de cuong on tap toan 9

a) BEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn. M lµ mét ®iÓm thuéc cangh AC.. Tõ mét ®iÓm M trªn Ax kÎ tiÕp tuyÕn thø hai MC víi nöa ®êng trßn. Tõ B kÎ tiÕp tuyÕn Bx víi ®êng trßn. Gäi E lµ trun[r]

(1)

PhÇn 1:

Các dạng tốn hệ thống đề cơng ôn tập sở giáo dục hà tĩnh

Dạng Tìm điều kiện xác định

Đề Câu Nội dung

7 1a

Tìm điều kiện x để biểu thức sau có nghĩa:A x 1 3 x 34 2.1

Tìm tất giá trị x để Q =

                      1 1 2 x x x x x x cã nghÜa

Dạng Rút gọn biểu thức vận dụng đẳng thức A2 ; đa thừa số vào trong, dấu căn; trực khử mẫu cuả biu thc cha s.

1 1a

Cho biÕt a =2 vµ b = 2 TÝnh P = a + b - ab

2 1a

Rót gän M = 7    2a

Rót gän A =

8 2      1a

Trục mẫu: 5 ;  1a

Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

6 2          1a

Rót gän: A =

                      3 3 1b

TÝnh A =

1    10 1a

Rót gän A =  

2

1 50

8

3   

12 1a

Rót gän: A = 20 453 18 27 17

Cho p = 3 vµ q = 3 ; tÝnh A = pq vµ B = p2 + q2 18 1a

Rót gän: A = 45 20 19

Cho A =

; 11 11 11 5    

B = 55 :

(2)

20 1a

Rót gän A = 2

2

  21 1a

Trục mẫu:

 23 1a

TÝnh A =  20  5 80 24 1a

Rót gän: A = 5 )

(  

26 1a

Rót gän: 5

1

   27

Rót gän A =

45 80 20

 

; B =

    

  

       

  

  

1

5

5 31 1a,b

TÝnh A = 20  18 45 72; B = 4  4 32

Rót gän: P =  7 3 2  32 36 1a

TÝnh A =    

2

5

1  

39 1a

TÝnh 48 75 108

Mét sè toán khác Bài 1: Tính giá trị biểu thøc: A = (

3−√5− 3+√5):

√5−5

√5−1

Bµi 2: TÝnh A = 3+√5 √10+√3+√5−

3−√5

√10+√3−√5 ; B =

2+√3

√2+√2+√3+

2−√3

√2−√2+√3

Bµi 3: TÝnh A = √4+√7−√4−√7−√2 ; B = √6+2√2√3−√√2+√12+√18−√128

Bµi 4: TÝnh A = 2√3+√5−√3+√48

√6+√2 ; B =

1+√3

2 1+√1+√3

2

+

1−√3 1−√1−√3

2

Bµi 5: TÝnh A = √2+√3+√6+√8+4 √2+√3+√4

Bµi 6: TÝnh P =

1+√5+

√5+√9+

√9+√13+ +

1

√2005+√2009

D¹ng Rót gän biĨu thøc chøa chữ số toán phụ

(3)

1

Cho P =

: 1          

 x x

x x

x

x Víi x > 0, x ≠ 1

a Rút gọn P; b Tìm giá trị x để P >

3 2b

Rót gän B = x

x x x x x 4            2b

Rót gän: B =

a b b a

b ab a ab a b            

; víi a > 0, b > 0, a ≠ b

8

a, Rót gän A =

1 :              a a a a a a a

; a> 0, a ≠ 1; b, Tìm a để A <

9 2a

Rót gän A =

9 :               x x x x x x

; x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 10 1b

Rót gän B=

2 x x x x  

 víi < x < 1 11

Rót gän A =

                     a a a a a a 1 1

víi a ≥ vµ a ≠ 12 1b

Rót gän B =

                      a a a a a a 1 1

víi a ≥ 0, a ≠ 13

a, Rót gän P =

2 : 1                a a a a a a a a a a

a> 0, a ≠ 1, a ≠ b, Tìm giá trị a nguyên để P có giá trị nguyên

14

a, Rót gän P = x

x x x x x        2 2

; x≥ 0, x ≠ b, Tìm x để P = 15

a, Rót gän M =

                    1 :

1 x x x x

x x

víi x > 0, x ≠ b, T×m x cho M >

16

a, Rót gän K = x x x x x x    

1 ; x > 0, x ≠ b, TÝnh K x = 42 18 1b

Rót gän: A =

4     x x x x x

(4)

20 1b

Rót gän: B =

                   x x x x x x

x : 1

víi x >0, x ≠ 22

a, rót gän P =

                      1 2 a a a a a a a a

(a >0, a ≠ 1) b, Tìm a để P ≥ -2 24 1b

Rót gän: B =

                      x x x x x x 1 1

víi ≤ x ≠ 25

a, Trùng đề 15 b, tìm A x = 2 + 26

Cho P =

: 1          

 x x

x x

x

x Víi x > 0

a Rút gọn P; b Tìm giá trị x để P > 28

a, Rót gän A =

1 :              a a a a a a a

; a> 0, a ≠ 1; b, Tìm a để A < 29

a, rót gän A = 

            

 a a

a 3

a>0, a ≠ b Tìm a để P > 30

Rót gän P = a a a a a 25   

víi a > 31 1c

TÝnh C = x2 x 1 x x víi x ≥ 33

Cho A =

                       1 : a a a a a a a a

víi a ≥ 0, a ≠ a, Rót gän A b, TÝnh A a = 2011 - 2011

34 1,2

1, P =    

2

1 1

1   

 a

a

víi a ≥1

2, Q =

                      1 1 2 x x x x x x

; Tìm x để Q = -3 x-3 35

Rót gän A =    x x x

víi x ≠ -3 36

a, Rót gän P = a

a a a a a        3

; a >0, a ≠ b, Tìm A để P < 37

Rót gän M =

1 1 2          x x x x x x x x x

(5)

38

a, Rót gän P = x

x x x

x

x 

   



1

2

với x > b, Tìm x để P = 39 1b

Rót gän P = 

 

 

    

 

 

 x x x

1

Mét sè bµi toán khác Bài 1: Cho biểu thức: P = ( 4√x

2+√x+ 8x 4− x):( √

x −1 x −2√x−

2

√x)

a) Rút gọn P; b) Tìm x để P = -1; c) Tìm m để với giá trị x >9 ta có m( √x -3)P> x +1

Bµi 2: Rót gän A =

2(1+√x+2)+

1 2(1−√x+2)

Bµi 3: Cho biĨu thøc P = [√x+y −√xy √x+√y]:[

x

√xy+y+

y

√xy− x− x+y

√xy]

a) Rót gän P; b) T×m trÞ sè cđa biĨu thøc víi x = 3; y = + √3

Bµi 4: Cho A = ( x+2

x√x −1+

√x x+√x+1+

1 1−√x):

√x −1

a) Rót gän A b) Chøng minh < A <2

Bµi 5: Cho A = (√x −2

x −1 −

√x+2

x+2√x+1).(

1− x

√2 )

2

a) Rót gän A; b) Chøng minh nÕu < x <1 th× A > 0; c) Tìm GTLN A

Bài 6: Rút gọn A = √x −2−2√x −3−√x+1−4√x −3 víi ≤ x ≤

Bµi 7: Cho P = x

2

−√x x+√x+1−

2x+√x

√x +

2(x −1) √x −1

1) Rút gọn P; 2) Tìm GTNN P; 3) Tìm x để biểu thức Q = 2x

P nhận giá trị nguyên

Bµi 8: Chøng minh r»ng A = (√x −√y)

2

+4√xy √x+√y −

x√y − y√x

xy

không phụ thuộc vào x, y với x > 0; y >

Phần 2: Hàm số bậc

5 1b Trong hệ trục tọa độ Oxy, đờng thẳng y = ax + b qua điểm A(2;3) điểm B(-2;1) Tìm hệ số a, b

6 3a

Biết đờng thẳng y = ax + b qua điểm M(2;

2 ) song song với ng thng 2x + y

= Tìm hƯ sè a vµ b

9 1b Tìm m để đờng thẳng y = 2x -1 đờng thẳng y = 3x + m cắt điểm nm trờn trc honh

11 2a Với giá trị nµo cđa K, hµm sè y =(3- k)x + nghịch biến R

(6)

14 Cho đờng thẳng d có phơng trình y = (m -1)x +n 1, Với giá trị m, n d song song với trục Ox

2, Xác định Pt d, biết d qua điểm A(1;-1) có hệ số góc -3

16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đờng thẳng y = ax + b qua điểm M(-1;2) song song với đờng thẳng y = 3x + Tìm hệ số a b

17 Cho hai đờng thẳng (d): y = -x + m + (d’): y = (m2- 2)x + 1. a) Khi m = -2 tìm tọa độ giao điểm chúng

b) Tìm m để (d) song song với (d’)

22 1a Trong hệ tọa độ Oxy, biết đờng thẳng y = ax - qua điểm M(-1;1) tìm a 23 2a

Tìm m để đờng thẳng y = -3x + đờng thẳng y =

2 x – 2m + c¾t

điểm trục tung

31 Tìm m để đờng thẳng y =(2m -1)x - m + vng góc với đờng thẳng y = - x 32 1b Tìm m để đờng thẳng d: y = (m2 -1)x + song song với d’: y = 3x + m - 33 1b Với giá trị M y = (m + 2)x – đồng biến tập xác định 35 Viét PT đờng thẳng qua A(1;2) B(2; 0)

37 2b Với giá trị a,b đờng thẳng d:y = ax + –b d’:(3-a)x + b song song 39 2a Tìm hệ số đờng thẳng y = ax + b qua điểm M(3;2) N(4;-1)

40 Cho đờng thẳng d: 3x + 4y =2 a) Tìm hệ số gúc ca ng thng

b) Với giá trị cđa M th× d’: y = (m2-1)x + m song song với d Phần 3: hệ phơng trình

1 1b

Giải hệ phơng tr×nh   

  

 

3

5

y x

2 2b

Cho hÖ pt

¿

4x+ay=b

x −by=a ¿{

¿

tìm a, b để hệ có nghiệm (x;y) = (2;-1)

3 1b

Gi¶i hƯ phơng trình

2x+y=1

3x+4y=1 {

4 2a

Giải hệ phơng trình

¿

2x+3y=2

x − y=1

6

{

6 2a

Giải hệ phơng trình 

  

 

 

2 3

1 x

(7)

8 1a

Giải hệ phơng trình         y x y x

Cho hệ phơng trình   2 m y x m y x

a) Gi¶i pt m=

b) Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) thỏa mãn x2 + y2 = 10 10 2a

Giải hệ phơng trình     3 ) ( y x y x 11 2b

Gi¶i hƯ phơng trình 12 y x y x 13

Giải hệ phơng trình    18 y x y x 16 2b

Giải hệ phơng trình       y x y x 19

Cho hÖ phơng trình y mx my x

a) Gi¶i hƯ m = 2; b) chøng minh hÖ cã nghiÖm 21 1b

Giải hệ phơng trình       x y x 26 1b

Giải hệ phơng trình         y x y x 27 2a

Gi¶i hệ phơng trình   x y x y y x 3 2 28 1a

Giải hệ phơng trình         7 y x y x 30 1b

Gi¶i hệ phơng trình 2 y x y x 33 1a

Giải hệ phơng trình       10 y x y x 37 2a

Giải hệ phơng tr×nh         18 y x y x 38 2b

(8)

39 2b

Giải hệ phơng tr×nh   

 

 

2

7

y x

40

Tìm a,b biêt hệ phơng trình

 

11 ay bx

by ax

cã nghiÖm x = 3; y = -1

Một số toán khác Bài 1: Giải hệ phơng trình sau:

1)

2x − y=3

3x+y=7 ¿{

¿

5)

¿

3x −5y=−18

x+2y=5 ¿{

¿

2)

¿

2x+3y=−2

5x+2y=6 ¿{

¿

6)

¿

−2x+y=−3

x+y=3 ¿{

¿

3)

¿

− x+3y=−10

x −5y=16 ¿{

¿

7)

¿

4x+3y=−6

2x −5y=16 ¿{

¿

4)

¿

2x+y=7

− x+4y=10 ¿{

¿

8)

¿

2x+y=5

x+7y=9 ¿{

¿ PhÇn 4: Hµm sè y = ax2 vµ PT bËc hai

1 Cho phơng trình x2 5x + m = 0 a) Giải phơng trình m =

b) Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

3

2  x 

x

2 1b,2a 1) Giải phơng trình: x2 7x + = 0

2)Tìm tọa độ giao điểm đờng thẳng d: y = -x + parabol y = x2 1a,3 1) Giải phơng trình: x4 + 3x2 – = 0

2)Vẽ đồ thị hàm số y = -x2 và y = x - hệ trục tọa độ tìm giao điểm 1b,3 1) Tìm hệ số a hàm số y = ax2 biết đồ thị hàm số di qua điểm M(-2;1/4)

2) Cho ph¬ng trình x2 2mx + = 0 a) Giải phơng trình m =

b) Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 +1)2 +(x2 + 1)2 = 2a Giải phơng trình: x2 – 3x + = 0

6 2b Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình x2 x = Tính giá trị biểu thức P = x12+ x22

7 2a,3 1) Giải phơng trình (x -3)2 = 4 2) Cho phơng trình x2 2mx -1 =0.

a) CMR phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b) Tìm giá trị m để x12+x22-x1x2=7

8 1b,3

1) Gäi x1,x2 lµ hai nghiệm phơng trình 3x2 x = 0.TÝnh P =

1

x x 2) Cho phơng trình x2 x + m + = 0

(9)

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1x2(x1x2 -2) = 3(x1 + x2)

9 2b

Giải phơng trình

1 ) )( (

5

2

   

 

x x

x x x

10 2b

Giải phơng tr×nh x + x – = 11 1b,3 1) Giải phơng trình 2x2 5x + = 0

2) Cho phơng trình x2 6x + m = 0

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 – x2 = 12 1) Cho hàm số y = ax2 Tìm a biết đồ thị hàm số qua điểm A(-2;-12)

2) Cho ph¬ng trình x2 +2(m+1) x + m2 = 0 a) Giải phơng trình m =

b) Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cóa nghiệm 13 2a Cho phơng trình: (m-1) x2 – 2mx + m + = 0

a) Tìm m biết phơng trình có nghiệm x =

b) Tìm m để pt có hai nghiệm cho tích chứng 5, tính tổng chúng 14 Cho phơng trình x2 – 2(m-1)x - m - = 0

a) Giải phơng tr×nh m = -3

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 +x22 = 10 c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m 15 Cho phơng trình x2 – 2mx -1 =0.

17 Cho phơng trình x2 (2m+1)x + m2+5m = 0 a) Giải phơng trình m = -2

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cho tích nghiệm 18 Cho phơng trình x2 – 4x+ m + = 0

a) Giải phơng trình m =

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 +x22 = 5(x1 + x2) 20 Cho phơng trình x2 – (m + 5)x - m +6 = 0

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = -2

21 2,3 Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + (2m-1)x +m - = 0 a) Giải phơng trình m =

b) Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 4x12 + 2x1x2 + 4x22 = 22 1a Giỉ phơng trình x2 – 2x – 15 = 0

23 1b,3 1) Giải phơng trình 4x4 +7x2 = 0 2) Cho phơng trình x2 2x + m - = 0 a) Giải phơng trình m =

(10)

a) CMR phơng trình có nghiệm x =

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = - √2 25 Cho phơng trình x2 + ax + b + =

a) Gi¶i phơng trình a = 3, b = -5

b) Tìm a, b để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

¿

x1− x2=3

x13− x 23=9

¿{ ¿ 26 Cho ph¬ng trình x2 x+ m = 0

a) Giải phơng tr×nh m =

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 x2 -1) = 9(x1 + x2) 27 2b

1) Gọi x1,x2 hai nghiệm phơng trình x2 – x – = 0.TÝnh P =

1 x1+

1 x2

28 1b,3 1) Giải phơng tr×nh x2 + (

√3+2)x+2√3 =0 2) Cho phơng trình x2 2mx -1 =0.

29 Với giá trị m đồ thị hàm số y = (m2 – m)x2 qua điểm A(-1;2) 30 Cho phơng trình x2 – (m + 3)x + m =0.

a) Giải phơng tr×nh m =

b) Chøng tá r»ng phơng trình có nghiệm với m Tìm GTNN A = |x1 x2| 32 Cho phơng trình x2 + (2m +1)x + m2 +1 = 0

b) Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm âm 33 Cho phơng trình: k( x2 - 4x + 3) + 2(x-1) = 0

a) Giải phơng trình với k = −1

2

b) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiƯm víi mäi k

34 Cho phơng trình x2 + 2(m -1) |x| + m + = Tìm tất giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

35 2a Tìm m để phơng trình (x2 – x – m)(x – 1) = có hai nghiệm phân biệt. 36 1b,3 1) Giải phơng trình: x2 + 2x 24 = 0

2) Cho phơng trình x4 5x2 + m = 0 a) giải phơng tr×nh m =

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt 37 Cho phơng trình x2 – 2x + m = 0

a) Giải phơng trình m = -

b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

1 x12

+

x22 =1 38 Cho phơng trình x2 2(m 1)x + m + = 0

(11)

b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

x2 x1

+x1

x2

=4 39 Cho phơng trình x2 2mx -6m = 0

b) Tìm m để pt có nghiệm gấp hai lần nghiệm 40 Cho phơng trình ( 1+√3 )x2 – 2x + 1−

√3 =

a) Chứng tỏ phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt

b) Gäi hai nghiƯm x1, x2 Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm 1/x1; 1/x2

Một số phơng trình đa phơng trình bậc hai

5 2b

Giải phơng trình x

x 1 x+1=

4 x21

Giải phơng trình:

1)

x −4+ x+4=

1

3 2) x+1

x+2+

x −1

x −2=

2x+1

x+1 3) 100

x+5+

100

x −5=5 3) 2x x+2+

x+2

2x =2

1) (2x -1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4) 2) (x2 – 9)(x +2) = (x2 4)(x + 3) Phần 5: Giải toán cách lập Pt, HPT

2 Một xe lửa cần vận chuyển lợng hàng Ngời lái xe tính xếp toa 15 hàng thừa lại Nếu xếp toa chở thêm Hỏi xe lửa có toa phải chở hàng

5 Hai Ô tô khởi hành lúc từ A đến B dài 120km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B trớc ô tô thứ hai Tính vận tốc xe

6 3b TÝnh c¸c kích thớc hình chữ nhật có diện tích 40cm2, biết tăng kích thớc thêm 3cm diện tích tăng thêm 48cm2

10 Mt xớ nghiệp sản xuất đợc 120sản phẩm loại I 120sản phẩm loại II thời gian Mỗi sản xuất đợc số sản phẩm loại I loại II 10 sản phẩm Mỗi xí nghệp sản xuất đợc sản phẩm loại

12 Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 100m2 Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68m2 Tính diện tích tha rung ú

15 Một đoàn xe chở 480 hàng Khi khởi hành có thêm xe nên xe chở Hỏi lúc đầu có

16 Một đội xe nhận chuyển 96 hàng Khi khởi hành có thêm xe nên xe xhở 1,6 hàng Hỏi lúc đầu có

18 Một vờn hình chữ nhật có chu vi 72m Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi chiều dài lên gấp chu vi vờn 194m Tính diện tớch lỳc u

19 Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10m, hai cạnh góc vuông 2m Tính cạnh góc vuông

20 Một phịng họp có 360 chổ đợc chia thành dãy có số chổ ngồi Nếu thêm cho dãy chổ ngồi bớt dãy số chổ ngồi phịng khơng thay đổi Hỏi ban đầu số chổ ngồi phòng họp đợc chia thành dãy

(12)

23 2b Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đờng chéo 13m chiều dài lớn chiều rộng 7m Tính diện tích hình chữ nhật

24 Một xe tơ chạy quảng đờng 80km thời gian dự định Vì trời ma nên phần t quảng đờng đầu xe phải chạy chậm vận tốc dự định 15 km/h nên quảng đờng lại xe phải chạy nhanh vận tóc dự định 10km/h Tính thời gian dự định

25 Một thuyền chạy xuôi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 24km Cùng lúc đó, từ A chiêchs bè trơi B với vận tốc dịng nớc 4km/h đến B thuyền quay lại gặp bè C cách A 8km Tính vận tốc thực thuyền 27 Một xe ô tô tứ Huế Hà nội Sau 40 phút, xe lửa khác từ Hà nội vào Huế

với vận tốc lớn vận tốc xe lửa thứ 5km/h Hai xe gặp cách ga Hà Nội 300km Tìm vận tốc xe, biết đờng sắt HUế – Hà Nội dài 645km

29 Hai ngời làm chung cơng việc hồn thành Nếu ngời làm riêng, để hồn cơng việc thời gian ngời thứa thời gian ngời thứ hai Hỏi làm riêng ngời phải làm để hồn thành công việc

30 Khoảng cách gia hai bến sông A B 48km Một ca nô xi dịng từ A đến B quay lại bến A Thời gian Tính vận tốc ca nơ nớc n lặng biết vận tốc dòng nớc 4km/h

31 Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ I làm ngời thứ II làm giừ họ làm 1/4 cơng việc Hỏi làm riêng ngời phải làm để hồn thành cơng việc

Phần 6: Vẽ hình, chứng minh tứ giác nội tiếp

Đề Câu Nội dung

1 Cho ng trịn tâm O đờng kính AB Vễ dây cung Cd vuong góc với AB I(I nằm A O) lấy E cung nhỏ BC, AE cắt CD F Chứng minh:

a) BEFI tứ giác nội tiếp đờng tròn b) AE.AF = AC2

c)Khi E chạy cung nhỏ BC tâm đờng tròn ngoại tiếp CEF thuộc đờng thẳng cố định Từ điểm A nằm ngồi đờng trịn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn(B,C

tiếp điểm) Trên cung nhỏ Bc lấy điểm M, vẽ MI  BC, MK  AC ( I  AB, K  AC) a) Chứng minh AIMK tứ giác nội tiếp đờng tròn

b) VÏ MP  BC (P  BC) Chøng minh MPK = MBC

c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ Bc để tích MI.MK.MP nhỏ

3 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O;R) Các đờng cao BE, CF cắt H a) C/m AEHF, BCEF tứ giác nội tiếp đờng tròn

b) Gọi M, N lần lợt giao điểm thứ hai đờng tròn (O) với BE CF C/m MN// EF c) C/m OA  EF

4 Cho hình vng ABCD có hai đờng chéo cắt E Lấy điểm I AB, M BC saocho IEM = 900. a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp

b) Tính số đo IME

c) Gọi N gieo điểm AM DC; K giao điểm cđa BN vµ EM C/m CK  BN

5 Cho đờng tròn (O; R) AB CD hai đờng kính khác đờng trịn Tiếp tuyến Bcủa đờng tròn cắt đờng thẳng AC AD E F. a) Chứng minh ACBD hình chữ nhật

b) Chøng minh ACD  CBE

c) Chứng minh CDEF tứ giác nội tiÕp

d) Gäi S1, S2, S3 thø tù lµ diƯn tÝc cđa AEF, BCE, BDF C/m S1  S2  S

6 Cho N cắt BM I CMR:ABC vuông A M điểm thuộc cangh AC đờng trịn đờng kính MC cắt BC a) ABMN, ABCI tứ giác nội tiếp

(13)

c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2

7 Cho đờng trịn (O;R) có đờng kính AB, vẽ dây CD SC cắt (O) điểm thứ hai M.  AB Trên tia đối tia BA lấy điểm S, a) CMR SMA đồng dạng với SBC

b) Gọi H giao điểm MA với BC; K giao điểm MD với AB Chứng minh BMHK tứ giác nội tiếp HK// CD

c) Chøng minh OK.OS = R2

8 Cho nửa đờng trịn O đờng kính AB = 2R tia Ax nằm cìng phía với nửa đờng tròn đối vớiAb Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đờng tròn AC cắt OM E. MB cắt nửa đờng tròn D

a) CMR: AMCO MADE tứ gi¸c néi tiÕp b) Chøng minh ADE = ACO

c) VÏ CH  AB CMR MB ®i qua trung ®iĨm CH

9 Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB Lờy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, N thuộc nửa đ-ờng tròn Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đờng thẳng qua N vng góc với NM cắt Ax, By thứ tự C D

a) Chứng minh ACMN BDNM tứ giác nội tiếp đờng tròn b) Chứng minh ANB đồng dạng với CMD

c) Gọi I giao điểm AN CM, K giao điểm BN DM CMR IK //AB

10 Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ AC AD thứ tự hai đờng kính của(O) (O’). a) Chứng minh C, B, D thẳng hàng

b) AC cắt (O’) E AD cắt (O) F CMR C, D, E F thuộc đờng tròn

c) Một đờng thẳng d thay đổi qua A cắt (O) (O’) M Xác định vị trí d để CM + DN đạt giá trị lơna

11 Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB Dây CD = R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đờng tròn Tia Axcắt Bx M Gọi E trung điểm AC. a) Chứng minh OBME tứ giác nội tiếp

b) Gọi I giaođiểm BE với OM CMR IB.IE = IM.IO

12 Cho ờng thẳng MB cắt đờng tròn tâm O D, đờng thẳng AD cắt đờng trịn tâm O S.ABC vng A Trên cạnh AC lấy điểm M Dựng đờnd tròn tâm O đờng kính MC Đ-a) Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp CA phân giác BCS

b) Gọi E giao điểm BC (O) CMR AB, EM, CD đồng quy c) CMR M tâm đờng tròn nội tiếp ADE

13 Cho trung điểm IK.ABC cân A I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A, O a) chứng minh điểm B, I, C, K thuộc đờng tròn tâm O

b) Chøng minh AC lµ tiÕp tun cđa (O)

c) Tính bán kính đờng trịn tâm O biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm

14 Cho nữa đờng trịn đờng kính BH cắt AB E nửa đờng trịn đờng kính CH cắt AC F CMR:ABC vuông A(AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A Vẽ a) Tứ giác AFHE hình chữ nhật

b) Chứng minh BEFC tứ giác nội tiÕp

c) EF tiếp tuyến chung hai đờng trịn đờng kình BH HC

15 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R Điểm M thuộc đờng tròn cho MA < MB Tiếptuyến B M cắt N Mn cắt AB K, Tia MO cắt tia NB H. a) Tứ giác OAMN hình

b) Chøng minh KH // MB

16 Cho đờng tròn (O) với dây BC cố định điểm A thay đổi cung lớn BC cho AC >AB, AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q lần lợt giao điểm cặp đờng thẳng AB với Cd; AD với CE a) CMR: DE//BC

b) Chứng minh PACQ tứ giác nội tiếp

c) AD cắt BC F Chứng minh CF

1 CQ

1 CE

1

 

(14)

a) Chøng minh OA.OH = R2 ; b) TB phân giác ATH

c) T B vẽ đờng thẳng song song với  Gọi D, E lần lợt giao điểm đờng thẳng vừa vẽ với TK TA CMR  TED cân

d) Chøng minh AC AB HC HB



18 Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt hai điểm phân biệt A B Đờng thẳng OA cắt (O), (O’) lần lợt điểm thứ hai C, D O’A cắt (O), (O’) lần lợt điểm thứ hai E,F

a) Chứng minh ba đờng thẳng AB, CE DF đồng quy b) Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đờng tròn

c) Cho PQ tiếp tuyến chung (O) (O’) ( P  (O), Q  (O’) Chứng minh đờng thẳng AB đie qua trung điểm đoạn thẳng PQ

19 Cho nửa đờng trịn(O) đờng kính AB Điểm M thuộc nửa đờng tròn, điểm C thuộc đoạn OA Trên nửa mặt phẳng bờ đờng thẳng AB chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By Đờng thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax, By P Q AM cắt CP E, BM cắt CQ F

a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đờng tròn b) Chứng minh PCQ = 900 c) Chứng minh AB // EF

20 Cho (O,R) điểm S nằm đờng tròn Vẽ hai tiếp tuyến SA SB Vẽ đờng thẳng a (không qua O) qua S cắt (O) M,N với M nằm S N

a) Chøng minh SO  AB

b) Gọi H giao điểm cảu SO AB; I trung điểm MN OI AB cắt E Chứng minh tứ giác nội IHSE tiếp đờng tròn

c) Chøng minh IO.OE = R2

21 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB điểm C thuộc đờng tròn ( C khác A B) Lấy điểm D thuộc dây BC Tia AD cắt cung nhỏ BC E, Tia AC cắt tia BE F

a) Chứng minh tứ giác FCDE nội tiếp đờng tròn; b) Chứng minh DA.DE = DB.DC c) Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE Chứng minh IC tiếp tuyến (O) 22 Cho điểm C thuốc đoạn thẳng AB Trên mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax, By vng

góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vng góc với CI C cắt By K Đờng trịn đờng kính IC cắt IK P

a) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đờng tròn; b) Chứng minh AI BK = AC.BC c) Tính  APB

23 Cho hai đờng tròn (O, R) (O’, R’) với R> R’ cắt A B Kẻ tiếp tuyến chung DE hai đờng tròn với D  (O) E  (O’) cho B gần tiếp tuyến so với A

a) Chøng minh DAB = BDE; b) AB cắt DE M Chứng minh M trung điểm DE c) Đờng thẳng EB cắt DA P DB cắt AE Q Chứng minh PQ // AB

24 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Điểm C thuộc nửa đờng tròn điểm D nằm đoạn OA Vẽ tiếp tuyến Ax, By nửa đờng tròn đờng thẳng qua C, vng góc với CD cắt Ax, By lần lợt M N

a) Chứng minh tứ giác ADCM BDCN nội tiếp đờng tròn; b) Chứng minh  MDN = 900 c) Gọi P giao điểm AC DM Q giao điểm BC DN Chứng minh PQ//AB 25 Cho đờng trịn (O,R) đờng thẳng d khơng qua O cắt đờng tròn hai điểm A B Điểm M

trên tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đờng tròn H trung điểm AB a) Chứng minh M, D, O, H thuộc đờng tròn

b) Đoạn Om cắt đờng tròn I Chứng minh I tâm đờng tròn nội tiếp MCD

c) Đờng thẳng qua O vng góc với OM cắt tia MC, MD thứ tự P Q Tìm vị trí M d để diện tích MPQ bé

(15)

trung ®iĨm cđa DE Chøng minh

a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đờng tròn b) E tâm đờng tròn nội tiếp BCH

c) Năm điểm B,C,I,O,H thuộc đờng tròn

27 Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính Ab C điểm nằm O A Đờng thẳng vuông góc với AB C cắt nửa đờng trịn I K điểm nằm đoạn thẳng CI ( K khác C I), Tia AK cắt nửa đờng tròn M, Tia BM cắt tia CI D

a) ACMD tứ giác nội tiếp đờng tròn b)  ABD  MBC

c) Tâm đờng tròn ngoại tiếp AKD nằm đờng thẳng cố định K động CI 28 Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB = 2R tia tiếp tuyến Ax phí với nửa đờng tròn

đối với AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đờng tròn AC cắt OM E, MB cắt nửa đờng tròn D

a) Chứng minh ADHE tứ giác nội tiếp đờng tròn b) MA2 = MD.MB

c) VÏ CH  AB Chøng minh MB ®i qua trung ®iĨm cđa CH

29 Cho nửa đờng trịn đờng kính BC = 2R Từ điểm A nửa đờng tròn vẽ AH  BC Nửa đờng trịn đờng đờng kính BH, CH lần lợt có tâm O1, O2 cắt AB, AC thứ tự D E

a) Chứng minh ADHE hình chữ nhật, từ tính DE biết R = 25, BH = 10 b) Chứng minh BDEC tứ giác nội tiếp đờng trịn

c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO1O2 đạt giá trị lớn Tính giá trị 30 Cho Tam giác vng ABC nội tiếp (O) đờng kính AB Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho

CD = AC

a) Chøng minh ABD c©n

b) Đờng thẳng vng góc với AC A cắt đờng tròn E Trên tia đối tia EA lấy điểm F cho EF = AF Chứng minh D, B, F nằm đờng thẳng

c) Chứng minh đờng tròn qua b ađiểm A, D, F tiếp xúc với (O)

31 Cho ba điểm A, B, C ccố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đ ờng trịn (O; R) qia BC( BC ≠ 2R) Từ A ke tiếp tuyến AM, AN đến O Gọi I, K lần lợt trung điểm BC MN MN cắt BC D Chứng minh

a) AM2 = AB.AC; b) AMON, AMOI tứ giác nội tiếp đờng tròn

c) Khi đờng tròn (O) thay đổi, tâm đờng trịn ngoại tiếp OID ln thuộc đờng thẳng cố định

32 Qua điểm A cho trớc nằm ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC, Lấy M cung nhỏ BC, vẽ MH BC; MI  AC, MK  AB

a) Chứng minh BHMK, CHMI tứ giác nội tiếp đờng tròn; b) MH2 = MK.MI

c) Qua M vẽ tiếp tuyến với (O) cắt AB,AC P, Q Chứng minh chu vi APQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M

33 Cho hai ng trịn (O;R) (O;R’) tiếp xúc ngồi A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B 

(O), C  (O’))

a) Chøng minh  BAC = 900; b) TÝnh BC theo R, R’

c) Gäi D giao điểm AC với (O) vẽ tiếp tuyến DE víi (O’) Chøng minh BD = DE

34 Cho đờng trịn (O), đờng kính AB, d1, d2 đờng thẳng lần lợt qua A, B vng góc với AB M, N điểm lần lợt thuộc d1, d2 cho  MON = 900

a) Chứng minh đờng thẳng Mn tiếp tuyến (O) b) Chứng minh AM.AN = AB2/4

(16)

35 Từ điểm M nằm bên ngồi đờng trịn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB cát tuyến cắt đờng tròn hai điểm C, D không qua O Gọi I trung điểm CD

a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đờng tròn Chứng minh IM phân giác  AIB

36 Cho đờng trịn(O), từ điểm A bên ngồi đờng trònvẽ đờng thẳng AO cắt (O) B C ( AB < AC) Qua A vẽ đờng thẳng không qua O cắt (O) D E( AD < AE) Đờng vng góc với AB A cắt đờng thẳng CE F

a) Chứng minh ABEF tứ giác nội tiếp đờng tròn

b) Gọi M giao điểm thứ hai FB với đờng tròn (O) Chứng minh DM  AC C) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2

37 Cho  ABC có ba góc nhọn, trực tâm H nội tiếp (O), vẽ đờng kính AK a) Chứng minh BHCK hình bình hành

b) VÏ OM  BC, Chứng minh H< M, K thẳng hàng AH = 2OM

c) Gọi A’, B’, C’ chân đờng cao thuộc cạnh Bc, CA, AB  ABC Khi BC cố định xác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ + B’C’+ C’A’ đạt giá trị lớn

38 Cho  ABC cân A Vẽ (O;R) tiếp xúc với AB, AC B C Đờng thẳng qua điểm M BC vuông góc với OM cắt AB, AC D vµ E

a) Chứng minh điểm O, B, D, M thuộc đờng tròn b) MD = ME

39 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3AO kẻ dây Mn vuông góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M,N B Nối AC cắt MN E

a) Chứng minh IECB tứ giác nội tiếp đờng tròn b) Chứng minh AM2 = AE.AC

c) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp

CME nhá nhÊt

40 Bên hình vuông ABCD vẽ tam giác ABF Vẽ tia Bx thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm E, có bờ đờng thẳng Ab cho Bx  BE Trên tia Bx lấy điểm F cho BF = BE

a) Tính số đo góc ADE, b) Chứng minh D, F, E thẳng hàng c) Đờng tròn tâm (O) ngoại tiếp AEB cắt AD M Chứng minh ME // BF

Phần 7: Một số toỏn nõng cao i s

Đề Câu Nội dung

1

Cho hai sè d¬ng a,b tháa m·n a + b ≤ 2√2 T×m GTNN cđa P =

a+ b

2

Giải phơng trình x 20091

x 2009 +

x −2010−1

x −2010 +√

x −2011−1

x −2011 =

3

3 T×m GTNN cđa P = x2

− x√y+x+y y+1

4 2a, 5 1) Giải phơng trình: 2x+1=7 x

2) cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Cm: ab +bc+ac≤a2 +b2+ c2≤ 2(ab + bc +ac) 5 Giải phơng trình 10√x3

+1=3(x2+2)

6 BiÓu thøc A = 2x 2xy+y 2x+3 có GTNN không? sao? 2b, 5

1) giải bất phơng trình: x −1

2x+1<

(17)

2) Gi¶i hệ phơng trình:

x3+1=2y

y3+1=2x {

¿

8 Cho a,b,c  [0; 1] Chøng minh a +b2 + c3 – ab - bc – ac ≤ 1 2b, 5

1) Gi¶i phơng trình x

2

3x+5 (x+2)(x 3)=

1 x −3

2) Chøng minh a+b

√a(3a+b)+√b(3b+a)≥

1

2 với a, b só d¬ng

10 Cho hai sè x, y tháa m·n (x

+√x2+2011)(y+√y2+2011)=2011 tÝnh x + y 11

Cho x, y ≥0 vµ x + y ≥ t×m GTNN cđa P = 3x+2y+6

x+

y

12 Giải phơng trình x23x

+2+x+3=x 2+x2+2x 3 13 Giải phơng trình: x2 +

√x+2011=2011 14

Cho số thực x, a,b,c thay đổi thỏa mãn

¿

x+a+b+c=7

x2+a2+b2+c2=13 ¿{

¿

t×m GTLN GTNN x

15 Tìm x, y tháa m·n 5x - 2 √x (2 +y) + y2 + = 0 16

Cho a, b, c > Chøng minh 1< a

a+b+

b b+c+

c c+a<2

17 Cho x, y tháa m·n (x+y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = T×m GTLN, GTNN cña A = x + y + 1 18

Giải phơng trình

x+

2 x2=2

19

T×m GTNN cđa P = x

4

+2x2+2

x2

+1

20 Tìm m để phơng trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 – 2mx2 +(m2 +1)x – m = 0 21

Tìm nghiệm dơng phơng tr×nh 7x2 + 7x =

√4x+9

28

22 Tìm nghiệm nguyên phơng trình x2 + px + q = biÕt p + q = 198 23

Tìm giá trị x 4x+3

x2

+1 số nguyên 24

Cho số dơng a,b,c Chứng minh a+b

c +

b+c

a +

c+a

b ≥4( a b+c+

b c+a+

c a+b) 25

Cho a, b, c d¬ng tháa m·n a + b + c =

abc T×m GTNN cđa P = (a +b)(a + c)

26 Giải phơng trình

(x+8x+3)(x2+11x+24+1)=5 27

Cho hai sè d¬ng x, y tháa m·n x + y = T×m GTNN cđa A =

x2

+y2+

(18)

28

x+x

x=x+√2x − x

29

Giải phơng trình x3 + x2 x = -

3

30

Cho c¸c sè d¬ng a,b, c Chøng minh √ a

b+c+√

b a+c+

c a+b>2

31 Tìm số nguyên x, y thỏa mÃn phơng trình: (2x + 1)y = x + 32 3,

1) Cho a,b số dơng thỏa mÃn ab = T×m GTNN cđa A = (a+b+1)(a2+b2)+

a+b

2) Chứng minh |a| >2 hệ phơng tr×nh

¿

x5−2y

=a

x2

+y2=1 ¿{

¿

v« nghiƯm

33 Cho hai phơng trình x2 + a

1x + b1 = x2 + a2x + b2 = cho biết a1a2≥ 2(b1 + b2) Chứng minh hai phơng trình cho có nghim

34 Giải phơng trình 3x2

6x+19+x22x+26=8 x2+2x 35

Giải hệ phơng trình:

¿

x4

+y4=1

x3

+y3=x2+y2 ¿{

¿ 36

T×m GTNN cđa y =

1− x+

x víi 0< x <

37

T×m GTNN cđa y = x

2

+x+1

x2+2x+2 38 Giải phơng trình: x3 + 3x + = (x + 3)

√x2+1

39 Cho x y hai số thỏa mãn đồng thời: x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + 3y ≤ 6; 2x + y ≤ 4. Tìm GTNN GTLN K = x2 – 2x - y

40

Hai sè thùc x, y tháa m· hƯ ®iỊu kiÖn

¿

x3+2y2−4y+3=0

x2

+x2y2−2y=0 ¿{

Tính giá trị cảu P = x2 + y2

Để

chuyên Câu 1: Giải phơng trình:

a) (x2+

x2)−4(x −

x)−9=0 b) (√x+5−√x −2)(1+√x2+7x+10)=3

Câu 2: a) Cho số a, b, c khác tháa m·n abc = vµ a

b3+ b c3+

c a3=

b3

a +

c3

b+

a3

c

Chøng minh số tồn số lập phơng hai số lại

b) Cho x = √31+√84

9 +

3

√1−√84

9 Chøng minh x cã gi¸ trị nguyên

(19)

A = 1+x2+1+y2+1+z2+2(x+y+z)

§Ĩ

chun Câu 1: a) Tìm số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức:

x(2011+2010)+y(20112010)=(20113+20103)

b) Tìm tất số nguyên x ≥ y≥ z ≥ tháa m·n xyz + xy + yz + zx x + y + z = 2011

Câu 2: a) Giải phơng trình 2(x2 + 2) = 5

√x3

+1

b) Cho a, b, c  [0: 2] vµ a + b + c = Chøng minh a2 + b2 + c2 5

Câu 3: Tìm tất số hữu tỉ x cho giá trị biểu thức x2 + x + số phơng.

Câu 5: Tìm GTLN GTNN cuả P = 2x2 – xy – y2 víi x2 + 2xy + 3y2 = 4

§Ĩ 3

chun Câu 1: a) Cho a,b,c ba số thừng đôi khác thỏa mãn: a

b− c+ b c −a+

c a −b=0

Chøng minh r»ng

b − c¿2 ¿

c −a¿2 ¿

a −b¿2 ¿ ¿ ¿ ¿

a

¿ b) Tính giá trị biểu thức:

A =

(√420102−4√2010 1−√42010 +

1+√2010

4

√2010 )

2

−√

1+

√2010+ 2010 1+√2010

Câu 2: a) Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác , Chứng minh

1 a2+bc+

1 b2+ac+

1 c2+ab≤

a+b+c

2 abc

b) T×m GTNN cđa A = x - √xy +3y - √x +1

Câu 3: a) Giải phơngtrình 2x 1+35 x=213

b) Cho hàm số y = f(x) với f(x) biểu thức đại số xác định với số thực x khác Biết f(x) + 3f(

2 )= x2 TÝnh F(2)

§Ĩ 4

chuyên Câu 1: a) Cho x y sè thùc tháa m·n x2 + y2 = T×m GTLN cña A = xy

x+y+2 b) Cho x,y,z số thực dơng thỏa mÃn x2 + y2 + z2 = Chøng minh

2 x2

+y2+

2 y2

+z2+

2 z2

+x2≤

x3

+y3+z3

2 xyz +3

Câu 2: a) Giải phơng trình: x2 + 9x + 20 = 2

√3x+10

b) T×m x, y tháa m·n

¿

x2y2−2x+y2=0

2x2−4x+3=− y3 ¿{

(20)

C©u 3: a) Chøng minh r»ng nÕu √x2

+√3 x4y2+√y2+√3 x2y4=a th× √3 x2+√3 y2=√3 a2 b) Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh x4+ ax3 + bx2 +ax +1 = cã nghiệm 5(a2 + b2) 4

Để 5 chuyên

Câu 1: Giải phơng trình : a) x2 +

x+9¿2 ¿

81x2

¿

=40; b) x2 – 2x + 3(x -3)

√ x+1

x 3=7

Câu 2: a) Tìm GTNN cña A = 5−3x

√1− x2

b) Cho a,b,c độ đà ba cạnh tam giác Chứng minh

a2+b2+b2+c2+c2+a22(a+b+c)

Câu 3: Giải hệ phơng tr×nh

¿

y2−xy+1=0

x2

+2x+y2+2y+1=0 ¿{

Để 6

chuyên Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A =

√1+√2+

√2+√3+ +

√24+√25

C©u 2: a) Cho số khác không a, b, c tính giá trị biểu thức M = x2011 + y2011 + z2011 BiÕt x

2

+y2+z2

a2+b2+c2=

x2

a2+ y2

b2+ z2

c2

b) Chøng minh r»ng víi a >

8 số sau số nguyên d¬ng

x =

√a+a+1

3 √

8a −1

3 +

3

√a−a+1

3 √

8a −1

C©u 3: a) Cho a, b, c > tháa m·n

1+a+

35 35+2b ≤

4c

4c+57 tìm GTNN A = abc b) Giả sử a,b,c,d A,B,C,D nhứng số dơng thỏa mÃn a

A=

b

B=

c

C=

d D

c) Chøng minh √aA+√bB+√cC+√dD=√(a+b+c+d)(A+B+C+D)

Mét sè toán khác

Bài 1: HÃy tìm cặp số (x, y) cho y nhá nhÊt tháa m·n x2 + 5xy + 2y – 4xy – = 0

Bµi 2: Chøng minh r»ng nÕu x, y lµ số dơng

x+ y

4 x+y Bµi 3: Chøng minh :nÕu x,y,z > tháa m·n

x+ y+

1

z=4 th×

1 2x+y+z+

1 x+2y+z+

1

x+y+2z1 Bài 4: Cho a,b số thỏa m·n a>b>0 vµ ab = Chøng minh a

2

+b2

a −b ≥2√2

Bài 5: Chứng minh a,b,c ba cạnh tam giác (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)≤ abc Bài 6: Tìm giá trị x để A =

x2−2

√2x+5 cã giá trị lớn Bài 7: Cho ba số dơng x,y,z tháa m·n x +y+z = Chøng minh

xy+yz+xz+

2 x2

(21)

Bài 8: Tìm m ngun để √m2

+m+23 lµ sè hữu tỉ

Bài 9: Cho hệ phơng trình

¿

2x2−xy

=1

4x2+4 xy− y2=m ¿{

¿ a) Gi¶i hƯ m=

b) Tỡm m h cú nghim

Bài 10: Giải phơng trình: x2 + 9x + 20 = 2

3x+10 Bài 11: Tìm giá trị lớn cảu biểu thøc f(x) = x

2+√1− x −2x

2

Bµi 12: Cho a >c, b>c, c> Chøng minh √c(a − c)+√c(b −c)≤√ab

Bµi 13: Cho x ≥ 1, y ≥ Chøng minh

1+x2+

1 1+y2

2 1+xy Bài 14: Giải hệ phơng trình:

a)

x2+y2+x+y=8

x2

+y2+xy=7 ¿{

¿

b)

¿ √x+1+√y=1 √x+√y+1=1

¿{ ¿

Bµi 15; Giải phơng trình nghiệm nguyên; 5x + 25 = -3xy + 8y2

Bài 16: Giải hệ

x+y+z=6

xy+yz−xz=−1

x2+y2+z2=14 ¿{ {

¿

Bµi 17: Cho hai sè x, y tháa m·n 8x2 + y2 +

4x2=4 Xác định x, y để xy đạt GTNN

Bµi 18: Giải phơng trình x2 + 3x + = (x + 3)

x2

+1 Bài 19: Giải phơng trình: 3 x 1+3 x+8=x3+1

Bài 20: Tìm số x,y,z nguyên dơng thỏa mÃn 2(y + z) = x(yz -1)

Bài 21: Chứng minh không tồn số nguyên a,b,c cho a2 + b2 + c2 = 2007

Bài 22: Chứng minh không tồn số hữu tỉ a,b,c cho a2 + b 2 + c2 + a + 3b + 5c + = 0

Bài 23: Tìm tất số có ba chữ số abc cho

abc=n2−1

a−2¿2 ¿ ¿ ¿{

cba=¿

với n số nguyên lớn

Bài 24:Tìm GTNN cảu A =

1+xy+

1 1+yz+

1

1+xz víi x,y,z >0 vµ x

(22)

Bài 25: giải hệ phơng tr×nh:

¿

(x+1)(y+1)=8

x(x+1)+y(y+1)+xy=17 ¿{

¿ Bài 26: Tìm GTNN P = 4a

b+c − a+

9b c+a −b+

16c

a+b − c a,b,c ba cạnh tam giỏc

Bài 27; Giải hệ phơng trình:

¿

x+y=√4z −1

y+z=√4x −1 z+x=√4y −1

{ {

Bài 28 tìm tất số có chữ số abcde cho 3abcde=ab Bài 29:Trong cặp số thực (x,y) thỏa mÃn điều kiện x

2− x

+y2− y

x2+y2−1 ≤0 HÃy tìm cặp số (x, y) cho x + 2y lớn

Bài 30: Giải hệ phơng trình:

¿

(x+y)(x2− y2)=45 (x − y)(x2+y2)=85

¿{

Bài 31: Cho a,b,c số d¬ng tháa m·n a +b+c = CMR: √a+b+√b+c+√c+a ≤6

Phần II:

Các dạng toán khác

A Rót gän

Bµi 1: Rót gän: a)

−3¿2 ¿

−8¿2 ¿ ¿

√¿

; b) 3−√5¿

2

¿

√¿

c)

1−√2¿2 ¿

1+√2¿2 ¿ ¿

√¿

Bµi 2; TÝnh:

√5−3¿2 ¿

2−√5¿2 ¿ ¿

√¿ ;

2−√3¿2 ¿ ¿

√¿

Bµi 3: Rót gän :

(23)

c) C = √7−4√3 + √7+4√3 d) D = √5−2√7−2√6

Bµi 5: Rót gän A = √2−√3+√2+√3

Bµi 6: TÝnh: a¿√8−2√7b¿√4−√7−√4+√7c¿√3−√5+√3+√5

Bai 7: Rót gän A = √√3−√1−√21−12√3

B i 8à : Rót gän A = √6+2√3+2√2+2√6

Bµi 9:TÝnh

a) √14 √56 b) √31 2.√3

3

7.√12 c) √2+√18−√50

Bµi 10: Rót gän: a¿√5+√20−√80b¿√3+√12+3√2.√24c¿√x −√4x+√16x(x ≥0)

Bµi 11: TÝnh: a) √12.√75 b) √27 9.√1

24 25 √

36

25 c) √0,04 25;d¿√90 6,4

Bµi 12: Rót gän: a¿3√2+2√8−3√32b¿2√x −3+2√9(x −3)+3√4(x −3)(x ≥3)

Bµi 13: Tìm x biết: a16x=8;b3x=7;c2x 2+3x 2x 2=8

Bài 14: Giải phơng trình: x+1+34x+416x+16=6;

Bài 15: Rót gän √1002−1

1022−1 √

103 11

Bµi 16: Rót gän a) √3−1+

1

√3+1 , b)

2 1+√x+

2

1−√x (  x  1)

Bµi 17: Rót gän biĨu thøc sau: A = (

2−√x− 2+√x).(

4− x

2√x) Víi < x  4

Bµi 18: Rót gän: A =

3−√5+

5−√21−

√21+√5

B = ( √x −1+

1

√x+1):(

1

√x −1−

√x+1) ( 0≤ x ≠ 1)

Bµi 19: : Cho P =

2(1+√a)+

1 2(1−√a)−

a2

+2

1− a3

a, Rút gọn P

b, Tìm giá trị nhỏ P

Bài 20: Trục mẫu: a)

2−2√5b¿

√x 2+√x

Bµi 21 : Rót gän: A= ( √5−√3−

2

√5+√3−4): 2+√3 √3−2

B = √3−1−

2

√5−√3

Bµi 22 : Rót gän

A = ( √5−√2−

1

√5+√2+1):

√2−1 ; B =

1+√5 √2+√3+√5+

1−√5

√2−√3−√5

Bµi 23: Rót gän: A = √a+3−

1

√a −3

B = √x

2√x −1−

(24)

Bµi 24: Cho A = ( x

√x −1+ x

√x+1):(

x+1

x −1)

a) Rót gän A

b) Với giá trị x xP + P =

4

Bµi 25 : Rót gän A = x+√x

x −2√x+1:( √x+1

√x +

√x −1− x −2

x −√x) víi < x ≠ 1

Bµi 26 : Rót gän

a) a√a+b√a

a+b (víi a; b > 0), b)

3 ab√ab2c3−5 ab2c

√ac

√a3c5

Bµi 27 : Cho M = x√x+2 √x −2 −

2√x −2

√x −2 − 4x

√x2−4

a) Víi gi¸ trị x biểu thức M có nghĩa? b) Rút gọn M

c) Tính giá trị M x = 2 √2

Bµi 28: Cho A = x

2

+√x x −√x+1+1−

2x+√x

√x

a) Tìm tập xác định A b) Rút gọn A, Tìm x để A = 2

c) Cho x > chøng minh A −|A|=0

Bµi 29: Cho M = (x+√x √x+1+1)(

x −√x

√x −1−1)

a) Tìm điều kiện x để biểu thức M xác định b) Rút gọn M

c) Tìm giá trị x để M > 0

Bµi 30: Cho P = (

√1+a+√1−a):(

1

√1− a2+1)

a) Tìm điều kiện a để P có nghĩa b) Rút gọn P

c) Tìm a để P2 = P

TÝnh: 1)

√5−3¿2 ¿ √5+3¿2

¿ ¿

(25)

1)

√2−√3¿2 ¿

1−√3¿2 ¿ ¿

√¿ 3)

5

√7+2√¿ (2√5−√7)¿

4) √5+2√6−√5−2√6 5) (2−√3)√7+4√3

6) √13+4√10−√13−4√10

B HÖ thøc lỵng

A lý thut:

1 KiÕn thøc:

- Hiểu cách chứng minh hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông. - Hiểu định nghĩa Sin ; Cos ; Tg ; Cotg .

- Biết mối liên hệ tỉ số lợng giác góc phụ nhau.

- Hiểu cách chứng minh hệ thức cạnh góc tam giác vuông.

2 Kỷ năng:

- Vận dụng đợc hệ thức để giải toán.

- Vận dụng đợc tỉ số lợng giác để giải tập.

- Biết sử dụng bảng số, máy tính bỏ túi CASIO để tính tỉ số lợng giác góc nhọn

cho trớc số đo góc biết tỉ số lợng giác góc đó.

- VËn dơng tốt hệ thức cạnh góc tam giác vuông vào giải bài tập số toán thực tế.

3 Nh cỏc h thức cách biến đổi:

+ b2 = a.b/ , c2 = a.c/ , h2 = b/.c/ + bc = ah vaø h12=

1 b2+

1 c2

+ b = a.sinB = a.cosC; + c = a.sinC = a.cosB + b = c.tgB = c.cotgC; + c = b.tgC = b.cotgB

b bµi tËp vËn dơng:

1 Bµi tËp cho hs yếu:

Bài 1:

Cho hình vẽ bên hÃy tính x y?

Giải:

Ta có: x2 = 1.(1 + 3) => x2 = 4

=> x = 4x2

T¬ng tù: y2 = 3.(1 + 3) => y2 = 12

=> y = 12y2

Bµi 2:

Cho ABC cã ¢ = 900 ; AB = 30

cm; BC = 50 cm; Kẻ đờng cao AH (H  BC).

Hãy tính độ dài đoạn thẳng:

a, BH b, AH

Gi¶i:

a, Ta cã: AC2 = HC.BC

a A

C H

b c

h B c

/ /b

y x

3

30 50 B

A C

(26)

=> HC =

2

AC BC =

2

30 18 50  => HC = 18 (cm) VËy BH = BC – HC

=> BH = 50 – 18 = 32 (cm) b, Theo hÖ thøc ta cã: AH2 = BH.HC = 18.32

=> AH2 = 576 => AH = 576

=> AH = 24 (cm)

Bµi 3:

Cho ABC; A = 400; AB = 10 cm vµ AC = 12 cm.

H·y tÝnh diƯn tÝch ABC.

Giải:

Kẻ BH AC; áp dụng hÖ thøc cho ABH ta

cã:

0

ˆ . ˆ 10. 40

BH

SinA BH AB SinA Sin

AB    

VËy:

0

1 10 40 12

60 40

2

ABC

Sin

S  BH AC   Sin

=>

2

38,57( )

ABC

S  cm

Bµi 4:

Cho hình vẽ bên HÃy tìm x y

Giải: áp dụng tỷ số lợng giác vào hai tam giác vuông PMN QPN

Ta có: tgN = 5 y

=> y = tgN

=> y = 5.tg300 => y = 5.

3 => y =

5 3 CosN = 5

x

=> x = Cos300 = 5.

3 => x =

5

Bài 5:

Cho hình thang vu«ng ABCD, (AB // CD) cã C = 600 ; AB = 6cm; CD =

10cm.

Tính chu vi diện tích hình thang ABCD.

Gi¶i:

Kẻ đờng cao BH  CD; (HCD);

ta có BHC tam giác vuông H nên:

tgC = HB

HC => BH = HC.tgC; mµ DH = AB = 6cm, (Vì ABHD hình CN) => HC = 4cm

12 10

H C

B

A

5

P

N M

Q x

300

y

600

10

H

D C

(27)

=> BH = 4.tg600 = 4 3cm; mặt khác CosC =

HC BC

=> BC =

60 HC

cosC cos = 8cm

=> CABCD = 4 3 + + +10 = 24 + 4 3cm

=> SABCD =

6

.4 32

2

AB CD BH

 

 

cm2

Bµi 6:

Cho tam gi¸c MNP; MH  NP, (HNP); BiÕt

MN = 5dm; NH = 4dm; HP = 5dm

H·y tÝnh góc MNP.

Giải:

Xét tam giác vu«ng MNH ta cã:

CosN =

5= 0,8 => N  370

=> MH = MN.SinN = 5.Sin370 = 3cm

Xét tam giác vuông MPH ta cã:

tgP =

3 0,6 MH

HP   => P  310; VËy NMP = 1120;

Bµi 7:

Cho tam giác ABC có AHBC; (HBC)

và AB = 16cm; AC = 14cm vµ B = 600.

HÃy tính cạnh BC

Giải:

K ng cao AH, (HBC); Xét tam giác vuông

ABH cã: BH = AB.Cos600 = 16.

1

2 cm; AH =

AB.Sin600 =16

3

2  cm

áp dụng định lý Pitago vào AHC; AHC = 900 ; ta có: HC2 = AC2 – AH2 = 142

– (8 3)2

=> HC2 = => HC = 2cm; VËy BC = BH + HC = + = 10cm.

2 Bài tập cho hs khá:

Bµi 1:

Cho hình thang ABCD có B Cˆˆ 900; hai đờng chéo AC BD vng góc

víi t¹i H BiÕt r»ng AB = 3 5cm; HA = cm Chøng minh r»ng:

a, HA:HB:HC:HD = 1:2:4:8

b, 2 2

1 1

AB CD HB HC

Giải:

a, áp dụng hệ thức b2 = a.b’ vµo

BAC

 ; ABC = 900;

ta cã: AB2 = AC.AH

5

H P

N

M

14 16

600

H C

B

A

D C

B

A

(28)

=> AC =

2

15( ) AB

cm AH  => HC = 12(cm)

Ta lại áp dụng hệ thøc h2 = b’.c’

Vµo BAC vµ CBD

Ta đợc: BH2 = HA.HC = 36

=> BH = 6(cm); vµ CH2 = HB.HD => HD =

2

24( ) CH

cm HB  VËy HA:HB:HC:HD = 3:6:12:24 = 1:2:4:8

b, ¸p dơng hÖ thøc: 2

1 1

h b c vµo BAC vµ CBD ta cã:

2 2 2

1 1 1

(1); (2)

HB AB BC HC BC CD ;

ta trừ vế với vế hai đẳng thức (1) cho (2) ta đợc: 2 2

1 1

HB  HC AB CD

Bµi 2:

Không dùng máy tính bảng số, hÃy tính:

A = Sin250 + Sin2250 + Sin2450 + Sin2650 + Sin2850

B = Cos2200 + Cos2300 + Cos2400 + Cos2500 + Cos2600 + Cos2700

Gi¶i:

Ta cã: A = Cos850 + Cos650 + Sin2450 + Sin2650 + Sin2850

= (Sin2850 + Cos850) + Sin2450 + (Sin2650 + Cos650) = +

2

2      

  +1 =

2 VËy A

=

B = Sin2700 + Sin 2600 + Sin 2500 + Cos2500 + Cos2600 + Cos2700

= (Sin2700 + Cos2700) + (Sin 2600 + Cos2600) + (Sin 2500 + Cos2500) = + +

= 3

VËy B = 3

Bài 3:

Giải ABC; biết AC = 13; AB = 14; BC = 15.

Gi¶i:

Vì AC < AB < BC nên B < C < A suy ra: B C là góc nhọn, Kẻ AH BC;

(H BC) H nằm B C;

Đặt BH = x => CH = 15 – x

Ta cã: AB2 – BH2 = AC2 – CH2 (v× b»ng AH2);

Suy ra: 142 – x2 = 132 – (15 - x)2

<=> 196 – x2 = 169 – 225 + 40x – x2

<=> x = 8,4 => BH = 8,4; CH = 6,6;

mặt khác CosB =

8, 0, 6,6 BH

AB  

=> B  530 ; CosC =

6,6

0,5077 13

CH

AC  

=> C  590

VËy A  680; B  530; C  590

Bµi 4: 15

13 14

H

C B

(29)

Cho ABC; A = 900, AHBC; (HBC),

Tõ H kẻ HFAC; HEAB; (FAC; EAB).

a, Tứ giác AEHF hình gì?

b, Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC

c, Gọi O giao điểm EF vµ AH Chøng minh r»ng: BH.HC = 4.EO.OF

Giải:

a, Tứ giác AEHF có A = E = F = 900

suy ra: AEHF hình ch÷ nhËt. b, Ta cã: AEF ACB (g.g)

=>

AE AF

AC AB => AE.AB = AF.AC

c, Do AEHF hình chữ nhật nên AH = EF; EO = OF => EF = 2.EO => EF2 = AH2 = (2.EO)2 = 4.EO2

=> AH2 = 4.EO.OF

Mµ theo hƯ thøc ABC cã AH2 = BH.HC

Suy ra: BH.HC = 4.EO.OF

Bµi 5:

Cho ABC, đờng phân giác AD, đờng cao BH,

đờng trung tuyến CE đồng quy điểm O Chứng minh rằng: AC.cosA = BC.cosC

Giải:

Kẻ EFBH EF =

2AH; ta cã: HOC

FOE =>

CH OC

EF OE ; V× A1 = A2 nªn

OC AC

OE AE suy ra:

CH AC

EF AE

Do đó: 2

CH AC

EF  AE hay

CH AC

AB CH AC AH

AH AB   (1)

XÐt HAB ; AHB = 900; cã AH = AB.cosA;

XÐt HBC ; CHB = 900; cã CH = BC.cosC

Ta vào (1) ta đợc: AB.BC.cosC = AC.AB.cosA hay AC.cosA = BC.cosC

Bµi 6:

Cho ABC; A = 900, BiÕt sinB =

1

4; H·y tÝnh tgC.

Gi¶i:

Ta cã: B + C = 900 => cosC = sinB =

1

4; mặt khác ta có: sin2C + cos2C =

=> sin2C = - cos2C = -

1 16 =

15

16 => sinC = 15

O

F

E H

C A

B

2 1

O H

E

D C

B

A

(30)

VËy: tgC =

sin 15

: 15

cos 4

C

C   => tgC = 15

Bµi 7:

Cho ABC, AB = 1; A = 1050; B = 600; Trên cạnh BC lÊy ®iĨm E cho

BE =

VÏ ED // AB; (DAC) Chøng minh r»ng: 2

1

3 AC  AD 

Gi¶i:

VÏ AHBC; AFAC (H,FBC).

Ta ABE đều; EAD = EAF = 450;

AED = AEF = 600;

=> AED = AEF(g.c.g) => AD = AF.

XÐt AFC cã A = 900; 2

1 1

AC AF AH suy 2

1

3

AC  AD  ; (v× AH2 =

3 4) C Đồ thị hàm số bậc nhất

1, Định nghĩa:

Hm s cú dng y = ax + b, a, b số cho trớc,a ≠ đợc gọi hàm số bậc ẩn.

2, TÝnh chÊt:

- Hàm đồng biến a > 0, nghịch biến a < 0. - a gọi hệ số góc ca hm s.

3, Đồ thị.

a, Hỡnh dạng: Đồ thị đờng thẳng

b, Cách vẽ đồ thị: B

ớc 1: Chọn hai điểm thuộc đô thị.

Thông thờng chọn hai điểm đặc biệt: A( 0, b) B( − b

a ,0¿

B

ớc 2: Vẽ hệ trục toạ độ vễ đờng thẳng qua hai điểm đó

c, Tính chất đồ thị: Xét hai hàm số y = ax + b y = a’x + b’ - Khi a = a’, b = b’ đồ thị hai hàm số trùng nhau.

- Khi a = a’, b ≠ b’ đồ thị hai hàm số song song với

- Khi a ≠ a’ đồ thị hai hàm số cắt Nếu b = b’ cắt điểm trục tung có tung độ b

4, Các toán:

Dng 1: V th hàm số, tìm giao điểm

1 A

B C

H

F E

(31)

Bài 1: Vẽ hai đồ thị hàm số y = x – y =

2 x+ hệ trục toạ độ

và tìm giao điểm chúng.

Giải:

+) Hµm sè: y = x – 1: Chän x = th× y = -1; Chän y = th× x = 1

Đồ thị hàm số y = x – đờng thẳng qua hai điểm (0;- 1) (1; 0)

+) Hµm sè y =

2 x+ 2: Chän x = th× y = 2; Chän y = x = - 4

Vậy đtths y =

2 x+ đờng thẳng di qua hai điểm (0;2) và(- 4; 0)

+) Đồ thị

+) Gi C l giao im hai đồ thị hàm số y = x – y =

2 x+ 2

Khi hồnh độ điểm C nghiệm phơng trình

x – =

2 x+  x –

2 x = + 

2 x =  x = 6

Thay x = vào hàm số y = x – ta đợc y = 5 Vậy toạ độ điểm C ( 6; 5)

Dạng 2: Xác định hệ số hàm số

Bài 1: Xác định hệ số a hàm số y = ax +3 biết đồ thị hàm số qua điểm A(1; 1)

Giải

Đồ thị hàm số qua điểm A( 1; 1) cã nghÜa lµ: = a.1 +  a = -2.VËy a = -2

O

-1

x y

- 4

2

1

.

(32)

Bài 2: Xác định hệ số a,b hàm số y = ax +b biết đồ thị hàm số qua điểm A(1;5) song song với đờng thẳng y = 2x -

Gi¶i

Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = 2x – nên a = 2 khi hàm số tr thnh: y = 2x + b

Đồ thị hàm số qua điểm A( 1; 5) có nghĩa lµ: = 2.1 + b b= 3. VËy a = 2, b = 3

Bài : Xác định hàm số y = ax +b biết đồ thị hàm số qua điểm A(2;-1) cắt trục

tung điểm có tung độ 2 Giải

Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ nên b = 2 khi hàm số trở thành: y = ax + 2

Đồ thị hàm số qua điểm A( 1; 5) cã nghÜa lµ: -1 = a.2 + 2 a = −3

2 .

VËy hµm sè lµ y = −3

2 x + 2

Bài : Xác định hàm số y = ax +b biết đồ thị hàm số qua hai im A(2;-1) v

B(-2; 3) Giải

Đồ thị hàm số qua điểm A( 2; -1) có nghĩa lµ: -1 = a.2 + b  2a + b = -1 Đồ thị hàm số qua điểm B( -2; 3) cã nghÜa lµ: = a.(-2) + b  -2a + b = 3

Từ ta có hệ:

¿

2a+b=−1

−2a+b=3 ¿{

¿

 ¿

b=1

a=−1 ¿{

¿ VËy hµm sè lµ y = - x + 1

Bài : Xác định hàm số y = ax +b biết đồ thị hàm số qua hai điểm A(2;-1) và

cắt đồ thị hàm số y = 2x -1 điểm có tung độ 5 Gii

Đồ thị hàm số qua điểm A( 2; -1) cã nghÜa lµ: -1 = a.2 + b  2a + b = -1

Đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số y = 2x -1 điểm có tung độ tức qua điểm có tung độ đờng thẳng y = 2x – 1.

Điểm có hồnh độ x = Vậy đồ thị hàm số qua điểm ( 3, 5), hay = a.3 + b  3a + b = 5

Từ ta có hệ:

¿

2a+b=−1

3a+b=5 ¿{

¿



¿

a=6

b=−13

(33)

* Lu ý: Phơng trình bậc hai ẩn ax + by = c đa dạng hàm số bậc nhÊt y = ax + b b»ng c¸ch: ax + by = c  by = - ax +c  y = − a

b x+

c

b vµ cã hƯ sè gãc

lµ − a

b , ax + by = c đợc gọi đờng thẳng.

D HÖ hai phơng trình bậc hai ẩn

1, Định nghĩa: Hệ phơng trình dạng a1x + b1y = c1

a2x + b2 y = c2

Trong a1,b1 , c1 ,a2 ,b2 ,c2 số cho trớc x, y ẩn

2, Nghiệm hệ cặp số (x, y) thoả mÃn hai phơng trình trên. 3, Số nghiệm hệ phụ thuộc vào hệ số a1,b1 , c1 ,a2 ,b2 ,c2

NÕu a1

a2 =b1

b2 =c1

c2

hệ cho có vơ số nghiệm

NÕu a1

a2

=b1

b2

≠c1

c2

hệ cho vơ nghiệm

NÕu a1

a2

≠b1

b2

hệ cho có nghiệm nhất

4 Cách giải

Cú hai phng phỏp chớnh giải hệ phơng trình là Phơng pháp phơng pháp cộng đại số

4.1 Ph¬ng pháp thế a, Quy tắc thế.

b, Ví dụ

Giải hệ phơng trình: x + 2y = (I) 2x - y = -1 Gi¶i:

Ta cã (I)  x = – 2y x = – 2y 2(3 – 2y) – 3y = -1 -7y = -

Vậy hệ ó cho cú mt nghim

* Các tập

Gải hệ phơng trình sau:

a, b

4.2 Phơng pháp cộng đại số a, Quy tắc cộng.

b, VÝ dô

Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình

<=>

x = y =

x = y =

2x – y =

3x +2y =

2x + 3y = -3

3x -y =

2x + 3y = -3

2x -y =

2x + 3y = -3

2x -y =

y = -1 x = 4y = -4

2x -y =

<=>

(34)

Gi¶i:

Vậy hệ cho có nghiệm (x,y) = ( 0, -1)

Gi¶i T a cã:

Vậy hệ cho có nghiệm ( x, y ) = ( -1, -3/2)

Gi¶i: Ta cã

Vậy hệ cho có nghiệm (x, y) = ( -1, 2)

* Bài toán tổng hợp

Cho hệ phơng trình

a, Giải hệ phơng trình m = 2

b, Tìm giá trị m để hệ có nghiệm nhất

Gi¶i.

a, Khi m = hệ trở thành

Vy với m = hệ cho có nghiệm

b, Để hệ cho có nghiệm

m−1

2 ≠

2

m+1 => m

2 – ≠ => m2 ≠ => m ≠

5 * Các toán:

Bài 1: Giải hệ phơng trình:

Bài 2: Cho hệ phơng trình

a, Giải hệ phơng trình m = -1 3x + 2y = -6

2x -2y =

5x = - 2x -2y =

x = - -2y =

x = - y = -3/2

3x + 2y =

2x - 3y =

6x + 4y =

6x - 9y = 21

13y = -13 2x -3y =

13y = - 13

2x -3y = <=>

y = -

x = <=>

(m-1)x +2y = -1

2x –(m +1)y =

x + 2y = -1

2x - 3y =

7x = - 2x - 3y =

x = - 4/7 y= - 22/21

a, - x + 2y =

2x - 2y =

b, 3x + y = -2

3x - 2y =

c, 4x +3 y = -2

3x - 2y = -1 (m-2)x +my =

3x –(m -1)y =

3x + 2y = -6

2x -2y =

<=>

<=> <=>

<=>

3x + 2y =

2x - 3y = <=> <=>

x = - 4/7 y= - 22/21

<=> 2x + 4y = -2

(35)

b, Tìm giá trị m để hệ cú mt nghim nht

E Phơng trình bậc hai, hệ thức vi ét I Phơng trình bậc hai

Ví dụ 1: Giải phơng trình sau

a, 2x2 – 3x – = 0; b, -x2 + 5x – = 0 c, 4x2 -12x + =

0

Gi¶i:

a, Ta cã:  = (-3)2 – 4.2.(-7) = + 56 = 65 > 0

4 ; x2 =

3−√65

b, Ta cã:  = 52 – 4.(-1).(-8) = 25 – 32 = -7 < 0.

Vậy phơng trình vô nghiệm

c, Ta cã:  = (-12)2 – 4.4.9 = 144 -144 = 0

Vật phơng trình có nghiẹm kép: x1 = x2 =

12

8 =

3

Ví dụ 2:Giải phơng trình

a, 4x2 -12x + = 0, b, 2x2 – 4x + =

c, x2 – 4x – = 0 d, 9x2 – 6x + = 0

e, x2- 2x – = 0

Gi¶i:

a, Ta cã: ’ = (-6)2 – 4.9 = 36 -36 = 0

Vật phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

6

4=

3

b, Ta cã ’ = (-2)2 - 2.9 = – 18 = -14 < VËy phơng trình vô nghiệm

c, Ta có = (-2)2 - 1.(-7) = +7 = 11 >

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biÖt x1 = 2+√11 : x2 = 2−√11

d., ta cã ’ = (-3)2 – 9.1 = = 0.

Vậy phơng trình có nghiÖm kÐp x1 = x2 =

9=

1

e, Ta cã ’ = + = >0

Vậy phơng trình có hai nghiÖm phan biÖt: x1 = 1- = -1; x2 = + = 3

VÝ dụ 3: Giải phơng trình.

a, x2- 2x – = 0 b, 4x2 – 100x + 96 = 0

c, 2x2 + 55x + 53 = 0

Gi¶i:

a, x2- 2x – = 0

Ta cã a – b + c = - (-2) + (- 3) = 0

(36)

b, 4x2 – 100x + 96 = 0

Ta cã a + b + c = + (- 100) + 96 = 0

VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = 1; x2 = 24

c, 2x2 + 55x + 53 = 0

Ta cã a - b + c = -55 + 53 = 0

Vậy phơng trình có hai nghiÖm x1 = -1; x2 =

53

II, HƯ thøc Vi -Ðt vµ øng dơng

1 Hệ thức

Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm phân biệt x

1 x2

x1+x2=−ba

x1.x2=c

a

¿{ ¿

2, HƯ qu¶

Hai số có tổng S, tích P hai số hai nghiệm củ phơng trình bậc hai: X2 – SX + P = ( Để tồn hai số S2 ≥ 4P)

3, C¸c vÝ dơ.

VÝ dơ 1: Cho phơng trình 2x2 3x = Gäi x

1, x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng

trình.Tính:

a, x1 x2 và x1+ x2 b, TÝnh x12 + x22, x12 + x22– x1x2

c, TÝnh x12 x2+ x22 x1 d, TÝnh x13 + x23 e, TÝnh x14 + x24

Gi¶i:

Ta cã  = (-3)2 – 4.2.(-7) = + 56 = 65 > 0

Vậy phơng trình cã hai nghiÖm x1, x2

Theo hÖ thøc Vi Ðt ta cã:

¿

x1+x2=3

2 x1.x2=−7

2

¿{ ¿ a, x1.x2 = −7

2 ; x1+ x2 =

2

b, x12+ x22 = (x1+ x22 ) - x1.x2 = (

2 )2 – −7

2 =

9 4+7=

37

x12+ x22 - x1.x2 = (x1+ x22 ) - x1.x2 - x1.x2 = (x1+ x22 ) - 5x1.x2 = (

2 )2 – 5. −7

2 =

9 4+

35

2 =

(37)

c, x12 x2+ x22 x1 = x1.x2(x1+ x2) = −7

2

3

2 =

−21

d, x13 + x23 = (x1+ x2)(x12 - x1.x2 + x22) = (x1+ x2)[( x1+ x2)2- x1.x2)]

= (x1+ x2)3 – x1.x2(x1+ x2) = (

2 )3 – −7

2

3

2 =

9 8+

63

4 =

135

e, x14 + x24 = (x12)2+ (x22)2 = (x12+ x22)2 – x12.x22 = [(x1+ x22 ) - x1.x2 ] – 2( x1.x2 )2

= ( 37

4 )2 – 2( −7

2 )2 = 1369

16 −

49

2 =

977 16

4, Các toán tổng hợp

Bài 1: Cho phơng trình ( m -1)x2 + 2mx + m – = 0

a, Giải phơng trình m = 2.

b, Tìm giá trị m cho biểu thức x12 x2+ x22 x1 > 3

c, Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Giải

a, Khi m = phơng trình cho trở thành: x2 + 4x =  x( x + 4) =  x =

x = - 4

Vậy phơng trình cã hai nghiÖm x1 = 0, x2 = - 4.

b, Ta cã ’ = m2 –(m -1)(m – 2) = m2 – m2 + 3m – = 3m 2

Để phơng trình có nghiệm th× 3m – ≥  m ≥ 32

Khi theo hệ thức Vi ét ta có

¿

x1+x2=

−2m

m−1

x1.x2=m−2

m −1

¿{ ¿

Do đó: x12 x2+ x22 x1 >  x1.x2(x1+ x2) >  ( −2m

m−1 )(

m−2

m−1 ) >3

 -2m(m – 2) > 3(m2 – 2m + 1)  5m2 – 10 m + > (*)

m ≠ m ≠ Ta cã 5m2 - 10m +3 >  5(m – 1)2 – >  (m – 1)2 >

5

m – > √2

5 hc m – < - √

5  m > √

5 +1 hc m < - √ +1

KÕt hỵp với điều kiện 1 m 32 ta cã : m > √2

5 +1

(38)

Bµi 2: Cho phơng trình x2 + 2( m 3)x = 0

a, Giải phơng trình m = 4,

b, Xác định m để phơng trình có nghiệm x = -2, tìm nghiệm cịn lại c, Chứng minh phơng trình ln có hai nghiệm trái dấu với mõi m.

Gi¶i:

a, Khi m = phơng trình trở thành: x2 + 2x = 0

a + b + c = + + (-3) = VËy phơng trình có hai nghiệm:

x1 = 1, x 2 = -3

b, Phơng trình x2 + 2( m – 3)x – = cã nghiÖm x = -

tøc lµ (-2)2 + 2( m – 3)(-2) – =  - 4m + 12 - =  - 4m = -13  m =

13

Theo Vi et: x1.x2 = -3 , mµ x1 = -2 => x2 =

2

c, Ta có: a.c = 1.(-3) = -3 < nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Mặt khác: c

a=3<0 nên phơng trình có hai nghiệm trái dấu.

Vậy với m phơng trình có hai nghiệm trái dấu.

Bài 3: Cho phơng trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = 0

a, Giải phơng trình m = 1

b, Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. c, Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

Gi¶i;

a, Khi m = phơng trình trở thành x2 + 4x =  x(x + 4) =  x = hc x = - 4

VËy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 0, x2 = -4

III, Phơng trình quy phơng trình bậc hai

1, Phơng trình trùng phơng a, Định nghĩa:

Phng trỡnh dang ax4 + bx2 + c = (1) , a, b, c số cho trớc, a ≠ 0

b, Cách giải:

Đặt x2 = t, §iỊu kiƯn : t ≥ 0

Khi phơng trình trở thành at2 + bt + c = (2)

Giải tìm t thoả mãn điều kiện t ≥ x = ± √t

c, Số nghiệm phơng trình

+) Phơng trình (1) vô nghiệm phơng trình (2) thoả mÃn điều kiện sau:

- Phơng trình (2)vô nghiệm

(39)

- Phơng trình có hai nghiệm âm

+) Phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) thoả mÃn trong điều kiện sau đây:

- Phơng tr×nh (2) cã mét nghiƯm b»ng 0

- Phơng trình (2) có hai nghiệm nghiệm âm nghiệm bằng 0

+) Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt phơng trình (2) thoả mÃn trong điều kiện sau đây:

- Phơng trình (2) có nghiƯm kÐp d¬ng

- Phơng trình (2) có hai nghiệm nghiệm âm nghiệm d-ơng

+) Phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) có nghiệm 0 nghiệm dơng

+) Phơng trình (1) có nghiệm phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt dơng

L

u ý: Phơng trình trùng phơng có nghiệm khác khơng sẻ có hai nghiệm đối nhau.

d, Các tập:

Bài tập 1: Giải phơng tr×nh: 2x4 – x2 – = 0

Giải:

Đặt x2 = t, Điều kiện t 0

khi phơng trình cho trở thành 2t2– t – =

Ta cã: a - b + c = - (-3) + (-5) = 0

Phơng trình 2t2 t – = cã hai nghiÖm t

1 = -1( lo¹i) ; t2 =

2

Vậy phơng trình 2x4 x2 = cã hai nghiÖm x

1 = √5

2 , x2 = - √

Bài tập 2: Giải phơng trình: x4 4x2 + = 0

Giải:

Đặt x2 = t, §iỊu kiƯn t ≥ 0

khi phơng trình cho trở thành t2– 4t + =

Ta cã: a + b + c = + (- 4) + = 0

Phơng trình t2 4t + = có hai nghiÖm t

1 = ; t2 = 3

Vậy phơng trình x4 4x2 + = cã nghiÖm

x1 = , x2 = - 1; x3 = √3 ; x4 = - √3

2, Ph¬ng trình chứa ẩn mẫu a, Các bớc giải:

(40)

Bài 1; Giải phơng trình

x −1+ 2x x+1=

3

x2−1 (1)

Giải:

ĐKXĐ: x 1

Víi x ≠ th× (1) ±  (x +1) + 2x(x – 1) =  x + + 2x2 – 2x – = 0

 2x2 – x – = (*)

 = + 16 = 17 > 0

Phơng trình (*) có hai nghiệm x1=1+17

4 ;x2=

1−√17

Ta thấy cảc hai giá trị x1 x2 thoả mãn điều kiện xác nh.

Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm x1=1+√17

4 ;x2=

1−√17

F §êng tròn toán liên quan Phần iii

Một số toán khác