xe đạp, ngời xe máy, ngời ô tô từ A B khởi hành lần lợt lúc giờ, giờ, với vận tốc thứ tự 10 km/h, 30 km/h,
40 km/h Hỏi lúc ô tô cách ngời xe đạp xe máy
Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) có O giao điểm ba đờng trung trực, vẽ phía ngồi tam giác hai hình vng ABDE, ACGH Biết OE = OH
Tính số đo góc BAC ?
Đề số 21
Câu 1: (2 điểm)
a) Rút gän biÓu thøc:
a+2¿2− a2 ¿ ¿ ¿
A= a
+a −2 an+1−3an.¿
b) TÝnh giá trị biểu thức: B=x195x18+5x175x16+ 5x2+5x+1886 với x = Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình x3+5x 12y=4 . b) Cho a, b, c số tự nhiên không nhỏ
Chøng minh r»ng: 1+a2+
1 1+b2≥
2 1+ab
Câu 3: (2 điểm) Một ô tô vận tải từ A đến B với vận tốc 45 km/h Sau thời gian ơ tơ từ A đến B với vận tốc 60 km/h khơng có thay đổi đuổi kịp ô tô tải B Nhng sau đợc nửa quãng đờng AB, xe tải giảm bớt km/h nên hai xe gặp C cách B 30 km Tính qng đờng AB
§Ị số 22
Câu 1: (2 điểm)
a) Chứng minh với số nguyên dơng ta có: A= x
5 120 +
x4 12+
7x3 24 +
5x2 12 +
x
5 luôn số nguyên dơng b) Rút gọn: B=x
24
+x20+x16+ +x4+1 x26
+x24+x22+ +x2+1
Câu 2: (2 điểm)Bạn A hỏi bạn B: năm bố mẹ anh tuổi ? B trả lời: bố tôi mẹ tuổi Trớc tổng số tuổi bố mẹ 104 tuổi tuổi ba anh em 14; 10 Hiện tổng số tuổi bố mẹ gấp lần tỉng sè ti cđa ba anh em t«i” TÝnh xem tuổi bố mẹ bạn B ?
Câu 3: (1 điểm) Tìm x, y, z Z thoả mÃn: (2x+5y+1)(2|x|
+y+x2+x)=105 Đề số 23
Câu 1: (2 điểm) a) Cho
k2 +k3
¿
ak=3k
2+3k+1
¿
(9)b) Chøng minh r»ng: n
−7¿2−36n
A=n3¿ chia hÕt cho víi mäi n nguyªn
Câu 2: (3 điểm)
a) Cho ba s x, y, z thoả mãn đồng thời: x2+2y+1=0 ; y2
+2z+1=0 ; z2+2x+1=0 Tính giá trị cđa biĨu thøc: A=x2005+y2006+z2007 b) Chøng minh r»ng víi x, y Z
P=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4 số phơng c) Tìm số d phép chia:
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2007 cho x2
+8x+1 Đề số 24
Câu 1: (2 điểm) Giải phơng trình: a) (
1 2+
1 3+
1 4+ +
1 2005).x 2004
1 + 2003
2 + 2002
3 + + 2004
=2005 b) |x −1|+|x −3|=4
Câu 2: (2 điểm) Tìm tỉ lệ ba đờng cao tam giác Biết cộng lần lợt độ dài cặp hai cạnh tam giác tỉ lệ kết : :
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: 2004+2005x+x2¿2005
2004−2005x+x2¿2004.¿ P(x)=¿
b) Tìm số tự nhiên n n4
+n2+1 số nguyên tố
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC Kẻ đờng cao AH Gọi C’ điểm đối xứng H qua AB, B’ điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B’C’ với AC AB I K
Chứng minh IB, CK đờng cao tam giác ABC
C©u 5: (1 điểm)Cho a, b, c [0;1] a+b+c=2 Tìm giá trị lớn biểu thức P=a2
+b2+c2
Đề số 25
Câu 1: ( điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tư: x9− x7− x6− x5
+x4+x3+x2−1 b) Rót gän biÓu thøc: (
x2−xy− 3y2 x4−xy3−
y
x3+x2y+xy2).(y+ x2 x+y) Câu : (2 điểm)
a) Có tồn cặp số tự nhiên (x, y) để số 4x4
+y4 lµ mét sè nguyên tố không
b) Giải phơng trình: y22y+3= x2+2x+4 Câu 3: Cho a, b, c ba sè d¬ng Chøng minh r»ng: 1< a
a+b+ b b+c+
c c+a<2 Đề số 26
Câu 1: (2 điểm) Cho phân thức: A= x
+x3− x2−2x −2
x4+2x3− x2−4x −2 (víi x Z) a) Rót gän A
b) Xác định x để A có giá trị nhỏ Câu 2: (2 im)
a) Cho x, y, z số nguyên khác 0.Chứng minh nếu: x2
yz=a ; y2−zx=b ; z2−xy=c Th× tỉng ax+by+cz chia hÕt cho tæng a+b+c .
b) Cho đa thức f(x) chia cho x-2 d 5, chia cho x-3 d 7, cịn chia cho x2−5x+6 đợc thơng 1− x2 cịn d Tìm đa thức f(x).
(10)(11)§Ị sè 27
Câu 1: (2 điểm)
a) Cho y>x>0 x
+y2 xy =
10
3 Tính giá trị biểu thức M= x − y x+y b) Rót gän biĨu thøc A=(
14+1 4)(3
4 +1
4) (11
+1 4) (24
+1 4)(4
4 +1
4) (12
+1 4) C©u 2: (2 điểm)
a) Giải phơng trình: x4
4x319x2+106x −120=0 b) Cho x
4 a +
y4 b =
1
a+b vµ x
+y2=1 Chøng minh r»ng:
a+b¿102 ¿
x2004 a1002+
y2004 b1002=
2
¿
Câu 3: (2 điểm) Lúc giờ, An rời nhà để đến nhà bình với vận tốc km/h Lúc 20 phút, Bình rời nhà để đến nhà An với vận tốc km/h An gặp Bình đờng hai nhà Bình Khi trở đến nhà An tính qng đờng dài gấp bốn lần qng đờng Bình Tính khoảng cách từ nhà An n nh Bỡnh
Câu 4: (1 điểm)Cho p3
+q3=2 Chøng minh r»ng: 0<p+q ≤2 §Ị số 28
Câu 1: (2 điểm)
a) Giải phơng trình:
4x 63=0
2 x23+
x24x+4
3+
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4+2004x2+2003x+2004 Câu 2: (2 điểm) Cho a+b+c=0 ; x+y+z=0 ; a
x+ b y+
c z=0 Chøng minh: ax2
+by2+cz2=0 Câu 3: Tìm x nguyên để y nguyên: y=2x+3
x2+1
Đề số 29
Câu 1: (2 điểm) Rút gọn biÓu thøc: a) A=|x −2|+|x|+x
3x2−8x +4 b) B=
x2+2x+ x2
+7x+10+
4
x2+14x+15+ x+9 Câu 2: (2 điểm)
a) Cho 3a2
+b2=4 ab vµ b > a > TÝnh P=a −ba +b b) T×m x, y biÕt: x2
+y2xy3x+3=0 Câu 3: (2 điểm)
a) Cho a, b số nguyên Chứng minh a chia cho 19 d 3, b chia cho 19 d th× a2
+b2+ab chia hÕt cho 19
b) Chøng minh r»ng tÝch cđa sè tù nhiªn liên tiếp cộng số phơng
Đề số 30
Câu 1: (2 điểm) Cho đa thức A=2a2
b2+2b2c2+2a2c2 a4b4c4 a) Phân tích đa thức A thành nhân tử
(12)a) Giải phơng trình: (x2
y2)2=4 xy+1 b) Cho a, b, c đôi khác a
b− c+ b c −a+
c
a −b=0
TÝnh
b − c¿2 ¿
c −a¿2 ¿
a −b¿2 ¿ ¿ ¿
P=a
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho m, n số thoả mÃn: 3m2
+n=4m2+n
Chứng minh (m-n) (4m + 4n + 1) số phơng b) Cho x, y, z số khác thoả mãn x+y+z=xyz
x+
y+
z=m TÝnh giá trị biểu thức: A=
x2+ y2+
1
z2 theo m
§Ị sè 31
Câu 1: (2 điểm)Cho biểu thức: M= x
(x+y)(1− y)−
y2
(x+y)(1+x)−
x2 y2 (1+x)(1− y) a) Rót gän M
b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị -7 Câu 2: (3 điểm)
a) Chứng minh với n số tự nhiên chẵn biểu thức: A=20n+16n3n1 chia hết cho 323
b) Cho x, y, z khác x+y+z 0 Chøng minh r»ng: NÕu
x+
y+
z=
x+y+z th× x2007+
1 y2007+
1 z2007=
1 x2007
+y2007+z2007
Câu 3: (2 điểm) Trong đua mơ tơ có ba xe khởi hành lúc Một xe chạy chậm xe thứ 15 km nhanh xe thứ ba km, đến đích chậm xe thứ 12 phút sớm xe thứ ba phút Khơng có dừng lại đờng
Tìm vận tốc xe, quãng đờng đua xem xe chạy thời gian Câu 4: (2 điểm)Cho hình vng ABCD, gọi K, O, E, N lần lợt trung điểm AB, BC, CD DA Các đoạn thẳng AO, BE, Cn DK cắt L, M, R, P
TÝnh tØ sè diện tích S(MNPR) : S(ABCD) Câu 5: (1 điểm)Tính tổng S=
1 3+ 34+
1
3 5+ +
1 n(n+1)(n+2) Đề số 32
Câu 1: (2 điểm)
a) Phân tích a4
+4 thành nhân tử b) TÝnh : A=2
4 +4 44+4
64+4 84+4
104+4 124+4
144+4 164+4
184+4 204+4 Câu 2: (2 điểm)
a) Tính giá trị cđa biĨu thøc: A=x15
−7x14+7x13−7x2+ −7x2+7x −5 với x = b) Tìm n nguyên để n - chia hết cho n2
−n+1 C©u 3: ( ®iĨm)
a) Cho ®a thøc f (x)=x100+x99+ +x2+x+1 T×m d phép chia f(x) cho x21 b) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau:
B=xy(x −2)(y+6)+12x2−24x+3y2+18y+2004 Đề số 33
Câu 1: (2 điểm)
1 Phân tích thành nhân tử: a) x10
(13)b) (x23x+2)(x27x+12)15 Cho a, b số thoả mÃn a2+b2
+ab=2005 Tính giá trị biÓu thøc:
a+b¿4 ¿
a+b¿2
a2+b2+¿
a4 +b4+¿
P=¿
C©u 2: ( điểm)
) Cho p p2 + số nguyên tố Chứng minh p3 + số nguyên tố.
b) Tìm số dơng x, y, z thoả mÃn: x+y=xyz x+y+z=4
Câu 3: (2 điểm) Trên quãng đờng AB thành phố, phút lại có xe buýt theo chiều từ A đến B phút lại có xe buýt theo chiều ngợc lại Các xe chuyển động với vận tốc nh Một khách du lịch từ A đến B nhận thấy phút lại gặp xe buýt từ B vể phía
Hỏi phút lại có xe từ A vợt qua ngời Câu 4: (3 điểm)
a) Cho hình bình hành ABCD Lấy E thuộc BD, Gọi F điểm đối xứng với C qua E Qua F kẻ Fx song song với AD, cắt AB I, Fy song song với AB, cắt AD K Chứng minh ba điểm I, K, E thẳng hàng
b) Cho đoạn thẳng AB song song với đờng thẳng d Tìm điểm M (d M nằm khác phía với AB) cho tia MA, MB tạo với đờng thẳng d tam giác có diện tích nhỏ Câu 5: (1 điểm)Giải phơng trình: x − a2x − b
2
b2− x2+a= x2 x2−b2
§Ị sè 34
Câu 1: (2 điểm)
a) Cho x24x+1=0 .Tính giá trị biểu thức: A=x
+x2+1 x2 b) Tìm số tự nhiên x để x
2 +8
x+8 số phơng Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phơng trình: (x2
1)2=4x+1 b) Giải bất phơng trình: x 1
2 x>1
Câu 3: ( điểm)Việt (hỏi): Bạn số nhà ?
Nam (trả lời): Mình số nhà số có ba chữ số, mà hai chữ số đầu nh hai chữ số cuối lập thành số phơng số gấp lÇn sè ?
Việt: Sau lúc suy nghĩ tìm số nhà Nam Hỏi số nhà Nam ?
C©u 4: ( ®iĨm)
1) Cho hai điểm A B nằm phía đờng thẳng a Hãy tìm đờng thẳng a điểm P cho tổng độ dài AP + PB bé
2) Cho góc nhọn xOy điểm A miền góc Hãy tìm hai cạnh Ox, Oy điểm tơng ứng B C cho chu vi tam giác ABC bé
C©u 5: (1 điểm)Tìm số x, y, z, t thỏa mÃn: x2
+y2+z2+t2=x(y+z+t) Đề số 35
Câu 1: ( điểm) Phân tích đa thức thành nhân tö:
a)
c+a −b¿3
b+c − a¿3−¿
a+b − c¿3−¿
a+b+c¿3−¿ ¿
b)
y2+z2¿3
z2− x2¿3−¿
x2
(14)Câu 2: (2 điểm)
a) Cho f(x) = ax2
+bx+c Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3) b) Tìm số x, y nguyên dơng thoả mÃn: x2
y2=2y+13 Câu 3: ( điểm)
a) Chøng minh r»ng n5−5n3
+4n chia hÕt cho 120 víi mäi n nguyªn
b) Cho tam giác có độ dài hai đờng cao cm cm Hãy tìm độ dài đờng cao thứ ba, biết độ dài đờng cao số nguyờn
Câu 4: (3 điểm)
a) Chng minh tổng độ dài cạnh ngũ giác lồi bé tổng độ dài đờng chéo ngũ giác
b) Cho tam giác ABC Trong hình chữ nhật có hai đỉnh nằm cạnh BC hai đỉnh lại lần lợt nằm hai cạnh AB AC, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn Câu 5: (1 điểm).Tìm tất số thực dơng x, y thoả mãn: x3+y3=xy
27 Đề số 36
Câu 1: ( ®iĨm)
a) Chøng minh r»ng: n5
−n chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyªn n b) Phân tích thành nhân tử: x3
+y36 xy+8 Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z tho¶ m·n:
¿
1 x+
1 y+
1 z=2
xy − z=4
¿{
¿
b) Cho a, b, c số hữu tỉ đôi khác Chứng minh rằng: a −b¿2
¿
b − c¿2 ¿
c −a¿2 ¿ ¿ ¿ ¿
1
A=
số hữu tỉ
Câu 3: ( điểm)
a) Cho x, y > tho¶ m·n x + y =1 Chøng minh r»ng: (x+1 x)
2
+(y+1 y)
2 ≥25
2
b) Chøng minh r»ng:
n+1¿2 ¿
n2+¿
1 5+
1
13+ +
¿
C©u 4: (2 ®iĨm)Cho ®a thøc P(x) ¿x4+ax3+bx2+cx+d víi a, b, c , d lµ h»ng sè BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 TÝnh P(12) + P(-8)
Câu 5: ( điểm)Tìm số x, y nguyên thoả mÃn: x2
y2 x28y2=2 xy Đề số 37
Bài 1: (4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A=x4 +4 b) Tìm số nguyên a để biểu thức P=a
2 +a+3
a+1 nhận giá trị nguyên
(15)Bài 3: (6 điểm)
a) Biết x nghiệm phơng trình: x ab a+b +
x −ac a+c +
x −bc
b+c =a+b+c Tìm x dạng thu gọn
b) Rút gän biÓu thøc: M= (2
+1)(33+1)(43+1) (503+1) (23−1)(33−1)(43−1) (5031) Bài 4: (6 điểm)
a) Trờn tia Ox góc xOy cho trớc điểm A Hãy tìm tia Oy góc điểm B cho OB + BA = d (với d độ dài cho trớc
b) Cho tam gi¸c ABC cã trung tuyến kẻ từ B C BE CF Chứng minh BE vuông góc với CF vµ chØ khi: AC2 + AB2 = 5BC2
Đề số 38
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4
+3x22x+3 b) Giải phơng trình: x3
+3x23x+1=0 Bài 2: (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc: P=(a+2
a+1− a −2 a −1)
a+1 a a) Rót gän P
b) Tìm a để P nguyên Bài 3: (3 im)
a) Tìm số nguyên x, y, z biÕt r»ng: y+z+1
x =
x+z+2 y =
x+y −3
z =
1 x+y+z b) Cho ®a thøc f(x) = ax2
+bx+c víi a, b, c số hữu tỉ Biết f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên
Bi 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với ba đờng cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: HA'
AA'+ HB' BB' +
HC' CC' =1 Bµi 5: (1 điểm) Tìm số a b chob ®a thøc x2
+ax+b chia cho (x + 1) th× d 7, chia cho (x-3) d -5
Đề số 39
Bài 1: (2 ®iĨm) Rót gän biĨu thøc:
a)
b+c − a¿2
a+b − c¿2+¿
a −b+c¿2+¿
a+b+c¿2+¿
P=¿
b) Q= x − y−
1 x+y−
1 x2+y2 Bµi 2: ( điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (a+b+c)(ab+bc+ca)−abc b) T×m x, y biÕt: x2+y2− x+3y+5
2=0
c) Cho A=(n −1)(n2−3n+1) Tìm số tự nhiên n để giá trị A số nguyên tố Bài 3: ( điểm) Giải phơng trình:
x −13 117 +
x −11 119 +
x −9 121 +
x −7 123 +
x −5 125 =
x −117 13 +
x −119 11 +
x −121 +
x −123 +
x −125 Bài 4: (2 điểm) Một ô tô khởi hành từ A đến C, hai sau ô tô khác từ B đến C Sau 32
5 tính từ tơ thứ lhởi hành hai tơ gặp Tính vận tốc ô tô Biết B nằm đờng từ A đến C quãng đờng AB 78 km, vận tốc ô tô từ A lớn vận tốc ô tô từ B km/h
Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có ba phân giác AD, BE CF Gọi M, N, P theo thứ tự điểm đối xứng B, A C qua AD, BE , AD Q điểm đối xứng A qua CF Chứng minh MN // PQ
(16)Bài 1: ( điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x4
+12x3 x2
b) a(b3 c3)+b(c3a3)+c(a3 b3) Bài 2: (4 điểm)
a) Rót gän biĨu thøc sau:
a+b¿2
a+b −1¿3−6¿
a+b+1¿3−¿ ¿
b) Xác định a, b để đa thức x3
+ax2+2x+b chia hÕt cho ®a thøc x2−1
c) T×m d cđa phÐp chia ®a thøc f (x)=2004x2005−2005x2004+x2002−1 cho ®a thøc x2−1
d) Tìm x nguyên thoả mÃn: |2x 1|<5 Bài 3:
a) Tính nhanh: 9982+9992+10012+10022
b) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A=x2+xy+y2−3x −3y+2004 §Ị sè 41
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x4
+x32x2+3x 1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A=2x2
+9y26 xy6x 12y+2006 Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm thơng phần d phép chia đa thức: f(x)=1+x+x2+x3+ +x1997 cho x2+1
b) Đa thức f(x) chia cho x-3 d 10, chia cho x+5 d cịn chia cho (x-3) (x+5) đợc thơng l x2
+1 d Tìm đa thức f(x) Bài 3: (2 điểm)Tìm số tự nhiên x cho M=x1999
+x1997+1 có giá trị số nguyên tố Đề số 42
Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x5
−2x4+2x3−4x2−3x+6 b) x3
+x2+4
Bµi 2: (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc: a) Rót gän P
b) Tính P m=2001 1999 Bài 3: (2 điểm)
a) Chứng minh với số nguyên dơng n phân số: 15n
2
+8n+6
30n2+21n+13 tèi gi¶n
b) Tìm số ngun n để n −7 chia hết cho n2 −64
Bài 4: (3 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đờng thẳng vng góc với AE, cắt đờng thẳng CD F Gọi I trung điểm EF, AI cắt CD M Qua E dựng đờng thẳng song song với CD cắt AI N
a) Chøng minh tứ giác MENF hình thoi
b) Chng minh chi vi tam giác CEM không đổi E chuyển động BC Bài 5: (1 điểm)Tìm a để P = a4 + số nguyên tố.
Đề số 43
Bài 1: ( 2điểm) hân tích đa thức thành nhân tử: a) x+y2(x+y)6
b) (x2+x+1)(x2+3x+1)+x2
Bài 2: (2 điểm) Cho ®a thøc P(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx+e vµ cho biÕt P(1) = ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51
(17)a) x2+ 4x
x2−4x +4=5 b) x5
=x4+x3+x2+2
Bài 4: (2 điểm)Dùng hai can lít 2,5 lít làm để đong đợc lít rợu từ can lít đựng đầy rợu (các can khơng có vạch chia độ)
Bài 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biĨu thøc: P = x100−10x10+10
§Ị sè 44
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành nh©n tư: x5− x4−1
b) Tìm cặp số (x, y) để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: P=− x2
− y2+xy+2x+2y Bµi 2: ( 2điểm) Giải phơng trình:
a) (x+2)2+(x+3)3+(x+4)4=2 b) |x21|
+|x24|=x22x+4
Bài 3: ( điểm)Tìm hệ số x8 khai triển nhị thức Newtơn đa thức:
[1+x2
(1 x)]8 Bài 4: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết số luỹ thừa bậc bốn tổng ch s ca nú
Bài 5: (2 điểm) Chøng minh r»ng: 3≤
x2 +x+1 x2− x+13
Đề số 45
Câu 1: ( điểm)Phân tích thành nhân tử: a) x4y4+64
b) 2x4
−9x3+14x2−9x+2
Câu 2: ( điểm)Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm: |x|+|x −2|−|x+1|=m Câu 3: ( điểm)Cho x2
−2006x+1=0 Tính giá trị biểu thức: P=x
+x2+1 x2 Câu 4: (2 điểm)Cho x, y, z > vµ xyz =1 Chøng minh r»ng:
x3
+y3+1+ y3
+z3+1+ z3
+x3+11
Câu 5: ( điểm) Cho a, b, c ba số dơng thoả mÃn: a+b+c=1 T×m GTNN cđa biĨu thøc: P=(1+1
a)(1+ b)(1+
(18)(19)