Goïi HD laø ñöôøng kính cuûa (A;AH). Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taïi D caét AC ôû E. a) Chöùng minh tam giaùc BEC laø tam giaùc caân. Qua B keû ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi DE, ñöô[r]
(1)PHẦN I : ĐẠI SỐ
Chương I: CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA
1 Định nghóa bậc hai
Với số dương a có hai bậc hai đối a; a . ađược gọi bậc hai số học a
Số : bậc hai số học
x = a
x
x a
* Nhận xét: Với a ≥ 0, ta có:
2 2
a a a
2 Định lý 1 : Với hai số a, b khơng âm, ta có: a < b ⇔√a<√b
3 Căn thức bậc hai
Với A biểu thức đại số, người ta gọi √A là thức bậc hai A
* √A có nghóa A ≥
4 Hằng đẳng thức A2 A
Định lý : Với số a, ta có √a2=|a|
5 Định lý : Với hai số a b không âm, ta có
√a.b=√a.√b
6 Quy tắc khai phương tích: Muốn khai phương tích số khơng âm, ta khai phương thừa số rối nhân kết với
* Quy tắc nhân thức bậc hai : Muốn nhân bậc hai củacác số không âm, ta nhân số dấu với khai phương kết
* Tổng quát: Với A ≥ B ≥ 0, ta có √A.B=√A.√B 7 Định lí 3 : Với số a khơng âm số b dương, ta có
√ab=
√a
√b
8 Quy tắc khai phương thương : Muốn khai phương thương ab , số a khơng âm số b dương, ta khai phương số a số b, lấy kết thứ chia cho kết qủa thứ hai
* Quy tắc chia hai thức bậc hai : Muốn chia bậc hai số a không âm cho bậc hai số b dương, ta chia số a cho số b khai phương kết qủa
* Tổng quát: Với A ≥ B > 0, ta có :
√BA=√A
√B
9 Đưa thừa số dấu căn
Với B 0, ta có √A2B=|A|√B
10 Đưa thừa số vào dấu căn
(2)Với A < 0; B 0, ta có: A B A B2 11 Khử mẫu biểu thức
Với AB , B 0, ta có: √A
B=
√AB
|B| 12 Trục thức mẫu
+ Với B > ta có: A
√B= A√B
B
+ VớiA vàA B2, ta có: C
√A ± B=
C(√A∓B) A − B2
+ Với A 0, B A B, ta có:
C
√A ±√B=
C(√A∓√B) A − B 13 Khái niệm bậc ba
* Định nghóa : Căn bậc ba số a số x cho x3 = a * Chuù yù : (
√a¿3=√3a3=a * Nhận xét :
- Căn bậc ba số dương số dương - Căn bậc ba số âm số âm - Căn bậc ba số số * Tính chất bậc ba :
Căn bậc ba có tính chất sau a) a < b =>
√a<3
√b
b)
√ab=√3a.√3b c) b :√3 a
b=
√a
√b
Chương II : HÀM SỐ BẬC NHẤT 1 Khái niệm hàm số
- Nếu đại lựơng y phụ thuộc vào đại luợng thay đổi x cho với giá trị x, ta xác định gía trị tương ứng y y gọi hàm số x, x gọi biến số - Khi hàm số cho công thức y = f(x), ta hiểu biến số x lấy giá trị mà f(x) xác định
- Khi y hàm số x, ta viết y = f(x), y=g(x),
- Khi x thay đổi mà y ln nhận giá trị y đựơc gọi hàm 2 Đồ thị hàm số
Tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng (x; y) mặt phẳng tọa độ gọi đồ thị hàm số y = f(x)
3 Hàm số đồng biến, nghịch biến
(3)a) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) tăng lên hàm số y = f(x) gọi hàm số đồng biến R( gọi tắt hàm số đồng biến)
b) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm hàm số y = f(x) gọi hàm số nghịch biến R (gọi tắt hàm số nghịch biến)
* Với x1, x2 thuộc R
Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) hàm số y = f(x) đồng biến R Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) hàm số y = f(x) nghịch biến R 4 Hàm số bậc nhất
* Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax +b, a, b
số cho trước a
* Chú ý : Khi b = hàm số có dạng y = ax * Tính chất hàm số bậc nhất:
Hàm số bậc y = ax +b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau : a) Đồng biến R a >
b) Nghịch biến R, a < 5 Đồ thị hàm số bậc nhất
Đồ thị hàm số y = ax +b (a 0) đường thẳng:
- Cắt trục tung điểm có tung độ b
- Song song với đường thẳng y = ax, b 0; trùng với đường thẳng y = ax, b =
* Chú ý : Đồ thị hàm số y = ax+b ( b 0) gọi đường thẳng y = ax +b; b đựợc gọi tung độ đường thẳng
* Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) Cách 1: Xác định hai điểm đồ thị
Cho x=1, tính y=a+b, ta có điểm A(1; a+b) Cho x=-1, tính y=-a+b, ta có điểm B(-1;b–a) Cách 2: Xác định giao điểm đồ thị với trục tọa độ Cho x = 0, tính y = b, ta có điểm P(0;b)
Cho y=0, tính x=−b
a , ta có điểm Q (−
b a;0)
Vẽ đường thẳng qua A, B qua P, Q ta đồ thị hàm số y = ax + b
6.Đường thẳng song song.Đường thẳng cắt
Hai đường thẳng d1: y = ax + b (a 0)
vaø d2: y = a’x + b’ (a’ 0) * d1 caét d2 a a’
* d1 // d2 a = a’ , b b’
* d1 d2 a = a’ vaø b = b’
* Chú yù : Khi a a’, b = b’ hai đường thẳng cắt điểm trục tung có tung độ b
7 Khái niệm hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a0 )
a.Góc tạo đường thẳng y = ax+b (a0) với trục Ox
(4)
a > a < b Heä số góc
+ a > 0, góc nhọn
+ a < 0, góc tù
* a đuợc gọi hệ số góc đường thẳng y = ax + b
* Chú ý: Khi b = ta có hàm số y =ax a hệ số góc đường thẳng y = ax
Chương III: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1 Khái niệm phương trình bậc hai ẩn:
- Hàm số bậc hai ẩn có dạng: ax + by = c
trong a, b số biết (a b 0)
- Nếu giá trị vế trái x = x0 ; y = y0 vế phải (x0, y0 ) nghiệm phương trình
- Các khái niệm : tập nghiệm, phương trình tương đương, qui tắc chuyển vế, qui tắc nhân: áp dụng cho phương trình bậc hai ẩn
2. Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn
1) Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c ln ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm đựơc biểu diễn đường thẳng ax + by = c
2) Nếu a b đt đồ thị hàm số y=−a
bx+ c b
+ Nếu a b = đường thẳng song song trùng với trục tung
+ Nếu a= b đường thẳng song song trùng với trục hịanh
3 Khái niệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng :
ax + by = c a'x + b'y = c'
(I)
+Nếu hai phương trình có nghiệm chung (x0 ; y0 ) (x0 ; y0 ) gọi nghiệm hệ
(I)
+ Nếu hai phương trình cho khơng có nghiệm chung ta nói hệ (I) vơ nghiệm 4 Minh họa hình học :
Cho hệ phương trình
1
ax + by = c d
a'x + b'y = c' d
Trên mặt phẳng tọa độ tập hợp nghiệm hệ phương trình đuợc biểu diễn tập hợp điểm
chung cuûa d1 d2
+ Nếu d1 cắt d2 hệ (I) có nghiệm
+ Nếu d1 // d2 hệ (I) vô nghiệm
(5)5) Hệ phương trình (I)
1
ax + by = c d
a'x + b'y = c' d
d1 cắt d2 (I) có nghiệm nhaát
a b
a' b'
d1 // d2 (I) vô nghiệm
a b c
a' b' c'
d1 d2 (I) vô số nghiệm
a b c
a' b' c'
6 Giải hệ phương trình phương pháp
* Dùng qui tắc biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình có phương trình ẩn
* Giải phương trình ẩn vừa có, suy nghiệm hệ cho 7 Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số
* Nhân hai vế phương trình với số thích hợp ( cần ) cho hệ số ẩn hai phương trình hệ đối
* Áp dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình mới, có phương trình mà
hệ số hai ẩn ( tức phương trình ẩn )
* Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho 8 Giải tốn cách lập hệ phương trình.
B1: Lập hệ phương trình
+Chọn ẩn đặt điều kiện cho aån
+Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn đại lượng biết +Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng
B2: Giải hệ phương trình
B3: Kiểm tra với điều kiện, kết luận
Chương IV: HÀM SỐ y = ax2 (a 0).
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1 Khái niệm hàm số bậc hai: là hàm số cho công thức có dạng y = ax2(a ≠ 0) 2 Tính chất hàm số y = ax (a 2 0)
Hàm số y = ax2(a
0), xác định với giá trị củ x thuộc R
Tính chất:
+ Nếu a > hàm số y = ax2 nghịch biến x < đồng biến x > 0
+Nếu a < hàm số y = ax2 đồng biến x < nghịch biến x > 0
* Nhận xét :
Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục
đối xứng Đường cong gọi parabol với đỉnh O
(6)3 Phương trình bậc hai
Định nghóa : Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng : ax2 + bx +c = 0
Trong : x ẩn ; a,b,c số cho trước gọi hệ số a
4 Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0)
Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a
0) (1)
= b2 – 4ac
< 0: phương trình vô nghiệm
=0 :phương trình có nghiệm kép:
b x = x =
-2a
> : phương trình có hai nghiệm phân biệt :
1
-b + x =
2a
vaø
b -x =
2a 5 Công thức nghiệm thu gọn :
Phương trình bậc hai ax2+ bx+c=0 (1) , a
vaø b = 2b’ b’ =
b
2,ta coù:
’ = b’2 – ac
Neáu ’ < 0, phương trình (1) vô nghiệm
Nếu ’ = 0, phương trình (1) có nghiệm kép
x1 = x2 = - b'a
Neáu ’ > 0, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1=
− b '+√Δ'
a ; x2=
− b ' −√Δ' a 6 Hệ thức Vi- ét :
Nếu x1 , x2 hai nghiệm phương trình bậc hai: ax2 + bc + c = 0, a :
1
1
b
x x
a c x x
a ìïï + =-ïïï
íï
ï =
ïïïỵ
* Tổng quát :
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = có a + b + c = phương trình có nghiệm x
1 =
nghiệm lại x2=c
a
+ Nếu phương trình ax2 + bx +c = có a -b +c = phương trình có nghiệm x
1 = -
nghiệm lại x2=−c
a
+ Tìm hai số u v biết {uu+v=.v=PS
Hai số u v nghiệm phương trình bậc hai: x2 – Sx + P = 0
* Điều kiện để có hai số : S2 -4P 0
* Biện luận nghiệm phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai ax2+ bx+c=0 (1) , a
(7)+ Phương trình (1) có nghiệm ≥ + Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
> a.c >
+ Phương trình (1) vô nghiệm <
+ Phương trình (1) có nghiệm kép =
+ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu P <
+ Phương trình (1) có hai nghiệm dấu
0 P
+ Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt
0 S P
+ Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt
0 S P
7 Phương trình trùng phương:
Phương trình trùng phương phương trình có daïng: ax4 + bx2 + c = 0 , a
(1)
Cách giải : Đặt t = x2 , t
Ta coù : at2 + bt + c = (2)
Giải phương trình (2) theo ẩn t
Lấy giá trị t để thay vào t = x2 tìm x
8 Phương trình chứa ẩn mẫu
Các bước giải phương trình chứa ẩn mẫu
B1: Tìm ĐKXĐ
B2:Quy đồng khử mẫu hai vế
B3: Giải phương trình vừa tìm
B3: Đối chiếu nghiệm vừa tìm với ĐKXĐ kết luận
9 Phương trình tích :
A(x) B(x) =
A(x) = B(x) =
10 Giải toán cách lập phương trình.
B1: Lập phương trình
+Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn
+Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn đại lượng biết +Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng
B2: Giải phương trình
(8)
Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa
a) 2x 7 b) 3x 4 c) x d)
1
x 1 e)
4 x
f)
2
x g)
5
x
Bài 2: Rút gọn biểu thức
a)
2
(4 2) b) (3 3)2 c) (4 17)2 d) 2 3 (2 3)2
e) 3 f) 23 7 7 g) 5
Bài 3: Rút gọn biểu thức
a) ( 2 10) 2 b)0,2 ( 10) ( 3 5)2 c)2 3) 2.( 3) ( 1) d)
1
( 200):
2 2 5 8 e) 9 17 9 17 f)2 2( 2) (1 2) 6 2
g)
1
5 20
5 2 h)
1 4,5 12,5
2 i) 20 45 18 72
k)0,1 200 0,08 0,4 50 l) 5 a 4b 25a 5a 16ab2 9a ( Với a > 0, b > 0) m) 5a 64ab3 12a b3 32ab 9ab 5b 81a b ( Với a > 0, b > 0)
n)
6 2x
(x 6x) : 6x
x p) ( 28 3 7) 7 84 q) ( 6 5)2 120
Bài 4: Rút gọn biểu thức a) 2 b) 15 c)
2
8 d) a a a d)
p p p e) x x
( với x ≠ - 5)
f)
6 14
2 28
g)
2 16
2
h)
2
x 2x
x
( với x ≠ 2)
i)
14 15 :
1
k)
2 216 .
3
8
h)
2
3 1 1 i)
5 5
5 5
k)
3
3 1 1 m)
x x y y xy
x y
(Với x≥0, y ≥0, x≠y)
Bài 5: Tìm x biết:
a) 5x 12 b) 2x 1 c) 4x 4x 5 d) x26x 3x 1 e) (2x 1) 3 f) 2x 1 2 g) 3 2x 2 3 h)
4
4x 20 x 9x 45
3
i)
15 x
25x 25 x
2
(9)Bài 6: Chứng minh ( n 1 n)2 (2n 1) (2n 1) 1 2 Bài 7: Cho biểu thức P =
x x x
4 x
x x
a) Rút gọn biểu thức x ≥0 x ≠
b) Tìm x để P có giá trị Bài 8: Chứng minh biểu thức sau: a)
3 5 3
3 5
b) 2 2 c) 2
4 8
(2 5) (2 5)
Bài 9: Trong hàm số sau hàm số hàm số bậc nhất, xác định hệ số a, b xét xem hàm số hàm số đồng biến hàm số hàm số nghịch biến ?
a) y = – 0,5x b) y = - 1,5x c) y = – 2x2 d) y = ( 1 )x + 1
e) y = 3(x 2) f) y + x 3 g) y =
x 2 -
1
2 h) y =
2
x+1 i) y = 3x
Bài 10: a) Cho hàm số y = f(x) =
3x + với x R Chứng minh hàm số đồng biến R.
b) Cho hàm số y = f(x) = (3 2)x + với x R Chứng minh hàm số nghịch biến R
Bài 11: Cho hàm số bậc y = (2m + 1)x +5 Xác định m để hàm số: a) Hàm số đồng biến
b) Haøm số nghịch biến
Bài 12: Cho ba hàm số y = x (d1); y = 2x (d2); y = - x + (d3) a) Vẽ ba đồ thị hệ trục tọa độ
b) Đường thẳng d3 cắt hai đường thẳng d1 d2 hai điểm A B Tìm tọa điểm A B
Tính diện tích chu vi tam giác OAB Bài 13: Cho hàm số y = (a – 1)x + a
a) Xác định giá trị a để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ b) Xác định giá trị a để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ -
c) Vẽ đồ thị hai hàm số ứng với giá trị a vừa tìm hệ trục tọa độ Oxy Hãy tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng
Bài 14: Cho hàm số y = ax + Hãy xác định hệ số a biết: a) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = -2x
b) Đồ thị hàm số qua điểm A (1 2;2 2)
Bài 15: Cho hàm số y = 2x + b, tìm b biết x = hàm số có giá trị Vẽ đồ thị hàm số ứng với giá trị b vừa tìm
Bài 16: Với giá trị m hàm số y = 12x + – m y = 3x + + m cắt điểm trục tung
Bài 17: Với gia trị m k thi hai đường thẳng y = kx = m – y (5 – k)x +m - trùng
(10)b) (d) tạo với trục Ox góc nhọn c) (d) tạo với trục Ox góc tù
e) (d) cắt trục tung điểm có tung độ f) (d) cắt trục hoành điểm có hồnh độ
1
Bài 19: Cho đường thẳng y = (m – 2)x + n ( m ≠ 2) (d) Tìm m n để đường thẳng d a) Đường thẳng qua hai điểm A(- ;2) B(3; -4)
b) Cắt trục tung điểm có tung độ 1 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
2
c) Cắt đường thẳng y =
1x
2
d) Song song với đường thẳng y =
3x
2
e) Trùng với đường thẳng y = 2x –
Bài 20: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1:2), B(3;4) a) Tìm hệ a đường thẳng A B
b) Xác định hàm số biết đồ thị đường thẳng di qua A B Bài 21: Giải hệ phương trình sau:
a)
x y 3x 4y
b)
7x 3y 4x y
c)
x 3y
5x 4y 11
d)
3x 2y 11 4x 5y
e)
x y 5x 8y f)
x y
x 3y
h)
(2 3)x 3y
4x y
i)
3x y 2x y
k)
2x 5y 2x 3y
m)
4x 3y 2x y
n)
2x 3y
3x 2y
o)
0,3x 0,5y 1,5x 2y 1,5
p)
x 3y
2x y 2
q)
5x y 2 x y 2
r)
(1 2)x (1 2)y
(1 2)x (1 2)y
s)
3x 2y 10
2
x y
3 t)
x (1 3)y
(1 3)x y
x)
2(x 2) 3(1 y)
3(x 2) 2(1 y)
y)
1 1 x y x y w)
2(x y) 3(x y) (x y) 2(x y)
Bài 22: Giải hệ phương trình minh họa hình học kết vừa tìm
a)
2x 5y 2 x y b)
0,2x 0,1y 0,3 3x y
c)
3x y
2
3x 2y
(11)Bài 24: Tìm già trị a b để đường thẳng ax – by = qua hai điểm A(4;3) B(-6; -7) Bài 25: Tìm a b để hệ phương trình:
ax by 2ax 3by 36
có nghiệp (3 ; -2)
Bài 26: Cho hệ phương trình
mx y x y m
a) Giải hệ phương trình với m =
b) Xác định giá trị m để hệ có vơ số nghiệm, hệ vơ nghiệm Bài 27: : Cho hệ phương trình
ax y x ay
a) Giải hệ phương trình với m =
-3
b) Chứng minh hệ phương trình có nghiệm với a Bài 28: Giải phương trình sau:
1) 7x2 – 2x + = 2) 5x2 +2 10x + = 0 3)
1
2x2 + 7x +
2
3 = 04) 1,7x2 – 1,2x – 2,1 = 0
5) 2x2 – 7x + = 6) 3x2 + 5x + = 7) 6x2 + x – = 0 8) 4x2 + 4x + = 0
9) x2 – 49x – 50 = 10) x2 – 7x + 12 = 0 11) x2 + 7x + 12 = 0 12) 3x2 – 4 6x + =
0
Bài 29: Vẽ đồ thị hai hàm số y = 2x2 y = - x + mặt phẳng tọa độ Oxy Hãy xác định tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số
Baøi 30: Cho phương trình x2 – x – = 0 a) Giải phương trình
b) Vẽ đồ thị hai hàm số y = x2 y = x + mặt phẳng tọa độ
c) Chứng tỏ hai nghiệm tìm câu a) hoành độ giao điểm hai đồ thị Bài 31:Cho hai hàm số y = 0,2x2 y = x
a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số
Bài 32: Cho hàm số y = ax2
a) Xác định hệ số a biết đồ thị cắt đường thẳng y = -2x + điểm A có hồnh độ
b) Vẽ đồ thị hàm số y = -2x + hàm số y = ax2 với a vừa tìm câu a)
một hệ trục tọa độ Hãy xác tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số
Bài 33: Cho phương trình 2x2 + mx – = 0, tìm giá trị m để nghiệm phương trình Tìm nghiệm cịn lại
Bài 34: Cho phương trình 2x2 – (m + 3)x + = 0 a) Giải phương trình với m =
b) Tìm giá trị m để phương trình nhận – làm nghiệm Tìm nghiệm cịn lại Bài 35: Cho phương trình x2 – 2mx + (2m – 3) = 0
(12)b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương dấu Chứng minh với m vừa tìm hai nghiệm cuàng dương
Bài 36: Giả sử x1 x2 hai nghiệm phương trình 2x2 – 2(m - 1)x + m2 -1 = Hãy tìm hệ
thức x1 x2 không phụ thuộc vào m
Bài 37: Giả sử x1 x2 hai nghiệm phương trình x2 – (m - 3)x + 2m + = Hãy tìm hệ thức
giữa x1 x2 không phụ thuộc vào m
Bài 38: Cho phương trình x2 + (m + 1)x + m = 0 a) Giải phương trình với m =
b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm
c) Với x1 x2 nghiệm phương trình cho Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cng âm
Bài 39: Hai người xe máy khởi hành lúc từ A đến B dài 120km Biết người thứ hai người thứ 6km, nên đến B chậm người thứ 40 phút Tính vận tốc người thứ
Bài 40: Hai người xe máy khởi hành lúc từ A đến B dài 100km Biết người thứ hai người thứ 10km, nên đến B chậm người thứ 30 phút Tính vận tốc người thứ hai
Bài 41: Trong phịng họp có 80 người xếp ngồi dãy ghế Nếu bớt hai dãy ghế dãy ghế phải xếp thêm hai người đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế, dãy xếp người ngồi
Bài 42: Một lớp học có 48 học sinh xếp ngồi ghế băng Vì có cơng việc nhà trường mượn hai dãy ghế băng dãy ghế cịn lại xếp thêm hai học sinh Tính số dãy ghế băng lúc đầu
Bài 43: Một lớp học có 40 học sinh xếp ngồi ghế băng Nếu ta bớt hai dãy ghế băng dãy ghế cịn lại xếp thêm học sinh Tính số dãy ghế băng lúc đầu Bài 44: Trong buổi lao động trồng tổ phải trồng 56 Vì có học sinh tổ bị ốm nên để trồng đủ số giao, học sinh tổ phải trồng thêm so với dự định Hỏi tổ có học sinh ? Biết số học sinh trồng Bài 45: Hai đội thủy lợi gồm cà thảy 25 người đào đắp mương Đội đào 45m3
đất, đội hai đáo 40m3 đất Biết công nhân đội đào nhiều cơng nhân
đội hai 1m3 Tính số đất công nhân đội đào được.
Bài 46: Hai máy cày làm việc chung cáy xong cách đồng 12 Nếu làm việc riêng máy thứ xong sớm máy thứ hai 10 Hỏi làm việc riêng máy thứ hồn thành cơng việc
PHẦN II: HÌNH HỌC
Chương I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM
GIÁC VUÔNG
(13)A
B C
AB2 = BH.BC
AC2 = CH.BC
AH2 = BH.CH
AH.BC = AB.AC
2 2
1 1
AH AB AC
2 Tỉ số lượng giác tam giác vuông
sin đối huyền , cos kề huyền tg đối kề , cotg kề đối sin AC B BC cos AB B BC tg AC B AB cotg AB B AC sin AB C BC cos AC C BC tg AB C AC cotg AC C AB cos2
+ sin2=1 tg=
sin cos
cotg=
cos sin
tg.cotg =
3 TỈ số lượng giác hai góc phụ nhau
sinB = cos C cosB = sin C tgB = cotgC cotgB = tgC
4 Hệ thức cạnh góc tam giác
vuông
AB BC.sin C AB BC.cosB ; AB AC.tgC AB AC.cot gB (AC BC.sin B AC BC.cosC AC AB.tgB AC AB.cot gC )
α
Tỉ số LG 300 450 600
Sin α
2 √
2
2 √
3
cos α √3
2 √
2
1
tg α √3
3 √3
cotg α √3 √3
3 Chương II: ĐƯỜNG TRÒN
1.Định nghĩa đường tròn : Đường tròn tâm O
bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khỏang R
2 Tâm đối xứng: Đường tròn hình có tâm đối xứng Tâm đường trịn tâm đối xứng đường trịn
3 Trục đối xứng: Đường trịn hình có trục đối xứng.Bất kỳ đường kính trục đối xứng đường trịn
4 Quan hệä vng góc đường kính dây Định lý 1: Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính
Định lý 2: Trong đường trịn, đường kính
vng góc với dây qua trung điểm dây
Định lý 3: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây
5 Liên hệ dây khỏang cách từ tâm đến dây
Định lý 1 :Trong đường tròn : a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm
Định lý 2: Trong hai dây đuờng trịn: a) Dây lớn dây gần tâm b) Dây gần tâm dây lớn 6 Ba vị trí tương đối đường thẳng đường tròn
d : khoảng cách từ tâm đến đường thẳng a ; R : bán kính đường trịn tâm (O)
C H
(14)b) a tiếp xúc với (O) d = R
c) a (O) không giao d > R
7 Tiếp tuyến đường tròn
Định nghĩa:Đường thẳng gọi tiếp tuyến
đường tròn đường thẳng đường tròn
tiếp xúc
Định lý : (Tính chất tiếp tuyến) Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm Định lý 1 (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến) Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn
Định lý 2: (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm :
+ Điểm cách hai tiếp điểm
+ Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến
+ Tia kẻ từ tâm qua hai điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm
8 Ba vị trí tương đối hai đường tròn Cho đường tròn tâm (O) (O’)
Đọan thẳng d = OO’: đoạn nối tâm a) Hai đường trịn cắt
(O; R) (O’;r) caét nhau R – r < d < R + r
b) Hai đường tròn tiếp xúc :
* Tiếp xúc ngòai: (O; R) tiếp xúc ngoøai (O’,r)
d = R + r
* Tiếp xúc trong: (O; R) tiếp xúc (O’;r)
d = R- r
c) Hai đường trịn khơng giao nhau:
(O; R), (O’;r) ngòai d > R + r
(O;R) đựng (O’;r) d < R – r
Định lí :
a) Nếu hai đường trịn cắt hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm đường trung trực dây chung
b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm
Chương III: GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN 1 Góc tâm
Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm
2 Số ño cung :
* Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung
* Số đo cung lớn 3600 trừ số đo của
cung nhoû
* Số đo nửa đường tròn 1800
3 So sánh hai cung :
Trong đường trịn hay hai đường tròn nhau:
- Hai cung gọi chúng có số đo
- Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn
4 Khi thì sđAB = sđAC + sđCB : C
B A
Định lí: Nếu C điểm nằm AB :
sñAB=sñAC+sñCB
* Định lý 1 : Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau:
+ Hai cung căng hai dây
(15)D C B A
* Định lí : Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn : + Cung lớn căng dây lớn
+ Dây lớn căng cung lớn
AB CD AB CD
5 Góc nội tiếp
* Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh cắt đường trịn Cung nằm bên góc cung bị chắn
* Định lí: Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn
* Hệ quả:
a)Các góc nội tiếp chắn cung
b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung
c) Mọi góc nội tiếp (nhỏ 900) có
số đo nửa số đo góc tâm chắn cung
d) Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng
6 Góc tạo tiếp tuyến dây cung
* Định nghĩa: Góc tạo tiếp tuyến dây cung
x
B A
B^A x có đỉnh A nằm đường trịn, cạnh
cung AB.Góc B^A x gọi góc tạo tiếp
tuyến dây cung
* Định lý: Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn 7 Góc có đỉnh bên đường trịn : * Định lí : Số đo góc có đỉnh bên đường trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn
8 Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn
* Định lí : Số đo góc có đỉnh bên ngòai đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
9 Tứ giác nội tiếp
A O
D B
C
* Định nghĩa tứ giác nội tiếp : Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp)
* Định lí thuận: Trong tứ giác nội tiếp ,
tổng số đo hai góc đối diện 1800
* Định lí đảo: Nếu tứ giác có tổng số đo
hai góc đối diện 1800 tứ giác nội
tiếp đường tròn
* Cách chứng minh tứ giác nội tiếp.
1 Tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 2 Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc trong đỉnh đối diện.
3 Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm Điểm đó tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác. 4 Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn một cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc (thường = 900)
5 Tứ giác hình thang cân
10 Đa giác nội tiếp, đa giác ngoại tiếp.
(16)a) Nếu có đường trịn qua tất đỉnh đa giác đường tròn gọi ngoại tiếp đa giác đa giác gọi nội
tiếp đường tròn
b) Nếu có đường trịn tiếp xúc với tất cạnh đa giác đường tròn gọi nội tiếp đa giác đa giác gọi nội tiếp đa giác đa giác gọi ngoại tiếp đường tròn
* Định lí : Bất kỳ đa giác có đường trịn ngoại tiếp , có đường trịn nội tiếp
11 Cơng thức tính độ dài đường trịn: C= 2R
* Nếu d=2R thì: C= d
12 Cơng thức tính độ dài cung trịn :
Độ dài cung n0 : l = πRn
180
l : độ dài cung n0.
13 Cơng thức tính diện tích hình trịn
O
S = .R2
R
Công thức :S = R2
13 Cơng thức tính diện tích hình quạt tròn :
R A
B O
Hình quạt n0 có diện tích :
S = πR2n
360 hayS=
l.R
2
S : diện tích hình quạt n0
l : độ dài cung hình quạt n0
TAM GIÁC
Hai tam giác nhau
Hình vẽ
C B
A
P N
M
Định nghóa ABC = MNP
AB MN;AC MP;BC NP A M;B N;C P
Các trường
hợp đồng dạng giác
1 AB MN;AC MP;BC NP
ABC = MNP
2
AB MN;AC MP A M
ABC = MNP
3
AB MN A M;B N
ABC = MNP
Hình vẽ
C B
A P
N M
Các trường hợp đồng dạng giác vuông
1 AB MN;BC NP ABC = MNP
2 BC = NP; B N
ABC = MNP
3 AB MN;AC MP ABC = MNP
Bài 1: Cho đường trịn tâm O đường kính AB,
điểm M đường tròn cho AM < MB Gọi N điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM NA Gọi P chân đường vng góc hạ từ S xuống AB
a) Chứng minh tứ giác AMSP nội tiếp đường tròn
b) Hai tia MA SP cắt K chứng minh PKM tam giác cân
(17)Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) H trực tâm, tia AH cắt đường tròn (O) E Kẻ đường kính AOF
a) Chứng minh BC // EF
b) Chứng minh hai góc BAE CAF c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn
tâm (O) TỪ A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn, vẽ đường cao BD CE Chứng minh:
a) Bốn điểm B, C, D, E nằm đường trịn
b) Hai góc AED ACB
c) OA DE
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính AB = 2R, điểm E thuộc nửa đường tròn Gọi M, N trung điểm AE BE
a) Tứ giác OMEN hình gì? Vì ?
b) Vẽ tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax By năm nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm E) OM cắt Ax C, ON cắt By D Chứng minh ba điểm C, E, D thẳng hàng CD tiếp tuyến nửa đường tròn c) Xác định vị trí E để tứ giác ACDB hình chữ nhật
Bài 5: Cho nửa đường trịn tâm (O), đường kính AB = 2R, gọi M điểm nửa đường tròn Kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, gọi P, Q chân đường vng góc hạ từ M xuống AB Ax Gọi I giao điểm Am PQ
a) Chứng minh OI // BM, tam giác AOI tam giác vuông
b) Tiếp tuyến M với nửa đường tròn cắt Ax T Chứng minh T, O, I thẳng hàng Tứ giác OATM nội tiếp
c) Chứng minh hai tam giác AIO TAO đồng dạng với Tính AI biết R = 5cm, AT = 1ocm
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn
Gọi C, D hai điểm nửa đưòng tròn ( thứ tự A, C, D, B) Các tia AC AD cắt Bx E F
a) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp
b) Chứng minh hai tam giác ABF BDF đồng dạng
c) Khi C D di động nửa đường tròn Chứng minh AC AE = AD.AE có giá trị khơng đổi
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, có điểm D
nằm đường trịn đường kính AB Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC Chứng minh:
a) Tứ giác CBMD nội tiếp
b) Hai tam giác ACD BDN đồng dạng c) DB.DC = DN.AC
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính AB = 2R, bán kính OC vng góc AB, gọi M điểm cung BC, tia AM cắt OC N Vẽ CD vng góc với AM
a) Chứng minh tứ giác AODC nội tiếp
b) Chứng minh AM.AN không đổi hai tam giác AMB AON đồng dạng với
c) Xaùc định vị trí điểm M cung BC cho tam giác COD cân D
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A ( AB >
AC ) đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A ta vẽ nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F, vẽ nửa đường trịn đường kính HB cắt AB E Chứng minh: a) Tứ giác AFHE hình chữ nhật
b) Tứ giác BEFC nội tiếp c) AE.AB = AF.AC
d) EF tiếp tuyến chung hai nửa đường trịn
Bài 10: Cho hình thang ABCD có đáy lớm
AD, đáy bé BC nội tiếp đường tròn tâm (O) Các tiếp tuyến đường tròn (O) B D cắt K Gọi I giao điểm AB CD a) Chứng minh BIKD nội tiếp
(18)c) Hình thang cần có thêm kiện để tứ giác AIKD hình bình hành Khi chứng minh IC.IE = ID.CE
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A, đường
cao AH Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d tiếp tuyến đường tròn A Các tiếp tuyến đường tròn B C d cắt theo thứ tự D E
a) Tính số ño goùc DOE
b) Chứng minh DE = BD + CE
c) Chứng minh BD.CE = R2 ( R bán kính (O))
d) Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính DE
Bài 13: Cho tam giác ABC (AB = AC), I tâm
của đường trịn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK
a) Chứng minh bốn điểm B, I, C, K thuộc đường tròntâm O
b) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn tậm O
c) Tính bán kính đường trịn (O) biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A, đường
cao AH Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH Gọi HD đường kính (A;AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt AC E
a) Chứng minh tam giác BEC tam giác cân b) Gọi I hình chiếu A BE, chứng minh AI = AH
c) Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn (A;AH)
d) Chứng minh BE = BH + DE
Baøi 15: Cho hình vuôngABCD, điểm E thuộc
cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K
a) Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp b) Tính số đo góc CHK
c) Chứng minh KC.KD = KH.KB
d) Khi E di chuyển cạnh BC H di chuyển đường ?
Bài 16: Cho đường tròn đường kính AB
điểm M nửa đường tròn ( M khác A B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I, tia phân giác góc IAM cắt nửa đường trịn tại E cắt BM F, tia BE cắt Ax H, cắt AM K
a) Chứng minh IA2 = IM.IB.
b) Chứng minh tam giác BAF cân
c) Chứng minh tứ giác AKFH hình thoi d) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AKFI nội tiếp đường trịn
Bài 17: Cho tam giác ABC vuông A Trên
cạnh AC lấy điểm M , dựng đường tròn (O) đường kính MC, đường thẳng BM cắt (O) D Đường thẳng AD cắt đường (O) S
a) Chứng minh ABCD nội tiếp
b) Chứng minh CA phân giác góc SCB c) Gọi E giao điểm BC với (O) Chứng minh BA, EM, CD đồng quy
d) Chứng minh DM phân giác góc ADE e) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông A, điểm D
nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Đường thẳng CD , AE cắt đường tròn điểm thứ hai F G Chứng minh:
a) Hai tam giác ABC EBD đồng dạng với
b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp c) AC // FG
d) Ba đường thẳng AC, DE, BF đồng quy
Bài 19 :Cho góc nhọn xBy Từ điểm A tia Bx kẻ AH vng góc với By H, kẻ AD vng góc với đường phân giác góc xBy D
a) Chứng minh tứ giác ABHD nội tiếp, xác định tâm O vẽ đường tròn
(19)c) Tiếp tuyến A với (O) cắt By C, đường thẳng BD cắt AC E Chứng minh tứ giác HDEC nội tiếp
Bài 20: Cho đường trịn tâm (O) đường kính AB, dây cung AC AC kéo dài lấy CD = CA ( D khác A)
a) Chứng minh tam giác ABD tam giác cân
b) Vẽ đường thẳng vng góc với AD A, đường thẳng cắt đường tròn E, AE kéo dài EF = EA ( F khác A) Chứng minh F, B, D thẳng hàng