Đang tải... (xem toàn văn)
* Không gian mâu: tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu... Bài tập:.[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP TỐN KHỐI 11 CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
A ĐẠI SỐ:
1 Hàm số lượng giác:
T/ C Hàm số
TXĐ TGT Chẵn lẻ Chu kỳ Các khoảng ĐB – NB (đồng biến,nghịch
biến)
y= sinx R [ -1; 1] Lẻ 2
ĐB [0 ;2
] NB[
; ]
y= cosx R [ -1; 1] Chẵn 2 ĐB [-;0] NB[0; ]
y= tanx
R\{2 k k Z, }
R Lẻ
ĐB [0;
)
y= cotx R\{k k Z, } R Lẻ NB (0 ; )
Các dạng toán:
Tìm tập xác định:Dựa vào tồn biểu thức tập xác định hàm lượng giác
Bài tập:tìm tập xác định hàm số sau:
a. y =
1 osx
sinx
c
b y =
1 osx 1-cosx
c
c y = Tan( 2x -
) d y = Cot x(3 12)
e y = sinx-cosx
2 sin x g y =
2 osx
1+sinx
c
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất:Sử dụng tập giá trị hàm số kết hợp với phép toán bất đẳng thức
Giải:
Bài tập:
Tìm giá trị lớn nhỏ nhất:
a y = 3+ cosx b y = cosx + c y = 2sin(2 5)
x
d y = 3cos2x e y = sinx .
2 Phương trình lượng giác bản:
a > 1 a 1
Sinx = a PT VN
a giá trị cung đặc biệt có sin = a thì:
2 x k x k
(k Z)
Nếu a khơng phải giá trị cung đặc biệt thì: arcsina + k2
x = - arcsina + k2
x
(k Z)
Cosx = a PT VN
a giá trị cung đặc biệt có Cos = a thì:
2 x k x k
(k Z)
Nếu a khơng phải giá trị cung đặc biệt thì: arccosa + k2
x = - arccosa + k2
x
(2)Tanx = a
a giá trị cung đặc biệt có Tan =a thì:
x = + k ,(k Z)
Nếu a giá trị cung đặc biệt thì: x = arctana + k ,(k Z)
Cotx = a
a giá trị cung đặc biệt có Cot =a thì:
x = + k ,(k Z)
Nếu a giá trị cung đặc biệt thì: x = arccota + k ,(k Z)
Bài tập: Giải phương trình sau: a Sin3x =
3
2 . b Cos2x =
2 c Tanx = 3. d Cot2x =
3. e Sinx =
2
2
f Tan3x = 2008 g Cos 3x = 2
5 h Cot2x = 24
3 Pt bậc bậc hs lượng giác:
Pt Dạng Cách giải
Bậc I
aSinx + b =
aCosx + b = (a0)
atanx + b = aCotx + b =
Chuyển vế b chia vế pt cho a Giải pt lg
Bậc II
at2 + bt + c = 0
(a0) t
hàm số lượng giác
Đặt ẩn phụ, ĐK
(Đv sin cos t 1) giải pt bậc theo ẩn phụ Rồi
giải ptlg
Bài tập:
a 2Sin2 2
x
+ 2sin2
x
- = b 3Tan2x + = c Cosx – 2Sin2x = d 4SinxCosx.Cos2x =
1
2 e 5Cotx – = f 3Tan2x + Tanx – = 0.
g 3Cot2x - 2 3Cotx + = h anx - 6Cotx + 0T i 6Cos2 x – 5Sinx – = 0.
* Phương trình dạng aSin2 x + bSinxCosx + cCos x = d2
Cách giải: chia hai vế pt cho Cos2x (nếu a d pt khơng có nghiệm Cosx = 0, a = d, pt có
nghiệm Cosx = 0)
Cần nắm vững công thức:
sinx
t anx
cosx
cos
cot sin
x
x
x
2
1
1 tan
os x
c x
2
1
1 cot
sin x x
Bài tâp:
a 2Sin2x – 5SinxCosx – Cos2x = -2 b 3Sin2x – 6SinxCosx – 2Cosx = 3
c Cos2x + 2SinxCosx + Sin2x = d Sin2x – 6SinxCosx + Cos2x = -2
Phương trình dạng aSinx + bCosx = c
Cách giải: Xác định hệ số a, b, c Tính a2b2 Chia vế pt cho a2b2
Nếu 2 & 2
a b
a b a b giá trị lượng giáccủa cung đặc biệt thay tương ứng cos
và sin vào Cịn khơng giá trị đặc biệt đặt os = 2 & 2
a b
C Sin
a b a b
(3) Sin(x+ ) = 2 c
a b Giải pt lg tìm nghiệm. Các cơng thức cần nhớ:
Sin2x + Cos2x = Sin2x = 2SinxCosx
Cos2x = Cos2x – Sin2x = 2Cos2x – = – 2Sin2x
sin tan
cos
a a
a
Cotx = osx Sinx
C
Tanx.Cotx =
Sin(a + b) = SinaCosb + SinbCosa Sin(a - b) = SinaCosb - SinbCosa Cos(a + b) = CosaCosb – SinaSinb Cos(a - b) = CosaCosb + SinaSinb Tan(a + b) =
Tana Tanb TanaTanb
Tan(a - b) =
Tana Tanb TanaTanb
CosaCosb =
2[Cos(a + b) + Cos(a – b)] SinaSinsb = -1
2[Cos(a + b) - Cos(a – b)] SinaCosb =
1
2[Sin(a + b) + Sin(a – b)] Xem lại công thức tổng thành tích
Bài tập: Giải phương trình sau:
a 3Sinx + Cosx = b 4Sinx + 3Cosx = c Sinx + 2Cosx = d Sinx + Cosx = CHƯƠNG II:
1 Quy tắc đếm * Quy tắc cộng:
Thực công việc thực k phương án. Phương án có n1 thực hiện.
“ “ n2 “ .
……….
Phương án k có nk cách thực hiện
Thì ta có n1+ n2 + … + nk cách thực hiện.
Phát biểu dạng khái niệm tập hợp:Nếu A B tập hợp hữu hạn khơng giao thì:
n(AB) = n(A) + n(B)
Quy tắc nhân:
Một công việc thực hai hay nhiều hành động mà : Có m cách thực hành động thứ nhất
Có n cách thực hành động thứ hai ………. Có i cách thực hành động thứ k Thì ta có : m.n……i cách thực hiện.
Bài tập:
a Từ số 1, 2, lập đuọc số tự nhiên bé 100
b Từ nhà An đến nhà Bình có đường để đi, từ nhà Bình đến nhà Tồn có đường để Hỏi có bao cách tù nhà An đến nhà Tồn?
c Có thể lập số tự nhiên chẳn gồm chữ số 1,3, 5, 6, - Các số tự nhiên có chữ số giống
- Các số tự nhien có chữ số khác
(4)Định nghĩa Công thức CT Khác Hoán vị
Cho tập A gồm N ptử Mỗi kq
Sx n ptử HV P(n) = n! Pn = 1.2.3… n = n!
Chỉnh hợp
n(A)= n Mỗi cách chọn k ptử có thứ tự A gọi chỉnh hợp chập k
n ptử A
k n =
!
( )!
n n k
Pn = Akn
0! =
Tổ hợp
n(A)= n Mỗi tập gồm k ptử A
được gọi tổ hợp chập k n ptử Ckn =
!
!( )!
n k n k
Ck
n =Cnn –k
1
1
k k k
n n n
C C C
Bài tập:
1 Hỏi có cách xếp 10 người vào 10 ghế xếp thành hàng dọc Trong lớp học có 25 HS hỏi có cách chon bạn để dự hội trại
Đoàn Trường
3 Lớp học co 42 Hs chon ban, bạn làm lớp trưởng, bạn lớp phó bạn bí thư đồn Hỏi có cách chọn
4.Trên giá sách có 10 sách tốn,8 sách văn sách lý.Lấy quyển.Tính số cách lấy để :
a Mỗi loại có b Cả loại
c Chỉ có sách văn d Có tốn
3 Nhị thức Niu – Tơn:
Dạng khai triển:
0 1
( )n n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
(1)
Với a=b=1, 2n = Cn0Cn1 Cnn Với a= 1, b = -1 ta có =
0 ( 1)k k ( 1)n n
n n n n
C C C C
Chú ý: Số hạng tử (1) n+1
Số mũ a giảm dần , số mũ b tăng dan dần từ trái sang phải nhung tong số mũ bắng n
Các hệ số hạng tử cách hạng tử đầu cuối nhau. Bài tập:
1 Khai triển biểu thức sau:
(2x – 3y)4 (y + 2x)5
2 Tìm hệ số khơng chứa x khai triển: (2x +
2
x )6, (2x +
1
x )8+
Tam giác Pascan (xem lại sgk) 4 Phép thử biến cố:
* Phép thử ngẫu nhiên: phép thử ta ko đoán trước kết , biết tập hợp kết xảy
* Không gian mâu: tập hợp kết xảy phép thử gọi không gian mẫu K/h:
* Biến cố: biến cố tập kgmẫu
Tập gọi biến cố không, Tập gọi biến cố chắn
Phép toán biến cố: \A gọi biến cố đối biến cố A K/h : A
- AB gọi hợp biến cố
- AB gọi giao biến cố
(5)Bài tập:
Gieo đông tiền liên tiếp lần Hãy mô tả không gian mẫu? Xác định biến cố sau; - Mặt sấp xuât lần
- Lần đầu xuất mặt ngữa
Gieo súc sắc lần Hãy mô tả không gian mẫu Xác định biến cố :- Tổng số chấm lần gieo
- Lần đầu xuất mặt chấm - Cả lần gieo 5 Xác suất biến cố:
P(A) = ( ) ( )
n A n
P(A): xác suất biến cố A n( ) : số phần tử kgm.n(A): số phần tử biến cố A.
Tính chất xác suất:
( ) 0, ( )
P P .
0P(A) 1, với biến cố A
Nếu A B xung khắc P(AB) = P(A) + P(B)
Hệ quả: P (A) = - P(A)
Biến cố độc lập công thức nhân xác suất:
- Nếu xảy biến cố không ảnh hưởng đến xác suất biến cố khác ta nói biến cố độc lập
- A B biến cố độc lập khi: P(A.B) = P(A).P(B)
Bài tập:
1 Gieo ngẫu nhiên súc sắc lần Mơ tả khơng gian mẫu tính xác suất: - Mặt chấm xuất lần
- Tổng số châmư xuất hai lần gieo - Mặt chấm xuất lần
2.Từ hộp chứa cầu đen cầu trắng, lấy ngẫu nhiên Tính xác suất cho
a Bốn lấy màu b Có màu trắng
c Có màu trắng màu đen CHƯƠNG III:
1 Dãy số: - Định nghĩa : hàm số u(n) với n tập hợp số nguyên dương gọi dãy vô hạn
+ Dãy hữu hạn hàm số u(n) với n 1, 2,3, ,m um số hạng cuối
của dãy
- Cách cho dãy số: + Cho công thức tổng quát. + Cho cách mô tả.
+ Cho công thức truy hồi - Dãy số gọi tăng un un1 n N*
- Dãy số gọi giảm un un1 n N*
- Dãy số gọi bị chặn M cho un M n N *
(6)- Dãy vừa bị chặn vừa bị chặn gọi dãy bị chặn.Khi m M,
sao cho m u n M n N *
Các dạng toán thường gặp:
- Tính số hạng dãy số: cho cơng thức tổng qt ta tính số hạng cách thay giá trị n vào cơng thức đó,nếu cho cơng thức truy hồi phải tính số hạng
- Chứng minh dãy tăng:
Cách 1: tính hiệu số un un1 có giá trị âm
Cách 2: tính tỷ số n n u
u có giá trị <1
- Chứng minh dãy giảm :
Cách 1: tính hiệu số un un1 có giá trị dương
Cách 2: tính tỷ số n n u
u có giá trị >1
- Xét tính bị chặn dãy:
Dãy tăng bị chặn bị chặn.Dãy giảm bị chặn bị chặn Dãy khơng tăng khơng giảm dựa vào tập giá trị để xét
Bài tập:
1.Tìm số hạng đầu dãy số sau: a n n u n
b
( 1) n n n u n
c u1 2;u2 3;un 2un1un2 n Chứng minh dãy số sau bị chặn:
a n n u n b n n u n
c un ( 1) sin 2n n Xét tính tăng giảm hàm số sau:
a n n u n b 3 n n u n
c ( 1) n n
n u
2.Cấp số cộng: - Định nghĩa :dãy số có tính chất un1 un d n N* d
số gọi cấp số cộng Hằng số d gọi công sai - Số hạng tổng quát
Tính chất số hạng:
Tổng n số hạng đầu:
Các dạng toán:
1 ( 1)
n
u u n d
1 2
2
k k
k
u u
u k , *
2 n k n k n
u u
u n k N
n-k>0
1
( ) 2 ( 1)
2 2
n n
n n
(7)+Tìm số hạng CS cộng: cần tìm u1 d sử dụng cơng
thức số hạng tổng quát.
+ Chứng minh dãy số cấp số cộng: un1 un d n N* với d số
+ Tính tổng n số hạng đầu Bài tập:
1 Cho dãy số un 2n3
a Chứng minh dãy số cấp số cộng,tính u1 d
b.Tính số hạng thứ 20 tổng 30 số hạng đầu
2 Một cấp số cộng có
5
16
u 10
u u u
tính số hạng đầu,cơng sai u18 cs cộng
3 Ba góc tam giác có số đo lập thành cấp số cộng.Góc nhỏ 1/7 góc lớn nhất.Tính số đo góc tam giác
4.Cho dãy số un 2n3
a Chứng minh dãy số cấp số cộng.Tính u1 d b.Biết Sn 240 tìm n
ƠN TẬP HÌNH HỌC CHƯƠNG I
A.Kiến thức cần nhớ
1.Phép biến hình quy tắc đặt tương ứng điểm M mp với điểm xác định M’ mp
2.Phép tịnh tiến: T⃗v(M)=M '⇔⃗MM'=⃗v
-PTT theo vectơ-không phép đồng
-Biểu thức tọa độ: Trong mp Oxy cho M(x;y), ⃗v=(a ;b) Gọi M'(x';y ')=T⃗v(M) Khi
đó:
¿
x '=x+a
y '=y+b
¿{
¿
-Tính chất: PTT:
Bảo tồn khoảng cách hai điểm
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho Biến đường thẳng thành đt song song trùng với Biến tam giác thành tam giác
Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính
3.Phép đối xứng trục: Đd (M)=M’ ⇔ d đường trung trực đoạn MM’, (M d¿
-M d: M= Đd (M)
-Nếu M’= Đd (M) ⇔ ⃗MoM '=−⃗MoM , với Mo hình chiếu vng góc M d
-Đt d gọi trục đối xứng hình H Đd biến hình H thành Khi H
được gọi hình có trục đối xứng
(8) Nếu chọn d trục Ox,
¿
x '=x
y '=− y
¿{
¿
Nếu chọn d trục Oy,
¿
x '=− x
y '=y
¿{
¿
-Tính chất:PĐX Trục:
Bảo tồn khoảng cách hai điểm
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho Biến đường thẳng thành đường thẳng
Biến tam giác thành tam giác
Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính
4.Phép đối xứng tâm: ĐI(M)=M’ ⇔ I trung điểm đoạn MM’(M I)
-M I: M’ I
- Nếu M’= ĐI (M) ⇔⃗IM'=−⃗IM
- Điểm I tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm I biến hình H thành Khi H gọi hình có tâm đơí xứng
-Biểu thức tọa độ: Trong mp Oxy cho M(x;y) Gọi M’(x’;y’)= Đo(M).Khi đó: '
'
x x
y y
-Tính chất:PĐX Tâm:
Bảo tồn khoảng cách hai điểm
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với Biến tam giác thành tam giác
Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính
5.Phép quay:
Q(O , α)(M)=(M ')⇔
OM'=OM (OM ', OM)=α
(M ≠ O)
¿{
-Chiều dương phép quay chiều dương đường tròn lượng giác -M O: M’ O
-Phép quay tâm O góc quay α=(2k+1)π , k∈Z phép đối xứng tâm O
-Phép quay tâm O góc quay α=2kπ , k∈Z phép đồng -Tính chất: phép quay
Bảo tồn khoảng cách hai điểm
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho Biến đường thẳng thành đường thẳng
Biến tam giác thành tam giác
Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính
6.Phép dời hình: phép biến hình bảo tồn khoảng cách hai điểm -Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, quay phép dời hình -Nếu thực liên tiếp hai phép dời hình phép dời hình
-Tính chất: Phép dời hình:
(9) Biến đt thành đt, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Biến tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc
Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính
7.Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình 8.Phép vị tự: V(O ; k)(M)=M '⇔⃗OM'=k⃗OM(k ≠0)
-Phép vị tự biến tâm vị tự thành -Khi k = phép vị tự đồng
-Khi k = -1 phép vị tự phép đối xứng tâm - M '=V(O ,k)(M)⇔M=V
(O ,1k)(M ')
-Tính chất:
a) Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành M’, N’
MN'\} =k widevec \{ ital MN\} \{\} # right none left lbrace M'N=|k|MN
¿ ¿ ¿ ¿
¿
b) Phép vị tự tỉ số k:
Biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự chúng Biến đt thành đt song song trùng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc
Biến đường trịn bk R thành đường trịn có bán kính |k|.R
-Tâm vị tự hai đường trịn: Với hai đường trịn ln có phép vị tự biến đường trịn thành đường trịn Tâm phép vị tự nói gọi tâm vị tự đường trịn
*Cách tìm tâm vị tự đường trịn:( I, R ) ( I’, R’) có Th xảy ra:
I trùng I’: Khi phép vị tự tâm I tỉ số R 'R phép vị tự tâm I tỉ số - R 'R biến đường tròn ( I; R)
thành đường tròn (I; R’)
I khác I’ R R’ : Lấy M (I; R), qua I’ kẻ đt song song với IM cắt (I’; R’) M’ M” Đường thẳng MM’ cắt II’ O đường thẳng MM” cắt II’ O1 .Khi
đó phép vị tự tâm O tâm O1 biến (I; R) thành (I’; R’)
I khác I’ R=R’: Gọi O1 trung điểm II’ Khi phép vị tự tâm O1 tỉ số k=-1 biến (I; R) thành (I’; R’)
9.Phép đồng dạng:Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k>0) với điểm M, N ảnh M’, N’ tương ứng ln có M’N’=k.MN
-Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số -Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số |k|
-Nếu thực liên tiếp hai phép đồng dạng phép đồng dạng -Tính chất: phép đồng dạng tỉ số k:
Biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự chúng Biến đt thành đt, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc
Biến đường trịn bk R thành đường trịn có bán kính kR
(10)Bài tập:
(11)