LY THUYET PTMP PTDT PTMC

Dạng 6 : Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một giao tuyến là đường tròn và thỏa mãn điều kiện :. a) Đường tròn có diện tích cho trước b) Đường tròn có chu vi cho [r]

Lý thuyết cần nhớ : 1 Tọa độ điểm :

a) Định nghĩa: M(x; y; z) OM (x;y;z) uuuur

(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý:  M  (Oxy)  z = 0; M  (Oyz)  x = 0; M  (Oxz)  y =  M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y =

b) Tính chất: Cho A(x ; y ; z ), B(x ; y ; z )A A A B B B

 AB (x B x ;yA B y ;zA B z )A

uuur



2 2

B A B A B A

AB (x  x ) (y  y ) (z  z )

 Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):

A B A B A B

x kx y ky z kz

M ; ;

1 k k k

    

 

  

 

 Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB:

A B A B A B

x x y y z z

M ; ;

2 2

    

 

 

 Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC:

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G ; ;

3 3

       

 

 

 Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD:

A B C D A B C D A B C C

x x x x y y y y z z z z

G ; ;

4 4

          

 

 

2 Tích có hướng hai vectơ : (Chương trình nâng cao) a) Định nghĩa: Cho a (a , a , a )

r

, b (b , b , b ) ur

 

2 3 1

2 3 1 2

2 3 1

a a a a a a

a,b a b ; ; a b a b ;a b a b ;a b a b

b b b b b b

                 r r r r

Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số

b) Tính chất:

 i, j k; j,k i ; k, i j

r r r

r r r r r r

 [a, b] a; [a, b] b

r ur r r ur ur

 [a,b] a b sin a,b 

r ur r r r r

 a, b

r ur

phương  [a, b] 0 r ur r c) Ứng dụng tích có hướng:

 Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b

r ur

c r

đồng phẳng 

[a, b].c 0 r ur r

 Diện tích hình bình hành ABCD: SYABCD AB,AD

uuur uuur

 Diện tích tam giác ABC: ABC

1

S AB, AC

2

    uuur uuur

 Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: VABCD.A 'B'C'D' [AB, AD].AA '

uuur uuur uuur

 Thể tích tứ diện ABCD: ABCD

1

V [AB, AC].AD



uuur uuur uuur

Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: (): A x B y C z D1    10

(): A x B y C z D2    20  (), () cắt  A :B :C1 1A :B :C2 2

 () // () 

1 1

2 2

A B C D

A B C D

 ()  () 

1 1

2 2

A B C D

A B C D

 ()  ()  A A1 2B B1 2C C1 20

4 K/C từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D =

  2 2 02 Ax By Cz D d M ,( )

A B C

  

 

  Góc hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: (): A x B y C z D1    10

(): A x B y C z D2    20

Góc (), () bù với góc hai VTPT n ,n1

r r

  2 2

2 2 2

1 1 1 1 2 2 2

n n A A B B C C cos ( ),( )

n n A B C A B C

 

   

   

r r r r

Chú ý: 

·

 

0

0  ( ),( ) 90 .

 ( ) ( )    A A1 2B B1 2C C1 20

6 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu :

Cho mặt phẳng (): Ax By Cz D 0    mặt cầu (S):

2 2

(x a) (y b) (z c) R

 () (S) khơng có điểm chung  d(I,( )) R 

 () tiếp xúc với (S)  d(I,( )) R  () tiếp diện

Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau:

– Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) vng góc với ()

– Tìm toạ độ giao điểm H d ()

H tiếp điểm (S) với ()

 () cắt (S) theo đường tròn  d(I,( )) R 

Để xác định tâm H bán kính r đường trịn giao tuyến ta thực sau:

– Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) vng góc với ()

– Tìm toạ độ giao điểm H d ()

H tâm đường tròn giao tuyến (S) với ()

Bán kính r đường trịn giao tuyến: r R2 IH2 Vị trí tương đối hai đường thẳng

0 x x ta d : y y ta z z ta            và

x x t a d : y y t a z z t a

                    

 d // d 

  0 a,a

a,M M            r r r uuuuuur r r

 d  d  a,a a,M M0 0 0

uuuuuur r r r r

 d, d cắt 

 

  0 0

a,a

a,a M M           r r r uuuuuur r r

 d, d chéo  a,a M M  0

uuuuuur r r

 d  d  a ar r  a.a 0r r 

8 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng

Cho mặt phẳng (): Ax By Cz D 0    đường thẳng d:

0 x x ta y y ta z z ta           

Xét phương trình: A(x0ta ) B(y1  0ta ) C(z2  0ta ) D 03   (ẩn t) (*)

 d // ()  (*) vô nghiệm

 d cắt ()  (*) có nghiệm  d  ()  (*) có vơ số nghiệm

9 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu

Cho đường thẳng d:

0 x x ta y y ta z z ta    

  

  

 (1) mặt cầu (S):

2 2

(x a) (y b) (z c) R (2)

Để xét VTTĐ d (S) ta thay (1) vào (2), phương trình (*)

 d (S) khơng có điểm chung  (*) vơ nghiệm  d(I, d) > R  d tiếp xúc với (S)  (*) có nghiệm  d(I, d) = R  d cắt (S) hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt d(I, d) < R

10 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (ch trình nâng cao)

Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a

r

điểm M

0 M M ,a d(M ,d) a      uuuuur r r 11 Khoảng cách hai đường thẳng chéo (ch trình nâng cao)

Cho hai đường thẳng chéo d1 d2

d1 qua điểm M1 có VTCP a1

r

, d2 qua điểm M2 có VTCP a2

r

1 2

1 a ,a M M d(d ,d )

12 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song

Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng () song song với

khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng ()

13 Góc hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a ,a1

r r

Góc d1, d2 bù với góc a ,a1

r r

 2 2 a a cos a ,a

a a 

r r r r

r r 14 Góc đường thẳng mặt phẳng

Cho đường thẳng d có VTCP a (a ;a ;a ) r

mặt phẳng () có VTPT

n (A;B;C)r  .

Góc đường thẳng d mặt phẳng () góc đường thẳng d với

hình chiếu d ()

·

 

2 2 2

1 Aa Ba Ca

sin d,( )

A B C a a a

 

 

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG LOẠI : VIẾT PT MẶT PHẲNG ( ) CÓ MỘT VTPT

Dạng : ( ) đi qua A(x0; y0 ;z0) có VTPT n

ur

=(A;B;C) : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) =

Dạng : ( ) đi qua A(x0; y0 ;z0) // mp (P) :

Tìm VTPT (P) : nP r

= (A; B; C)  n nP r r

= (A; B; C) Dạng : ( ) đi qua A(x0; y0 ;z0)  đường thẳng d

Tìm VTCP d : ud r

= (A;B;C)  n ud r r

= (A;B;C) Dạng : ( ) là trung trực AB.

Tìm trung điểm I AB AB uuur

Suy ( ) qua I nhận AB uuur

làm VTPT

LOẠI : VIẾT PT MẶT PHẲNG ( ) CÓ MỘT CẶP VTCP

Dạng : ( ) đi qua A (P), (Q)

Tìm VTPT (P), (Q) : n ; nP Q  n n , nP Q

r r r r r

Dạng : ( ) đi qua A // với d1, d2

Tìm VTCP d1, d2 : u ; u1  n u , u1 2

r r r r r

Dạng : ( ) đi qua A và(P) // d Tìm VTPT (Q) : nP

r

; VTCP d : ud r

 n n ,uP d

r r r

Dạng : ( ) đi qua A chứa d d có VTCP ud

r

và qua điểm M n AM ,ud

        uuur r r

Dạng : ( ) đi qua A,B (P) Tìm VTPT (P) : nP

r

; Tìm AB uuur

P n AB,n 

 

 

 

uuur

r r

Dạng : ( ) đi qua A,B // d (hoặc Ox, Oy, Oz) Tìm VTCP d :ud

r

VTĐV Ox, Oy, Oz : i , j, k r r r

; Tìm AB uuur

d

n u ,AB , or n  i ,AB , or n   j,AB , or n  k,AB

        

       

uuur r uuur r uuur r uuur

r r r r r

Dạng : ( ) đi qua điểm A,B,C không thẳng hàng Tìm AB

uuur , AC

uuur

 n r

= [AB uuur

, AC uuur ] Dạng : ( ) chứa (d) // ()

d có VTCP : u ur

d qua M ; Tìm VTCP : u

ur

 n u , ud 

r r r

và( ) qua M

Dạng : ( ) chứa (d) (P) d có VTCP : u

ur

d qua M ; Tìm VTPT (P) : n

ur

P  n n ,uP d

r r r

và( ) qua M

d1 có VTCP : u

ur

1 qua điểm M d2 có VTCP : u

ur

2 qua điểm N

1 n u , u   r r r 

( ) qua M N

Dạng 11 : ( ) chứa đường thẳng d1, d2 song song.

d1 có VTCP : u

ur

1 qua điểm M d2 có VTCP : u

ur

2 qua điểm N ; Tìm

MN uuuur

1

n u , MN or n  u ,MN

  

   

   

uuuur uuuur

r r r r

( ) qua M N

LOẠI : VIẾT PT MẶT PHẲNG ( ) TIẾP XÚC HOẶC CẮT MẶT CẦU

DẠNG : ( ) TIẾP XÚC MẶT CẦU (S)

Bước : Tìm tâm I bán kính R mặt cầu

Bước : Từ điều kiện cho trước đề ta suy VTPT ( ) : nr (A;B;C)

Ta viết PTMP ( ) : Ax + By + Cz + D’ = (1) ( với D’ chưa biết và D' D )

Điều kiện cho trước nằm dạng sau : 1) ( ) // (P)  n nP

r r

= (A; B; C) 2) ( )  d  n ud

r r

= (A;B;C) 3) ( ) // đường thẳng d1, d2  n u , u1 2

r r r

4) ( )  mặt phẳng (P), (Q)  n n , nP Q

r r r

5) ( ) // d  (P)  n n ,uP d

r r r

6) Tiếp xúc điểm A  n IA uur r

( ) qua A ( không cần làm bước 3)

7) ( ) qua A, B

n AB A,B ( )



 

  

  



uuur r

Bước : Vì ( ) tiếp xúc (S) d(I,( )) R  Giải pt ta tìm D’ ( thường có giá trị thỏa mãn) Thay D’ vào (1)

Bước : Kết luận

Chú ý : Có dạng không tuân theo cách giải : ( ) chứa d và tiếp xúc (S)

- Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Gọi VTPT của( ) n

r

= (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 >0

- d có VTCP u ur

d qua điểm M (x0; y0; z0)

-  ( ) : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 - d ( )  u nd  0

r r

(1)

- Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C  PTMP ( )

DẠNG : ( ) CẮT MẶT CẦU (S) THEO MỘT ĐƯỜNG TRỊN (C) có bán kính r ( có chu vi có diện tích)

Bước : Tìm tâm I bán kính R mặt cầu

Từ cơng thức chu vi đường trịn C = r diện tích S = r2 tính r. Bước : Dựa vào liệu toán ta có dạng sau :

1) Nếu( ) //(P)  ( ) : Ax + By + Cz + D’ = (1) (D’ chưa biết) Ta có d(I, ( ) ) = R2 r2 Giải pt tìm D’

2) Nếu( ) chứa d

- Gọi VTPT ( ) n r

= (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 >0

- d có VTCP u ur

d qua điểm M (x0; y0; z0)

-  ( ) : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 - d ( )  u nd  0

r r

(1) - Ta có d(I, ( ) ) = R2 r2 (2)

- Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C  PTMP ( ) 3) ( ) chứa d cho bán kính r bé nhất

- Bán kính r = R2 d (I,( ))2  để r  d(I,( ) ) max

- Gọi H hình chiếu  I lên (d) ; K hình chiếu  I lên ( ) - Ta có: d(I,( ) )= IKIH ( tính chất đường vng góc đường xiên) - Do đó: d(I,( ) ) max IK = IH  KH

- PT ( ) qua H nhận IH uur

làm VTPT

LOẠI : VIẾT PT MẶT PHẲNG ( ) CÓ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC

Dạng : ( ) chứa (d) hợp với mp (P)  góc  900

- Gọi VTPT ( ) n r

= (A,B,C) với đk A2 + B2 + C2 >0

- d có VTCP u ur

d qua điểm M  (d)

- Vì d ( )  u nd  0 r r

(1) - Tính cos ((P), ( ) ) (2)

- Từ (1) (2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết PT mp(P)

Dạng : Đi qua A hợp với d1, d2 (hoặc (P), (Q)) góc  ,

- Gọi VTPT ( ) n r

= (A,B,C) với đk A2 + B2 + C2 >0

- Tìm VTCP d1, d2 VTPT (P), (Q)

LOẠI : VIẾT PT MẶT PHẲNG ( ) CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH Dạng : ( ) // (P) ( ) cách điểm A khoảng h

- Vì ( ) // (P) nên ( ) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 ( theo pt mp (P) , D’ DQ)

- Vì d(A,( ) )= h Giải pt ta tìm D’ - Thay A,B,C,D ta có PT mp( ) cần tìm

Dạng : ( ) Song song cách mặt phẳng (P), (Q) - Vì ( ) //(P)//(Q)  n nP nQ

r r r

= (A; B; C)

- ( ) ( ) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 (D’ ẩn chưa biết)

- Chọn điểm M(P), điểm N(Q)  d(M ,( )) d(N ,( ))   Giải pt tìm D’

Dạng : ( ) Song song cách d1, d2.

- d1 có VTCP : u

ur

1 qua điểm M

d2 có VTCP : u

ur

2 qua điểm N  n u , u1 2

r r r

- Vì( ) // d1 //d2 nên ( ) qua trung điểm I MN

Dạng : ( ) chứa (d) ( ) cách điểm M khoảng h - Gọi VTPT mp( ) n

r

= (A,B,C) với đk A2 + B2 + C2 >0

- d có VTCP u ur

d qua điểm M (x0; y0; z0)

- Vì (d) nằm trong( )  u nd  0 r r

(1)

- PT mp (p) qua M: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) =

- d(M,( ) ) = h (2)

- Giải (1);(2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết PT mp(P)

Dạng : ( ) chứa d cho khoảng cách từ A đến ( ) là lớn - Gọi H hình chiếu  A lên (d), k hình chiếu A lên ( )

- Ta có : d(A, ( ) ) = AK AH (tính chất đường vng góc đường xiên) Do d(A,( ) ) max  AK = AH  KH

- Viết PT mp (P) qua H nhận AH uuur

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LOẠI : ĐI QUA I M VÀ CÓ VTCPĐ Ể

Với loại điểm qua cho sẳn ta cần tìm thêm VTCP xong

Dạng : đi qua A có VTCP u ur

=(a,b,c) Thay vao PTTS

Dạng : đi qua điểm A,B Tính AB

uuur

 AB uuur

VTCP 

Dạng : đi qua A //với đường thẳng (d) d có VTCP ud

r

 ud r

VTCP  Dạng :đi qua A (P)

(P) có VTPT n ur

P  n

ur

P VTCP 

LOẠI : CÓ C P VECTẶ Ơ KHÔNG C NG PHÙ ƯƠNG

Với loại ta lấy tích có hướng cặp vectơ khơng phương thi ta có VTCP việc cịn lại ta tìm điểm qua

Dạng : đi qua A vng góc với dt (d1),(d2) (d1), (d2) có VTCP u , u1

r r

 u u , u1 2

r r r

Dạng : đi qua A song song với mp (P), (Q) (P), (Q) có VTPT n , n1

r r

 u n , n1 2

r r r

Dạng : đi qua A, vng góc d song song với (P) d có VTCP ud

r

; (P) có VTPT nP r

 u u , nd p

r r r

Dạng : là giao tuyến mp

(P) : Ax + By + Cz + D = 0 (Q) : A'x + B'y + C'z + D' = 0

- (P), (Q) có VTPT n , n1 r r

 u n , n1 2

r r r

- Xét hệ

'

' ' '

Ax + By + Cz +D =0 A x By C z D 

 

   



 .Chọn nghiệm (x0; y0 ;z0) từ  Md LOẠI : ĐI QUA ĐIỂM A, CẮT ĐƯỜNG THẲNG (d) VÀ THỎA MÃN ĐK

Dạng :  (d) (1) Dạng :  (d') / /(P) (2)

PP chung :

- Viết pt mp( ) qua A TMĐK (1) (2) - Tìm giao điểm B = ( ) d I

- Đường thẳng cần tìm qua A, B

LOẠI : CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG d ,d1 2VÀ THỎA MÃN ĐK

Dạng : // d (2) Dạng :  (P) (3) PP chung :

- Viết pt mặt phẳng ()chứa đường thẳng d1 TMĐK (1) (2) (3) - Tìm giao điểm B = ( ) d I

- chính đường thẳng qua B TMĐK (1) (2) (3) LOẠI : MỘT SỐ DẠNG KHÁC

Dạng : hình chiếu d lên (P)

Cách 1:

Viết ptmp (Q) chứa d vng góc với (P) Hình chiếu cần tìm d' = (P)I (Q)

Cách 2:

- Tìm A = d (P)I ( áp dụng với giả thiết d cắt (P) )

- Lấy Md xác định hình chiếu H M lên (P) - chính đường thẳng AH

Dạng :  (P) cắt đường thẳng d1, d2 cho trước. - Tìm giao điểm A=d1I (P)và B=d2I (P)

- chính đường thẳng qua điểm A, B Dạng :  (P),  d đi qua A =d (P)I .

- d có VTCP u ur

(P) có VTPT n ur

u [u,n] ur ur r

- chính đường thẳng qua điểm A có VTCP u r

Dạng : là đường vng góc chung đường thẳng chéo d1, d2 :

- Gọi M d 1 N d 2là chân đường vng góc chung d1, d2 Ta có tọa độ M, N

theo tham số t t’

- Ta có hệ

1

2

MN d MN.u

t,t'

MN d MN.u 0



  

 

 

 



  

 

uuuur ur uuuur ur

- Thay t, t' tìm M, N Viết ptđt qua M,N

LOẠI : LIÊN QUAN ĐẾN GÓC – KHOẢNG CÁCH

Dạng : đi qua A ,tạo với d góc  (0 ;90 )0 và thỏa mãn điều kiện a vng góc với d’

b song song với (P) c nằm mp(P) PP Chung :

Bước : Tìm VTCP đường thẳng d : ud r Gọi VTCP đường thẳng u r

= (a; b; c), đk a2b2c20

Tính

2 u u

cos(d, ) cos u u





   

ur ur ur ur

(1)

a) Vì  d' u u d'0 ur ur

(2) b) Vì //(P) nên u n p 0

ur ur

(2) c) Vì  (P) nên u n p 0

ur ur

(2)

Bước : Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c

( ý : thay giả thiết  tạo với mp(P) góc  (0 ;90 )0 có

P

P

u u sin

u u





  ur ur ur ur

)

Dạng : đi qua A , vng góc d khoảng cách từ M đến  h. - Gọi VTCP  u (a;b;c),dk :a2b2c20

ur

- Vì  d nên u n d 0

uur ur

(1)

- Vì

[u,AM]

d(M,d) h h

u

  

ur uuur ur

(2)

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Loai : (S) : (x a) 2(y b) 2(z c) 2R2 (1) , tâm I(a; b; c) bán kính R

Loại : (S) : x2y2z2 2ax 2by 2cz d 0    (2) , điều kiện a2b2c2 d 0 tâm

I(a; b; c) bán kính R a 2b2c2 d

Dạng : Phương trình mặt cầu dạng đơn giản a) Có tâm I(a; b; c) bán kính R cho trước

b) Có tâm I(a; b; c) qua điểm M(x0; y0; z0) cho trước

c) Có đường kính AB cho trước

d) Có tâm I(a; b; c) tiếp xúc mặt phẳng (P) e) Có tâm I(a; b; c) tiếp xúc đường thẳng (d) f) Đi qua điểm A, B, C, D cho trước

g) Nhận đoạn vuông góc chung đường thẳng d1, d2 làm đường

kính.

PP chung :

a) Dùng loại b) Bán kính R IM

c) Tâm I trung điểm AB bán kính

AB R

2  d) Bán kính R = d(I, (P))

e) Bán kính R = d(I, (d))

f) Dùng loai Thay tọa độ A, B, C, D vào (2) ta hệ phương trình ẩn Giải hệ tìm a, b, c, d

g) Gọi A, B tiếp điểm  Tâm I trung điểm AB bán kính

AB R

2 

(Tìm tọa độ A, B dựa vào loại dạng phương trình đường thẳng.)

Dạng : Phương trình mặt cầu qua điểm A, B thỏa mãn điều kiện cho trước

a) Tâm I thuộc đường thẳng  cho trước.

b) Tâm I thuộc trục Ox ( Oy Oz). PP chung :

a) - Chuyển d dạng tham số

- Vì I d nên ta tọa độ I theo tham số t

- Ta có IA = IB = R  IA2IB2 giải pt theo t ta tìm t  tọa độ tâm I R

b) Làm tương tự , ý I Ox  I(a;0;0), I Oy  I(0;b;0), I Oz  I(0;0;c)

Dạng : Phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C thỏa mãn điều kiện

a) Tâm I nằm mặt phẳng (P) cho trước.

b) Cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính cho trước.

c) Tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước

B1 : Lập ptmp (Q), (R) MP trung trực AB, BC

B2 : Lập ptđt d giao tuyến (Q) (R) dạng tham số

I d

  ta có tọa độ I theo tham số t a) - Làm tới B1

- Thế tọa độ tâm I vào (P)

- Giải HPT tìm tọa độ tâm I  R = IA2

b) - Làm tới B2

-

2 2

AI r  d(I,(P))

Giải PT tìm t  tâm I bán kính R c) - Làm tới B2

-

2

AI d(I,(P))

Giải PT tìm t  tâm I bán kính R

Dạng : Phương trình mặt cầu tiếp xúc với mp (P) thỏa mãn điều kiện

a) Tại M có bán kính R cho trước

b) Tại M khoảng cách từ tâm I đến A đến đường thẳng 

hoặc đến mp (Q) k

c) Tại M tâm I thuộc mp (Q) cho trước

d) Tại M tâm I thuộc đương thẳng cho trước.

e) Có bán kính R tâm I thuộc đương thẳng cho trước.

f) Đi qua A tâm I thuộc đương thẳng cho trước.

PP chung :

Bước : Viết ptđt d qua M vng góc với mp (P) dạng phương trình tham số

Vì I d nên ta có tọa đọ I theo tham số t.

Bước : Tùy theo yêu cầu toán ma ta lập pt theo tham số t a) MI = R

b) IA = k d(I, ) k  d(I,(Q)) k c) Thế tọa độ tâm I vào ptmp (Q)

d), e), f) Thế tọa độ tâm I vào ptđt 

Bước : Giải phương trình tìm t  tọa độ tâm I bán kính R

Dạng : Mặt cầu tiếp xúc với hai mp (P) (Q) thỏa mãn điều kiện :

a) Tâm I thuộc đường thẳng cho trước

b) Tại điểm A thuộc (P). PP chung :

a) - Chuyển ptđt  dạng PTTS Suy tọa độ tâm I theo tham số t

- Mặt cầu tiếp xúc ?(P), (Q) nên d(I,(P)) = d(I,(Q)) Giải pt tìm t, suy tọa độ tâm I bán kính R

b) - Viết ptđt  qua A vng góc với (P) dạng pt tham số Suy tọa độ tâm I theo tham số t

- Mặt cầu tiếp xúc ?(P), (Q) nên d(I,(P)) = d(I,(Q)) Giải pt tìm t, suy tọa độ tâm I bán kính R

Dạng : Phương trình mặt cầu có tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường tròn thỏa mãn điều kiện :

PP chung :

Bước : Tính d(I,(P)),

2

R r  d(I,(P)) Bước : Dựa vào liệu câu

a) Ta có Sr2 suy R b) p r  suy R

c) suy R

Dạng : Phương trình mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng  A tâm

I d cho trước

- Viết ptmp (P) qua A vng góc với 

- Suy {I} (P) d  Giải hệ pt tìm t R = IA Chú ý : chuyển ptđt d dạng tham số

Dạng : Phương trình mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng 1,2và

thỏa mãn điều kiện

a) Có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước. b) Có tâm I thuộc mặt phẳng (P) cho trước. c) Hai tiếp điểm A, B

PP chung :

a) - Chuyển d dạng pt tham số suy tọa độ I theo tham số t - Giải pt d(I, ) d(I,1  2) tìm t, suy tọa độ I bán kính R b) Gọi tâm I(a, b, c)

- Viết ptmp (Q) qua I vng góc với 1 - Viết ptmp (R) qua I vng góc với 2 - Thế tọa độ I vào ptmp (P)

Ta có hệ pt ẩn Giải hệ tìm a, b, c, suy R = d(I,(P)) c) Gọi tâm I(a, b, c)

- Viết ptmp (P) qua I vng góc với 1 - Viết ptmp (Q) qua I vng góc với 2 - Viết ptmp trung trực AB

Ta có hệ pt ẩn Giải hệ tìm a, b, c, suy R = IA

Dạng : Phương trình mặt cầu có tâm I cắt đường thẳng cho trước

tại hai điểm A, B thỏa mãn điều kiện : a) Độ dài AB cho trước

b) Tam giác IAB vuông. c) Tam giác IAB đều. PP chung :

Bươc : Tính d(I,) = IH Bước :

a) Vì IAB cân nên

2

AB

AH R AH IH

2

   

b) Vì IAB vuông cân nên

·

0 IH HAI 45 R

sin 45

c) Vì IAB nên

·

0 IH HAI 60 R

sin60

  

Dạng 10 : Phương trình mặt cầu có tâm I  1và cắt 2tại hai điểm A, B

sao cho M trung điểm AB AB = k cho trước.

- Viết ptmp (P) qua M vng góc với 2suy tọa độ tâm I nghiệm

hệ pt (P)      

- R IM2AH2 với

AB AH

2 

Dạng 11 : Viết phương trình mặt cầu (S) đối xứng với (S’) cho trước qua :

a) Một điểm A cho trước.

b) Một mặt phẳng (P) cho trước

c) Một đường thẳng cho trước