Họ và tên thí sinh...[r]
(1)SỞ GD-ĐT THÁI BÌNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2012 TRƯỜNG THPT NAM TIỀN HẢI Mơn thi : TỐN Khối D
(Thời gian làm 180 phút , không kể giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I(2 điểm) : Cho hàm số
3
1
y=- x
+x-3 có đồ thị (C) Khảo sát vẽ đồ thị (C)
2 Gọi M điểm thuộc đồ thị (C )có hồnh độ x=2 Tìm giá trị mđể tiếp tuyến với (C) M song song với đường thẳng d:
2 9m+5
y=(m -4)x+
3 Câu II (2 điểm) :
1 Giải phương trình :
2sin x + cos2x - sinx =0 + cotx
2 Giải bất phương trình :
2
log x log x
5+1 + 5-1 3x
Câu III (1 điểm) : Tính tích phân
0
tanx
I= dx
2cosx+5
Câu IV (1 điểm) : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Biết AB2a , BC=a các cạnh bên bằnga Tính thể tích khối chóp S.ABCD diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a
Câu V (1 điểm) : Cho a + b - 2a - 4b + = 02 . Chứng minh :
2
a - b + 3ab - 2(1 + 3)a + (4 - 3)b + - 2 PHẦN RIÊNG (3 điểm) (thí sinh làm hai phần A B)
A.Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) :
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vng A(3;2),tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
3 I 1;
2
C thuộc d: x – 2y – = Tìm toạ độ B C.
2 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x-1) +y +(z+1) =92 2 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d:
x - y + z -
= =
1 2 tiếp xúc với (S). Câu VII.a (1 điểm): Tính mơ đun số phức z biết :
2
|z - - 2i| + zi + z = 11 + 2i
B.Theo chương trình nâng cao CâuVI.b (2điểm):
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có B(1;5) đường cao AH có phương trình x+2y-2=0,với H thuộc BC; đường phân giác góc ACB có phương trình x-y-1=0 Tìm toạ độ đỉnh A, C, D
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
x-1 y z+1 (d): = =
2 1 , hai mặt phẳng
(P): x+2y-2z-12=0 , (Q) : 2x-y+2z+9=0.Lập phương trình mặt cầu (S) tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P) (Q)
(2)Tính T =
2
2 2
1
(z +z +z +1) z + z + z
.Hết
Thí sinh khơng sử dụng tài liệu.Cán coi thi không giải thích thêm
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM KHỐI D
Câu Ý Nội dung Điểm
I
hàm số
3
1
3
y x x TXĐ:R
Sự biến thiên:
,
,
1
1 y x
x y
x
bbt
x − ∞ -1 + ∞
y’ +
-y +∞
4
− ∞
Hàm số đb ( − ∞;−2¿ (0;+∞) , nb trên(-2;0)
Cực trị Giới hạn Đồ thị
-2
x - -4/3
0.25
0.25
0.25
0.25
2 *Xđ M(2;-4/3)
*Tiếp tuyến với (C ) M có pt: y = -3x +14/3
* Để tt song song với d
2 4 3
1 14
3
m
m m
*KL: Vậy m= -1
(3)1 ĐK: x m x n
Pt
2
2sin s
s
os inx os
inx c x x c x
2 k x x k
Đối chiếu đk : x k2 vµ x= k
0.25 0.25 0.25 0.25
2 ĐK: x >
Bpt
2
log log
5
3 2 x x Đặt log x
t
Ta có
2 3 0 3 5 3 5
; 2 t t t t Suy ; 4 x
0.25 0.25 0.25 0.25 III 3 0 t
2cos cos (2 cos 5)
anx sinx
I dx dx
x x x
Đặt t = cosx dt sinxdx Cận x = t 1
x=
1
3 t
1 12 ln
(2 5)
dt I t t 0.25 0.25 0.5 IV S
*Gọi O tâm hbh ABCD
* Chưng minh SO(ABCD)
*SA=SB=SC=SD Suy ABCD hcn
B A *Tính thể tích :
+SO= a
O
C D
0.25
0.25
(4)+ V = 3
3 a
*gọi E tđ SB Trong mp(SBO) kẻ trung trực Et cắt SO I tâm mc ngoại tiếp hc SABCD
+ Tính SI =
2
2 SE SB SB
SO SO=
3 a
=R + Diện tích mặt cầu : S =
2
3 a R
0.25
V
+Gt
2
(a 1) b
+Đặt
1 sin os a
b c
0;2 Ta có
2
sin sin
2 sin(2 )
os os
VT c c
0.25 0.25 0.25 0.25
VIa +Tam giác ABC vuông A nên I trung điểm BC +Gọi C(2t+1;t).Suy B(1-2t;3-t)
2 nªn t=1,t= CAAB
+Với t=1 có C(3 ;1) B (-1 ;2)
+Với
2 17
; ) ; )
5 cã C(5 vµ B(5 t
0.25 0.25 0.25 0.25 + (S) có tâm I(1 ;0 ;-1) bán kính R=5
+ d qua A(1;-5;1) , B(2;-3;3)
+(P) qua B có vtpt (a ;b ;c) : a(x-2)+b(y+3)+c(z-3)=0
( ) 2
A P a b c
Suy (P) : (2b+2c)x-by-cz-7b-c=0 +Ta có
2
2
5
( ,( ))
5
2
20 92 41
10 41
b c d I P
b bc c
b c b bc b
b c
Kl: 2x+y-2z+5=0 62x-41y+10z-277=0
0.25
0.25
0.25
0.25 VII.a
Tìm tất số phức z , biết
2
|z 1 |i zi z 11 (1) i
Gọi số phức z=a+bi (a b, ) thoả mãn đề =>
2
, ( 2) | | ( 1) ( 2)
(5)2
(a1) (b 2) (a bi i a bi ) 11 2 i
2
2
( 1) ( 2) ( ) 11
( 1) ( 2) 11
2
a b a b i a b i
a b a b
a b
2 1 4
( 1) ( 2)
1
2
a a
a b
b b
a b
Suy có số phức cần tìm z=1-i z=4+2i Khi z z 2
0.25
0.25
0.25 VIb BC qua B(1;5) vng góc AH nên BC có pt - 2x + y – = 0
Toạ độ C nghiệm hpt
¿
−2x+y −3=0 x − y −1=0
⇒C(−4;−5)
¿{
¿
Gọi A’ là điểm đối xứng B qua đường phân giác x − y −1=0(d),BA∩ d=K
Đường thẳng KB qua B vng góc d nên KB có pt: x + y – =
Toạ độ điểm K nhgiệm hpt
¿
x+y −6=0
x − y −1=0
⇒K(7
2; 2)
¿{
¿
Suy A’ (6;0) , Pt A’C :x – 2y – = 0
Do A=CA'∩AH nên toạ độ A nhgiêm hpt
¿
x −2y −6=0 x+2y −2=0
⇒A(4;−1)
¿{
¿
Trung điểm I AC có toạ độ I(0;-3) đồng thời I trung điêm BD nên D(-1;-11)
0.25
0.25 0.25 0.25
2 +Gọi I (1+2t;t;-1+t) thuộc d tâm mc(S)
+ Ta có
0 ( ;( )) ( ;( )) 18
7 t d I P d I Q
t
+ KL : (x-1) +y +(z+1) =92 2
2
29 18 25 33
)
7 7
2
2
(x+ ) + y +(z+ ) =(
+ Pt
2
1
3
1
3
z
z i
z i
0.25 0.25 0.25 0.25 VIIb
(6)+ T=
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2012
Mơn thi : TỐN Khối A
Thời gian làm 180 phút , không kể thời gian giao đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I(2 điểm) : Cho hàm số y=x3+3x2−mx+2 có đồ thị (Cm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m=0
2 Tìm giá trị m để hàm số có cực đại cực tiểu cho khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng nối điểm cực trị (Cm) đến tiếp tuyến (Cm) điểm có hồnh độ lớn Câu II (2 điểm):
1 Giải phương trình sau: tan2x+9 cot2x+2 cos 2x+4 sin 2x =14 Giải bất phương trình sau : (x2−4x)√2x2−3x −2<0
CâuIII (1điểm): Tính tích phân sau I=
π
4
tanx ln(cosx)
cosx dx
Câu IV (1điểm):Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’,biết A’.ABC hình chóp tam giác có cạnh đáy a
Khoảng cách từ AA’ đến BC a
2 Tính thể tích khối lăng trụ theo a
Câu V (1 điểm): Với a, b, c số thực dương thoả mãn a+b+c=1 Chứng minh
√ab
c+ab+√
bc
a+bc+√
ca
b+ca≤
3
PHẦN RIÊNG (3 điểm) (thí sinh làm hai phần A B) A.Theo chương trình chuẩn
Câu VI a (2 điểm) :
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có M(4;6) trung điểm AB Giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng (d) có phương trình 3x – 5y + = , điểm N(6;2) thuộc cạnh CD Hãy viết phương trình cạnh CD biết tung độ điểm I lớn
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1):x −1
2 =
y+1
1 =
z 1;(d2):
x −1
1 =
y −2
2 =
z
(7)phương trình đường thẳng Δ song song với (P) cắt d1,d2 hai điểm A, B cho AB
¿√29
Câu VII.a (1 điểm): Cho số phức z thoả mãn |iz−3|=|z −2−i| |z+3i|=|2z+i| Tìm môđun số phức z
B.Theo chương trình nâng cao CâuVI.b (2điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có B(1;5) đường cao AH có phương trình x+2y −2=0 ,với H thuộc BC; đường phân giác góc ACB có phương trình
x − y −1=0 Tìm toạ độ đỉnh A, C, D
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) vng góc với đường thẳng (d): x −1
2 =
y −2=
z+1
1 , cắt mặt cầu (S) : x2+y2+z2−2x+4y −6z −11=0 theo đường trịn có bán kính
CâuVII.b (1 điểm) Tìm số phức có mơđun nhỏ thoả mãn |z+1−5i z+3−i |=1 Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu.Cán coi thi khơng giải thích thêm
Số báo danh Họ tên thí sinh ĐÁP ÁN KHỐI A
Câu Ý Nội dung Điểm I Với m=0 hàm số trở thành y=x3+3x2+2
TXĐ:R
Sự biến thiên:
x=0
¿
x=−2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿y
,
=3x2+6x=3x(x+2) y,=0⇔ ¿ bbt
x − ∞ -2 +
∞
y’ + - +
y
+∞ − ∞
Hàm số đb ( − ∞;−2¿ (0;+∞) nbtrên(-2;0)
Cực trị Giới hạn Đồ thị
-2 x
0.25
0.25
0.25
(8)2 Có y,=3x2+6x −m
Hàm số có cực đại cực tiểukhi pt y,
=3x2+6x −m =0 có nghiệm phân biệt
⇔Δ'
=9+3m 0⇔m>−3 (*)
Giả sử A(x1; y1) B(x2; y2) điểm cực trị đồ thị hàm số với x1, x2
nghiệm (1) Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = -2
⇒ Trung điểm đoạn thẳng AB I(-1; m + )
Tiếp tuyến Δ đồ thị (Cm) điểm có hồnh độ x = có pt y=y,(1)(x −1)+y(1)
⇔(m−9)x+y+3=0 m −9¿2+1
¿
m −9¿2+1
¿ ¿
√¿
¿
√¿
d=d(I , Δ)=|(m−9)(−1)+m+4+3|
¿
d lớn m−9¿
+1
¿ ⇔√¿
nhỏ
m−9¿2+1
¿ ¿
√¿
Dấu = xảy m = (tm *).Vậy m=9
0.25 0.25
0.25 0.25
II
Pt ⇔tan2x+9 cot2x+2 cos 2x sin 2x +
4
sin 2x=14 ĐK: sin2 x ≠0 cos2x
sin 2x =
2(cos2x −sin2x)
2 sinxcosx =cotx −tanx
sin 2x=
4(sin2x+cos2x)
2 sinxcosx =2(tanx+cotx)
pt ⇔tan2x+9 cot2x+cotx −tanx+2(tanx+cotx)=14 tanx+3 cotx¿2+(tanx+3 cotx)−20=0
⇔¿ ⇔
tanx+3 cotx=−5
¿
tanx+3 cotx=4
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔
tanx=1
¿
tanx=3
¿
tanx=−5±√13
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
⇔
x=π 4+kπ
¿
x=arctan 3+kπ
¿
x=arctan−5±√13 +kπ
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0.25
0.25 0.25
(9)2
Điều kiện
2x2−3x −2≥0⇔
x ≥2
¿
x ≤−1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Bất pt
⇔
2x2−3x −2≠0
x2−4x<0
⇔ ¿x ≠2
x ≠−1 0<x<4
⇔ ¿0<x<4
x ≠2
¿{
Kết hợp điều kiện ta nghiệm pt : < x <
0.25
0.75
III
I=
π
4
sinx ln(cosx)
cos2x dx Đặt t = cosx ⇒dt=−sin xdx Đổi cận x = t = 1; x = π4 t = √2
2
I= −
√2
lnt
t2 dt=
√2
lnt
t2 dt Đặt
¿
u=lnt dv=1
t2dt
⇒ ¿du=1
t dt v=−1
t
¿{
¿ ⇒I=−1
t lnt¿√2
+
√2
1 t2dt=−
√2
2 ln 2− t ¿√2
2
I= √2−1−√2 ln
0.25
0.25
0.25 0.25
IV
A’ B’
K C’
(10)C
Gọi H hình chiếu A’trên(ABC) Gọi M trung điểm BC Dựng MK AA’
Vì A’H (ABC)và A’.ABC hình chóp nên BC (A’AM) suy BC KM
Theo gt suy KM = a2 Có MK.AA’ = A’H.AM ⇔a
2.√A '
H2+a =A
'
H.a√3
2 ⇔A ' H= a
√6
Có SABC= a
2
√3
4 Vậy VABC.A
’
B’C’ = a
3
√2
0.25
0.25
0.5 V Từ giả thiết ta suy 0<a ,b ,c<1
Ta có √ab c+ab=√
ab
1− a − b+ab=√ ab
(1−a)(1−b) Tương tự √bc
a+bc=√ bc
(1− b)(1− c) √ ca
b+ca=√ ca
(1− c)(1−a) Theo BĐT Cô-si ta có a
1−b+ b
1− a≥2 √ ab
(1− a)(1− b) b
1− c+ c
1− b≥2.√ bc
(1− c)(1− b) c
1− a+ a
1−c≥2.√ ca
(1− c)(1− a) Cộng vế với vế ta 3≥2 VT⇔VT≤3
2 (ĐPCM) Đẳng thức xảy a=b=c=1
3
0.25
0.25 0.25 0.25 VIa
Gọi P(xP;yP) đối xứng với M(4;6) qua I nên
¿
4+xP=2xI 6+yP=2yI
¿{
¿
I thuộc (d) nên 3(4+xP)
2 −
5(6+yP)
2 +6=0⇔3xP−5yP−6=0 (1) Lại có PM PN ⇔⃗PM.⃗PN=0⇔(x
P−4)(xP−6)+(yP−6)(yP−2)=0 (2)
(1)(2) ta có
34yP2−162yP+180=0⇔
yP=3
¿
yP=30 17
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Với yP =3 xP=7 pt CD:x-y-4=0
với yP= 3017 yI= 13217 <4 (loại)
0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
2 A∈d1⇒(1+2t ;−1+t ;t).B∈d2⇒B(1+a ;2+2a ;a) ⃗AB(a−2t ;3+2a −t ; a− t) .(P)có VTPT ⃗n(1;1;−2)
AB//(P) nên ⃗AB ⃗n=0⇔a=t −3 .Khi ⃗AB(− t −3;t −3;−3)
(11)Theo đề
t −3¿2+9=29⇔t=±1 t+3¿2+¿
AB2
=29⇔¿
Với t=1 suy A(3;0;1).pt cần lập
¿
x=3+4t y=2t z=1+3t
¿{ {
¿
Với t=-1 suy A(-1;-2;-1).Ptcần lập
¿
x=−1+2t y=−2+4t z=−1+3t
¿{ {
¿
0.25
0.25
0.25
VIIa
Giả sử z=x+yi(x , y∈R) Thì iz−3=− y −3+xi z−2− i=(x −2)+(y −1) i
y −1¿2⇔x=−2y −1
x −2¿2+¿
y+3¿2+x2=¿
⇒|iz−3|=|z −2−i|⇔¿
(1)
Lại có |z+3i|=|2z+i|⇔|x+(y+3)i|=|2x+(2y+1)i|⇔x2+(y+3)2=4x2+(2y+1)2 ⇔3x2+3y2−2y −8=0 (2)
Thế (1) vào (2) ta
3(−2y −1)2+3y2−2y −8=0⇔15y2+10y −5=0⇔ y=−1
¿
y=1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Với y=−1⇒x=1⇒z=1−i⇒|z|=√2 Với y=1
3⇒x=−
3⇒z=− 3+
1
3i⇒|z|=√ 26
0.25 0.25 0.25
0.25
VIb BC qua B(1;5) vuông góc AH nên BC có pt - 2x + y – = 0
Toạ độ C nghiệm hpt
¿
−2x+y −3=0 x − y −1=0
⇒C(−4;−5)
¿{
¿
Gọi A’ là điểm đối xứng B qua đường phân giác x − y −1=0(d),BA∩ d=K
Đường thẳng KB qua B vng góc d nên KB có pt: x + y – =
Toạ độ điểm K nhgiệm hpt
¿
x+y −6=0
x − y −1=0
⇒K(7
2; 2)
¿{
¿
Suy A’ (6;0) , Pt A’C :x – 2y – = 0
0.25
(12)Do A=CA'∩AH nên toạ độ A nhgiêm hpt
¿
x −2y −6=0 x+2y −2=0
⇒A(4;−1)
¿{
¿
Trung điểm I AC có toạ độ I(0;-3) đồng thời I trung điêm BD nên D(-1;-11) (S) có tâm I(1;-2;3) bk R =
(Q) có dạng 2x – 2y + z – m = d(I,(Q))= √25−9 =4
⇔|2+4+3+m|
3 =4⇔
m=3
¿
m=−21
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Do ptmp (Q) 2x – 2y + z + = 2x – 2y + z – 21 =
0.25 0.5 0.25
0.5
0.25 0.25 VIIb Giả sử z=x+yiư Từ gt suy
y +1¿2
x+3¿2+¿
y −5¿2=¿
x+1¿2+¿
|(x+1)+(ưy−5)i|=|x+3−(ưy+1)i|⇔¿
⇔x+3y=4ư
Ta có x+3y¿2≤10(x2+y2)=10|z|
ưư 16=¿
⇔|z|≥
√10 Min |z|=
√10
Đẳng thức xảy
¿
y=3x x+3y=4
⇔ ¿x=2
5 y=6
5
¿{
¿
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2012
(13)Thời gian làm 180 phút , không kể thời gian giao đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) : Cho hàm số y=1
3x
−1 2mx
2
+(m2−3)x 1.Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m =
2.Tìm tất giá trị m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực đại cực tiểu độ dài cạnh góc vng cuả tam giác vng có độ dài cạnh huyền √5
2 Câu II(2 điểm)
1.Giải phương trình sau
9− x2 3−√¿
¿
4¿
x2 3+√9− x2+
1
¿
2.Giải phương trình sau sin4(3x+π 4)+sin
4
(3x −π 4)=
1 Câu III (1 điểm) Tính tích phân sau I=
√3
√8 x√x2+1dx
CâuIV (1 điểm) : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB ¿a , BC ¿a√3 Mặt
phẳng (SAC) mặt phẳng(SBD) vng góc với đáy, I thuộc cạnh SC cho SI = 2CI thoả mãn AI vng
góc với SC Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu V (1 điểm) : Cho số thực không âm a , b , c Chứng minh a3
+b3+c3≥ a2√bc+b2√ac+c2√ab
PHẦN RIÊNG (3 điểm) (thí sinh làm hai phần A B) A.Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2 điểm)
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình bình hành ABCD với A(1;1) ; B(4;5) Tâm I hình bình hành thuộc đường thẳng (d) : x+y+3=0 Tìm toạ độ đỉnh C, D biết diện tích hình bình hành ABCD
bằng
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A(1;1;1); B(2;0;6); C(3;2;0) ; D(7;4;2) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cách C, D
Câu VII.a (1 điểm): Tìm số phức z thoả mãn z+3+5i
¯z −5i=0 B.Theo chương trình nâng cao
CâuVI.b (2điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có B(1;5) đường cao AH có phương trình x+2y −2=0 ,với H thuộc BC; đường phân giác góc ACB có phương trình
x − y −1=0 Tìm toạ độ đỉnh A, C, D
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) vng góc với đường thẳng (d): x −1
2 =
y −2=
z+1
1 , cắt mặt cầu (S) : x2+y2+z2−2x+4y −6z −11=0 theo đường trịn có bán kính
CâuVII.b (1 điểm) Tìm số phức có mơđun nhỏ thoả mãn |z+1−5i z+3−i |=1 Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu.Cán coi thi khơng giải thích thêm
(14)ĐÁP ÁN KHỐI D
Câu Ý Nội dung Điểm
I
Với m = hàm số có dạng y=1 3x
3
−1 2x
2
−2x TXĐ:R
y’= x2
− x −2 ; y’=0 ⇔
x=−1
¿
x=2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
BBT
x − ∞ -1
+∞
y’ + - +
y
+∞
− ∞ −10
3 Đb ,nb
Cực trị y Giới hạn Đồ thị
6
-1 x
−10
0.25
0.25
0.25
0.25
2 y’ = x2 – mx + m2 –
Hàm số có CĐ, CTvà xCĐ, xCT >0 pt y’ = có nghiệm dương pb ⇔
Δ=m2−4(m2−3)>0 P=m2−3>0
S=m>0
⇔√3<m<2
¿{ {
0.25
(15)Theo gt ta có
xCĐ+xCT¿2−2xCĐxCT=5 xCĐ2 +xCT2 =5
2⇔¿
(*)
Theo đl Viet (*) ⇔m2−2(m2−3)=5
2⇔m=√ (tm) II ĐK −3≤ x ≤3, x ≠0 Đặt t=√9− x2⇔x2=9−t2, t ≥0, t ≠3
Pt trở thành 9− t 3+t +
1
4(3− t)=1⇔t=
⇔x2 =11
4 ⇔x=±
√11
2 (tm)
0.25 0.5 0.25
Pt ⇔cos4
(3x −π 4)+sin
4
(3x −π 4)=
1
⇔1−2 cos2(3x −π 4)sin
2
(3x −π 4)=
1 2⇔1−
1 2sin
2
(6x −π 2)=
1
⇔cos26x
=1⇔sin26x=0⇔x=kπ
6 k∈Z
0.25 0.5 0.25 III Đặt t=√x2+1⇒t2=x2+1⇒tdt=xdx
Đổi cận x=√3⇒t=2 x=√8⇒t=3 I=
2
1 t2−1dt=
1 22
3 (
t −1− t+1)dt
¿1
2ln| t −1 t+1|¿2
3 =
2ln
0.25 0.25 0.5 IV S
B A I
O
C D Gọi O giao điểm AC BD ⇒ (SAC) (SBD)=SO
Có (SAC) (ABCD) (SBD) (ABCD)
nên SO (ABCD)
AC=√BA2+BC2=2a⇒OA=OC=a
Đặt SO=h ⇒SC=√SO2+OC2=√h2+a2 Do SI=2CI nên IC=13SC=13√h2+a2 Tam giác AIC vuông I nên AI=√AC2−IC2=1
3√35a
− h2 (ĐK 0< h<a√35 ) Có 2SSAC=AI.SC=SO.AC ⇔13√35a
2
−h2.√h2+a2=2h.a
⇔h4+2a2h2−35a4=0⇔(h2+7a2)(h2−5a2)=0
⇔h=a√5 (tmđk)
0.25
0.25
(16)Vậy VS.ABCD=
3SO.SABCD=a 3√15
3 0.25
V
Theo BĐT Cơsi ta có 2VP= a2√bc+b2√ac+c2√ab≤ a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b) 2¿
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) (1) Lại có a − b¿
2
≥0∀a , b ≥0 a3+b3−ab(a+b)=(a+b)¿
⇔a3+b3≥ab(a+b) tương tự b3
+c3≥bc(b+c) c3
+a3≥ac(a+c)
Cộng vế với vế 2VT ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥ 2VP (Đpcm) Đẳng thức xảy a=b=c
0.25 0.25
0.25 0.25
VIa
Giả sử C(a;b) ⇒I(1+a ;
1+b
2 ) Do I∈d⇒a+b+8=0 (1) Pt đường thẳng AB x −1
3 =
y −1
4 ⇔4x −3y −1=0 Lại có d(C ;AB)=h=|4a−3b −1|
5 SABC=
2AB h=
|4a −3b −1|
5 5=
9
2⇔|4a −3b −1|=9⇔4a −3b −1=±9 (2)
Từ (1)(2) ta
¿
a=−2 b=−6 hoăc
¿a=−32 b=−24
¿{
¿
Do
C1=(−2;−6)⇒D1(−5;−10)
¿
C2(
−32 ;
−24
7 )⇒D2(− 53
7 ;− 52
7 )
¿ ¿ ¿ ¿
0.25
0.25
0.25
0.25
2 + Nếu C ,D nằm phía với (P) ,C ,D cách (P) CD//(P)
⃗AB(1;−1;5),⃗CD(4;2;2)⇒[⃗AB,⃗CD]=(−12;18;6)⇒⃗n=(2;−3;−1) là vtpt (P) Pt (P) 2(x −1)−3(y −1)−1(z −1)=0⇔2x −3y − z+2=0
+ Nếu C,D nằm khác phía với (P) C ,D cách (P) (P) qua trung điểm M(5;3;1) cuả CD
⃗AB(1;−1;5),⃗AM(4;2;0)⇒[⃗AB,⃗AM]=(−10;20;6)⇒⃗n(−5;10;3) là vtpt (P)
PT(P) −5(x −1)+10(y −1)+3(z −1)=0⇔−5x+10 yư+3z −8=0
0.25 0.25 0.25 0.25 VIIa Giả sử z=x+yi(x , y∈R) ta có ¯z=x −yi
Theo gt ta có z.¯z+3+5i−5i.¯z=0⇔x2+y2+3+5i−5 xi−5y=0
(17)
⇔
x2+y2+3−5y=0 5x −5=0
⇔ ¿x=1 y2−5y+4=0
¿{
⇔ ¿x=1
y=1
⇒z=1+i
¿ ¿
x=1
¿ ¿
y=4
¿ ⇒z=1+4i
¿ ¿
0.25
VIb BC qua B(1;5) vng góc AH nên BC có pt -2x+y-3=0
Toạ độ C nghiệm hpt
¿
−2x+y −3=0
x − y −1=0
⇒C(−4; −5)
¿{
¿
Gọi A’ là điểm đối xứng B qua đường phân giác x − y −1=0(d),BA∩ d=K
(KB) qua B vng góc d nên KB có pt: x+y-6=0
Toạ độ điểm K nhgiệm hpt
¿
x+y −6=0 x − y −1=0
⇒K(7 2;
5 2)
¿{
¿
Suy A’ (6;0).Pt A’C :x-2y-6=0
Do A=CA'∩AH nên toạ độ A nhgiêm hpt
¿
x −2y −6=0
x+2y −2=0
⇒A(4; −1)
¿{
¿
Trung điểm I AC có toạ độ I(0;-3) đồng thời I trung điêm BD nên suy D(-1;-11)
0.25
0.25 0.25 0.25
2 (S) có tâm I(1;-2;3) bk R=5
(Q) có dạng 2x-2y+z-m=0 d(I,(Q))= √25−9 =4
(18)⇔|2+4+3+m|
3 =4⇔
m=3
¿
m=−21
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Do ptmp (Q) 2x-2y+z+3=0 2x-2y+z-21=0 VIIb Giả sử z=x+yiư Từ gt suy
y +1¿2
x+3¿2+¿
y −5¿2=¿
x+1¿2+¿
|(x+1)+(ưy−5)i|=|x+3−(ưy+1)i|⇔¿ ⇔x+3y=4ư
Ta có x+3y¿2≤10(x2+y2)=10|z|
ưư 16=¿
⇔|z|≥
√10 Min |z|=
√10
.Đẳng thức xảy
¿
y=3x x+3y=4
⇔ ¿x=2
5 y=6
5
¿{
¿
0.5 0.25