Toan 9 Cac bai toan co gan voi tiep tuyen

 Xaùc ñònh I:I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc MCDN  I laø giao ñieåm döôøng trung tröïc cuûa CD vaø Hình 14.. Hình 40..[r]

(1)

CÁC BÀI TỐN CĨ GẮN VỚI TIẾP TIẾP TUYẾN

Bài 1: Cho ABC có đường cao BD CE.Đường thẳng DE cắt đường trịn ngoại

tiếp tam giác hai điểm M vaø N

1. Chứng minh:BEDC nội tiếp; So sánh góc AOD COM

2. Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác

3. Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA phân giác góc MAN 4.Chứng tỏ: AM2=AE.AB

y A

x

N E D

M O

B C

Baøi 7:

Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm cung BC.Trên tia AC lấy điểm D cho AB=AD.Dựng hình vng ABED;AE cắt (O) điểm thứ hai F;Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G

1 C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I đường tròn

2 C/m BFC vuông cân F tâm đường trịn ngoại tiếp BCD

3 C/m GEFB nội tiếp

4 Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng G nằm đường trịn ngoại tiếp

BCD.Có nhận xét I F

A

B O C

F I

D

G E

Bài 8:

Hình 69

(2)

Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O).Tiếp tuyến B C đường tròn cắt

nhau D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường cắt đường tròn E F,cắt AC I(E nằm cung nhỏ BC)

1 C/m BDCO nội tiếp C/m: DC2=DE.DF. C/m:DOIC nội tiếp

4 Chứng tỏ I trung điểm FE

A

F O I B C E

D

Baøi 10:

Cho (O;R) (I;r) tiếp xúc A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung BC (B nằm đường tròn tâm O C nằm đư ờng tròn tâm (I).Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E

1/ Chứng minh tam giác ABC vuông A

2/ OE cắt AB N; IE cắt AC F C/M: N;E;F;A nằm đường tròn 3/ Chứng tỏ : BC2= Rr; 4/ Tính diện tích tứ giác BCIO theo R;r B E

C N F O A I

Baøi 13 :

Cho (O) điểm A nằm ngồi đường trịn.Vẽ tiếp tuyến AB;AC cát tuyến ADE.Gọi H trung điểm DE

1/C/m:BDCO nội tiếp(Dùng tổng hai góc đối)

2/C/m:DC2=DE.DF.

Xét hai tam giác:DEC DCF có góc D chung

SđgócECD= 12 sđ cung EC(Góc tiếp tuyến dây)

Sđ góc E FC= 12 sđ cung EC(Góc nội tiếp)góc ECD=DFC

DCE ∽DFCđpcm 3/C/m DOIC nội tiếp: Hình

(3)

1 C/m A;B;H;O;C nằm đường tròn C/m HA phân giác góc BHC

3 Gọi I giao điểm BC DE.C/m AB2=AI.AH. BH cắt (O) K.C/m AE//CK

B E H

I D

O A

K C Baøi 14:

Cho (O) đường kính AB=2R;xy tiếp tuyến với (O) B CD đường kính bất kỳ.Gọi giao điểm AC;AD với xy theo thứ tự M;N

1 Cmr:MCDN nội tiếp Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN

3 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN H trung điểm MN.Cmr:AOIH hình bình hành

4 Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O I di động đường nào? Bài 40:

Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B.Các đường thẳng AO cắt (O) C D;đường thẳng AO’ cắt (O) (O’) E F

1.C/m:C;B;F thẳng hàng 2.C/m CDEF nội tieáp

3.Chứng tỏ DA.FE=DC.EA; 4.C/m A tâm đường trịn nội tiếp BDE

5.Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (O);(O’) D E

A O

I O’ C

B

F Baøi 41:

Cho (O;R).Một cát tuyến xy cắt (O) E F.Trên xy lấy điểm A nằm đoạn EF,vẽ tiếp tuyến AB AC với (O).Gọi H trung điểm EF

1. Chứng tỏ điểm:A;B;C;O;H nằm đường trịn Hình 13

(4)

2. Đường thẳng BC cắt OA I cắt đường thẳng OH K.C/m:

OI.OA=OH.OK=R2.

3. Khi A di động xy I di động đường nào? 4. C/m KE KF hai tiếp tyuến (O)

5.C/m KE KF hai tiếp tyuến (O)

B

O

I F y H

E

A C

K

Bài 51: Cho (O), từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O), vẽ hai tt AB AC với đường tròn Kẻ dây CD//AB Nối AD cắt đường tròn (O) E

1 C/m ABOC nội tiếp 2.Chứng tỏ AB2=AE.AD.

3 C/m góc AOC ACB  BDC cân; 4.CE kéo dài cắt AB I C/m IA=IB

BÀI 55: Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By phía với nửa đường trịn Gọi M điểm cung AB N điểm đoạn AO Đường thẳng vng góc với MN M cắt Ax By D C

1. C/m AMN=BMC

2. C/mANM=BMC

3. DN cắt AM E CN cắt MB F.C/m FEAx 4. Chứng tỏ M trung điểm DC

1/

C/m:A;B;C;H;O nằm đường trịn: Ta có

ABO=ACO(tính chất tiếp

tuyến).Vì H l;à trung điểm dây FE nên OHFE (đường kính qua trung điểm dây) hay kính AO

Hình 41

I

E

D

C B

O A

x

y

E

F D

C M

O

A B

(5)

Baøi 56:

Từ điểm M nằm (O) kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C kẻ CDAB; CEMA; CFMB Gọi I K giao điểm

của AC với DE BC với DF

1. C/m AECD nt

2. C/m:CD2=CE.CF

3. Cmr: Tia đối tia CD phân giác góc FCE

4. C/m IK//AB

Baøi 57:

BÀI 57

Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax Ax lấy điểm P cho P>R Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn

1 C/m BM/ / OP 2.Đường vng góc với AB O cắt tia BM N C/m OBPN hình bình hành

3 AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J C/m I; J; K thẳng hàng

Hình 55 554

x K

I D

F

E

M O

B A

C

Hình 56

Q J

K

N

I P

O

A B

(6)

Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vng góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I

1. C/m ABI vuông cân

2. Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt C/m AC.AI=AD.AJ

3. C/m JDCI nội tiếp

4. Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K Hạ DHAB Cmr: AK

qua trung điểm DH

Bài 60:

Cho (O) đường kính AB, d tiếp tuyến đường tròn C Gọi D; E theo thứ tự hình chiếu A B lên đường thẳng d

1. C/m: CD=CE

2. Cmr: AD+BE=AB

3. Vẽ đường cao CH ABC.Chứng minh AH=AD BH=BE

4. Chứng tỏ:CH2=AD.BE.

5. Chứng minh:DH//CB

Hình 57 554

Hình 58 554

N

H J K I

C

O

A B

D

1/C/m ABI vuông cân(Có nhiều cách-sau C/m cách):

-Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)ABC vng C.Vì OCAB trung điểm OAOC=COB=1v

 cung AC=CB=90o CAB=45 o (góc nt nửa số đo cung bị chắn)

1/C/m: CD=CE: Do ADd;OCd;BEd Hình 60

(7)

Baøi 62:

Cho (O;R) đường thẳng d cố định không cắt (O).M điểm di động d.Từ M kẻ tiếp tuyến MP MQ với đường tròn Hạ OHd H dây cung PQ cắt OH

I;cắt OM K

1. C/m: MHIK nội tiếp

2. 2/C/m OJ.OH=OK.OM=R2.

3. CMr M di động d vị trí I ln cố định

Bài 69: Cho ABC có A=1v AHBC.Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC;d tiếp tuyến đường tròn điểm A.Các tiếp tuyến B C cắt d theo thứ tự D E

1 Tính góc DOE; Chứng tỏ DE=BD+CE

3.Chứng minh:DB.CE=R2.(R bán kính đường trịn tâm O) 4.C/m:BC tiếp tuyến đtrịn đường kính DE

E

I A

d

H

E D

O

A B

C

d

K

I

H M O

Q P

(8)

D

B

Bài 77: Cho (O) đường thẳng xy khơng cắt đường trịn.Kẻ OAxy từ A

dựng đường thẳng ABC cắt (O) B C.Tiếp tuyến B C (O) cắt xy D E.Đường thẳng BD cắt OA;CE F M;OE cắt AC N

1 C/m OBAD nội tiếp Cmr: AB.EN=AF.EC

So sánh góc AOD COM; Chứng tỏ A trung điểm DE x

M E C

N

O B

A F

D

TÓM TẮT LỜI GIẢI CÁC BÀI TỐN CĨ GẮN TIẾP TUYẾN: BÀI 1:

y A

x

N E D

M O

B C

Ta phaûi c/m xy//DE

Hình 69

4

1 C

H O

Hình 77 554

1.C/m BEDC nội tiếp:

C/m góc BEC=BDE=1v Hia điểm D E làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vng

2.C/m góc DEA=ACB

Do BECD ntDMB+DCB=2v Maø DEB+AED=2v

AED=ACB

3.Gọi tiếp tuyến A (O) đường thẳng xy (Hình 1)

(9)

Do xy tiếp tuyến,AB dây cung nên sđ góc xAB= 12 sđ cung AB

Mà sđ ACB= 12 sđ AB góc xAB=ACB mà goùc ACB=AED(cmt)

xAB=AED hay xy//DE

4.C/m OA phân giác góc MAN

Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN.OA đường trung trực MN

(Đường kính vng góc với dây)AMN cân A AO phân giác góc

MAN

5.C/m :AM2=AE.AB.

Do AMN cân A AM=AN cung AM=cung AN.góc MBA=AMN(Góc nội

tiếp chắn hai cung nhau);goùc MAB chung

MAE ∽ BAM MAAB =AE

MA  MA2=AE.AB

BÀI 7:

A

B O C

F I

D

G E

1/C/m BGEC nội tiếp: -Sử dụng tổng hai góc đối… -I trung điểm GC

2/C/mBFC vuông cân:

Góc BCF=FBA(Cùng chắn cung BF) mà góc FBA=45o (tính chất hình vuông)

Góc BCF=45o

Góc BFC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)đpcm

C/m F tâm đường tròn ngoại tiếp BDC.ta C/m F cách đỉnh B;C;D

Do BFC vuông cân nên BC=FC

Xét hai tam giác FEB FED có:E F chung;

Góc BE F=FED =45o;BE=ED(hai cạnh hình vuông ABED).

BFE=E FD

BF=FDBF=FC=FD.đpcm

3/C/m GE FB nội tiếp:

Do BFC vng cân F Cung BF=FC=90o sđgóc GBF= 12 Sđ cung BF= 12

.90o=45o.(Góc tiếp tuyến BG dây BF) Mà góc FED=45o(tính chất hình vng)

Góc FED=GBF=45o.ta lại có góc

FED+FEG=2vGóc GBF+FEG=2v GEFB nội tiếp

(10)

4/ C/m C;F;G thẳng hàng:Do GEFB nội tiếp Góc BFG=BEG mà

BEG=1vBFG=1v.Do BFG vng cân FGóc BFC=1v.Góc

BFG+CFB=2vG;F;C thẳng hàng C/m G nằm trên… :Do GBC=GDC=1vtâm

đường trịn ngt tứ giác BGDC FG nằn đường tròn ngoại tiếp BCD Dễ

dàng c/m I F

BÀI 8:

A

F O I B C E

D

Ta có: sđgóc BAC= 12 sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)

Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt

nhau);OD chungBOD=CODGóc BOD=COD

2sđ gócDOC=sđ cung BC sđgóc DOC= 12 sđcungBC (2)

Từ (1)và (2)Góc DOC=BAC

Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đồng vị) Góc DOC=DIC Hai điểm O I làm

với hai đầu đoạn thẳng Dc góc nhau…đpcm

4/Chứng tỏ I trung điểm EF:

Do DOIC nội tiếp  góc OID=OCD(cùng chắn cung OD)

Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)Góc OID=1v hay OIID OIFE.Bán kính OI

vng góc với dây cung EFI trung điểmEF

BÀI 10:Giaûi:

B E

C N F

2/C/m:DC2=DE.DF.

1/C/m ABC vuông: Do BE AE hai tiếp tuyến cắt nênAE=BE; Tương tự AE=ECAE=EB=EC=

1

2 BC.ABC vng A

2/C/m A;E;N;F nằm trên…

(11)

O A I

AEBEO đường trung trực AB hay OEAB hay góc ENA=1v

Tương tự góc EFA=2vtổng hai góc đối……4 điểm…

3/C/m BC2=4Rr.

Ta có tứ giác FANE có góc vng(Cmt)FANE hình vngOEI vng E

EAOI(Tính chất tiếp tuyến).p dụng hệ thức lượng tam giác vng có:

AH2=OA.AI(Bình phương đường cao tích hai hình chiếu)

Maø AH= BC2 vaø OA=R;AI=r BC

2

4 =¿ RrBC 2=Rr 4/SBCIO=? Ta có BCIO hình thang vuông SBCIO= OB

+IC ×BC

S= (r+R2)√rR

B E H

I D

O A

K C

1/C/m:A;B;O;C;H nằm đường tròn: H trung điểm EBOHED(đường

kính qua trung điểm dây …)AHO=1v Mà OBA=OCA=1v (Tính chất tiếp tuyến) A;B;O;H;C nằm đường trịn đường kính OA

2/C/m HA phân giác góc BHC

Do AB;AC tiếp tuyến cắt BAO=OAC AB=AC

cung AB=AC(hai dây băøng đường tròn đkOA) mà BHA=BOA(Cùng chắn

cung AB) COA=CHA(cùng chắn cung AC) mà cung AB=AC COA=BOH

CHA=AHBđpcm

3/Xét hai tam giác ABH AIB (có A chung CBA=BHA hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ABH∽AIBđpcm

4/C/m AE//CK

Do góc BHA=BCA(cùng chắn cung AB) sđ BKC= 12 Sđ cungBC(góc nội tiếp) Sđ BCA= 12 sđ cung BC(góc tt dây)

Hình 10

(12)

BHA=BKCCK//AB

M C A O B K

D

H I

N

MNIHMN IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH Vậy cách dựng I:Từ O dựng

đường vng góc với CD.Từ trung điểm H MN dựng đường vng góc với MN.Hai đường cách I

Do H trung điểm MNAhlà trung tuyến vuông AMNANM=NAH.Mà

ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD

Gọi K giao điểm AH DO ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v hay AKD vuông

ở KAHCD mà OICDOI//AH AHIO hình bình hành

4/Quỹ tích điểm I:

Do AOIH hình bình hành IH=AO=R khơng đổiCD quay xung quanh O I nằm

trên đường thẳng // với xy cách xy khoảng R BÀI 40

D E

A O

I O’ C

B

F

1/C/m:C;B;F thẳng hàng: Ta có:ABF=1v;ABC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

ABC+ABF=2vC;B;F thẳng hàng

1/ C/m MCDN nội tiếp:

AOC cân OOCA=CAO; góc CAO=ANB(cùng phụ với góc AMB)góc ACD=ANM Mà góc ACD+DCM=2v

DCM+DNM=2v DCMB nội tiếp

2/C/m: AC.AM=AD.AN Hãy c/m ACD∽ANM 3/C/m AOIH hình bình hành

 Xác định I:I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDNI giao điểm dường trung trực CD Hình 14

(13)

2/C/mCDEF nội tiếp:Ta có AEF=ADC=1vE;D làm với hai đầu đoạn CF…

đpcm

3/C/m: DA.FE=DC.EA Hai  vuông DAC EAF có DAC=EAF(đ đ)

 DAC ∽ø EAFđpcm

4/C/m A tâm đường tròn ngoại tiếp BDE.Ta phải c/m A giao điểm đường phân

giác DBE (Xem cách c/m 35 câu 3)

5/Để DE tiếp tuyến chung đường tròn cần điều kiện là:

Nếu DE tiếp tuyến chung ODDE O’EDE.Vì OA=OD AOD cân

OODA=OAD.Tương tự O’AE cân O’O’AE=O’EA.Mà O’AE=OAD(đ đ)

ODO’=OEO’D E làm với hai đầu đoạn thẳngOO’ góc

nhauODEO’ nt ODE+EO’O=2v.Vì DE tt (O)

(O’)ODE=O’ED=1vEO’O=1vODEO’ hình chữ nhật DA=AO’=OA=AE(t/c

hcn) hay OA=O’A

Vậy để DE tt chung hai đường trịn hai đường trịn có bán kính nhau.(hai đường tròn nhau)

BÀI 41

B

O

I F y H

E

A C

K

OHA=1v5 điểm A;B;O;C;H nằm đường trịn đường kính AO

2/C/m: OI.OA=OH.OK=R2

Do ABO vng B có BI đường cao.p dung hệ thức lượng tam giác

vuông ta có:OB2=OI.OA ;mà OB=R.

OI.OA=R2.(1)

Xét hai  vuông OHA OIK coù IOH chung.AHO∽KIO OAOK=OH OI

OI.OA=OH.OK (2)

1/

C/m:A;B;C;H;O nằm đường tròn: Ta có

ABO=ACO(tính chất tiếp

tuyến).Vì H l;à trung điểm dây FE nên OHFE (đường kính qua trung điểm dây) hay kính AO

(14)

Từ (1) (2)đpcm

4/C/m KE KF hai tt đuờng tịn (O)

-Xét hai EKO vaø EHO.Do OH.OK=R2=OE2 OHOE =OE

OK vaø EOH chung

EOK∽HOE(cgc)OEK=OHE mà OHE=1vOEK=1v hay OEEK điểm E

nằm (O)EK tt (O)