Toán 10 Bài 2 TỔNG và HIỆU HAI VECTO

BÀI TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTO MỤC TIÊU  Kiến thức + Hiểu cách xác định tổng, tính chất tổng vecto: giao hốn, kết hợp, tính chất vecto – không + Nắm quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành + Hiểu khái niệm vecto đối, cách xác định hiệu hai vecto  Kỹ + Vận dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành tính tổng vecto + Vận dụng quy tắc trừ vecto để chứng minh đẳng thức vecto + Tính độ dài tổng hiệu vecto I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa r r uuu r r Quy Cho hai vecto a b Lấy điểm A tùy ý Vẽ AB = a Mở rộng: u u u r u u u r u u u r uuur r uuur r r BC = b Khi vecto AC gọi tổng hai vecto a b AB + BC = AC tắc ba điểm uuur uuu r uuur r r Kí hiệu: AC = AB + BC = a + b Quy tắc hình bình hành uuu r uuur uuur Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC Tính chất phép cộng vecto r r r Với ba vecto a, b,c tùy ý, ta có r r r r Tính chất giao hốn a + b = b + a r r r r r r Tính chất kết hợp a + b + c = a + b + c ( ) ( ) r r r r r Tính chất vecto – khơng a + = 0+ a = a Vecto đối r r r Vecto có độ dài ngược hướng với vecto a gọi Chú ý: Vecto đối r r vecto đối vecto a , kí hiệu −a Hiệu hai vecto uuu r uuur uuu r r r r r Mở rộng: Quy tắc AB − AC = CB Cho hai vecto a, b Ta gọi hiệu hai vecto a b vecto Trang r r r r a + −b , kí hiệu a − b ( ) Trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác uur uur r Điểm I trung điểm đoạn AB IA + IB = Điểm G trọng tâm tam giác ABC uuu r uuu r uuur r GA + GB + GC = Sơ đồ lí thuyết Quy tắc hình bình hành Quy tắc ba điểm: Tổng hiệu hai vecto Hiệu hai vecto: Tính chất Điểm I trung điểm đoạn AB Điểm G trọng tâm tam giác ABC II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tổng hai vecto tổng nhiều vecto Bài tốn Sử dụng quy tắc ba điểm tính tổng vecto Phương pháp giải Sử dụng quy tắc ba điểm Ví dụ: cho tam giác ABC có M, N, P trung điểm AB, BC, CA Khi Áp dụng: Khi điểm cuối vecto điểm đầu vecto Trang uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r AB + CA + BC = AB + BC + CA uuur uuu r = AC + CA a) uuu r = AA r =0 uuur uuu r uuur b) AM + AP = AN (quy tắc hình bình hành) uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r r c) AM + BN + CP = AM + MP + PA = AA = ( Ví dụ mẫu ) Mẹo: Khi cộng hai vecto Ví dụ 1: Cho bốn điểm M, N, P, Q Xác định vecto tổng uuuur uuur uuur a) MN = PQ + NP uuur uuur uuur uuuu r b) MP + NQ + PN + QM ta khơng cần vẽ hình cần chọn cặp vecto có điểm đầu vecto điểm cuối vecto để tìm Hướng dẫn giải vecto tổng uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuu r a) Ta có MN + PQ + NP = MN + NP + PQ = MP + PQ = MQ uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuur uuuu r uuuur r b) Ta có MP + NQ + PN + QM = MP + PN + NQ + QM = MN + NM = MM = ( ) ( ) ( ) Ví dụ 2: Cho lục giác ABCDEF tâm O Tính tổng vecto uuu r uuur a) AB + OE uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur b) OA + OB + OC + OD + OE + OF uuur uuur uuur c) BC + OF + DO Hướng dẫn giải uuu r uuur uuu r uuur uuur a) AB + OE = AB + BO = AO uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur OA + OB + OC + OD + OE + OF = OA + OD + OB + OE + OC + OF ( ) ( ) ( ) Trang r r r r = 0+ 0+ = uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r c) BC + OF + DO = BC + CO + OA = BO + OA = BA Bài toán Sử dụng quy tắc hình bình hành Phương pháp giải Quy tắc hình bình hành uuu r uuur uuur AB + AD = AC Áp dụng: Khi hai vecto có chung điểm đầu Ví dụ mẫu uuu r uuur Ví dụ: Cho tam giác ABC Tính tổng AB + AC Hướng dẫn giải uuu r uuur uuur Vẽ hình bình hành ABDC, suy AB + AC = AD Ví dụ: Cho tam giác ABC Hãy xác định vecto tổng vecto uuu r uuur a) AB + AM với M trung điểm BC uuu r uuur b) AB + AC uuu r uuur c) AB + NC với N trung điểm AC Hướng dẫn giải uuu r uuur uur a) Vẽ hình bình hành ABIM, suy AB + AM = AI uuu r uuur uuur b) Vẽ hình bình hành ABDC, suy AB + AC = AD uuu r uuur uuu r uuur uuu r c) Vẽ hình bình hành ABJN, (J trung điểm B), suy AB + NC = AB + AN = AJ Bài tập tự luyện dạng uuu r uuur Câu 1: Cho ba điểm A, B, C phân biệt Tổng CB + AC uuu r r uuu r A BA B C AB uuu r D − AB Câu 2: Cho bốn điểm A, B, C, O Đẳng thức sau đúng? uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuur A OA = OB + AB B AB = OB + OA C AB = AC + BC uuu r uuu r uuur D OA = CA + OC Câu 3: Chọn kết sai Trang uuu r uuur uuu r uuuur uuur uuur C CA + BC = BA D MN + NX = MX uuu r uuur Câu 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O Khi OA + BO uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r A OC + OB B AB C OC + DO D CD r uuur uuur uuur uuur Câu 5: Cho năm điểm A, B, C, D, O vecto x = CD + DA + AO + OC Khẳng định sau đúng? r uuu r r uuu r r uuur r r A x = CB B x = BD C x = CA D x = uuuur uuur uuur uuur uuu r Câu 6: Tổng vecto MN + PQ + RN + NP + QR uuuu r uuur uuur uuuur A MR B MQ C MP D MN uuu r uuu r r A BA + AB = uuu r uuur uuu r B CA + AC = AB Câu 7: Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức vecto sau đúng? uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur A DA + DC = DB B BA + BD = BC C DA + DB = DC uuu r uuur uuur D AB + AC = AD Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O giao điểm AC BD Phát biểu sau đúng? uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur A OA = OB = OC = OD B AC = BD uuu r uuu r uuur uuur r uuur uuur uuu r C OA + OB + OC + OD = D AC + DA = AB uuu r uuur uuu r Câu 9: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Tổng vecto AB + CD + EF uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur A AF + CE + DB B AE + CB + DF C AD + CF + EB D AE + BC + DF Dạng 2: Tìm vecto đối hiệu hai vecto Phương pháp giải r - Vecto đối vecto a vecto phương, Ví dụ: Cho lục giác ABCDEF tâm O Khi r ngược hướng độ dài với a r Kí hiệu: −a uuur uuur uuur uuur a) Các vecto OC FO , AB , ED uuur uuur uuur uuu r uuur r r r r b) Các vecto đối , , , DE OC CO OF BA - Với vecto a ta có a + −a = uuur uuu r c) Hiệu vecto AB EO uuu r uuu r - Một vecto đối vecto AB vecto BA uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r AB − EO = AB + OE = AB + BO = AO - Nhận xét: AB = − BA uuu r uuur uuu r r r d) Tổng hiệu vecto AB + CD − EF - Hiệu hiệu hai vecto a b tổng vecto uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur r r AB + CD − EF = AB + BO + FE = AO + OD = AD a vecto đối vecto b r r r r a − b = a = −b ( ) ( ) ( ) - Các quy tắc tìm hiệu hai vecto Quy tắc 1: Hiệu hai vecto có chung điểm đầu Trang uuu r uuur uuu r AB − AC = CB Quy tắc 2: Hiệu hai vecto có chung điểm cuối uuur uuur uuu r AC − BC = AB Ví dụ mẫu r r r r r r r r r Ví dụ Cho vecto a, b,c Chứng minh a + b = c ⇔ a = c − b Hướng dẫn giải r r r r Giả sử a + b = c Cộng vecto −b vào hai vế ta r r r r r r r r r r r r r a + b + −b = c + − b ⇔ a + b − b = c − b ⇔ a = c − b (1) ( ) ( ) ( ) ( r r r Ngược lại a = c − b, cộng vecto r r r r r r r r a+ b = c− b + b ⇔ a+ b = c+ ( ) ( ) r b vào hai vế ta r r r r r b − b ⇔ a + b = c (2) ) Lưu ý: Công thức r r r r r r a+ b = c ⇔ a = c− b gọi quy tắc chuyển vế - đổi dấu vecto Từ tốn trở đi, ta áp dụng tính chất không chứng minh lại r r r r r r Từ (1) (2) ta suy a + b = c ⇔ a = c − b Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC có M, N, P trung điểm AB, BC, CA uuuur a) Tìm vecto đối vecto MN uuuur uuu r b) Tìm hiệu hai vecto MN AB uuur uuu r uuu r c) Xác định vecto AM + CB − AP Hướng dẫn giải uuuu r uuu r uuu r uuuur a) Các vecto đối MN NM, PA,CP uuur uuu r uuur b) Áp dụng quy tắc tìm hiệu hai vecto chung điểm đầu, ta có AM − AB = BM uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r c) Ta có AM + CN − AP = AM − AP + CN = PM + CN = NB + CN = CN + NB = CB ( ) Ví dụ 3: Cho bốn điểm M, N, P, Q Xác định vecto sau uuuu r uuur a) MQ − NQ uuuur uuur uuur b) MN − MP + NP uuuur uuur uuur c) MN − PQ + NQ Hướng dẫn giải uuuu r uuur uuuur a) Áp dụng quy tắc tìm hiệu hai vecto chung điểm cuối, ta có MQ − NQ = MN uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuu r r b) Ta có MN − MP + NP = MN − MP + NP = PN + NP = PP = ( ) Trang uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuu r uuur uuur c) Ta có MN − PQ + NQ = MN + NQ − PQ = MQ − PQ = MP ( ) Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vecto sau uuur uuu r a) BD − BA uuur uuur uuu r b) BC − BD + BA uuur uuu r uuur c) OC + AB − DO uuur uuu r uuur d) AD − BA − AO Hướng dẫn giải uuur uuu r uuur a) Theo quy tắc tìm hiệu hai vecto, ta có BD − BA = AD uuur uuur uuu r b) Ta có BC − BD + BA (tìm hiệu hai vecto có chung điểm đầu) uuur uuu r uuur uuur uuur r = DC + BA = DC + CD = DD = uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r c) Ta có OC + AB − DO = AB + OC − OB (hiệu hai vecto có chung điểm đầu) uuu r uuu r uuur = AB + BC = AC uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r d) Ta có AD − BA − AO = AD − AO − BA (hiệu hai vecto có chung điểm đầu) uuur uuur uuur = OD − CD = OC (hiệu hai vecto có chung điểm cuối) ( ) ( ( ) ) Ví dụ 5: Cho hai điểm cố định A, B Gọi I trung điểm AB Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức uuur uur uuur uuur vecto MA − IA = MA − MB Hướng dẫn giải uuur uur uuur uuur uuu r uuu r Ta có MA − IA = MA − MB ⇔ MI = BA ⇔ MI = BA = R Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm I bán kính R = AB Bài tập tự luyện dạng r r r r r Câu 1: Cho a b vecto khác với a vecto đối b Khẳng định sau sai? Trang r r A Hai vecto a, b phương r r C Hai vecto a, b độ dài r r B Hai vecto a, b ngược hướng r r D Hai vecto a, b chung điểm đầu Câu 2: Cho hai đểm phân biệt A B Điều kiện để điểm I trung điểm đoạn thẳng AB uur uur uur uur uur uur A IA = − IB B AI = BI C IA = IB D IA = IB Câu 3: Chọn khẳng định sai uur uur r A Nếu I trung điểm đoạn AB IA − IB = uur uur uuu r B Nếu I trung điểm đoạn AB AI − BI = AB uur uur r C Nếu I trung điểm đoạn AB AI − IB = uur uur r D Nếu I trung điểm đoạn AB IA − BI = Câu 4: Cho tam giác ABC có M, N, P trung điểm AB, AC, BC Khi đó, vecto đối uuur vecto PN từ điểm cho uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A AM, MB, NP B MA, MB,NP C MB, AM D MA, BM,NP Câu 5: Điều kiện sau điều kiện cần đủ để G trọng tâm tam giác ABC, với M trung điểm BC uuur uuur r uuur uuu r uuur r A MA − CM = B AG − GB − GC = uuu r uuur uuu r r uuu r uuu r uuur r C GB + GC − GA = D GA − GB − GC = uuu r uuu r Câu 6: Cho hình bình hành ABCD tâm O Khi OA − OB uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r A OC + OB B AB C OC − OD D CD Câu 7: Gọi O tâm hình bình hành ABCD Đằng thức sau sai? uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r A OA − OB = CD B OB − OC = OD − OA uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur C AB − AD = DB D BC − BA = DC − DA uuur Câu 8: Cho lục giác ABCDEF tâm O Các vecto đối vecto OD uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur A OA, DO, EF , CB B OA, DO, EF ,OB, DA uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur C OA, DO, EF , CB, DA D DO, EF , CB, BC uuur uuuu r uuur uuu r Câu 9: Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn MB − MC = BM − BA A Đường thẳng AB B Trung trực đoạn BC C Đường tròn tâm A, bán kính BC D Đường thẳng A song song với BC uuur uuur Câu 10: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, AB = 8cm, AD = 6cm Tập hợp điểm M thỏa AO − AD = MO A Đường trịn tâm O có đường kính 10cm B Đường trịn tâm O có đường kính 5cm C Đường thẳng BD D Đường thẳng AC Dạng 3: Tính độ dài vecto tổng vecto hiệu hai vecto Phương pháp giải Để tìm độ dài vecto tổng hiệu Ví dụ: Cho hình vng ABCD cạnh a Vẽ hình hai hay nhiều vecto ta thực bước sau bình hành ABDM gọi I trung điểm AD Trang uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur Tính độ dài vecto AB + BC; AB − AD; BA + BD Hướng dẫn giải uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có AB + BC = AC ; AB − AD = DB; uuu r uuur uuur uur BA + BD = BM = BI Bước 1: Tình tổng, hiệu hai hay nhiều vecto để Khi đưa vecto uuu r uuu r 2 2 Bước 2: Tính độ dài vecto (khoảng cách từ AB + BC = AC = AB + BC = a + a = a 2; uuu r uuur uuur điểm đầu đến điểm cuối) AB − AD = DB = DB = AC = a 2; r r r uuu r a − b + c + = AB = AB uuu r uuur  a BA + BD = BM = 2BI = a +  ÷ = a  2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông B; AB = 3a; BC = 4a uuur uuur a) Hãy dựng điểm D cho AD = BC uuu r uuur b) Tính độ dài vecto BA + BC theo a Hướng dẫn giải uuur uuur a) Vẽ hình chữ nhật ABCD Khi D điểm thỏa mãn AD = BC uuu r uuur uuur b) Ta có BA + BC = BD = BD = AB2 + AD2 = ( 3a) + ( 4a) = 5a Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông A, biết AB = 6a, AC = 8a Tính độ dài vecto sau theo a uuu r uuur a) AB − AC uuu r uuur b) AB + AC Trang uuur uuur c) AC − AM với M trung điểm AB Hướng dẫn giải uuu r uuur uuu r a) Ta có AB − AC = CB = CB = AB2 + AC = ( 6a) + ( 8a) = 10a b) Vẽ hình chữ nhật ABCD uuu r uuur uuur Ta có AB + AC = AD = AD = BC = 10a uuur uuur uuuu r c) Ta có AC − AM = MC = MC = AC2 + AM = ( 8a) + ( 3a) = a 73 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có cạnh a Tính độ dài vecto sau theo a uuu r uuur a) AB − AC uuu r uuur b) AB + AC uuu r uuur c) AB + AH với H trung điểm BC Hướng dẫn giải uuu r uuur uuu r a) Ta có AB − AC = CB = CB = a b) Vẽ hình bình hành ABDC a  a Ta có AH = AB − BH = a −  ÷ =  2 2 uuu r uuur uuur a AB + AC = AD = AD = 2AH = =a Trang 10 c) Vẽ hình bình hành ABKH Gọi I giao điểm AK BH Suy HI = BH BC a = = 4 uuu r uuur uuur  a   a 2 a 13 2 Ta có AB + AH = AK = AK = 2AI = AH + HI =  =  ÷ ÷ +  ÷    uu r uuur uu r uuur uu r uuuu r Ví dụ 4: Cho ba lực F1 = MA, F2 = MB, F3 = MC tác động vào vật điểm M vật đứng yên uu r uu r uu r Cho biết cường độ F1 30N, cường độ lực F2 40N ·AMB = 90o Tìm cường độ lực F3 Hướng dẫn giải uuur uu r uuur uu r uuuu r uu r Gọi A, B, C điểm cho MA = F1, MB = F2, MC = F3 Vẽ hình chữ nhật AMBD Vì vật đứng n nên ta có uu r uu r uu r r uuur uuur uuuu r r uuuu r uuuu r r uuuu r uuuu r F1 + F2 + F3 = ⇔ MA + MB + MC = ⇔ MD + MC = ⇔ MC = − MD uuuu r uuuu r ⇔ MC = DM uu r Cường độ lực F3 uu r uuuu r uuuu r F3 = MC = DM = DM = AM + AD2 = 302 + 402 = 50( N ) Bài tập tự luyện dạng uuu r uuur Câu Cho tam giác ABC vuông cân C AB = Tính độ dài AB + AC uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur A AB + AC = B AB + AC = C AB + AC = D AB + AC = uuu r uuur · Câu Cho tam giác ABC tam giác vuông A, cạnh AB = 2a, ACB = 30o Khi AB + AC A a B a C 2a D 4a uuu r uuur Câu Gọi G trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 Vecto GB − CG có độ dài A B C A a B 2a C bao nhiêu? D uuur uuur Câu Cho tam giác ABC cạnh a, có AH đường trung tuyến AC + AH a 13 D a 13 Trang 11 Câu Cho tam giác ABC cạnh 2a có I, J, K trung điểm BC, CA AB Giá trị uur uuur uur AI + CK + IC A B a C a D 2a uuu r uuur · Câu Tam giác ABC có AB = AC = a BAC = 120o Tính AB + AC uuu r uuur A AB + AC = a uuu r uuur a B AB + AC = uuu r uuur C AB + AC = a uuu r uuur D AB + AC = 2a Câu Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh 2018 góc A 60o Kết luận sau đúng? uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r A OA = 1009 B OA = 2018 C OA = OB D OA = 1009 uu r uu r uu r uu r Câu Cho hai lực F1 F2 có điểm đặt O tạo với góc 60o Cường độ hai lực F1 F2 100N Cường độ tổng hợp lực hai lực A 100N B 100 3N C 50N D 50 3N uu r uuur uu r uuur uu r uuuu r Câu Cho ba lực F1 = MA, F2 = MB, F3 = MC tác động vào vật điểm M vật đứng yên uu r uu r o · F hình vẽ Biết cường độ lực F1 50N, ·AMB = 120o, AMC Cường độ lực = 150 A 50 3N B 25 3N C 25N D 50N uuur uuur uuur uuur Câu 10 Cho đoạn thẳng AB có độ dài a Một điểm M di động cho MA + MB = MA − MB Gọi uuur uuur H hình chiếu M lên AB Độ dài lớn vecto AH − AM A a B a C a D 2a Dạng Chứng minh đẳng thức vecto Phương pháp giải Để chứng minh đẳng thức vecto, ta thường • Áp dụng quy tắc tìm tổng hai vecto Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD điểm M tùy ý uuur uuuu r uuur uuuu r Chứng minh MA + MC = MB + MD • Áp dụng quy tắc tìm hiệu hai vecto Hướng dẫn giải • Tính chất tổng hai vecto • Quy tắc chuyển vế đổi dấu vecto Trang 12 Việc chứng minh thường tiến hành theo ba cách: • Cách 1: Đi từ vế trái sang vế phải • Cách 2: Đi từ vế phải sang vế trái Cách 3: Biến đổi tương đương hai vế Cách Áp dụng quy tắc chuyển vế, đổi dấu vecto ta có đẳng thức vecto uuur uuuu r uuur uuuu r MA + MC = MB + MD uuur uuur uuuu r uuuu r ⇔ MA − MB = MD − MC uuu r uuur uuu r uuu r ⇔ BA = CD ⇔ BA = BA (hiển nhiên) uuur uuuu r uuur uuuu r Vậy MA + MC = MB + MD • Cách Ta có uuur uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur MA + MC = MB + BA + MD + DC uuur uuuu r uuu r uuur uuur uuuu r = MB + MD + BA + DC = MB + MD ( ( ) ( ) ( ) ) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, CA uuur uuur uuu r r a) Chứng minh AM + BN + CP = uuur uuu r uuur r b) Chứng minh AN + BP + CM = uur uur uur uuu r uur uur c) Chứng minh với điểm I ta có IA + IB + IC = IM + IN + IP Hướng dẫn giải uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r r a) Ta có AM + BN + CP = AM + MP + PA = AA = uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r AN + BP + CM = AM + AP + BN + BM + CN + CP b) Ta có ( ) ( ) ( ) (theo quy tắc hình bình hành) uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r r r r r = AM + BM + BN + CN + AP + CP = 0+ 0+ = ( ) ( ) ( ) uur uur uur uuu r uur uur uur uuu r uur uur uur uur r c) Ta có IA + IB + IC = IM + IN + IP ⇔ ( IA − IM ) + ( IB − IN ) + ( IC − IP ) = uuur uuur uuur r ⇔ MA + NB + PC = uuur uuur uuu r r uuur uuu r uuur r uuuur r ⇔ MA + PM + AP = ⇔ MA + AP + PM = ⇔ MM = (hiển nhiên) uur uur uur uuu r uur uur Vậy IA + IB + IC = IM + IN + IP với I điểm Trang 13 Ví dụ Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh uuu r uuur uuur uuur a) AB + CD + BC = AD uuu r uuur uuur uuur r b) AB + BC + CD + DA = uuur uuu r uuur uuur c) DC + AB + BD = AC uuu r uuur uuur uuu r r d) AB − AD + CD − CB = uuu r uuur uuur uuu r e) AB + CD = AD + CB uuu r uuur uuur uuur r f) AB + BC + DA − DC = uuu r uuur g) AB = CD trung điểm AD BC trùng Hướng dẫn giải uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur a) Ta có AB + CD + BC = AB + BC + CD = AC + CD = AD ( ) uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r r b) Ta có AB + BC + CD + DA = AB + BC + CD + DA = AC + CA = AA = uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur c) Ta có DC + AB + BD = AB + BD + DC = AD + DC = AC uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur r d) Ta có AB − AD + CD − CB = DB + BD = DD = ( ( ) ( ) ( ) ) e) Cách uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur Ta có AB + CD = AD + CB ⇔ AB − AD = CB − CD ⇔ DB = DB (hiển nhiên) Cách uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r AB + CD = AD + DB + CB + BD = AD + CB + DB + BD = AD + CB ( ) ( ) ( ) ( uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r r f) Ta có ( AB + BC ) + ( DA − DC ) = AC + CA = AA = ) uur uur uur uur g) Gọi I trung điểm AD, J trung điểm BC Suy AI = ID, BJ = J C uuu r uuur uur uu r uur uur uu r uur Ta có AB = CD ⇔ AI + IJ + J B = CJ + J I + ID uu r uu r ⇔ IJ = J I ⇔ I ≡ J (điều phải chứng minh) (*) Ví dụ Cho năm điểm A, B, C, D E Chứng minh uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r AC + DE − DC − CE + CB = AB Hướng dẫn giải Áp dụng quy tắc tìm hiệu hai vecto có chung điểm cuối quy tắc ba điểm, ta có uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r AC + DE − DC − CE + CB = AC − DC + DE − CE + CB uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r = AD + DC + CB = AC + CB = AB ( ) ( ) ( ) Ví dụ Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh đẳng thức sau uuu r uuur uuur uuu r a) AB + DA + CD = CB Trang 14 uuu r uuur uuur uuur b) AB + DC = AC + DB uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r c) AD + BE + CF = AF + BD + CE uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur d) AE + BC + DF = AC + BF + DE Hướng dẫn giải uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r a) Ta có AB + DA + CD = CD + DA + AB = CA + AB = CB ( ) b) Cách uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r Ta có AB + DC = AC + DB ⇔ AB − AC = DB − DC ⇔ CB = CB (hiển nhiên) uuu r uuur uuur uuur Vậy AB + DC = AC + DB Cách uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur AB + DC = AC + CB + DB + BC = AC + DB + CB + BC = AC + DB ( ) ( ) ( uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r c) Ta có AD + BE + CF = AF + BD + CE uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r r ⇔ AD − AF + BE − BD + CF − CE = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Chú ý: Ý c, d làm hai cách tương tự cách làm ý b Ta sử dụng quy tắc điểm tách vecto vế trái thành tổng hai vecto ) uuur uuur uuu r r ⇔ FD + DE + EF = uuu r r ⇔ FF = (hiển nhiên) uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r Vậy AD + BE + CF = AF + BD + CE uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur d) Ta có AE + BC + DF = AC + BF + DE uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur r ⇔ AE − AC + BC − BF + DF − DE = uuu r uuur uuu r r ⇔ CE + FC + EF = uuu r uuu r uuur r uuur r ⇔ CE + EF + FC = ⇔ CC = (hiển nhiên) uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur Vậy AE + BC + DF = AC + BF + DE ( ) Ví dụ Chứng minh tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức vecto uuu r uuur uuu r uuur AB + AC = AB − AC tam giác ABC vng A Hướng dẫn giải Vẽ hình bình hành ABCD gọi I giao điểm AD BC Trang 15 Ta có uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r BC AB + AC = AB − AC ⇔ AD = CB ⇔ AD = BC ⇔ 2AI = BC ⇔ AI = Vì tam giác ABC có trung tuyến AI ứng với cạnh BC nửa độ dài cạnh BC nên tam giác ABC vuông A (điều phải chứng minh) Bài tập tự luyện dạng Câu Cho hình vng ABCD Khẳng định sau đúng? uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur A AD + AB = DB B BA + BC = BD C CA + CB = CD uuur uuur uuur D DA + DB = BC Câu Cho bốn điểm A, B, C, D Đằng thức sau đúng? uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur A AB + CD = AC + BD B AB + CD = AD + BC uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur C AB + CD = AD + CB D AB + CD = DA + BC Câu Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Đẳng thức sau sai? uuu r uuu r uuur uuur r uuur uuu r uuur A OA + OB + OC + OD = B AC = AB + AD uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r C BA + BC = DA + DC D AB + CD = AB + CB Câu Cho tam giác ABC với M, N, P trung điểm BC, CA, AB Khẳng định sau sai? uuu r uuur uuu r r uuu r uuur uuur r A AB + BC + CA = B AP + BM + CN = uuu r uuuu r uuur uuuur uuur uuur r C MN + NP + PM = D PB + MC = MP Câu Cho tam giác ABC có AB = AC đường cao AH Đẳng thức sau đúng? uuu r uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur r uuu r uuur A AB + AC = AH B HA + HB + HC = C HB + HC = D AB = AC Câu Cho tam giác ABC, M điểm tùy ý Khẳng định sau đúng? uuur uuur uuuu r uuu r uuur uuur uuuu r uuu r A MA − BC = MC − BA B MA + BC = MC + BA uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur C AC − BM = AM − BC D AB + CM = AM + BC Câu Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Đẳng thức vecto sai? uuur uuur uuur uuuu r r A NA + MB − CN − DM = uuur uuur uuuu r uuur C NA + MB = MC + ND uuur uuur uuur uuuu r B MA + MB = CN + DN uuur uuur uuur uuuu r r D NA − BN − CM + MD = Câu Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Đẳng thức sau đúng? uuur uuur uuu r uuur uuur uuur r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur A AB + CD + FA + BC + EF + DE = B AB + CD + FA + BC + EF + DE = AF uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuur C AB + CD + FA + BC + EF + DE = AE D AB + CD + FA + BC + EF + DE = AD Câu Cho điểm phân biệt A, B, C, D, E, F Đẳng thức sau sai? uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r A AB + CD + EF = AF + ED + BC B AB + CD + EF = AF + ED + CB uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur C AE + BF + DC = DF + BE + AC D AC + BD + EF = AD + BF + EC Trang 16 ĐÁP ÁN BÀI TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Dạng Xác định vecto, phương hướng hai vecto Đáp án trắc nghiệm 1-C 2-D Hướng dẫn giải 3-B 4-D 5-D 6-D 7-A 8-D 9-C Câu Trang 17 uuur uuur uuur uuu r uuu r Ta có AC + DA = AC + CB = AB Đáp án C sai độ dài vecto phải Câu uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur Ta có AB + CD + EF = AD + DB + CF + FD + EB + BF = AD + CF + EB + DB + BF + FD ( ) ( ) ( uuur uuu r uuu r r uuur uuu r uuu r = AD + CF + EB + = AD + CF + EB ) ( ) ( ) Dạng Tìm vecto đối hiệu hai vecto Đáp án trắc nghiệm 1-D 2-A 3-A Hướng dẫn giải 4-A 5-B 6-D 7-B 8-A 9-C 10-A Câu uuur uuuu r uuur uuu r uuu r uuur Ta có MB − MC = BM − BA ⇔ CB = AM ⇔ AM = BC = R Mà A, B, C cố định nên tập hợp điểm M đường trịn tâm A, bán kính R = BC Câu 10 AB2 + AD2 82 + 62 = =5 2 uuur uuur uuur AO − AD = MO ⇔ DO = MO ⇔ MO = DO ⇔ MO = Ta có DO = BD = Vì O cố định nên tập hợp điểm M đường trịn tâm O, bán kính 5cm (tức đường kính 10cm) Dạng Tính độ dài vecto tổng vecto hiệu hai vecto Đáp án trắc nghiệm 1-A 2-D 3-B 4-D 5-B 6-C 7-A 8-B 9-B 10-A Hướng dẫn giải Câu Trang 18 Vẽ hình bình hành BGCD gọi I trung điểm BC BC 12 = =6 2 uuu r uuur uuu r uuur uuur 2 GB − CG = GB + GC = GD = GD = AI = = 3 Ta có AI = Câu Vẽ hình thoi ABCD · · Vì BAC = 120o ⇒ ABD = 60o  BA = BD ⇒ ∆ABD cạnh a ⇒ AD = a Ta có  · o  ABD = 60 uuu r uuur uuur Vậy AB + AC = AD = AD = a Câu  AB = AD = 2018 ⇒ ∆ABD cạnh 2018 Ta có  · o  BAD = 60 uuu r  2018 2 OA = OA = AB − BO = 2018−  ÷ = 1009   Câu uu r uuu r uu r uuu r Lực F1 = OA, F2 = OB Vẽ hình thoi OADB ur uu r uu r uuu r uuu r uuur Suy tổng hợp lực F = F1 + F2 = OA + OB = OD OA = OB ⇒ ∆OAB Ta có  · o  AOB = 60 Gọi H giao điểm OD AB Trang 19 ur uu r uu r uuur F = F1 + F2 = OD = OD = 2OH = OA2 − AH = 1002 − 502 = 100 3( N ) Câu Ta có ·AMB = 120o, AMC · · = 150o ⇒ BMC = 360o − 120o − 150o = 90o Vẽ hình chữ nhật MCDB · · CMD = 180o − AMC = 180o − 150o − 30o Vì vật đứng yên nên tổng hợp lực tác động vào vật ⇒ MD = MA = 50 · cosCMD = MC ⇒ MC = MD.cos30o = 50 = 25 MD uu r Vậy F3 = F3 = MC = 25 Câu 10 uuur uuur uuuur Vẽ hình bình hành MANB Khi MA + MB = MN uuur uuur uuur uuur uuuur uuu r Ta có MA + MB = MA − MB ⇔ MN = BA hay MN = AB Vì MANB hình bình hành có MN = AB suy MANB hình chữ nhật ⇒ ·AMB = 90o Do M nằm đường trịn tâm O đường kính AB uuur uuur uuuu r Độ dài vecto AH − AM = MH lớn MH lớn Khi H trùng với tâm O AB a = 2 Dạng Chứng minh đẳng thức vecto Do MH = MO = Đáp án trắc nghiệm 1-B 2-C 3-D 4-D 5-C 6-B 7-C 8-A 9-A Hướng dẫn giải Câu Xét đáp án A Trang 20 uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur uuur r NA + MB − CN − DM = NA + AM + NC + MD = NM + MD + NC = ND + NC = ( ) ( ) uuur uuur r r  MA + MB = uuur uuur uuur uuuu r r ⇒ MA + MB = CN + DN Xét đáp án B Ta có  uuur uuuu CN + DN = uuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur Xét đáp án C NA + MB = MC + ND ⇔ NA − ND = MC − MB ⇔ DA = BC (vô lý) uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r r r r Xét đáp án D NA − BN − CM + MD = NA + NB + MC + MD = NA + MC + NB + MD = 0+ = ( ) ( ) Câu uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r r Ta có AB + CD + FA + BC + EF + DE = AB + BC + CD + DE + EF + FA = AA = Câu Khẳng định câu A sai uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur r AB + CD + EF = AF + ED + BC ⇔ AB − AF + CD − ED + EF − BC = ( ) ( ) uuu r uuu r uuu r uuu r r uuu r uuu r uuu r uuu r r uuu r uuu r r ⇔ FB + CE + EF + CB = ⇔ ( CE + EF + FB) + CB = ⇔ CB + CB = ⇔ C ≡ B (vơ lý B, C phân biệt) Trang 21 ... tắc ba điểm: Tổng hiệu hai vecto Hiệu hai vecto: Tính chất Điểm I trung điểm đoạn AB Điểm G trọng tâm tam giác ABC II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tổng hai vecto tổng nhiều vecto Bài toán Sử dụng... r r r d) Tổng hiệu vecto AB + CD − EF - Hiệu hiệu hai vecto a b tổng vecto uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur r r AB + CD − EF = AB + BO + FE = AO + OD = AD a vecto đối vecto b... a b vecto khác với a vecto đối b Khẳng định sau sai? Trang r r A Hai vecto a, b phương r r C Hai vecto a, b độ dài r r B Hai vecto a, b ngược hướng r r D Hai vecto a, b chung điểm đầu Câu 2: