DE SO 15

[r]

Đề số 15

Đề số 15

Phòng Giáo dục

Huyện Vũ quang Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2011 2012Môn: Toán líp

Thêi gian lµm bµi : 120 phót

Bài 1: 5điểm

1.Thực phép tính (theo cách hợp lí có thể)

9 10

9

12

1 2009

a)2008 2009

2007 1004 2007

2

.10 :

5 16

b)

4 16

   

  

   

   

 

     



     

     



2) Chøng tá r»ng + + 52 + 53 + + 529 chia hÕt cho 31

Bài 2 (4điểm)

1)Tìm x biết

1

: x 0, 25

3   12

2)T×m ba sè x,y,z biÕt r»ng

y z

2x

3

 

vµ

z

x y 20

2

Bài 3 (4điểm)

Cho hai ®a thøc : P(x) = x5 – 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 6 Q(x) = 3x4 + x5 – 2(x3 + 4) – 10x2 + 9x Đặt H(x) = P(x) - Q(x)

1.Chứng minh đa thức H(x) nghiệm 2.Chứng tỏ rằng: H(x) 2008 với x Z

Bài 4(5điểm)

Cho tam giác ABC, cạnh AB AC theo thứ tự lấy điểm M,N cho AM = AN ( M nằm A B, N nằm A C)

1.Chứng minh : NÕu AB = AC th× BN = CM 2) Cho biÕt AB > AC:

a) chøng minh r»ng : BN > CM

b) Gọi giao điểm BN CM K, so sánh BK CK

Bài 5 (2điểm)

Chứng minh r»ng: 2 2

1 1

2 3 4  n 3 víi  n N, n4

Híng dÉn gi¶i

1 2009 2008 2008.2009 2009

a)2008 2009 2.2009

2007 1004 2007 2007 1004 2007

   

      

   

   

(0,5®)

2008 2009

2.2009 2.2009

2007 2007

   

(0,5®)

2008 2009

2007 2007 2007



  

(0,5®)

 10  10

9 10

9 9

10 40

12 24 36

3

2

.10 : :

5 16 2

b)

4 16 2

 

 

       

 

       

       



  (0,5®)

18 30 24 36

2

2

 

 (0,5®)

18 12

24 12

2 (1 ) 1

2 (1 ) 64



  

 (0,5®)

2) Chøng tá r»ng + + 52 + 53 + + 529 chia hÕt cho 31

1 + + 52 + 53 + + 529 =(1 + + 52) + (53 + 54 + 55) + +( 527 + 528 + 529) (0,25®) = (1 + + 52) + 53 (1 + + 52) + + 527 (1 + + 52) (0,5®) = 31 + 53.31 + + 527 31 (0,25®) = 31.(1 + 53 + + 527) chia hÕt cho 31 (0,25®) VËy + + 52 + 53 + + 529 chia hết cho 31 (0,25đ)

Bài 2

Mỗi câu cho đ

Bµi 3

Làm câu cho 2điểm

1.Chứng minh đa thức H(x) khơng có nghiệm +.Tính H(x) = x2 + 2x + (1đ) = ( x + 1)2 + (0,25đ) Do  

2

x 1  0 x

(0,25®)  

2

x 1    1 x

(0,25đ) => H(x) nghiệm

2.Chøng tá r»ng: H(x) 2008 víi  x Z

H(x) = x2 + 2x + = x(x + 2) + 2

Giả sử tồn  x Z để H(x)= 2008 (0,25đ)

=> x(x + 2) + = 2008 => x(x + 2) = 2006 (0,25đ)

=> x x+ chia hÕt cho => x vµ x+ chia hÕt cho (0,25®) => x(x + 2) chia hết cho tức 2006 không chia hết cho (0,25đ) Mâu thuẫn , 2006 không chia hết cho , điều giả sử sai (0,25®) VËy H(x) 2008 víi  x Z

Bài 4

Câu : 1đ: Câu 4®

1)

ABN ACM(cgc)

BN CM



 

V V

A

B

C

2) ý a cho 2điểm, ý b cho điểm a) Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = AC Khi D nằm B M Nối D với N +.c/m: VADNVACM(c.g.c)DNCM +.Trong VADC có ADNã ACMã 1800

=> ADN· 900

Mµ BDN· NDA· 180BDN· 900

=> Trong tam giác BDN có BN > DN, mà DN = CM => BN > CM

b) Gäi giao ®iĨm cđa DN vµ CM lµ I Ta c/m : VDNMVCMN

· ·

INM IMN

 

Do D nằm B M nên tia ND nằm tia NB NM

=>

· · · ·

· ·

BNM DNM KNM INM

KNM KMN KM KN



Mặt khác theo c/m trªn ta cã : BN > CM => BK > CK

Bµi

Chøng minh r»ng: 2 2

1 1

2 3 4  n 3 víi  n N, n4

+.Với n = dễ dành tính đợc giá trị biểu thức

1669

3600 23 BĐT

+.Với n >

Đặt 2 2

1 1

A

2 n

    

vµ cã

1

k N; k

k k(k 1)

    



2 2 2

1 1 1 1669 1

A ( )

2 n 3600 5.6 6.7 n(n 1)

          



1669 1 1

A

3600 n n

1669 1 1669 2389

A ( ) ( )

3600 n 3600 3600

     



      

K I

A

B

C M