Cac phuong phap chung minh bat dang thuc

[r]

1.8 Phương pháp cân hệ số 77

Ví dụ 1.8.5. Giả sử số thực x, y, z, t thỏa mãn xy + yz + zt + tz = 1, tìm giá trị nhỏ

của

LỜI GIẢI Chọn số dương , áp dụng bất đẳng thức AM - GM

Do đó, sau cộng vế bất đẳng thức lại

Như ta phải chọn cho hay Vậy

Bài toán tổng quát ví dụ

Ví dụ 1.8.6. Với số thực tùy ý x, y, z, t

Cịn với ví dụ đầu tiên, tốn tổng qt đặt

Ví dụ 1.8.7. Giả sử xy + yz + zx = 1, tìm giá trị nhỏ biểu thức sau với

các số tùy ý

Cả toán tổng quát vừa nêu, thực chất phương pháp chứng minh khơng khác so với ví dụ ban đầu Chỉ riêng ví dụ 1.8.6, kết khơng tường minh cịn liên quan tới nghiệm phương trình bậc Bài tốn bàn báo Toán học Tuổi trẻ

Ví dụ 1.8.8. Giả sử số thực dương x, y, z có tổng Hãy tìm giá trị nhỏ

1.8 Phương pháp cân hệ số 79

Giả sử m, n, p, q, m1, n1, p1 số dương tùy ý m + n + p = am1 + bn1 + cp1 =

Cần chọn sử m, n, p, q, m1, n1, p1 cho am1 + 2m = bn1 + 2n = cp1 + 2p = Ngoài theo điều kiện đẳng thức

Đặt ,

Từ suy

Và số chọn lại số đề Với số

Vì nên

Bằng tính toán đơn giản ta thấy giá trị

Bài toán toán đặc trưng cho kĩ thuật Ta chưa biết trước số xây dựng xuất bắt buộc trình chứng minh

Kết thúc cho phần này, bạn thử sức với toán sau

1.8 Phương pháp cân hệ số 81

Ví dụ 1.8.13. Chứng minh với dãy số dương ta ln có

LỜI GIẢI Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

Cố định số cho chạy từ lấy tổng

Trong

Ta chọn ,

Biểu thức dấu ngoặc

Do Bất đẳng thức chứng kminh xong

1.9 Đạo hàm ứng dụng 83

Vậy bất đẳng thức chứng minh xong

Để kết thúc cho phần này, bạn tự chứng minh bất đẳng thức sau

Ví dụ 1.8.15 Chứng minh với dãy số dương ta có

1.9 Đạo hàm ứng dụng 1.9.1 Kiến thức lí thuyết

Đây phần dành riêng cho học sinh THPT Đạo hàm phần kến thức quan trọng thiếu nhiều toán đại số bất đẳng thức Nó thực cơng cụ hiệu có ứng dụng rộn rãi, phương pháp chuẩn mực nhât ta gặp phải bất đẳng thức thơng thường Việc lí thuyết vơ cần thiết trước bạn vận dụng thành thạo Sau số kiến thức

Định nghĩa (Định nghĩa đạo hàm biến). Giả sử Ta nói đạo

hàm điểm tồn giới hạn (có thể vơ hạn)

Khi gọi đạo hàm hàm số Nếu hữu hạn ta nói khả vi

tại Nếu khả f vi điểm ta nói khả vi

Định nghĩa (Định nghĩa cực trị hàm biến). Hàm đạt cực đại (tiểu) địa phương

tồn lần cận N cho Hàm

đạt cực trị địa phương tại đạt cực đại cực tiểu địa phương

Định lí 1.11 (Định lý Fermat). Giả sử xác định trêm [a,b] có cực trị địa phương

tại Khi có đạo hàm

Định lý 1.12 (Định lý Cauchy). Giả sử xác định khả vi [a,b] Khi

sao cho

Định lý 1.13 (Định lý Roll). Giả sử liên tục khả vi (a, b) Nếu

1.9 Đạo hàm ứng dụng 85

Ví dụ 1.9.3. Chứng minh với số dương a, b, c ta có

LỜI GIẢI Ta giải tốn tổng qt với

Bằng cách đó, ta chứng minh hàm số sau đơn điệu tăng dần theo

Chứng minh điều không phức tạp, ta cần đạo hàm nhóm số hạng

Đẳng thức xảy a = b = c

Ví dụ 1.9.4 (British IMO). Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện

Chứng minh

LỜi GIẢI Đặt , xét hàm

Vậy Do có nghiệm nên

Lưu ý

1.10 Bài tập áp dụng 89

Đẳng thức xảy

Ta cần tính giá trị , xét với điều kiện

Ta đặt

Xét hàm số

Với điều kiện nên

Vậy , đẳng thức xảy

Từ kết suy

Và chưa phải đánh giá tốt cho bất đẳng thức ban đầu, giá trị tốt

phải

Cùng với bất đẳng thức Am – GM, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, bất đẳng thức

Chebyshev, bất đẳng thức Jensen đạo hàm thành phần quan trọng không Tuy nhiên sách tác giả tránh dùng tính chất đạo hàm để chứng minh sáng sủa dễ đọc hơn, phù hợp với học sinh chưa học đạo hàm, giới hạn trừ buộc phải dùng đến đạo hàm, lời giải đưa mức sơ cấp

1.10 Bài tập áp dụng

1.10 Bài tập áp dụng 91

HƯỚNG DẪN Sử dụng bất đẳng thức Holder

Bài toán 1.6 (Crux). Cho số thực dương a, b, c chứng minh

HƯỚNG DẪN Đặt Theo bất đẳng thức AM – GM

Bài tốn 1.7 (Olympiad 30-4). Tìm số dương lớn đê bất đẳng thức sau với

mọi a, b, c khơng âm có tổng

HƯỚNG DẪN Cho suy Với , bất đẳng thức

chứng minh trực tiếp Schur bậc

Bài toán 1.8 (Crux). Giả sử Chứng minh

HƯỚNG DẪN Bất đẳng thức suy trực tiếp từ bất đẳng thức sau

Chứng minh sử dụng bất đẳng thức AM – GM

Bài toán 1.9 (APMO 1996). Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, chứng minh bất

đẳng thức

HƯỚNG DẪN Cộng tương ứng bất đẳng thức dạng sau

Bài tốn 1.10 (Math Challeges). Các số thực khơng âm a, b, c, A, B, C thỏa mãn

1.10 Bài tập áp dụng 93

Bài toán 1.14 (Russia MO 2004). Cho số thực có tích

Chứng minh

HƯỚNG DẪN Tồn số thực dương thỏa mãn

Thay vào bất đẳng thức dễ dàng suy điều phải chứng minh

Bài toán 1.15 (Canada MO). Giả sử số thực [0,2] Chứng minh

rằng

HƯỚNG DẪN Sử dụng phương pháp hàm lồi, cần xét

Bài toán 1.16. Chứng minh bất đẳng thức sau với số dương a, b, c

HƯỚNG DẪN Sử dụng phương pháp phân tích bình phương

Bài tốn 1.17 (Macedonua 1999). Giả sử Chứng minh

rằng

HƯỚNG DẪN Bất đẳng thức suy trực tiếp từ bất đẳng thức sau

Bài toán 1.18. Cho số thỏa mãn

1.10 Bài tập áp dụng 95

HƯỚNG DẪN Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

Đẳng thức xảy a = b = c

Bài toán 1.25 (Olympiad 30-4). Chứng minh với ta có bất đẳng thức

Bài tốn 1.26. Giả sử a, b, c số thực dương có tích Chứng minh

HƯỚNG DẪN Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

Bài toán 1.27 (Việt Nam MO). Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn

Chứng minh

Bài tốn 1.28 (Tạp chí Tốn học Thuổi trẻ). Cho số thực dương a, b, c thuộc đoạn

Chứng minh

HƯỚNG DẪN

1.10 Bài tập áp dụng 97

Quy đồng mẫu số áp dụng bất đẳng thức AM – GM

Cách 2. Hãy chứng minh

Bài toán 1.34 (China MO). Giả sử số dương thỏa mãn

Chứng minh với số nguyên độ dài cạnh

một tam giác

HƯỚNG DẪN Sử dụng bất đẳng thức

Từ bà tốn chứng minh trường hợp Với

Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz bất đẳng thức AM – GM

Kết hợp bất đẳng thức suy

Vậy độ dài canh tam giác theo chứng minh

Bài toán 1.35 (Math Chelleges). Chứng minh với số thực a, b, c ta có

Bài tốn 1.36. Cho Chứng minh

1.10 Bài tập áp dụng 99

HƯỚNG DẪN Xét biểu thức

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có

Đẳng thức xảy chẳng hạn

Bài toán 1.44. Cho dãy số thực dương Chứng minh

Bài toán 1.45. Tìm số thực nhỏ để bất đẳng thức sau đùng với

Bài toán 1.46. Giả sử a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 1.47 (Olympiad 30-4). Cho trước số thực a, b Tìm giá trị nhỏ biểu thức

sau với x, y, z số thực dương tùy ý

HƯỚNG DẪN Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, giá trị nhỏ

Bài toán 1.48. Chứng minh với số thực dương a, b, c thỏa mãn

Bài toán 1.49 (Poland 1998). Các số thực x, y, z, t thỏa mãn

Chứng minh bất đẳng thức

2.1 Các toán chọn lọc 125

Tương tự, áp dụng bất đẳng thức AM – GM

Cộng bất đẳng thức lại

Cộng vế (1) (2) ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.28 (RussiaM.o) Chứng minh với số thực dương

LỜI GIẢI Ta cần nhóm sử dụng bất đẳng thức sau

Đẳng thức khơng xảy

Bài tốn 2.29 Chứng minh với a, b, c khơng âm ta có bất đẳng thức

LỜI GIẢI Ta có cách chứng minh bất đẳng thức Cách Sử dụng phương pháp tam thức bậc

Chuyển tam thức bậc

(i) Nếu ta có điều phải chứng minh

(ii) Nếu hay Ta chia làm trường hợp

+, Có sơ lớn 2, số cịn lại nhỏ bawngf Ta thấy

2.1 Các toán chọn lọc 133 Nhận xét Cách chứng minh cách đơn giản, tự nhiên mặt ý tưởng dễ thực hiên Ngoài với riêng tốn cịn có thêm chứng minh ngắn gọn sau đây:

Chú ý với

Từ bất đẳng thức dễ dàng suy đpcm

Bài toán 2.39 (Phạm Kim Hùng). Với a, b, c số thực dương cho trước, chứng minh

rằng

LỜI GIẢI Khơng tính tổng qt giả sử Trước hết ta chứng minh vế trái nhỏ

nhất c = Thật

Vì vễ trái hàm c nên ta chứng minh toán với c =