[r]
(1)Giải câu 05
Đề thi vào lớp 10 môn toán bắc ninh 2012-2013
===================================== Câu 05
Cho số x ; y thoả m·n x 0; y ≥0 vµ x+ y =
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = x2 + y2
I- tìm giá trị nhỏ
Cách 01 :
a) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A
Ta cã x + y = nªn y = - x + thay vµo A = x2 + y2 ta cã : x2 + ( -x + 1)2 - A = hay 2x2 - 2x + ( 1- A) = (*)
do để biểu thức A tồn giá trị nhỏ giá trị lớn chỉ phơng trình (*) có nghiệm hay
Δ' ≥0⇔1−2(1− A)≥0⇔2A −1≥0⇔A 1
2 Vậy giá trị nhỏ biĨu thøc A lµ
2 phơng trình (*) có nghiệm kép hay x =
2 mµ x + y = th× y =
2 VËy Min A = 1/2 x = y = 1/2 ( t/m)
b) Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc A
C¸ch 02 :
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Theo Bất đẳng thức Bunhia ta có = x + y hay 1= (x + y)2 2(x2+y2)x2+y21
2 Vậy giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A lµ 1/2 x = y mµ x + y =1 hay x =y = 1/2 ( t/m)
b) Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc A
C¸ch 03 :
a) Tìm giá trị nhỏ biĨu thøc A
Khơng tính tổng qt ta đặt
¿
x=1− m
y=m
¿{
¿
víi 0≤ m≤1
Mà A= x2 + y2 Do A = ( 1- m)2 + m2 hay A= 2m2 - 2m +1 hay 2A = (4m2 - 4m + 1) + hay 2A = (2m- 1)2 + hay
A=(2m−1)
2
2 +
1 2≥
1
VËy gi¸ trị nhỏ biểu thức A 1/2 m= 1/2 hay x = y = 1/2.
b) Tìm giá trị lớn biểu thức A.
Cách 04 :
a) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc A
Ta cã A = x2 + y2 = ( x+ y)2 - 2xy = -2xy ( v× x + y =1 ) mµ xy (x+y)
2
4 ⇔xy≤
4⇒−2 xy≥
−1
2 ⇔1−2 xy≥ 2A
1 Vậy giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A lµ 1/2 x = y = 1/2
(2)C¸ch 05 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Xét toán phụ sau : Với a , b c ; d > ta lu«n cã :
a2 c +
b2 d ≥
(a+b)2
c+d (*) , dÊu “=” x¶y
a c=
b d
ThËt vËy : cã (√x2
+√y2)[( a
√x)
+( b
√y)
]≥(a+b)2⇔ a
2 x +
b2 y
(a+b)2
x+y (ĐPCM)
.áp dụng
Cho a = x vµ b = y ,tõ (*) cã : A= x2 + y2 = x2 1+
y2
1 ≥
(x+y)2
2 mà x+ y =1 Nên A
2 Vậy giá trị nhỏ biĨu thøc A lµ 1/2 x = y = 1/2.
b) Tìm giá trị lớn biểu thức A
Cách 06 :
a)Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A
Ta cã A = x2 + y2 hay xy = 1− A
2 (*) mµ x + y =1 (**)
VËy tõ (*) ;(**) cã hÖ phơng trình
x+y=1 xy=1 A
2
¿{
¿
,hƯ nµy cã nghiÖm
x ≥0; y ≥0⇔1−2(1− A)≥0⇔A ≥1
2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A lµ 1/2 x+ y =1 vµ x2 + y2 =
2 hay x = y = 1/2
b) Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc A
C¸ch 07 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Ta cã A = x2 + y2 = x2 + y2 + - mµ x + y =1 nªn A = x2 + y2 - x - y -1 Hay A = (x2− x+1
4)+(y
2
− y+1 4)+
1 2
1
2 Vậy giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A lµ 1/2 x = y = 1/2
b) Tìm giá trị lớn biểu thức A
cách 08 :
a)Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc A
Ta cã A= x2 + y2 = x
2
+y2
1 =
x2+y2
x+y =
x2 x+y+
y2 x+y≥
(x+y)2 2(x+y)=
x+y Mµ x + y =1 nªn A
2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A lµ 1/2 khi x = y = 1/2
b)Tìm giá trị lớn biểu thức A
Cách 09 :
a)Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A
(3)bán kín đờng trịn hay A
2 Vậy giá trị nhỏ biểu thøc A lµ 1/2 x =y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn biểu thức A
Cách 10 :
a)Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A
Ta cã x + y =1 ⇔x+y −1 2=
1
2 Vậy để chứng minh A với A = x2 + y2 ta cần chứng minh x2+y2≥ x+y −1
2 ThËt vËy :
Ta cã x2+y2≥ x+y −1
2 >= Hay (x −1
2)
2
+(y −1 2)
2
≥0 ( ) Vậy A
2 VËy giá trị nhỏ nhất biểu thức A 1/2 x = y =1/2
b)Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc A
Cách 11 :
a)Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc A
Khơng tính tổng quát ta đặt
¿
x=2− m
y=m−1 ⇒1≤m ≤2
¿{
¿
.Do A = x2 + y2 hay (2-m)2 + (m-1)2 - A =0 hay 2m2 - 6m +5 = A Hay A=(2m−3)
2
2 +
1 2≥
1
VËy gi¸ trị nhỏ A 1/2 x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn biĨu thøc A
C¸ch 12 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Khơng tính tổng qt ta đặt
¿
x=3−m
y=m−2 ⇒2≤m ≤3
¿{
¿
.Do A = x2 + y2 hay (3-m)2 + (m-2)2 - A =0 hay 2m2 - 10m +13 = A Hay A=(2m−5)
2
2 +
1 2≥
1
Vậy giá trị nhỏ A 1/2 x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn biểu thức A
Cách 13 :
a)Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A
(4),do ta đặt
¿
a=x+1
b=y+1 ⇒
¿a≥1
b ≥1
¿{
Khi ta có toán sau :
Cho hai sè a , b tho¶ m·n a ≥1;b ≥1 vµ a + b =3 Tìm giá trị nhỏ của biểu thøc A = a2 + b2 - 4
ThËt vËy : Ta cã A = a2 + b2 - = (a+b)2 - 2ab - = - 2ab ( a+b=3) Mặt khác theo côsi có : ab≤(a+b)
2
4 =
9
4 A
2 Vậy giá trị nhỏ nhất biểu thức A 1/2 x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn biểu thức A
Cách 14 :
a)Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A
Khơng tính tổng quát ta đặt
¿
x=a − m
y=m− b ⇒b ≤ m≤ a
¿{
¿
( với a > b a - b =1 hay a = b+ hay a > b ) .Do A = x2 + y2 hay (a-m)2 + (m-b)2 - A =0 hay 2m2 - 2m (a+b) +(a2 + b2) = A hay
Hay 2A=[2m−(a+b)]2
+2(a2
+b2)−(a+b)2⇔A=[2m−(a+b)]
2
2 +
1 2≥
1 (Vì a - b= 1)
Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa A lµ 1/2 x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn biểu thức A
cách 15 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Ta có x + y =1 hay y = - x mà y 0⇔0≤ x ≤1 Do x2 + y2 - A = hay x2 - 2x +( - A ) = Khi ta có tốn sau :
Tìm A để phơng trình x2 - 2x +( - A ) = (*) có nghiệm
0≤ x1≤ x2≤1
(5)0≤ x1≤ x2≤1⇔
¿
x2≥ x1≥0 x1≤ x2≤1
⇔
¿x1≥0 x2≥0
¿x1≤1
x2≤1
¿
no
¿⇔ ¿S ≥0
P≥0
¿S ≤2
P ≤1
¿
no
¿⇔ ¿Δ' ≥0
S ≥0
P≥0
¿Δ' ≥0
S ≤2
P ≤1
¿
no
¿⇔1
2≤ A ≤1
¿ ¿{ {
{ {
¿{ {
¿{ {
¿ ¿
{
Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A lµ 1/2 x =y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn biểu thøc A
VËy theo trªn ta cã giá trị lớn biểu thức A 1 x = y = x= y =
II- tìm giá trị lớn
Cách 01 :
Vậy theo ta có giá trị lớn cđa biĨu thøc A lµ 1 x = y = x= y = 0
C¸ch 02 :
Ta cã A = x2 + y2 hay xy = 1− A
2 (*) v× x + y =1 mµ x
(6)Do theo (*) có A Vậy giá trị lớn biểu thức A 1 x = y = x= y = 0
C¸ch 03 :
Khơng tính tổng quát ta đặt
¿
x=sin2α ≥0
y=cos2α ≥0
¿{
¿ Do A = sin4α+cos4α=1−2(sinα cosα)2≤1 Vậy giá trị lớn biểu thức A 1
x = vµ y = x= y = 0