DETHI THU TOAN LAN 2 THPT PHONG CHAU

Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm về nội dung của đề... Tính thể tích khối chóp S ABCD.[r]

TRƯỜNG THPT PHONG CHÂU TỔ: TOÁN LÝ

LẦN 2

KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 MƠN: TỐN A

NĂM HỌC: 2011 - 2012

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thi gian phỏt

Phần chung cho tất thÝ sinh (7,0 điểm)

C©u I (2,0 điểm) Cho hàm số: y x 3 3x2mx 1 (1) (m tham số thực).

1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m 0 .

2.Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu cắt đường tròn (C): (x1)2(y3)2 8 theo dây cung có độ dài

Câu II (2,0 ®iĨm)

1. Giải phương trình

2

tan tan

sin

tan

x x

x x



  

   

   ( xR)

2 Giải bất phương trình 17x53 x 5 4x12 ( xR)

Câu III(1,0 điểm)Tinh tich phõn

1

5

5

0 1

dx I

x x



Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình chữ nhật với AB=a BC=2a, mặt

phẳng (SAB) vng góc với đáy, mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với đáy góc Biết khoảng cách hai đường thẳng SA BD

2 a

Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính cơsin góc hai đường thẳng SA BD

Câu V(1,0 điểm) Tỡm cp s thc (x; y) tha mãn hệ

2

( 1) ln ln( 1)

2( 2) - 2 10

y x x y

x x x x y

  

  

       

 

PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chng trỡnh chun.

Câu VI.a(2, điểm)

1.Trong mặt phẳng Oxy lập phương trình chính tắc elip (E) biết điểm M(-2; 3) thuộc (E)

bình phương độ dài trục lớn 16 lần tiêu cự (E)

2.Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABCvới C 3;2;3 đường cao

 

- - - AH:

1 -2

x y z

,

phân giác  

- - - BM:

1 -2

x y z

Viết phương trình trung tuyến CNcủa tam giác ABC. Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất số phức z thỏa mãn đẳng thức z4 6z316z2 21z12 0

B Theo chương trình nâng cao.

C©u VI.b(2,0 ®iĨm)

1.Trong mặt phẳng Oxy lập phương trình chính tắc elip (E) biết điểm M(2; -3) thuộc (E) khoảng cách từ điểm O đến đường chuẩn (E)

2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2y2z2 2x 4y 2z 0    Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc mặt cầu (S) điểm A(3; -1; 1) song song với mặt phẳng (P):

2

x y  z  .

CâuVII.b(1,0điểm) Chứng minh            

2 2 2

0 2011 2012 1006

2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012

C  C  C  C   C  C C

TRƯỜNG THPT PHONG CHÂU TỔ: TOÁN LÝ

KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN A

NĂM HỌC: 2011 - 2012 Thời gian làm bài: 180 phút

Câu Ý Nội dung Điểm

I

1 Cho hàm số: y x3 3x2 1

   (1) 2,0

1

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x 3 3x21

1,0

* Tập xác định: R

* Sự biến thiên:

+ Giới hạn:  

3

xlim y   xlim x    3x 1  ,lim yx  .

0,25

+ Bảng biến thiên:

2 x

y 3x 6x 3x(x 2), y

x  

      

  Bảng biến thiên:

x − ∞ +∞

y + - +

y +∞

− ∞ -3

0,25

+ Hàm số đồng biến khoảng  ;0 2; + Hàm số nghịch biến khoảng 0;2

+ Hàm số đạt cực đại x 0, y CÐ y(0) 1 đạt cực tiểu x 2, y CT y(2)3

0,25

* Đồ thị:

Đồ thị cắt trục tung điểm (0;1), cắt trục hoành hai điểm phân biệt Ta có y6x 6; y  0 x 1

y'' đổi dấu x qua x =

Đồ thị nhận điểm uốn I (1;-1) làm tâm đối xứng

f(x)=x^3-3x^2+1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-8 -6 -4 -2

x y

I

2 Tìm m để hàm số có cực đại,cực tiểu 1,0

2

Ta có y 3x2  6x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt

Tức cần có:    3m 0  m 3. 0,25

Chia đa thức y cho y, ta được:

x 2m m

y y x

3 3

   



       

    .

Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu điểm x ; y , x ; y1 1  2.

Vì y (x ) 0; y (x ) 0    nên phương trình đường thẳng   qua hai điểm cực đại, cực tiểu là:

2m m

y x

3

 

    

  hay (2m 6)x 3y m  3

0,25 (C) có tâm I(1;-3) bán kính R = 2 Giả sử   cắt (C) theo dây cung MN h

khoảng cách từ I đến  

Ta có h = 2

(2 6) 3

(2 6) 24 45

m m m

m m m

    



   

0,25

LạicóMN2=4(R2–h2)

2

2

2

9 36 36 36 36

4 132 144

4 24 45 24 45

66 93 66 93

7

m m m m

m m

m m m m

m m

   

        

   

 

   

 

  

Kết hợp với m<3 ta

66 93 m 

giá trị cần tìm

II

1

Giải phương trình

2

tan tan

sin

tan

x x

x x



  

   

   (1) 1,0

Điều kiện: cosx x k 



   

(*)

Phương trình cho tương đương với: 2cos (tan2x 2xtan ) sinx  xcosx

0,25

2

2sin 2sin cos sin cos 2sin (sin cos ) sin cos

(sin cos )(2sin 1)

x x x x x x x x x x

x x x

       

   

0,25 + Với sinx cosx tanx x k

 

      

+ Với

1

2sin sin ;

2 6

x   x  x k  x  k 

0,25 Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình cho là:

5

; ; ( )

4 6

x  k x k  x  k  k  0,25

2

Giải bất phương trình  17x53 x 5 4x12

1,0

Điều kiện:

53 17 x

Bất phương trình trở thành:

 17 53 5 12 (4 12) 12

17 53

4

( 3) (1)

17 53

x

x x x x

x x

x

x x



       

  

 

    

  

 

0,25

+ Nếu 53

3 17 x

   

x + 3< Khi (1)

2

1 17 53 18 58 (17 53)( 5) 16

17 53

21

9 21 11

(17 53)( 5) 21 11

4

64 240 176

4

x x x x x

x x

x x

x x x x

x

x x

x

           

  

   

   



            

 

   

 

 

    Vậy

53

3 17 x

   

0,25

+ Nếu x > -3

2

1 17 53 18 58 (17 53)( 5) 16

17 53

7

9 21

11 11

(17 53)( 5) 21 64 240 176

4

9 21 7

3

x x x x x

x x

x x

x x x x x x x

x x                                                             Vậy 11 x 

Đáp số:

53 11

3

17 x x

      0,25

III

Tính tích phân   5 I 1 dx x x     1,0

5

5

2 2

2

5

tan tan

2 os

Khi x = t=0 Khi x = t =

4

x t x dx dt x t

c t 

   

0,25

Khi ta :

     

3

1 2 2

3

5 5

5 2

5

5

0

4

5

3

0 5 5

3

1

2 os

I

5

1 1 1 tan tan tan

2 cos

5 sin 1 sin

os os

dx x dx c t

dt

x x x x x t t t

t

dt dt

t t

c t c t

                   0,25 4 5 0

2 (sin ) sin (sin )

5 sin

d t t d t

t

 



   

0,25

0 5 sin t    0,25

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a BC2a, mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy, mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với đáy góc Biết khoảng cách hai đường thẳng SA BD

2 a

Tính thể tích khối chóp S ABCD tính cơsin góc hai đường thẳng SA BD

IV

Gọi H hình chiếu S (ABCD), suy HAB (do (SAB) ( ABCD)). CBHB, suy góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) SBH

Hạ HECD E CD(  ), suy góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) SEH

0,25

Do SBH SEH  HB HE 2a.

Ta BD AE//  BD//(SAE)  d(SA BD, ) d( ,( B SAE)) d( ,( H SAE)) (do A

trung điểm HB)

2 d( , ( ))

6 a H SAE

 

0,25

Nhận xét HA HE HS, , đơi vng góc, suy ra:

2 2

1 1

d ( ,(H SAE)) HA HE HS 2 2

3 1

2a a 4a HS

   

2

SH a

  .

Thể tích:

3

( ) ( )

1

3

S ABCD ABCD

a

V  S SH 

0,25

//

BD AE, suy góc hai đường thẳng SA BD SAE .

Áp dụng định lý hàm số côsin cho tam giác SAE, với AE SA  SH2HA2 a

2 2

SE SH  a, ta có:

  2

cos( , ) cos

2

SA AE SE

SA BD SAE

SA AE

 

  

0,25

2

( 1) ln ln( 1)

2( 2) - 2 10

y x x y

x x x x y

  

  

       

 

1,0

Điều kiện

5

2 x y 

  

   

Xét f(x) =

5

2( 2) 2 ( 2)(5 ) voi x 2;

2 x   x x  x   

V

Ta có

5 2( 2) 2(9 )

1 2(9 )

'( )

2( 2) 2( 2)(5 ) 2( 2)(5 )

x x x

x f x

x x x x x x

    



   

     

 

'( ) 2( 2) 2(9 ) 2( 2) 2(9 )

9

1

9 2(9 )

1 4

5 2( 2) 2

5 2( 2)

f x x x x x x x

x

x x x

x x

x x

             

   

      



   

   



Ta có:

5

(2) ( ) 1; ( )

2

f f  f 

0,25

Vậy

5

( ) 1, 2;

2 f x    x  

  , suy y 1  y3

Ta có (1)

ln ln( 1) ln ln

Xét h( ) ( 0) Ta có : '( ) ; '( )

x y t t

t t h t h t t e

x y t t

 

       



Vậy h(t) nghịch biến với t>e đồng biến với 0< t < e Suy

+ Với

5 ln ln

2;

2

ln( 1) ln

( 1)

x x

x y y

y

 

  

 



 



Từ đến hệ có nghiệm (2; 3)

Lưu ý: Vì miền giá trị hai biến x y+1 không giống”hệt” nên lập luận để x = y +1 ngộ nhận, khơng cho điểm.

0,5

VIa

1 Trong mặt phẳng Oxy lập phương trình chính tắc elip (E) biết điểm M(-2; 3) thuộc (E) bình phương độ dài trục lớn 16 lần tiêu c ca (E)

1,0

- Gọi phơng trình (E):x

2

a2+ y2

b2=1(a>b>0) Độ dài trục lớn AA’=2a; Tiêu cự

F1F2 = 2c 0,25

Gi¶ thiÕt

2

2

4

1 (1)

4 16.2 (2)

a b

a c



 

  

 



Ta cã (2)⇔a2=8c⇒b2=a2−c2=8c − c2=c(8−c).

0,25

Thay vào (1) ta đợc

8c+

9

c(8−c)=1

⇔2c2−17c+26=0⇔

c=2 ¿

c=13

2

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

* NÕu c=2 th× a2=16, b2=12⇒(E): x

2

16+

y2

12=1

* NÕu

c=13

2

th×

2

2 52, 39 ( ) : 1.

39

4 52

4

x y

a  b   E  

0,25

2

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với C 3;2;3đường cao

2 3

:

1

x y z

AH     

 , phân giác

1

:

1

x y z

BM     

 Viết

phương trình trung tuyến CN tam giác ABC .

1.,0

AH có vecto phương u 

(1;1;-2) qua điểm P(2;3;3) BM có vecto phương m (1;-2;1) qua điểm Q(1;4;3)

0,25 Gọi (D) mặt phẳng qua C vng góc AH (D): (x-3) + (y-2) – 2(z-3) =

Hay x +y -2z +1 = Vậy tọa độ điểm B nghiệm hệ

2 1

2

2 10

x y z x

x y y

y z z

   

 

 

    

 

    

  Vậy B(1;4;3).

0,25

Gọi (E) mặt phẳng qua C vng góc BM, ta có (E): 1.(x-3)-2(y-2)+1.(z-3)=0 hay x-2y+z-2=0 Gọi I giao điểm (E) BM tọa độ I nghiệm hệ

2 2

2 (2; 2;4)

2 10

x y z x

x y y I

y z z

   

 

 

     

 

    

  Gọi J giao điểm (E) với AH JC nhận I

làm trung điểm, suy J(1; 2; 5)

0,25

Vậy AB:

2 x

y t

z t

  

  

  

 , A giao điểm AH AB nên A(1;2;5) , suy N(1; 3; 4).

Vậy trung tuyến CN:

1

2 1

x y z

 

 

0,25

VII.a

Tìm tất số phức z thỏa mãn đẳng thức z4  6z316z2 21z12 0 1,0

 

4 2

2 2

6 16 21 12 7( ) 12

( ) 7( ) 12

z z z z z z z z z

z z z z

           

     

0,25

2

2

3

3

3 3 7

2

z

z z

z z

z

  

 

  

     

  



    

 

 

 

  



2 2

2

2

3 3

2 4

3 7

2 4

z z i

z z i

   

   

   

   

 

 

 

   

       

   

 

0,25

3

2

3

2

3

2

3

2

z i

z i

z i

z i



  

 

    



  

 

   

0,25

VIb

1 Trong mặt phẳng Oxy lập phương trình chính tắc elip (E) biết điểm M(2; -3) thuộc (E) khoảng cách từ O đến đường chuẩn (E)

1,0

- Gäi ph¬ng tr×nh (E):x

2

a2+

y2

b2=1(a>b>0)

0,25

Gi¶ thiÕt

⇔

4

a2+

9

b2=1(1) a2

c =8(2)

¿{

Ta cã (2)⇔a2=8c⇒b2=a2−c2=8c − c2=c(8−c).

0,25

Thay vào (1) ta đợc

8c+

9

c(8−c)=1

⇔2c2−17c+26=0⇔

c=2 ¿

c=13

2

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

0,25

* NÕu c=2 th× a2=16, b2=12⇒(E): x

2

16+

y2

12=1

* NÕu

c=13

2

th×

2

2 52, 39 ( ) : 1.

39

4 52

4

x y

a  b   E  

0,25

2 1,0

Mp(P) có vtpt nP



= (1;1;-2) (S) có tâm I(1;-2;-1)

IA = (2;1;2) Gọi vtcp đường thẳng  u



 tiếp xúc với (S) A  u



 IA 

0,25 Vì  // (P)  u



nP



Chọn u0 

= [IA 

,nP 

] = (-4;6;1)

0,25

Phương trình tham số đường thẳng :

x 4t

y 6t

z t    

  

  

 0,25

VIIb

Chứng minh            

2 2 2

0 2011 2012 1006

2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012

C  C  C  C   C  C C

1,0

Xét đẳng thức      

2012

2012 2012 2

1 x 1x  1 x 0,25

+) Ta có    

2012 2012

2

2012

1 k k

k

x C x



  

suy hệ số số hạng chứa x2012 C20121006

0,25

+) Ta có      

2012 2012

2012 2012

2012 2012

0

1 k k k k

k k

x x C x C x

 

   

      

   

0,25 suy hệ số số hạng chứa x2012

2012 2011 2010 2009 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012

o

C C  C C C C  C C  C C

  2  2  2 2  2011 2 20122

2012 2012 2012 2012 2012 2012

C C C C C C

      

Từ suy đẳng thức cần chứng minh

0,25