De cuong On tap HKII 1112 hay

Baøi 5/ Cho ñöôøng troøn (O) vaø daây AB. Hai tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn taïi caùc ñieåm A, B caét nhau taïi P. M laø moät ñieåm baát kyø treân cung nhoû AB. b/ Chöùng minh hai ta[r]

PHẦN I: ĐẠI SỐ A) KIẾN THỨC CƠ BẢN

I HỆ PHƯƠNG TRÌNH I/ Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn:

Dạng tổng quát:

ax by c a 'x b'y c'

 

 

 

 (với a, b, c, a’, b’, c’R a, b; a, b’ không đồng thời 0) II/ Giải hệ phương trình bậc hai ẩn:

1) Phương pháp thế:

- Bước 1: Rút x theo y (hoặc y theo x) từ phương trình hệ thay vào phương trình cịn lại - Bước 2: Giải phương trình ẩn x (hoặc y)

- Bước 3: Thay giá trị x (hoặc y) vừa tìm vào phương trình cịn lại để suy giá trị ẩn lại - Bước 4: Kết luận

2) Phương pháp cộng đại số:

Chú ý:Hệ số ẩnbằng trừ, đối cộng, khác nhân. II HÀM SỐ y=ax2 (a0)

I/ Tính chất hàm số y=ax2 (a 0): 1/ TXĐ: xR

2/ Tính chất biến thiên:

* a>0 hàm số y=ax2đồng biến x>0 nghịch biến x<0.

* a<0 hàm số y=ax2đồng biến x<0 nghịch biến x>0.

3/ Tính chất giá trị:

* Nếu a>0 ymin=  x=0 * Nếu a<0 ymax=  x=0

II/ Đồ thị hàm số y=ax2 (a 0):

1/ Đồ thị hàm số y=ax (a2 0):

- Đỉnh O(0;0); - Nhận Oy làm trục đối xứng

- Nếu a>0 đồ thị nằm phía trục hồnh Ox; Nếu a<0 đồ thị nằm phía trục hoành Ox 2/ Các bước vẽ đồ thị hàm số y=ax2 (a 0):

- Lập bảng giá trị tương ứng:

x - x1 - x2 x2 x1

y=ax2 y

1 y2 y2 y1

- Biểu diễn điểm có tọa độ (x; y) vừa xác định lên mặt phẳng tọa độ - Vẽ (P) qua điểm

III/ Quan hệ (P): y=ax2 (a 0) đường thẳng (d): y=mx+n:

Phương trình hồnh độ giao điểm (P): y=ax2và đường thẳng (d): y=mx+n là:

ax2= mx+n  ax2- mx-n=0 (*)

1/(P) cắt (d) hai điểm phân biệtphương trình (*) có hai nghiệm phân biệt >0 (hoặc '>0)

2/(P) tiếp xúc (d)  phương trình (*) có nghiệm kép =0 (hoặc'=0)

3/(P) (d) điểm chung phương trình (*) vơ nghiệm  <0 (hoặc '<0) III PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ

I/ Khái niệm ph.t bậc hai ẩn số (x): ph.trình có dạng: ax2 + bx + c = (với a,b,c R a 0)

II/ Cách giải phương trình bậc hai ẩn số:

1 Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax2 + bx = 0:

ax2+ bx = x.(ax+b)=0 

0 0

0 x x

b

ax b x

a   

 



   

 

 2 Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax 2 + c = 0:

* Trường hợp a c dấu: phương trình vơ nghiệm

* Trường hợp a c khác dấu, ta có: ax2+ c = 

2

ax

c x

c a

c x

a c

x

a 

   

   



  

3 Dạng đầy đủ – Dạng ax2 + bx + c = (với a, b, c0 :

- Bước 1: Xác định hệ số a,b,c

- Bước 2: Lập  = b2 - 4ac (hoặc ' = b'2 – ac) so sánh với

(Trong trường hợp >0 (hoặc '>0) ta tính (hoặc tính ')

- Bước 3: Xác định kết luận nghiệm theo bảng sau:

C«ng thøc nghiƯm tổng qt C«ng thøc nghiƯm thu gän

 = b2 - 4ac

-NÕu > : Phơng trình có hai nghiệm phân biÖt:

x1=− b+√Δ

2a ; x2=

− b −√Δ

2a

- NÕu  = : Phơng trình có nghiệm kép : x1=x2= b

2a

- NÕu  < : Ph¬ng trình vô nghiệm

' = b'2 - ac (với b’ = 2 b

2b')

- NÕu ' > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=− b '

+√Δ'

a ; x2=

− b'−

√Δ' a

- NÕu ' = : Phơng trình có nghiệm kép: x1=x2=− b

' a

- NÕu ' < : Phơng trình vô nghiệm

* Chỳ ý:Nếu a.c < phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) III/ Định lí Vi-ét:

1/ Vi-ét thuận: NÕu x1, x2 lµ nghiƯm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×:

1.

b

S x x

a c P x x

a  

  

  

  

 

2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P u,v l nghim ca phơng trình:

x2 - Sx + P = 0 (§iỊu kiƯn: S2 - 4P  0) 3/ Nhẩm nghiệm ph ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0):

*/ NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = c a

*/ NÕu a - b + c = phơng trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 = c a 

* Chỳ ý:Nếu x1, x2 nghiệm phơng trình bËc hai ax2 + bx + c = (a0) th×:

ax2 + bx + c = a(x-x

1)(x-x2)

IV/ Giải phương trình quy phương trình bậc hai:

1/ Phương trình tích:

( ) 0 ( ) ( ) 0

( ) 0 A x A x B x

B x  

   

 2/ Phương trình chứa ẩn mẫu:

- Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình (là ĐK ẩn để tất mẫu khác 0)

- Bước 2: Qui đồng khử mẫu hai vế

- Bước 3: Giải phương trình nhận bước

- Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm với ĐKXĐ kết luận nghiệm 3/ Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = ( a 0 )

+ Đặt : x2 = t  , ta có PT cho trở thành : at2 + bt + c = (*)

+ Giải phương trình (*)

+ Chọn giá trị t thỏa mãn t0 thay vào: x2 = t  x= t

+ Kết luận nghiệm phương trình ban đầu

4/ Phương trình sau đặt ẩn phụ quy phương trình bậc hai: + Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện ẩn phụ có

+ Giải phương trình ẩn phụ

B BÀI TẬP: I TRẮC NGHIỆM:

1.Cho hàm số y=x2

4 điểm A(1; 0,25); B(2; 2); C(4; 4) Các điểm thuộc đồ thị hàm số gồm: A.chỉ có điểm A B.hai điểm A C C.hai điểm A B D.cả ba điểm A

2 Đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm A(3; 12) Khi a bằng

A 4

3. B

3

4. C D

1 4 Đồ thị hàm số y = -3x2 qua điểm C(c; -6) Khi c bằng

A B  2. C  2. D.kết khác Đồ thị hàm số y = ax2 cắt đường thẳng y = - 2x + điểm có hồnh độ a bằng

A B -1 C 5. D  5.

5.Điểm N(2; -5) thuộc đồ thị hàm số y = mx2 + m bằng:

A – B

C 1

2. D

1 2  6.Đồ thị hàm số y = x2 qua điểm:

A ( 0; ) B ( - 1; 1) C ( 1; - ) D (1; ) 7.Haøm soá y =

1

m

 

 

  x2 đồng biến x > nếu:

A m < 1

2. B m > 1

2. C m > 1 2 

D m = 8.Phương trình (m + 1)x2 – 2mx + = phương trình bậc hai khi:

A m = B m -1 C m = D giá trị m 9.Phương trình x2 – 3x + = có biệt thức bằng

A B -19 C -37 D 16

10.Phương trình mx2 – 4x – = ( m 0) có nghiệm khi

A 5 m

4



B

5 m

4



C

4 m

5



D

4 m

5

 11.Phương trình sau có nghiệm kép ?

A –x2 – 4x + = 0. B x2 – 4x – = 0.

C x2 – 4x + = 0. D ba câu sai.

12.Phương trình sau có nghiệm ?

A x2 – x + = 0. B 3x2 – x + = 0.

C 3x2 – x – = 0. D – 3x2 – x – = 0.

13.Cho phương trình 0,1x2 – 0,6x – 0,8 = Khi đó:

A x1 + x2 = 0,6; x1.x2 = B x1 + x2 = 6; x1.x2 = 0,8

C x1 + x2 = 6; x1.x2 = D x1 + x2 = 6; x1.x2 = -

14.Tổng hai nghiệm phương trình x2 – 2x – = là:

A B – C D –

15.Phương trình 2x2 + mx – = có tích hai nghiệm là

A 5

2. B

m

2 . C

m 2



D

5 2

 16.Nếu p.trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm thì:

A a + b + c = B a – b + c = C a + b – c = D a – b – c = 17.Phương trình mx2 – 3x + 2m + = có nghiệm x = Khi m bằng

A 6

5. B

6 5



C

5

6. D

5 6

18.Cho hai số u v thỏa mãn điều kiện u + v = 5; u.v = Khi u, v hai nghiệm phương trình A x2 + 5x + = 0. B x2 – 5x + = 0.

C x2 + 6x + = 0. D x2 – 6x + = 0.

19.Cho phương trình x2 – (a + 1)x + a = Khi phương trình có nghiệm là:

A x1 = 1; x2 = - a B x1= -1; x2 = - a C x1 = -1; x2 = a D x1 = 1; x2 = a

20.Gọi x1; x2 nghiệm phương trình x2 + x – = Khi biểu thức x12 + x22 có giá trị là:

A B C -1 D -3

II BAØI TẬP TỰ LUẬN

*) PHẦN HÀM SỐ

Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau hệ trục tọa độ tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số (nếu có)

1) (D): y = 2x + (P): y = x2

2) (D): y = 2x – (P): y = – x2

3) (D): y = 3x – (P): y = x2

Bài

2: Cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P)

a Xác định a biết (P) qua A (-2; 1).Vẽ (P)

b Các điểm M(2; 1) , N(-4; -4) có thuộc (P) khơng ? Tại sao?

c Với giá trị m đường thẳng (d) y = -x + m tiếp xúc với (P) Vẽ đường thẳng (d) với m vừa tìm xác định toạ độ tiếp điểm

Bài

3: Trong hệ trục toạ độ gọi (P) đồ thị hàm số y = x2 (D) đồ thị hàm số y = −x +2

a Vẽ (P) (D)

b Xác định toạ độ giao điểm (P) (D) đồ thị kiểm tra lại kết p.pháp đại số

c Tìm a, b hàm số y = ax+ b , biết đồ thị (d) hàm số song song với (D) cắt (P) điểm có hồnh độ –1

Bài

4: Cho (P) y = 2

1 x 

Lập phương trình đường thẳng (D) qua A(-2 ; -2 ) tiếp xúc với (P) Bài

5: Cho parapol (P) y = 2 1

x2

a Vẽ (P)

b Trên (P) lấy điểm A B có hồnh độ Hãy viết phương trình đường thẳng AB c Viết phương trình đường trung trực (D) AB tìm toạ độ giao điểm (D) (P)

Bài

6: Cho hàm số y = f(x) = ax2

a Nêu tính chất vẽ đồ thị (P) hàm số biết đồ thị hàm số qua A (-2 ; 8) b Khơng tính toán, so sánh f( 108 7) f( 108 7)

c Một đường thẳng (D) có phương trình y = -2x + 4.Tìm toạ độ giao điểm (P) (D) Bài

7: Cho hàm số y = (m2 – ) x2

a Tìm m để đồ thị hàm số qua A ( 2; 1) b Với giá trị m tìm câu a :

+ Vẽ đồ thị (P) hàm số

+ Chứng tỏ đường thẳng 2x – y – = tiếp xúc với (P) tính toạ độ tiếp điểm +Tìm GTLN GTNN hàm số [- ; 3]

Bài 8: Cho (P): y = ax2 (D): y = 2x – 2.

a) Tìm a biết (P) qua A(2; 2)

b) Vẽ (P) (D) trường hợp

c) Chứng minh (D) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 9: Cho (P): y = ax2

a) Tìm a để (P) qua I(1; –1) Vẽ (P) trường hợp

b) Gọi A(–2; 0); B(0; –2) Viết phương trình đường thẳng AB Tìm tọa độ giao điểm C, D đường thẳng AB (P) vẽ câu a Tính độ dài CD

c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) câu a

Bài 10: Cho (P): y = –x2 đường thẳng (D): y = x + m Biện luận theo m số giao điểm (D) (P) Trong trường

Bài 1: Giải hệ phương trình bậc hai ẩn sau:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7)

Bài

2: Cho hệ phương trình :  

 

 

a y ax

y x

2 1

a Giải hệ phương trình a = b Tìm a để hệ phương trình có vơ số nghiệm Bài 3 : Tìm giá trị a để hệ phương trình : 



 

 

a y ax

y x

3 5 2

a Có nghiệm b Vô nghiệm

Bài

: Cho hệ phương trình : 

 

 

m y mx

y x

2 1

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ? hệ có vơ số nghiệm ? Bài

5: Cho hệ phương trình :  

 

 

5 3

1 2

y mx

y x

Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm dương Bài

6: Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm âm : 

 

 

2 5

1 6 3

my x

y x Bài

7:Một người đoạn AB với vận tốc 12km/h, đoạn BC với vận tốc 6km/h hết 1giờ 15 phút Lúc người đoạn CB với vận tốc 8km/h đoạn BA với vận tốc 4km/h hết 30 phút Tính chiều dài đoạn đường AB, BC

Bài

8: Một hình chữ nhật có chu vi 216m Nếu giảm chiều dài 20%,tăng chiều rộng thêm 25% chu vi hình chữ nhật khơng đổi Tính chiều dài chhiều rộng hình chữ nhật

Bài

: Một trạm bơm chạy máy bơm lớn máy bơm nhỏ, tiêu thụ hết 920 lít xăng Biết máy bơm lớn tiêu thụ nhiều máy bơm nhỏ 40 lít Tính số xăng mà máy bơm loại tiêu thụ

Bài

10: Cho số tự nhiên có chữ số ,tổng chữ số ,nếu đổi vị trí chữ số cho số nhỏ số ban đầu 36 đơn vị Tìm số cho?

Bài

11 : Hai công nhân làm chung mot công việc 40 Nếu người thứ làm người thứ hai làm hồn thành 15

2

cơng việc Hỏi người làm riêng phải thời gian hoàn thành cong việc ?

Bài

12: Một ca nô xuôi dịng qng sơng dài 12km trở 30 phút Nếu qng sơng ca nơ xi dịng km ngược dịng km hết 20 phút Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc riêng dịng nước ?

*) PHẦN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

Bài 1/ Giải phương trình :

a/ x2 – = b/ 5x2 – 180 = c/ (x + 2)2 - 4(x + 5) =0 d/ (x + 1)(x - 2) + x – =

0

e/ 2x2 - 4x = g/ 2x2

-√2x=0 h/ (x + 1)2 + (x - 2)(x + 3) + = Bài 2/ Sử dụng cơng thức nghiệm giải phương trình sau:

a/ 3x2 – x – = b/ 2x2 – x + = c/ 6y2 – y – =

d/ t2 - 4t + = e/ x2 - 10x + 24 = g/ x2 - 2(

√2+1 )x + + √2=0 Bài 3: Giải phương trình sau:

1) x2 – 2x – = 0 2) x2 – (2 + )x + = 0 3) x2 – (1 + )x + = 0

4) 2x4 – 7x2 – = 0 5) 2x4 + 5x2 + = 0 6) – = 1

7) + = 8) + = 9) + + + =

10) = 11) – = 12) – =

Bài

: Giải phương trình sau:

a x4 –5x2 +4 = b 2x4 + 7x2 + = c (x2 +2x)2 –14(x2 +2x) –15 = 0

d (x2 +x +1) (x2 +x +2 ) = 2 e x+ 3 x - 10 = f 2x + 8 2x 1 = 21

Bài 5: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + m – = 0

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm x1, x2 tính theo m: x1 + x2 ; x1x2 ; x12 + x22

Bài 6: Cho phương trình x2

−4x+2m−m2=0 (x ẩn số)

a) Giải phương trình m =

b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Bài 7: Nếu phương trình bậc hai ẩn x sau: x2 – 2(2m – 1)x – 4m = có hai nghiệm x

1; x2 tính đại lượng

sau: (x1 – x2)2 ; x1 – x2 theo m mà không giải phương trình

Bài 8: Nếu phương trình bậc hai ẩn x sau: x2 – 2x – = có hai nghiệm x

1; x2 (x1 < x2) tính đại lượng sau

mà khơng giải phương trình

1) x12 + x22 2) + 3) + 4)+ 5) x13 – x23

Bài 9: Tìm m để phương trình sau:

1) x2 – 2mx + m2 – m – = có hai nghiệm x

1, x2 thỏa: x12 + x22 =

2) x2 – 2(m + 1)x + m2 + 6m – = có hai nghiệm x

1, x2 thỏa: x12 + x22 = 20

3) x2 – 3x – m2 + m + = có hai nghiệm x

1, x2 thỏa: x13 + x23 =

Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2x – m2 – = 0

b) Chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với m

c) Tìm m để phương trình có nghiệm x = – Tính nghiệm

d) Tìm m để:

c.1) x12 + x22 = 14

c.2) x1 = – 3x2

Bài 11: Tìm hai số u v trường hợp sau:

a) u + v = 20, uv = 99 b) u – v = 3, uv = 108 c) u2 + v2= 13, uv = – 6

Bài

12: Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + m – = (1)

a Giải pt (1) m = b Chứng minh pt (1) ln có nghiệm phân biệt với giá trị m Bài

13: Cho pt : x2 –2(m – 1)x + 2m – = (1)

a Chứng minh pt (1) ln có nghiệm với giá trị m b Tìm m để pt có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại c Gọi x1 x2 nghiệm pt(1) đặt B = x12x2+ x1x22 –

Chứng minh B = 4m2 -10m +1 Với giá trị m B đạt GTNN? Tìm GTNN B

d Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 độc lập với m

Bài

14: Cho phương trình : x2 –2(m – )x +m2 +2 =

a Với giá trị m pt có nghiệm phân biệt ? b Tính E = x12 + x22 theo m

c Tìm m để pt có nghiệm thoã mãn : x1 – x2 =

Bài

15 : Cho pt x2 – 2(m +3)x+ m2+3 = (1)

a Với giá trị m pt(1) có nghiệm

b Với giá trị pt (1) có nghiệm phân biệt? Hai nghiệm trái dấu khơng? Tại sao? c Với giá tri m pt(1) có nghiệm kép ?Tìm mghiệm kép

Bài

16: Cho pt x2 – 2x + k – 1= Xác định k để :

a Phương trình có nghiệm phân biệt dấu b Phương trình có nghiệm trái dấu Bài

17: Cho pt x2 – 7x + = Khơng giải phương trình tính :

a Tổng nghiệm b Tích nghiệm

c Tổng bình phương nghiệm d Tổng lập phương nghiệm

e Tổng nghịch đảo nghiệm g Tổng bình phương nghịch đảo nghiệm

Bài

18:Lập phương trình bậc hai có nghiệm :

a b –2 c - 5 + 5

Baøi 19/ Tìm hai số u v biết u + v = vaø u2 + v2 = 13

Bài

20: Một ô tô từ Hà Nội đến Hải Phòng đường dài 100km Lúc vận tốc tăng thêm 10km/h , thời gian thời gian lúc 30 phút Tính vận tốc tơ lúc ?

Bài

21: Một ô tô quãng đường AB dài 150km với thời gian định.Sau xe đựoc nửa quãng đường, ô tơ dừng lại 10 phút , để đến B hẹn , xe phải tăng vận tốc thêm 5km/h qng đường cịn lại tính vận tốc dự định ô tô ?

Bài

22: Một ca nơ xi dịng 44km ngược dòng 27 km hết tất 3giờ 30 phút Tính vận tốc ca nơ biết vận tốc dòng nước km/h

Bài 24: Một người xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 30 phút, người xe máy từ A đến B với vận tốc gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp nên đến B trước người xe đạp Tính vận tốc xe

Hướng dẫn:Gọi x(km/h) vận tốc xe đạp: (x > 0); Vận tốc xe máy 2,5x (km/h) Quãng đường (Km) Vận tốc (km/h) Thời gian (giờ)

Xe đạp 50 x 50

x

Xe maùy 50 2,5x 2,5x50

Phương trình:

50 x -

50 2,5x =

5 2

Bài 25: Một ca nơ xi dịng 90 km ngược dịng khúc sơng 36 km Biết thời gian xi dịng nhiều thời gian ngược dịng vận tốc ca nơ xi dịng nhiều vận tốc ca nơ ngược dịng km/h Tính vận tốc ca nơ xi dịng, ngược dòng

Hướng dẫn: Gọi x(km/h) vận tốc ca nơ xi dịng (x > 6)

Quãng đường (Km) Vận tốc (km/h) Thời gian (giờ)

Xuôi dòng 90 x 90

x

Ngược dịng 36 x –



36 x 6

Ta có phương trình: 90

x - 

36

x 6 = Giải x1 = 15; x2 = 18 (đều nhận)

Bài 26: Một ô tô quãng đường dài 520km Khi 240km tơ tăng vận tốc thêm 10km/h hết quãng đường lại Tính vận tốc ban đầu tơ biết thời gian hết quãng đường

Hướng dẫn:Gọi vận tốc ban đầu ô tô x(km/h) x >

Quãng đường (Km) Vận tốc (km/h) Thời gian (giờ)

Quãng đường đầu 240 x 240x

Quãng đường sau 280 x + 10 280x +10

Ta có phương trình: 240x + 280x

+10 = hay x

2 – 55x – 300 = 0

Bài 27: Một ô tô khởi hành từ A để đến B cách 240km Một sau, ô tô thứ hai khởi hành từ A đến B với vận tốc lớn vận tốc ô tô thứ 10km/h nên đuổi kịp tơ thứ quãng đường AB Tính vận tốc xe

Hướng dẫn:Gọi x (km/h) vận tốc ô tô thứ (x > 0)

Q.đường (Km) Vận tốc (km/h) Thời gian (giờ)

Ơtơ thứ 120 x 120

x

Ơtơ thứ hai 120 x + 10 120

x 10 Ta có phương trình:

120 x -

120 x 10 = 1 Bài

28: Hai vòi nước chảy vào bể đầy bể Nếu vịi chảy cho đầy bể vịi II cần nhiều thời gian vịi I Tính thời gian vịi chảy đầy bể

Bài 29:Hai đội cơng nhân làm 12 xong cơng việc Nếu đội I làm nửa công việc nghỉ đội II làm đến lúc hồn thành cơng việc tổng cộng 25 Hỏi đội làm riêng xong cơng việc

Gọi x (h) thời gian đội I làm xong công việc (12 < x < 50)

Đội Đội Cả hai đội

Thời gian x 50 - x 12

Trong 1 x

1 50 - x

1 12

Ta có phương trình:

1 x +

1 50 - x =

1 12

Bài 30: Trong phịng có 80 người họp, xếp ngồi dãy ghế Nếu ta bớt hai dãy ghế dãy ghế lại phải xếp thêm hai người đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế dãy ghế xếp người ngồi?

Hướng dẫn: Gọi x số dãy ghế phòng họp (x nguyên ; x > 2)

Số người Số dãy ghế Số người dãy

Lúc đầu 80 x 80

x

Luùc sau 80 x - 80

x - 2

Ta coù phương trình:

80

x-2– 80x =

Bài 31:Theo kế hoạch, đội xe phải chở 120 hàng Khi khởi hành có xe bị hỏng nên xe lại phải chở thêm 16 Hỏi đội xe có

Hướng dẫn:Gọi x số xe lúc đầu (x nguyên; x > 2)

Số hàng(tấn) Số xe Số hàng xe chở

Lúc đầu 120 x 120

x

Luùc sau 120 x - 120

x - 2

Ta có phương trình:

120 x - 2 –

120 x = 16

Bài

32: Một hình chữ nhật có chu vi 100m Nếu tăng chiều rộng gấp đơi giảm chiều dài 10m diện tích hình chữ nhật tăng thêm 200m2 Tính chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu ?

Bài 33: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng

2

5chiều dài có diện tích 360m2 Tính chu vi

khu vườn

Hướng dẫn: Gọi x(m ) chiều dài khu vườn (x > 0); Chiều rộng khu vườn là:

2 5x (m)

Ta có phương trình: x

2

5x = 360  x2 = 900  x = 30

Bài 34: Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40cm2, biết tăng kích thước 3cm thì

diện tích tăng 48cm2

Hướng dẫn:Gọi x(m) chiều dài hình chữ nhật (x > 0)

Chiều dài (cm) Crộng (cm) Diện tích (cm2)

Lúc đầu x 40

x 40

Luùc sau x + 40x

+ (x + 3)(

o

C A

B

I

M

o

B A

D

o

B A

C

x o

A B

x o

A B

C

E

o

A B

D

C F

M

o

A B C

B

o

A C

E

o

C A

B

o

B A

D

C

Ta có phương trình: (x + 3)(

40

x + 3) – 40 = 48 x2 – 13x + 40 = 0

Bài 35: Một hình chữ nhật có đường chéo 13m; chiều dài chiều rộng 7m Tính diện tích hình chữ nhật

Hướng dẫn:Gọi x(m) chiều dài (7 < x < 13); Chiều rộng x – (m)

Áp dụng định lý Pytago ta có phương trình: x2 + (x – 7)2 = 132 Giải phương trình ta được: x

1 = 12; x2 = -5 (loại)

Chiều dài 12(m); chiều rộng (m) => Diện tích 12.5 = 60(m2)

PHẦN II: HÌNH HỌC A KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I Quan hệ cung dây Góc với đường trịn:

1 Với hai cung nhỏ đường tròn, hai dây căng hai cung nhau, hai cung căng hai dây nhau: AB CD  AB CD

2 Đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung MA MB  IA IB Đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung

và ngược lại MA MB  OM AB

4 Đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây chia cung bị căng hai phần IA IB  OI AB MA MB; 

5 Đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây chia cung bị căng hai phần OI AB IA IB MA MB ; 

6 Hai cung chắn hai dây song song AB CD/ /  AC BD

7 Số đo góc tâm số đo cung bị chắn BOC sd BC 

8 Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn

 1 

2



BAC sd BC

9 Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn

 1 

2



BAx sd AB

10 Trong đường trịn :

a) Các góc nội tiếp chắn cung ACB DFE  AB DE

b) Các góc nội tiếp chắn cung nhauAMBACB (cùng chắn AB) c) Các góc nội tiếp chắn cung AB DE  ACB DFE

d) Góc nội tiếp nhỏ 90o có số đo nửa số đo góc tâm

chắn cung

 1

2

ACB AOB

(cùng chắn cung AB)

e) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng ngược lại, góc vng nội tiếp chắn nửa đường trịn ACB90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

f) Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung BAx BCA  ( chắn cung AB)

11.Số đo góc có đỉnh bên đường trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn

 1 (  )

2

 

BED sd BD AC

(góc có đỉnh bên đường trịn)

B A

o E

C

D

 1 (  )

2

 

CED sd CD AB

(góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)

II Tø gi¸c néi tiÕp:

a) Tính chất: Tổng hai góc đối tứ giác 1800.

b) DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp:

- Tứ giác có tổng hai góc đối 1800

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới góc  - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện

- Tứ giác có đỉnh cách điểm III Độ dài đ ờng tròn - Độ dài cung tròn:

- Độ dài đờng trịn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung trịn n0 bán kính R : 180 Rn l

IV DiÖn tÝch hình tròn - Diện tích hình quạt tròn: - Diện tích hình tròn: S = R2

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0:

2

360 2

R n lR

S  

V Các cơng thức hình học khơng gian :

1 Hình trụ: Sxq = Cđáy.h (Cđáy: chu vi đáy; h: chiều cao), Sxq=2r.h (r: bán kính đáy)

V= Sđáy.h (Sđáy: diện tích đáy; h: chiều cao), V=r2.h (r: bán kính đáy)

2 Hình nón:Sxq =rl (l: đường sinh), V=

1

3Sđáy.h , V= 1 3r2.h 3 Hình cầu: Sxq =4r2 , V=

4 3 r3

B BÀI TẬP:

TRẮC NGHIỆM:

(h.4) O D

A

B C

(h.3) O A

C

B (h.2)

O M

Q

P N

(h.1) O

C D

B A

1.Trong hình 1, biết AC đường kính, góc BDC 600 Số đo góc ACB bằng

A 400. B 450. C 350. D 300.

2.Trong hình 2, góc QMN 600, số đo góc NPQ bằng

A 200. B 250. C 300. D 400.

3.Trong hình 3, AB đường kính đường trịn, góc ABC 600, số đo cung BmC bằng

A 300. B 400. C 500. D 600.

4.Trong hình 4, biết AC đường kính đường trịn, góc ACB 300 Khi số đo góc CDB bằng

A 400. B 500. C 600. D 700.

I

(h.8) O

P M

Q

N x (h.7)

O B

M A

(h.6) O D

C B A

(h.5) O

M C

D

B A

5.Trên hình 5, biết số đo cung AmD 800, số đo cung BnC 300 Số đo góc AED bằng

A 250. B 500. C 550. D 400.

6.Trong hình 6, số đo góc BIA 600, số đo cung nhỏ AB 550 Số đo cung nhỏ CD là

A 750. B 650. C 600. D 550.

7.Trên hình 7, có MA, MB tiếp tuyến A B (O) Số đo góc AMB 580 Khi số đo góc

OAB

8.Trên hình 8, số đo góc QMN 200, số đo góc PNM 100 Số đo góc x baèng

A 150. B 200. C 250. D 300

(h.12 (h.11)

(h.10) (h.9)

O A

D

B

C O

B

D C

A

E

F O

M

A C B

O A

M D

9.Trên hình 9, số đo cung nhỏ AD 800 Số đo góc MDA bằng

A 400. B 500. C 600. D 700.

10.Trong hình 10, MA, MB tiếp tuyến (O), BC đường kính, góc BCA 700 Số đo góc AMB bằng

A 700. B 600. C 500. D 400.

11.Trong hình 11, có góc BAC 200, góc ACE 100, góc CED 150 Số đo góc BFD bằng

A 550. B 450. C 350. D 250.

12.Trong hình 12, có AD//BC, góc BAD 800, góc ABD 600 Số đo góc BDC bằng

A 400. B 600. C 450. D 650.

13.Hãy chọn tứ giác nội tếp đường tròn tứ giác sau

j

(D)

80

70 130

D C

B

A (C)

75 60

D C

B A

(B)

65 65

D C

B A

(A)

60 90

D A

C B

14.Cho hình 14 Trong khẳng định sau, chọn khẳng định sai: A Bốn điểm MQNC nằm đường tròn

(h.14) M

B C

Q N A

B Bốn điểm ANMB nằm đường tròn

C Đường tròn qua ANB có tâm trung điểm đoạn AB D Bốn điểm ABMC nằm đường tròn

15.Tứ giác sau khơng nội tiếp đường trịn ?

(D) (C)

(B) (A)

90

90

55

55

50

130

90

90

16.Tứ giác sau nội tiếp đường trịn ?

A Hình bình hành B Hình thoi C Hình chữ nhật D Hình thang 17.Hãy chọn khẳng định sai Một tứ giác nội tiếp nếu:

A Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện B Tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800.

C Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc D Tứ giác có tổng hai góc 1800.

18.Độ dài cung 600 đường trịn có bán kính 2cm là:

A 1

3 cm. B

2

3 cm C

3

2 cm. D

1 2 cm. 19.Độ dài cung trịn 1200 đường trịn có bán kính cm là:

A  cm B 2 cm. C 3 cm. D Kết khác 20.Nếu chu vi đường trịn tăng thêm 10cm bán kính đường tròn tăng thêm:

A 5

 cm B 5



cm C 5 cm D

21.Nếu bán kính đường trịn tăng thêm 1

 cm chu vi đường tròn tăng thêm: A

1

2cm. B  cm C 2cm D

1

 cm. 22.Diện tích hình trịn có đường kính cm bằng:

A 25 cm2.

B 25

2



cm2. C

5 2



cm2. D

25 4

 cm2.

23.Diện tích hình quạt trịn cung 600 đường trịn có bán kính cm là:

A 2

3



cm2. B

2

3 cm2. C 3



cm2. D

3

 cm2.

23.Một cung tròn đường tròn bán kính R có độ dài l (m) Khi diện tích hình quạt trịn ứng với cung là:

A . 4 l R

m2. B

. 2 l R

m2.

C 2.

4 l R

m2. D

2. 2 l R

m2.

24.Cho hai đường trịn đồng tâm O có bán kính R r (R > r) Diện tích phần nằm hai đường trịn – hình vành khăn tính ?

A  

2

 r  R

B  

2

 R r

C  

2

 R  r

D Kết khác

25.Cho hình vng cạnh a, vẽ vào phía hình vng cung trịn 900 có tâm đỉnh của

hình vng Hãy cho biết diện tích phần tạo cung trịn hình vng ? A

2 1 2



 



 

 

a

B

2 1 4



 



 

 

a

C  

2 1  

a .

D

4

  a

BAØI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Cho ΔABC vng góc đỉnh A Kẻ đường cao AH Trên cạnh huyền BC ta lấy điểm D cho DH = HB Đường tròn tâm H bán kính HA Cắt tia AD E cắt đường tròn ngoại tiếp ΔABC A’ Cminh rằng:

a Tứ giác ADA’B hình thoi b Tứ giác ACEH nội tiếp

c CE AD d CB phân giác góc ACE

Bài : Cho đường trịn tâm O, đường kính AB Lấy điểm C đường tròn cho AC = OA Trên tia đối tia AB, lấy điểm D cho AD = OA Đường thẳng song song với DC kẽ qua điểm A cắt CB I cắt đường tròn E Chứng minh rằng:

a DC tiếp xúc với đường tròn điểm C b Tứ giác ACIO nội tiếp

c OE CB d Cho AB =6 cm Tính OI, AE, AI

Bài 3 : Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Lấy điểm M nửa đường tròn, kẻ MH AB từ H kẻ HE⊥MA,HD⊥MB

a Chứng minh: Tứ giác ABDE nội tiếp b.Chứng minh MO⊥ED

c Cho AH = 10 cm, MH = cm Tính diện tích phần hình trịn ngồi tam giác MAB

Bài 4/ Cho nửa đường tròn đường trịn đường kính AB hai điểm C, D nằm nửa đường tròn (điểm C thuộc cung AD) Hai tia AD BC cắt điểm E AC cắt BD điểm F, EF cắt AB M Chứng minh: a/ Tứ giác ACEM nội tiếp b/ E tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDM

c/ Gọi I trung điểm đoạn thẳng EB Chứng minh tứ giác CDIM nội tếp

Bài 5/ Cho đường tròn (O) dây AB Hai tiếp tuyến với đường tròn điểm A, B cắt P M điểm cung nhỏ AB Từ M kẽ MD AB;ME⊥PA;MF⊥PB

a/ Chứng minh tứ giác AEMD BFMD nội tiếp b/ Chứng minh hai tam giác EMD DMF đồng dạng

c/ Gọi giao điểm AM DE I giao điểm BM DF J Chứng minh AB// IJ

a) Chứng minh tam giác AOB tam giác b) Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp đường trịn c) Tính góc ADI d) Cho ABM = 450 Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R Hướng dẫn:

a) Cm: AB = BO = OA = R

b) Cm:  

90

IADIMD

c) Cm: ADI AMI(Cùng chắn cung AI) maø

  0

.60 30

2sd AB

AMI   

d) Cm tam giác ABi vuông cân A => AI = AB = R Xét tam giác AID có A900;D 300 => AD =

3

2

AD AI

AI R

  

Bài 7: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Trên tia đối tia BA lấy điểm C cho BC=R, đường tròn lấy điểm D cho BD = R Đường thẳng vng góc với AC C cắt tia AD M

a) Chứng minh tứ giác BCMD nội tiếp đường tròn b) Chứng minh tam giác ABM cân B

c) Chứng minh ADB đồng dạngACM Từ tính tích AD.AM theo R

d) Cung BD đường tròn (O) chia tam giác ABM thành hai phần Tính diện tích tam giác ABM phân diện tích tam giác ABM nằm ngồi đường trịn (O)

Hướng dẫn:

a) Cm:  

90

BCM BDM 

b)Cm: BD vừa đường cao, vừa phân giác

c) Cm:  

60

ABDAMC  => AD.AM = 6R2

d) Tính AD = R 3=> AM = 2R 3 Từ đó: SABM =

3

R

Tương tự tính SADB; Svp(BD) => Diện tích cần tìm.

Bài 8: Cho đường trịn tâm O điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE tới đường tròn (B C tiếp điểm) Gọi H trung điểm DE

a) Chứng minh năm điểm A, B, H, O, C thuộc đường tròn b) Chứng minh HA tia phân giác góc BHC

c) Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh AB2 = AI.AH

d) BH cắt đường tròn (O) K Chứng minh AE // CK

Hướng dẫn:

a) Chứng minh góc vng

b) Chứng minh AHBACB AHC; ABC

c) Chứng minh ABI AHB

d) Chứng minh AHBCKB (cùng góc ACB)